船體振動學 第3章

船體振動學

第3章

梁的橫向振動

ShipVibration1

3.1連續(xù)系統(tǒng)

3.2梁的橫向自由振動

3.3梁的橫向強迫振動

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響

3.5梁的橫向自由振動的近似解法第3章梁的橫向振動ShipVibration2

3.1連續(xù)系統(tǒng)第3章梁的橫向振動ShipVibration3各種工程結構和構件，例如桿、梁、板、殼等都是具有分布質量的彈性體。要確定彈性體上各點的位置需要無限多個廣義坐標，因此彈性體是具有無限多自由度的系統(tǒng)，也稱為連續(xù)系統(tǒng)。

ShipVibration

3.1連續(xù)系統(tǒng)4對于圖示的簡支梁，在第2章中提到的處理方法是將梁離散化，即將梁近似的看作是由個集中質量組成的無質量的梁。當梁作橫向彎曲振動時，用有限個離散點處的橫向位移來代替真實的、連續(xù)的動撓度曲線。顯然，采用這種方法得到的解只是梁的真實解的一種近似。隨著離散點的數(shù)目不斷增加，所得到的解將逐漸收斂于梁的真實解。

ShipVibration

3.1連續(xù)系統(tǒng)5連續(xù)系統(tǒng)具有連續(xù)分布的質量和彈性，它的振動規(guī)律要用時間和空間坐標的連續(xù)函數(shù)來描述，其運動微分方程是偏微分方程。在數(shù)學上，離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)代表兩種不同類型的系統(tǒng)。但在本課程里，離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)只不過是描述同一物理系統(tǒng)的兩個數(shù)學模型而已。盡管離散系統(tǒng)的振動用常微分方程來描述，連續(xù)系統(tǒng)的振動用偏微分方程來描述，但是在物理本質上以及振動的基本概念、分析方法上連續(xù)系統(tǒng)的振動與離散系統(tǒng)的振動是相似的。

ShipVibration

3.1連續(xù)系統(tǒng)6彈性體的振動需要用偏微分方程來描述

，不同彈性體的振動方程是不同的。只有對一些簡單的、規(guī)則的彈性體才能得到振動方程的精確解，如均勻直桿的縱向振動、均勻圓軸的扭轉振動以及均勻直梁的橫向振動等等。對于大多數(shù)的實際彈性體的振動，仍然要采用各種近似的離散化方法，將連續(xù)系統(tǒng)轉化為離散系統(tǒng)來處理。但本章討論的離散化不同于上一章的將分析模型離散化，而是按固有振型離散化。

ShipVibration

3.1連續(xù)系統(tǒng)7梁是彈性體中最常見的，也是最基本的構件。對于橫截面具有兩條對稱軸線的梁，存在著四種形式的振動，即垂直平面內的振動、水平面內的振動、縱向振動和扭轉振動。本章僅介紹梁在垂直平面內的橫向振動。假定梁的材料均質、各向同性，以及服從虎克定律（表示振動時梁內的應力不超過材料的比例極限，使得梁的應力與應變關系是線性的）。其次假定振動是微小的，使得應變與位移的幾何關系也是線性的。最后假定梁在平衡狀態(tài)下的軸線是一直線，發(fā)生振動變形前垂直于梁軸線的橫截面，在發(fā)生振動變形后仍然保持為平面。

ShipVibration

3.1連續(xù)系統(tǒng)8

3.2梁的橫向自由振動第3章梁的橫向振動ShipVibration9梁的橫向振動的運動微分方程如圖所示，考慮梁在平面內的振動。假定發(fā)生振動變形前垂直于梁軸線的橫截面是平面，在發(fā)生振動變形后該橫截面仍然是平面且仍然垂直于變形后的梁軸線，即忽略了橫截面的剪切變形和轉動慣量的影響，這種梁模型也稱為歐拉-伯努利梁。ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動梁的橫向振動的運動微分方程10梁的橫向位移是，長度是，橫截面面積是，橫截面對中性軸的慣性矩是；梁的密度是，材料的彈性模量是；單位長度梁上作用的分布外力是。在梁上處取長為的微段，微段的受力圖如圖所示。

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動梁的橫向振動的運動微分方程11由牛頓第二定律寫出微段沿軸的力平衡方程

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動化簡為

梁的橫向振動的運動微分方程12再寫出微段繞軸的力矩平衡方程

，得

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動略去的二次項后，得

梁的橫向振動的運動微分方程13將代入，得

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動由材料力學知，并代入上式，得

上式就是歐拉-伯努利梁橫向振動的運動微分方程

。對于等截面梁，則是常數(shù)，上式又可寫成

梁的橫向振動的運動微分方程14固有頻率和振型在上式中令得到梁橫向自由振動的運動微分方程運動微分方程的解可以用的函數(shù)與的簡諧函數(shù)的乘積表示，即

其中是主振型或振型函數(shù)，即梁上各點按振型作同步簡諧振動。ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動固有頻率和振型15將上式代入運動微分方程，得ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動固有頻率和振型上式可改寫成

式中

16上述方程的通解是

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動固有頻率和振型也可以表示為根據梁的邊界條件可以確定值及振型函數(shù)中的待定常數(shù)。邊界條件要考慮四個量，即撓度、轉角、彎矩和剪力，一般情況下梁的每個端點都與其中的兩個量有關。

17常見的簡單邊界條件有如下幾種。

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動固有頻率和振型1.固定端在梁的固定端上撓度和轉角等于零，即

2.簡支端在梁的簡支端上撓度和彎矩等于零，即

18ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動固有頻率和振型3.自由端在梁的自由端上彎矩和剪力等于零，即

下面討論在兩種邊界條件下，梁的固有頻率和主振型。

19ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動固有頻率和振型1.兩端簡支這時的邊界條件是

將代入4個邊界條件，得20ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動固有頻率和振型由于可得，因此應有

這是簡支梁的頻率方程。由上式得

對應于的固有頻率是

21ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動固有頻率和振型可見，各固有頻率與梁長的平方成反比。

因此主振型函數(shù)是

前三階主振型如圖所示

22ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動固有頻率和振型2.左端固定，右端自由這時的邊界條件是

將代入4個邊界條件，得23ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動固有頻率和振型因此有

這就是懸臂梁的頻率方程。方程的前四個根是

解得

24ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動固有頻率和振型對應于的固有頻率是

前三階主振型如圖所示

因此主振型函數(shù)是

25ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動算例例：如圖所示，懸臂梁的自由端附加一集中質量，將附加質量看作為質點，求頻率方程和主振型函數(shù)。26ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動算例解：其邊界條件是

將代入4個邊界條件，得27ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動算例上面兩式是關于的線性齊次代數(shù)方程組，具有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式必須為零，由此得到

這就是頻率方程。因此主振型函數(shù)是

28

3.3梁的橫向強迫振動第3章梁的橫向振動ShipVibration29主振型的正交性梁作橫向振動時，振型函數(shù)也具有正交性。這里只討論具有簡單邊界條件的梁的主振型的正交性。取特征值問題的任意兩個解和代入，得到ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動主振型的正交性30以乘以左式，以乘以右式，并且都沿梁的長度對進行積分，得

ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動主振型的正交性分別對上面兩式左邊進行兩次分部積分，得

31ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動主振型的正交性32ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動主振型的正交性對于前面介紹的任何一種簡單邊界條件，以上二式已積分出來的各項均為零。因此有

上面兩式相減，得

如果時，有，則由上式得

33ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動主振型的正交性上式就是梁的主振型關于質量的正交性。

將上式代入上面兩式就是梁的主振型關于剛度的正交性。

可得34ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動主振型的正交性令

常數(shù)分別稱為第階主質量及第階主剛度。它們之間的關系可以由下式得到即35ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動主振型的正交性如果主振型中的常數(shù)按下述歸一化條件來確定，即

由此得到的主振型函數(shù)稱為正則振型函數(shù)，表示為。這時相應的第階主剛度是

36ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動梁橫向振動的強迫響應梁橫向振動的強迫響應梁的橫向強迫振動的運動微分方程是假設運動微分方程的解是其中是正則振型函數(shù)，是正則坐標。

將上式代入，得37ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動梁橫向振動的強迫響應上式兩邊乘以并沿梁長對積分，有

利用正交性及歸一化條件，上式可以簡化為

上式即是用第個正則坐標表示的梁的橫向強迫振動的運動微分方程。其中，稱為第個正則坐標的廣義力。38ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動梁橫向振動的強迫響應假設，則

式中如果作用在梁上的載荷不是分布簡諧力，而是集中簡諧力，利用狄拉克函數(shù)，集中力可以表示為39ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動假設梁的初始條件是

將代入上式，有

將以上兩式兩邊分別乘以并沿梁長對積分，利用正交條件可以得到用正則坐標表示的梁的初始條件是

梁橫向振動的強迫響應40ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動用第個正則坐標表示的梁的橫向強迫振動的運動微分方程是上述運動微分方程的全解是

梁橫向振動的強迫響應41ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動由此即可得到梁在初始條件下對簡諧激勵的響應梁橫向振動的強迫響應42ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例例：如圖所示，一簡支梁在其中點受到常力作用而產生變形，求當力突然移去時梁的響應。

解：前面已求出兩端簡支梁的固有頻率及主振型函數(shù)是

43ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例將主振型代入歸一化條件

從而得到正則振型函數(shù)是44ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例由結構力學得知初始條件是

其中是梁中點的靜撓度。

45ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例用正則坐標表示的初始條件是

因為沒有激勵力，正則廣義力等于零。所以用正則坐標表示的梁的自由振動響應是

46ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例因此，梁的自由振動響應是由上式可見，梁在中點受常力作用產生的靜變形只激發(fā)對稱振型的振動。

47ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例例：如圖所示，均勻簡支梁在處作用有一正弦激勵，求梁的強迫振動響應，梁的初始條件為零。

48ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例解：由上例的結果可知正則振型函數(shù)用狄拉克函數(shù)把集中力表示成分布力的形式

正則廣義力是49ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例由于初始條件為零，所以用正則坐標表示的梁的強迫振動響應是

因此，梁的強迫振動響應是

50ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例例：如圖所示，簡支梁左端承受正弦支撐運動，，求梁的穩(wěn)態(tài)強迫振動響應。

51ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例解：令

利用材料力學的等截面假設，彎矩與撓度之間的關系是

因此，梁振動的運動微分方程是

52ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例令，即代入運動微分方程

即

53ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例運動微分方程的解為

：式中是正則振型函數(shù)，代入運動微分方程，得：

54ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例將上式兩邊分別乘以并沿梁長對積分，得

利用正交性及歸一化條件，上式可以簡化為由此可以求得用正則坐標表示的梁的穩(wěn)態(tài)強迫振動響應是55ShipVibration

3.3梁的橫向強迫振動算例簡支梁的固有頻率是

代入，得

56

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響第3章梁的橫向振動ShipVibration57當梁的橫截面尺寸與長度相比并不是很小或者在分析高階振動時，就需要考慮轉動慣量和剪切變形對梁的橫向振動的影響，這時的梁稱為鐵木辛柯梁。ShipVibration

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響轉動慣量和剪切變形對梁的橫向自由振動的影響58取一微段，畫出由剪力及彎矩引起的變形。當剪力為零時，微段的中心線垂直于橫截面，令是由彎矩引起的截面轉角，是由剪力引起的剪切角，由彎矩和剪力共同作用引起的梁軸線的實際轉角是，于是剪切角ShipVibration

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響轉動慣量和剪切變形對梁的橫向自由振動的影響59利用材料力學的基本公式

ShipVibration式中是截面的剪切修正系數(shù)（圓形截面；矩形截面），是剪切彈性模量，是橫截面面積。

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響轉動慣量和剪切變形對梁的橫向自由振動的影響60由牛頓第二定律寫出微段沿軸的力平衡方程考慮轉動慣量的影響后，寫出微段繞軸的力矩平衡方程

ShipVibration

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響轉動慣量和剪切變形對梁的橫向自由振動的影響61ShipVibration將代入上述兩式，得假設梁是等截面的，并由上述兩式中消去，得到鐵木辛柯梁橫向自由振動的運動微分方程

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響轉動慣量和剪切變形對梁的橫向自由振動的影響62ShipVibration式中第三項和第四項表示剪切變形和轉動慣量的影響，上述方程仍可用分離變量法求解?，F(xiàn)以簡支梁為例。假設運動微分方程的解是將上式代入運動微分方程，得

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響轉動慣量和剪切變形對梁的橫向自由振動的影響63由于最后一項與相比是微小量，在研究剪切變形的影響時可以略去，從而可以得到式中是不計剪切變形和轉動慣量時簡支梁的固有頻率。ShipVibration

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響轉動慣量和剪切變形對梁的橫向自由振動的影響64由上式可以看出，考慮了剪切變形和轉動慣量以后，系統(tǒng)的固有頻率減小了。這是因為系統(tǒng)的固有頻率取決于它的質量和剛度，考慮剪切變形和轉動慣量以后，系統(tǒng)的有效質量增加，有效剛度減小，因而導致系統(tǒng)的固有頻率減小。剪切變形和轉動慣量對高階頻率的影響更加顯著。

ShipVibration

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響轉動慣量和剪切變形對梁的橫向自由振動的影響65如果僅考慮轉動慣量的影響，則如果僅考慮剪切變形的影響時，則

比較以上二式可以看到，剪切變形的影響要比轉動慣量的影響大。假設，且梁的橫截面是長方形的，，則即剪切變形的影響是轉動慣量的影響的3.2倍。

ShipVibration

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響轉動慣量和剪切變形對梁的橫向自由振動的影響66ShipVibration軸向力對梁的橫向自由振動的影響軸向力對梁的橫向自由振動的影響假設梁的兩端受到軸向拉力的作用，且梁在振動過程中梁截面上的軸向力保持不變，如圖所示。由牛頓第二定律寫出微段沿軸的力平衡方程

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響67再寫出微段繞軸的力矩平衡方程

，得

略去的二次項后，得

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動梁的橫向振動的運動微分方程68將代入，得

由材料力學知，并代入上式，得到軸向受載的均勻歐拉-伯努利梁橫向自由振動的運動微分方程

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動梁的橫向振動的運動微分方程69ShipVibration假設運動微分方程的解是

代入運動微分方程，得

令，代入上式，得

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響軸向力對梁的橫向自由振動的影響70ShipVibration假設上述方程的解是

式中

以簡支梁為例，其邊界條件是

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響軸向力對梁的橫向自由振動的影響71ShipVibration將代入4個邊界條件，得利用和的系數(shù)的行列式為零的條件，得到頻率方程由于及不為零，因此

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響軸向力對梁的橫向自由振動的影響72ShipVibration解出

當時，上式即為無軸向力時簡支梁的固有頻率。如果梁的兩端受到軸向拉力的作用，梁的剛度增加，因此梁的固有頻率增加

；如果將拉力改為壓力，即用代替，則固有頻率減小。當時梁將失穩(wěn)而破壞，臨界壓力

3.4轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響軸向力對梁的橫向自由振動的影響73

3.5梁的橫向自由振動的近似解法第3章梁的橫向振動ShipVibration74瑞利法如果不考慮阻尼的影響，根據能量守恒定律，則系統(tǒng)的最大動能應該等于系統(tǒng)的最大勢能。瑞利法正是從這一定律出發(fā)，估算梁的第一階固有頻率（基頻）

。假設梁在處的位移是ShipVibration

3.5梁的橫向自由振動的近似解法瑞利法梁的動能是

75梁的勢能等于應變能

ShipVibration瑞利法令，可以求得

利用上式求固有頻率的方法稱為瑞利法。稱為瑞利商。

3.5梁的橫向自由振動的近似解法76瑞利商有幾個重要特性：（1）如果假設的振型函數(shù)與某一階的主振型相同，則瑞利商就是相應階主振動的特征值；（2）瑞利商在固有振型附近具有平穩(wěn)值，即如果假設的振型與固有振型相差一個一階微量，則瑞利商與特征值相差一個二階微量；（3）此平穩(wěn)值是一個極小值，即瑞利商的極小值就是相應階主振動的特征值。ShipVibration瑞利法

3.5梁的橫向自由振動的近似解法77一般在選擇振型函數(shù)時，最好是既滿足幾何邊界條件，又滿足力邊界條件，這樣可以得到比較好的近似結果。但至少要滿足幾何邊界條件，不然會使計算結果誤差過大，以致毫無意義。由于高階振型函數(shù)較難選取，因此瑞利法一般僅用于求解第一階固有頻率。對于梁，通常將振型函數(shù)取為靜撓度曲線就可以得到精度較好的基頻。當假定的振型函數(shù)偏離真實振型時，相當于給系統(tǒng)施加了約束，也就相當于給系統(tǒng)增加了剛度，所以計算得到的固有頻率偏高。因此，選用不同的振型函數(shù)而得到不同的計算結果時，應該取最小的值。ShipVibration瑞利法

3.5梁的橫向自由振動的近似解法78如果在梁上有附加質量或彈性支承，則只要在計算梁的動能和勢能時計入附加質量的動能和彈性支承的勢能就可以了。例如在梁上處有集中質量，則梁的最大動能是

在梁上處有拉壓彈簧常數(shù)為和扭轉彈簧常數(shù)為的彈性支承時，則梁的最大勢能是ShipVibration瑞利法

3.5梁的橫向自由振動的近似解法79例：用瑞利法求如圖所示的單位等寬度變截面梁的第一階固有頻率。截面的變化規(guī)律是，是梁根部的截面積。

ShipVibration算例

3.5梁的橫向自由振動的近似解法80解：

ShipVibration算例式中是梁根部截面的慣性矩。

假設振型函數(shù)是，則

3.5梁的橫向自由振動的近似解法81滿足邊界條件

ShipVibration算例

3.5梁的橫向自由振動的近似解法82與精確解相比，誤差為3%。

ShipVibration算例因此

3.5梁的橫向自由振動的近似解法83李茲法李茲法是在瑞利法的基礎上作了改進，它除了能更精確的計算基頻外，還能求得較高階的固有頻率。其基本思想是把連續(xù)系統(tǒng)離散為有限自由度系統(tǒng)，然后根據能量守恒定律計算系統(tǒng)的固有頻率。因此，在李茲法中描述振型的位移函數(shù)不是預先選取一個假設的振型，而是用包含多個未知數(shù)的基函數(shù)的級數(shù)和來表示，即

ShipVibration李茲法式中是待定常數(shù)，也稱為廣義坐標，是空間坐標的已知函數(shù)，也稱為基函數(shù)。

3.5梁的橫向自由振動的近似解法84基函數(shù)必須滿足幾何邊界條件，而且是相互獨立的；此外，基函數(shù)應該是連續(xù)可導的，可導的階數(shù)應該至少等于勢能中出現(xiàn)的對坐標的導數(shù)的階數(shù)。然后利用駐值條件，即

ShipVibration李茲法得到個關于待定常數(shù)的齊次方程，令它們的系數(shù)行列式等于零，即可得到頻率方程。

3.5梁的橫向自由振動的近似解法85考慮到的分子為零，得

ShipVibration李茲法上式可以改寫為

3.5梁的橫向自由振動的近似解法86即ShipVibration李茲法式中式中表示對的二階導數(shù)。

3.5梁的橫向自由振動的近似解法87由此得到個方程：令上述方程可以寫成矩陣形式

ShipVibration李茲法

3.5梁的橫向自由振動的近似解法88或簡寫為即無限多個自由度系統(tǒng)變成了有限多個自由度系統(tǒng)，求解上述方程，就可以得到個固有頻率和個振型函數(shù)。這種方法稱為李茲法。李茲法忽略了高階項的影響，相當于給系統(tǒng)施加了約束，因為約束會增加系統(tǒng)的剛度，因為一般情況下施加約束會增加系統(tǒng)的剛度，所以求得的固有頻率大于系統(tǒng)的真實固有頻率。

ShipVibration李茲法

3.5梁的橫向自由振動的近似解法89例：用李茲法求如圖所示的單位等寬度變截面梁的第一階固有頻率。截面的變化規(guī)律是