船體振動(dòng)學(xué) 第3章

船體振動(dòng)學(xué)

第3章

梁的橫向振動(dòng)

ShipVibration1

3.1連續(xù)系統(tǒng)

3.2梁的橫向自由振動(dòng)

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法第3章梁的橫向振動(dòng)ShipVibration2

3.1連續(xù)系統(tǒng)第3章梁的橫向振動(dòng)ShipVibration3各種工程結(jié)構(gòu)和構(gòu)件，例如桿、梁、板、殼等都是具有分布質(zhì)量的彈性體。要確定彈性體上各點(diǎn)的位置需要無限多個(gè)廣義坐標(biāo)，因此彈性體是具有無限多自由度的系統(tǒng)，也稱為連續(xù)系統(tǒng)。

ShipVibration

3.1連續(xù)系統(tǒng)4對(duì)于圖示的簡支梁，在第2章中提到的處理方法是將梁離散化，即將梁近似的看作是由個(gè)集中質(zhì)量組成的無質(zhì)量的梁。當(dāng)梁作橫向彎曲振動(dòng)時(shí)，用有限個(gè)離散點(diǎn)處的橫向位移來代替真實(shí)的、連續(xù)的動(dòng)撓度曲線。顯然，采用這種方法得到的解只是梁的真實(shí)解的一種近似。隨著離散點(diǎn)的數(shù)目不斷增加，所得到的解將逐漸收斂于梁的真實(shí)解。

ShipVibration

3.1連續(xù)系統(tǒng)5連續(xù)系統(tǒng)具有連續(xù)分布的質(zhì)量和彈性，它的振動(dòng)規(guī)律要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來描述，其運(yùn)動(dòng)微分方程是偏微分方程。在數(shù)學(xué)上，離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)代表兩種不同類型的系統(tǒng)。但在本課程里，離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)只不過是描述同一物理系統(tǒng)的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型而已。盡管離散系統(tǒng)的振動(dòng)用常微分方程來描述，連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)用偏微分方程來描述，但是在物理本質(zhì)上以及振動(dòng)的基本概念、分析方法上連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)與離散系統(tǒng)的振動(dòng)是相似的。

ShipVibration

3.1連續(xù)系統(tǒng)6彈性體的振動(dòng)需要用偏微分方程來描述

，不同彈性體的振動(dòng)方程是不同的。只有對(duì)一些簡單的、規(guī)則的彈性體才能得到振動(dòng)方程的精確解，如均勻直桿的縱向振動(dòng)、均勻圓軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)以及均勻直梁的橫向振動(dòng)等等。對(duì)于大多數(shù)的實(shí)際彈性體的振動(dòng)，仍然要采用各種近似的離散化方法，將連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)來處理。但本章討論的離散化不同于上一章的將分析模型離散化，而是按固有振型離散化。

ShipVibration

3.1連續(xù)系統(tǒng)7梁是彈性體中最常見的，也是最基本的構(gòu)件。對(duì)于橫截面具有兩條對(duì)稱軸線的梁，存在著四種形式的振動(dòng)，即垂直平面內(nèi)的振動(dòng)、水平面內(nèi)的振動(dòng)、縱向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。本章僅介紹梁在垂直平面內(nèi)的橫向振動(dòng)。假定梁的材料均質(zhì)、各向同性，以及服從虎克定律（表示振動(dòng)時(shí)梁內(nèi)的應(yīng)力不超過材料的比例極限，使得梁的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系是線性的）。其次假定振動(dòng)是微小的，使得應(yīng)變與位移的幾何關(guān)系也是線性的。最后假定梁在平衡狀態(tài)下的軸線是一直線，發(fā)生振動(dòng)變形前垂直于梁軸線的橫截面，在發(fā)生振動(dòng)變形后仍然保持為平面。

ShipVibration

3.1連續(xù)系統(tǒng)8

3.2梁的橫向自由振動(dòng)第3章梁的橫向振動(dòng)ShipVibration9梁的橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程如圖所示，考慮梁在平面內(nèi)的振動(dòng)。假定發(fā)生振動(dòng)變形前垂直于梁軸線的橫截面是平面，在發(fā)生振動(dòng)變形后該橫截面仍然是平面且仍然垂直于變形后的梁軸線，即忽略了橫截面的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，這種梁模型也稱為歐拉-伯努利梁。ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)梁的橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程10梁的橫向位移是，長度是，橫截面面積是，橫截面對(duì)中性軸的慣性矩是；梁的密度是，材料的彈性模量是；單位長度梁上作用的分布外力是。在梁上處取長為的微段，微段的受力圖如圖所示。

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)梁的橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程11由牛頓第二定律寫出微段沿軸的力平衡方程

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)化簡為

梁的橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程12再寫出微段繞軸的力矩平衡方程

，得

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)略去的二次項(xiàng)后，得

梁的橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程13將代入，得

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)由材料力學(xué)知，并代入上式，得

上式就是歐拉-伯努利梁橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

。對(duì)于等截面梁，則是常數(shù)，上式又可寫成

梁的橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程14固有頻率和振型在上式中令得到梁橫向自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程的解可以用的函數(shù)與的簡諧函數(shù)的乘積表示，即

其中是主振型或振型函數(shù)，即梁上各點(diǎn)按振型作同步簡諧振動(dòng)。ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率和振型15將上式代入運(yùn)動(dòng)微分方程，得ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率和振型上式可改寫成

式中

16上述方程的通解是

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率和振型也可以表示為根據(jù)梁的邊界條件可以確定值及振型函數(shù)中的待定常數(shù)。邊界條件要考慮四個(gè)量，即撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力，一般情況下梁的每個(gè)端點(diǎn)都與其中的兩個(gè)量有關(guān)。

17常見的簡單邊界條件有如下幾種。

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率和振型1.固定端在梁的固定端上撓度和轉(zhuǎn)角等于零，即

2.簡支端在梁的簡支端上撓度和彎矩等于零，即

18ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率和振型3.自由端在梁的自由端上彎矩和剪力等于零，即

下面討論在兩種邊界條件下，梁的固有頻率和主振型。

19ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率和振型1.兩端簡支這時(shí)的邊界條件是

將代入4個(gè)邊界條件，得20ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率和振型由于可得，因此應(yīng)有

這是簡支梁的頻率方程。由上式得

對(duì)應(yīng)于的固有頻率是

21ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率和振型可見，各固有頻率與梁長的平方成反比。

因此主振型函數(shù)是

前三階主振型如圖所示

22ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率和振型2.左端固定，右端自由這時(shí)的邊界條件是

將代入4個(gè)邊界條件，得23ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率和振型因此有

這就是懸臂梁的頻率方程。方程的前四個(gè)根是

解得

24ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率和振型對(duì)應(yīng)于的固有頻率是

前三階主振型如圖所示

因此主振型函數(shù)是

25ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)算例例：如圖所示，懸臂梁的自由端附加一集中質(zhì)量，將附加質(zhì)量看作為質(zhì)點(diǎn)，求頻率方程和主振型函數(shù)。26ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)算例解：其邊界條件是

將代入4個(gè)邊界條件，得27ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)算例上面兩式是關(guān)于的線性齊次代數(shù)方程組，具有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式必須為零，由此得到

這就是頻率方程。因此主振型函數(shù)是

28

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)第3章梁的橫向振動(dòng)ShipVibration29主振型的正交性梁作橫向振動(dòng)時(shí)，振型函數(shù)也具有正交性。這里只討論具有簡單邊界條件的梁的主振型的正交性。取特征值問題的任意兩個(gè)解和代入，得到ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)主振型的正交性30以乘以左式，以乘以右式，并且都沿梁的長度對(duì)進(jìn)行積分，得

ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)主振型的正交性分別對(duì)上面兩式左邊進(jìn)行兩次分部積分，得

31ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)主振型的正交性32ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)主振型的正交性對(duì)于前面介紹的任何一種簡單邊界條件，以上二式已積分出來的各項(xiàng)均為零。因此有

上面兩式相減，得

如果時(shí)，有，則由上式得

33ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)主振型的正交性上式就是梁的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性。

將上式代入上面兩式就是梁的主振型關(guān)于剛度的正交性。

可得34ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)主振型的正交性令

常數(shù)分別稱為第階主質(zhì)量及第階主剛度。它們之間的關(guān)系可以由下式得到即35ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)主振型的正交性如果主振型中的常數(shù)按下述歸一化條件來確定，即

由此得到的主振型函數(shù)稱為正則振型函數(shù)，表示為。這時(shí)相應(yīng)的第階主剛度是

36ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程是假設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程的解是其中是正則振型函數(shù)，是正則坐標(biāo)。

將上式代入，得37ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)上式兩邊乘以并沿梁長對(duì)積分，有

利用正交性及歸一化條件，上式可以簡化為

上式即是用第個(gè)正則坐標(biāo)表示的梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。其中，稱為第個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力。38ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)假設(shè)，則

式中如果作用在梁上的載荷不是分布簡諧力，而是集中簡諧力，利用狄拉克函數(shù)，集中力可以表示為39ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)假設(shè)梁的初始條件是

將代入上式，有

將以上兩式兩邊分別乘以并沿梁長對(duì)積分，利用正交條件可以得到用正則坐標(biāo)表示的梁的初始條件是

梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)40ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)用第個(gè)正則坐標(biāo)表示的梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程是上述運(yùn)動(dòng)微分方程的全解是

梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)41ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)由此即可得到梁在初始條件下對(duì)簡諧激勵(lì)的響應(yīng)梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)42ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例例：如圖所示，一簡支梁在其中點(diǎn)受到常力作用而產(chǎn)生變形，求當(dāng)力突然移去時(shí)梁的響應(yīng)。

解：前面已求出兩端簡支梁的固有頻率及主振型函數(shù)是

43ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例將主振型代入歸一化條件

從而得到正則振型函數(shù)是44ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例由結(jié)構(gòu)力學(xué)得知初始條件是

其中是梁中點(diǎn)的靜撓度。

45ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例用正則坐標(biāo)表示的初始條件是

因?yàn)闆]有激勵(lì)力，正則廣義力等于零。所以用正則坐標(biāo)表示的梁的自由振動(dòng)響應(yīng)是

46ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例因此，梁的自由振動(dòng)響應(yīng)是由上式可見，梁在中點(diǎn)受常力作用產(chǎn)生的靜變形只激發(fā)對(duì)稱振型的振動(dòng)。

47ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例例：如圖所示，均勻簡支梁在處作用有一正弦激勵(lì)，求梁的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)，梁的初始條件為零。

48ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例解：由上例的結(jié)果可知正則振型函數(shù)用狄拉克函數(shù)把集中力表示成分布力的形式

正則廣義力是49ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例由于初始條件為零，所以用正則坐標(biāo)表示的梁的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)是

因此，梁的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)是

50ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例例：如圖所示，簡支梁左端承受正弦支撐運(yùn)動(dòng)，，求梁的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。

51ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例解：令

利用材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度之間的關(guān)系是

因此，梁振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程是

52ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例令，即代入運(yùn)動(dòng)微分方程

即

53ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例運(yùn)動(dòng)微分方程的解為

：式中是正則振型函數(shù)，代入運(yùn)動(dòng)微分方程，得：

54ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例將上式兩邊分別乘以并沿梁長對(duì)積分，得

利用正交性及歸一化條件，上式可以簡化為由此可以求得用正則坐標(biāo)表示的梁的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)是55ShipVibration

3.3梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例簡支梁的固有頻率是

代入，得

56

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響第3章梁的橫向振動(dòng)ShipVibration57當(dāng)梁的橫截面尺寸與長度相比并不是很小或者在分析高階振動(dòng)時(shí)，就需要考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)梁的橫向振動(dòng)的影響，這時(shí)的梁稱為鐵木辛柯梁。ShipVibration

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響58取一微段，畫出由剪力及彎矩引起的變形。當(dāng)剪力為零時(shí)，微段的中心線垂直于橫截面，令是由彎矩引起的截面轉(zhuǎn)角，是由剪力引起的剪切角，由彎矩和剪力共同作用引起的梁軸線的實(shí)際轉(zhuǎn)角是，于是剪切角ShipVibration

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響59利用材料力學(xué)的基本公式

ShipVibration式中是截面的剪切修正系數(shù)（圓形截面；矩形截面），是剪切彈性模量，是橫截面面積。

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響60由牛頓第二定律寫出微段沿軸的力平衡方程考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響后，寫出微段繞軸的力矩平衡方程

ShipVibration

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響61ShipVibration將代入上述兩式，得假設(shè)梁是等截面的，并由上述兩式中消去，得到鐵木辛柯梁橫向自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響62ShipVibration式中第三項(xiàng)和第四項(xiàng)表示剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，上述方程仍可用分離變量法求解?，F(xiàn)以簡支梁為例。假設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程的解是將上式代入運(yùn)動(dòng)微分方程，得

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響63由于最后一項(xiàng)與相比是微小量，在研究剪切變形的影響時(shí)可以略去，從而可以得到式中是不計(jì)剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)簡支梁的固有頻率。ShipVibration

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響64由上式可以看出，考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以后，系統(tǒng)的固有頻率減小了。這是因?yàn)橄到y(tǒng)的固有頻率取決于它的質(zhì)量和剛度，考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以后，系統(tǒng)的有效質(zhì)量增加，有效剛度減小，因而導(dǎo)致系統(tǒng)的固有頻率減小。剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)高階頻率的影響更加顯著。

ShipVibration

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響65如果僅考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，則如果僅考慮剪切變形的影響時(shí)，則

比較以上二式可以看到，剪切變形的影響要比轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響大。假設(shè)，且梁的橫截面是長方形的，，則即剪切變形的影響是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響的3.2倍。

ShipVibration

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響66ShipVibration軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響假設(shè)梁的兩端受到軸向拉力的作用，且梁在振動(dòng)過程中梁截面上的軸向力保持不變，如圖所示。由牛頓第二定律寫出微段沿軸的力平衡方程

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響67再寫出微段繞軸的力矩平衡方程

，得

略去的二次項(xiàng)后，得

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)梁的橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程68將代入，得

由材料力學(xué)知，并代入上式，得到軸向受載的均勻歐拉-伯努利梁橫向自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

ShipVibration

3.2梁的橫向自由振動(dòng)梁的橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程69ShipVibration假設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程的解是

代入運(yùn)動(dòng)微分方程，得

令，代入上式，得

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響70ShipVibration假設(shè)上述方程的解是

式中

以簡支梁為例，其邊界條件是

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響71ShipVibration將代入4個(gè)邊界條件，得利用和的系數(shù)的行列式為零的條件，得到頻率方程由于及不為零，因此

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響72ShipVibration解出

當(dāng)時(shí)，上式即為無軸向力時(shí)簡支梁的固有頻率。如果梁的兩端受到軸向拉力的作用，梁的剛度增加，因此梁的固有頻率增加

；如果將拉力改為壓力，即用代替，則固有頻率減小。當(dāng)時(shí)梁將失穩(wěn)而破壞，臨界壓力

3.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形以及軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響軸向力對(duì)梁的橫向自由振動(dòng)的影響73

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法第3章梁的橫向振動(dòng)ShipVibration74瑞利法如果不考慮阻尼的影響，根據(jù)能量守恒定律，則系統(tǒng)的最大動(dòng)能應(yīng)該等于系統(tǒng)的最大勢能。瑞利法正是從這一定律出發(fā)，估算梁的第一階固有頻率（基頻）

。假設(shè)梁在處的位移是ShipVibration

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法瑞利法梁的動(dòng)能是

75梁的勢能等于應(yīng)變能

ShipVibration瑞利法令，可以求得

利用上式求固有頻率的方法稱為瑞利法。稱為瑞利商。

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法76瑞利商有幾個(gè)重要特性：（1）如果假設(shè)的振型函數(shù)與某一階的主振型相同，則瑞利商就是相應(yīng)階主振動(dòng)的特征值；（2）瑞利商在固有振型附近具有平穩(wěn)值，即如果假設(shè)的振型與固有振型相差一個(gè)一階微量，則瑞利商與特征值相差一個(gè)二階微量；（3）此平穩(wěn)值是一個(gè)極小值，即瑞利商的極小值就是相應(yīng)階主振動(dòng)的特征值。ShipVibration瑞利法

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法77一般在選擇振型函數(shù)時(shí)，最好是既滿足幾何邊界條件，又滿足力邊界條件，這樣可以得到比較好的近似結(jié)果。但至少要滿足幾何邊界條件，不然會(huì)使計(jì)算結(jié)果誤差過大，以致毫無意義。由于高階振型函數(shù)較難選取，因此瑞利法一般僅用于求解第一階固有頻率。對(duì)于梁，通常將振型函數(shù)取為靜撓度曲線就可以得到精度較好的基頻。當(dāng)假定的振型函數(shù)偏離真實(shí)振型時(shí)，相當(dāng)于給系統(tǒng)施加了約束，也就相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了剛度，所以計(jì)算得到的固有頻率偏高。因此，選用不同的振型函數(shù)而得到不同的計(jì)算結(jié)果時(shí)，應(yīng)該取最小的值。ShipVibration瑞利法

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法78如果在梁上有附加質(zhì)量或彈性支承，則只要在計(jì)算梁的動(dòng)能和勢能時(shí)計(jì)入附加質(zhì)量的動(dòng)能和彈性支承的勢能就可以了。例如在梁上處有集中質(zhì)量，則梁的最大動(dòng)能是

在梁上處有拉壓彈簧常數(shù)為和扭轉(zhuǎn)彈簧常數(shù)為的彈性支承時(shí)，則梁的最大勢能是ShipVibration瑞利法

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法79例：用瑞利法求如圖所示的單位等寬度變截面梁的第一階固有頻率。截面的變化規(guī)律是，是梁根部的截面積。

ShipVibration算例

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法80解：

ShipVibration算例式中是梁根部截面的慣性矩。

假設(shè)振型函數(shù)是，則

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法81滿足邊界條件

ShipVibration算例

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法82與精確解相比，誤差為3%。

ShipVibration算例因此

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法83李茲法李茲法是在瑞利法的基礎(chǔ)上作了改進(jìn)，它除了能更精確的計(jì)算基頻外，還能求得較高階的固有頻率。其基本思想是把連續(xù)系統(tǒng)離散為有限自由度系統(tǒng)，然后根據(jù)能量守恒定律計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率。因此，在李茲法中描述振型的位移函數(shù)不是預(yù)先選取一個(gè)假設(shè)的振型，而是用包含多個(gè)未知數(shù)的基函數(shù)的級(jí)數(shù)和來表示，即

ShipVibration李茲法式中是待定常數(shù)，也稱為廣義坐標(biāo)，是空間坐標(biāo)的已知函數(shù)，也稱為基函數(shù)。

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法84基函數(shù)必須滿足幾何邊界條件，而且是相互獨(dú)立的；此外，基函數(shù)應(yīng)該是連續(xù)可導(dǎo)的，可導(dǎo)的階數(shù)應(yīng)該至少等于勢能中出現(xiàn)的對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。然后利用駐值條件，即

ShipVibration李茲法得到個(gè)關(guān)于待定常數(shù)的齊次方程，令它們的系數(shù)行列式等于零，即可得到頻率方程。

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法85考慮到的分子為零，得

ShipVibration李茲法上式可以改寫為

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法86即ShipVibration李茲法式中式中表示對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)。

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法87由此得到個(gè)方程：令上述方程可以寫成矩陣形式

ShipVibration李茲法

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法88或簡寫為即無限多個(gè)自由度系統(tǒng)變成了有限多個(gè)自由度系統(tǒng)，求解上述方程，就可以得到個(gè)固有頻率和個(gè)振型函數(shù)。這種方法稱為李茲法。李茲法忽略了高階項(xiàng)的影響，相當(dāng)于給系統(tǒng)施加了約束，因?yàn)榧s束會(huì)增加系統(tǒng)的剛度，因?yàn)橐话闱闆r下施加約束會(huì)增加系統(tǒng)的剛度，所以求得的固有頻率大于系統(tǒng)的真實(shí)固有頻率。

ShipVibration李茲法

3.5梁的橫向自由振動(dòng)的近似解法89例：用李茲法求如圖所示的單位等寬度變截面梁的第一階固有頻率。截面的變化規(guī)律是