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長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年云南外事外語(yǔ)職業(yè)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫(kù)含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購(gòu)買!第1卷一.綜合題(共50題)1.橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,則m的值為_(kāi)_____.答案:方程x2+my2=1變?yōu)閤2+y21m=1∵焦點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,∴1m=2,解得m=14故應(yīng)填142.如果隨機(jī)變量ξ~N(0,σ2),且P(-2<ξ≤0)=0.4,則P(ξ>2)等于()
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4答案:A3.設(shè)M是□ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),O為任意一點(diǎn)(且不與M重合),則OA+OB+OC+OD
等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案:∵O為任意一點(diǎn),不妨把A點(diǎn)O看成O點(diǎn),則OA+OB+OC+OD=0+AB+AC
+AD,∵M(jìn)是□ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),∴0+AB+AC+AD=2AC=4AM故選D4.2008年9月25日下午4點(diǎn)30分,“神舟七號(hào)”載人飛船發(fā)射升空,其運(yùn)行的軌道是以地球的中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,若這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,離心率為e,則“神舟七號(hào)”飛船到地球中心的最大距離為_(kāi)_____.答案:如圖,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知,頂點(diǎn)B到橢圓的焦點(diǎn)F的距離最大.最大為a+c=a+ae.故為:a+ae.5.用行列式討論關(guān)于x,y
的二元一次方程組mx+y=m+1x+my=2m解的情況并求解.答案:D=.m11m.=m2-1=(m+1)(m-1),Dx=.m+112mm.=m2-m=m(m-1),Dy=.mm+112m.=2m2-m-1=(2m+1)(m-1),…(各(1分)共3分)(1)當(dāng)m≠-1,m≠1時(shí),D≠0,方程組有唯一解,解為(4)x=mm+1(5)y=2m+1m+1(6)…((2分),其中解1分)(2)當(dāng)m=-1時(shí),D=0,Dx≠0,方程組無(wú)解;…(2分)(3)當(dāng)m=1時(shí),D=Dx=Dy=0,方程組有無(wú)窮多組解,此時(shí)方程組化為x+y=2x+y=2,令x=t(t∈R),原方程組的解為x=ty=2-t(t∈R).…((2分),沒(méi)寫出解扣1分)6.下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的(
)答案:A7.利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法計(jì)算y=x2與y=4所圍成的區(qū)域Ω的面積時(shí),可以先運(yùn)行以下算法步驟:
第一步:利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)在[0,1]區(qū)間內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a,b;
第二步:對(duì)隨機(jī)數(shù)a,b實(shí)施變換:答案:根據(jù)題意可得,點(diǎn)落在y=x2與y=4所圍成的區(qū)域Ω的點(diǎn)的概率是100-34100=66100,矩形的面積為4×4=16,陰影部分的面積為S,則有S16=66100,∴S=10.56.故為:10.56.8.直線2x-y=7與直線3x+2y-7=0的交點(diǎn)是()
A.(3,-1)
B.(-1,3)
C.(-3,-1)
D.(3,1)答案:A9.若A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三點(diǎn)共線
則m的值為()
A.
B.-
C.-2
D.2答案:A10.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=1x有相同定義域的是()A.f(x)=lnxB.f(x)=1xC.f(x)=x3D.f(x)=ex答案:∵函數(shù)y=1x,∴x>0,A、∵f(x)=lnx,∴x>0,故A正確;B、∵f(x)=1x,∴x≠0,故B錯(cuò)誤;C、f(x)=x3,其定義域?yàn)镽,故C錯(cuò)誤;D、f(x)=ex,其定義域?yàn)镽,故D錯(cuò)誤;故選A.11.已知a,b,c是三條直線,且a∥b,a與c的夾角為θ,那么b與c夾角是______.答案:∵a∥b,∴b與c夾角等于a與c的夾角又∵a與c的夾角為θ∴b與c夾角也為θ故為:θ12.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)F且斜率為1的直線交C于A,B兩點(diǎn).設(shè)|FA|>|FB|,則|FA|與|FB|的比值等于______.答案:設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)由y=x-1y2=4x?x2-6x+1=0?x1=3+22,x2=3-22,(x1>x2)∴由拋物線的定義知|FA||FB|=x1+1x2+1=4+224-22=2+22-2=3+22故為:3+2213.已知向量a=(8,x,x).b=(x,1,2),其中x>0.若a∥b,則x的值為()
A.8
B.4
C.2
D.0答案:B14.已知點(diǎn)M(1,2),N(1,1),則直線MN的傾斜角是()A.90°B.45°C.135°D.不存在答案:∵點(diǎn)M(1,2),N(1,1),則直線MN的斜率不存在,故直線MN的傾斜角是90°,故選A.15.如圖,在平行四邊形OABC中,點(diǎn)C(1,3).
(1)求OC所在直線的斜率;
(2)過(guò)點(diǎn)C做CD⊥AB于點(diǎn)D,求CD所在直線的方程.答案:(1)∵點(diǎn)O(0,0),點(diǎn)C(1,3),∴OC所在直線的斜率為kOC=3-01-0=3.(2)在平行四邊形OABC中,AB∥OC,∵CD⊥AB,∴CD⊥OC.∴CD所在直線的斜率為kCD=-13.∴CD所在直線方程為y-3=-13(x-1),即x+3y-10=0.16.AB是圓O的直徑,EF切圓O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,則AC長(zhǎng)為()
A.
B.3
C.2
D.2答案:A17.已知直線l1:3x-y+2=0,l2:3x+3y-5=0,則直線l1與l2的夾角是______.答案:因?yàn)橹本€l1的斜率為3,故傾斜角為60°,直線l2的斜率為-3,傾斜角為120°,故兩直線的夾角為60°,即兩直線的夾角為π3,故為
π3.18.如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,上底A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求證:B1B∥平面D1AC;
(Ⅱ)求二面角B1-AD1-C的余弦值.答案:以D為原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖,則有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).…(3分)(Ⅰ)證明:設(shè)AC∩BD=E,連接D1、E,則有E(1,1,0),D1E=B1B=(1,1,-2),所以B1B∥D1E,∵BB?平面D1AC,D1E?平面D1AC,∴B1B∥平面D1AC;…(6分)(II)D1B1=(1,1,0),D1A=(2,0,-2),設(shè)n=(x,y,z)為平面AB1D1的法向量,n?B1D1=x+y=0,n?D1A=2x-2z=0.于是令x=1,則y=-1,z=1.則n=(1,-1,1)…(8分)同理可以求得平面D1AC的一個(gè)法向量m=(1,1,1),…(10分)cos<m,n>=m?n|m||n|=13.∴二面角B1-AD1-C的余弦值為13.…(12分)19.從甲乙丙三人中任選兩名代表,甲被選中的概率為()A.12B.13C.23D.1答案:從3個(gè)人中選出2個(gè)人當(dāng)代表,則所有的選法共有3種,即:甲乙、甲丙、乙丙,其中含有甲的選法有兩種,故甲被選中的概率是23,故選C.20.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,求△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積.答案:如圖①、②所示的實(shí)際圖形和直觀圖.由②可知,A′B′=AB=a,O′C′=12OC=34a,在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′,則C′D′=22O′C′=68a.∴S△A′B′C′=12A′B′?C′D′=12×a×68a=616a2.21.在語(yǔ)句PRINT
3,3+2的結(jié)果是()
A.3,3+2
B.3,5
C.3,5
D.3,2+3答案:B22.如果雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為6,那么該雙曲線的離心率是()
A.
B.
C.
D.2答案:C23.如圖,AB,AC分別是⊙O的切線和割線,且∠C=45°,∠BDA=60°,CD=6,則切線AB的長(zhǎng)是______.答案:過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD與點(diǎn)M.∵AB為圓O的切線∴∠ABD=∠C=45°∵∠BDA=60°∴∠BAD=75°,∠DAM=30°,∠BAM=45°設(shè)AB=x,則AM=22x,在直角△AMD中,AD=63x由切割線定理得:AB2=AD?ACx2=63x(63x+6)解得:x1=6,x2=0(舍去)故AB=6.故是:6.24.如圖,平面中兩條直線l1和l2相交于點(diǎn)O,對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M,若p、q分別是M到直線l1和l2的距離,則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)(p,q)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.已知常數(shù)p≥0,q≥0,給出下列命題:
①若p=q=0,則“距離坐標(biāo)”為(0,0)的點(diǎn)有且僅有1個(gè);
②若pq=0,且p+q≠0,則“距離坐標(biāo)”為(p,q)的點(diǎn)有且僅有2個(gè);
③若pq≠0,則“距離坐標(biāo)”為(p,q)的點(diǎn)有且僅有4個(gè).
上述命題中,正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案:①正確,此點(diǎn)為點(diǎn)O;②不正確,注意到p,q為常數(shù),由p,q中必有一個(gè)為零,另一個(gè)非零,從而可知有且僅有4個(gè)點(diǎn),這兩點(diǎn)在其中一條直線上,且到另一直線的距離為q(或p);③正確,四個(gè)交點(diǎn)為與直線l1相距為p的兩條平行線和與直線l2相距為q的兩條平行線的交點(diǎn);故選C.25.參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示的曲線為()
A.圓的一部分
B.橢圓的一部分
C.雙曲線的一部分
D.拋物線的一部分答案:D26.將n2個(gè)正整數(shù)1,2,3,…,n2填入n×n方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形就叫做n階幻方.記f(n)為n階幻方對(duì)角線的和,如右表就是一個(gè)3階幻方,可知f(3)=15,則f(4)=()
816357492A.32B.33C.34D.35答案:由等差數(shù)列得前n項(xiàng)和公式可得,所有數(shù)之和S=1+2+3+…+42=16?(1+16)2=136,所以,f(4)=1364=34,故選C.27.已知m,n為正整數(shù).
(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x>-1時(shí),(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)對(duì)于n≥6,已知(1-1n+3)n<12,求證(1-mn+3)n<(12)m,m=1,2…,n;
(Ⅲ)求出滿足等式3n+4n+5n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整數(shù)n.答案:解法1:(Ⅰ)證:用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x=0時(shí),(1+x)m≥1+mx;即1≥1成立,x≠0時(shí),證:用數(shù)學(xué)歸納法證明:(?。┊?dāng)m=1時(shí),原不等式成立;當(dāng)m=2時(shí),左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x,因?yàn)閤2≥0,所以左邊≥右邊,原不等式成立;(ⅱ)假設(shè)當(dāng)m=k時(shí),不等式成立,即(1+x)k≥1+kx,則當(dāng)m=k+1時(shí),∵x>-1,∴1+x>0,于是在不等式(1+x)k≥1+kx兩邊同乘以1+x得(1+x)k?(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x.即當(dāng)m=k+1時(shí),不等式也成立.綜合(?。áⅲ┲瑢?duì)一切正整數(shù)m,不等式都成立.(Ⅱ)證:當(dāng)n≥6,m≤n時(shí),由(Ⅰ)得(1-1n+3)m≥1-mn+3>0,于是(1-mn+3)n≤(1-1n+3)nm=[(1-1n+3)n]m<(12)m,m=1,2,n.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)n≥6時(shí),(1-1n+3)n+(1-2n+3)n++(1-nn+3)n<12+(12)^++(12)n=1-12n<1,∴(n+2n+3)n+(n+1n+3)n++(3n+3)n<1.即3n+4n+…+(n+2)n<(n+3)n.即當(dāng)n≥6時(shí),不存在滿足該等式的正整數(shù)n.故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形:當(dāng)n=1時(shí),3≠4,等式不成立;當(dāng)n=2時(shí),32+42=52,等式成立;當(dāng)n=3時(shí),33+43+53=63,等式成立;當(dāng)n=4時(shí),34+44+54+64為偶數(shù),而74為奇數(shù),故34+44+54+64≠74,等式不成立;當(dāng)n=5時(shí),同n=4的情形可分析出,等式不成立.綜上,所求的n只有n=2,3.解法2:(Ⅰ)證:當(dāng)x=0或m=1時(shí),原不等式中等號(hào)顯然成立,下用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x>-1,且x≠0時(shí),m≥2,(1+x)m>1+mx.①(?。┊?dāng)m=2時(shí),左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x,因?yàn)閤≠0,所以x2>0,即左邊>右邊,不等式①成立;(ⅱ)假設(shè)當(dāng)m=k(k≥2)時(shí),不等式①成立,即(1+x)k>1+kx,則當(dāng)m=k+1時(shí),因?yàn)閤>-1,所以1+x>0.又因?yàn)閤≠0,k≥2,所以kx2>0.于是在不等式(1+x)k>1+kx兩邊同乘以1+x得(1+x)k?(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以(1+x)k+1>1+(k+1)x.即當(dāng)m=k+1時(shí),不等式①也成立.綜上所述,所證不等式成立.(Ⅱ)證:當(dāng)n≥6,m≤n時(shí),∵(1-1n+3)n<12,∴[(1-1n+3)m]n<(12)m,而由(Ⅰ),(1-1n+3)m≥1-mn+3>0,∴(1-mn+3)n≤[(1-1n+3)m]n<(12)m.(Ⅲ)假設(shè)存在正整數(shù)n0≥6使等式3n0+4n0++(n0+2)n0=(n0+3)n0成立,即有(3n0+3)n0+(4n0+3)n0++(n0+2n0+3)n0=1.②又由(Ⅱ)可得(3n0+3)n0+(4n0+3)n0++(n0+2n0+3)n0=(1-n0n0+3)n0+(1-n0-1n0+3)n0++(1-1n0+3)n0<(12)n0+(12)n0-1++12=1-12n0<1,與②式矛盾.故當(dāng)n≥6時(shí),不存在滿足該等式的正整數(shù)n.下同解法1.28.設(shè)、、是三角形的邊長(zhǎng),求證:
≥答案:證明見(jiàn)解析解析:證明:由不等式的對(duì)稱性,不防設(shè)≥≥,則≥左式-右式≥≥≥029.若f(x)=exx≤0lnxx>0,則f(f(12))=______.答案:∵f(x)=ex,x≤0lnx,x>0,∴f(f(12))=f(ln12)=eln12=12.故為:12.30.若方程mx2+(m+1)x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A.m>0
B.-<m<1
C.-<m<0或0<m<1
D.不確定答案:C31.兩條互相平行的直線分別過(guò)點(diǎn)A(6,2)和B(-3,-1),并且各自繞著A,B旋轉(zhuǎn),如果兩條平行直線間的距離為d.
求:
(1)d的變化范圍;
(2)當(dāng)d取最大值時(shí)兩條直線的方程.答案:(1)方法一:①當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí),即兩直線分別為x=6和x=-3,則它們之間的距離為9.…(2分)②當(dāng)兩條直線的斜率存在時(shí),設(shè)這兩條直線方程為l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0,…(4分)∴d=|3k-1+6k-2|k2+1=3|3k-1|k2+1.即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.∵k∈R,且d≠9,d>0,∴△=(-54)2-4(81-d2)(9-d2)≥0,即0<d≤310且d≠9.…(9分)綜合①②可知,所求d的變化范圍為(0,310].方法二:如圖所示,顯然有0<d≤|AB|.而|AB|=[6-(-3)]2+[2-(-1)]2=310.故所求的d的變化范圍為(0,310].(2)由圖可知,當(dāng)d取最大值時(shí),兩直線垂直于AB.而kAB=2-(-1)6-(-3)=13,∴所求直線的斜率為-3.故所求的直線方程分別為y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0-…(13分)32.雙曲線的中心是原點(diǎn)O,它的虛軸長(zhǎng)為26,右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),直線l:x=a2c與x軸交于點(diǎn)A,且|OF|=3|OA|.過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn).
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)若AP?AQ=0,求直線PQ的方程.答案:解.(Ⅰ)由題意,設(shè)曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)由已知a2+6=c2c=3a2c解得a=3,c=3所以雙曲線的方程:x23-y26=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(1,0),F(xiàn)(3,0),當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí),PQ方程為x=3.此時(shí),AP?AQ≠0,應(yīng)舍去.當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-3).由方程組x23-y26=1y=k(x-3)得(k2-2)x2-6k2x+9k2+6=0由于過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn),則k2-2≠0,即k≠±2,由于△=36k4-4(k2-2)(9k2+6)=48(k2+1)>0得k∈R.∴k∈R且k≠±2(*)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=6k2k2-2(1)x1x2=9k2+6k2-2(2)由直線PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3)于是y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9](3)∵AP?AQ=0,∴(x1-1,y1)?(x2-1,y2)=0即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0(4)由(1)、(2)、(3)、(4)得9k2+6k2-2-6k2k2-2+1+k2(9k2+6k2-2-36k2k2-2+9)=0整理得k2=12,∴k=±22滿足(*)∴直線PQ的方程為x-2y-3=0或x+2y-3=033.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=sin2+icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案:∵sin2>0,cos2<0,∴z=sin2+icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,故選D.34.一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是全體實(shí)數(shù)所滿足的條件是(
)
A.
B.
C.
D.答案:D35.“a2+b2≠0”的含義為()A.a(chǎn)和b都不為0B.a(chǎn)和b至少有一個(gè)為0C.a(chǎn)和b至少有一個(gè)不為0D.a(chǎn)不為0且b為0,或b不為0且a為0答案:a2+b2≠0的等價(jià)條件是a≠0或b≠0,即兩者中至少有一個(gè)不為0,對(duì)照四個(gè)選項(xiàng),只有C與此意思同,C正確;A中a和b都不為0,是a2+b2≠0充分不必要條件;B中a和b至少有一個(gè)為0包括了兩個(gè)數(shù)都是0,故不對(duì);D中只是兩個(gè)數(shù)僅有一個(gè)為0,概括不全面,故不對(duì);故選C36.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(-3,5),B(1,1
)的直線傾斜角為_(kāi)_____.答案:因?yàn)閮牲c(diǎn)A(-3,5),B(1,1
)的直線的斜率為k=1-51-(-3)=-1所以直線的傾斜角為:135°.故為:135°.37.橢圓的短軸長(zhǎng)是2,一個(gè)焦點(diǎn)是(3,0),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.答案:∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是(3,0),∴c=3,又∵短軸長(zhǎng)是2,∴2b=2.b=1,∴a2=4∵焦點(diǎn)在x軸上,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24+y2=1故為x24+y2=138.兩個(gè)樣本甲和乙,其中=10,=10,=0.055,=0.015,那么樣本甲比樣本乙波動(dòng)()
A.大
B.相等
C.小
D.無(wú)法確定答案:A39.若集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},則A∪B=______.答案:因?yàn)榧螦={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10},故為:{x|2<x<10}.40.在△ABC所在平面存在一點(diǎn)O使得OA+OB+OC=0,則面積S△OBCS△ABC=______.答案:∵OA+OB+OC=0,∴OB+
OC=AO,設(shè)OB+OC=OD∴O是AD的中點(diǎn),要求面積之比的兩個(gè)三角形是同底的三角形,∴面積之比等于三角形的高之比,∴比值是13,故為:13.41.如果執(zhí)行如圖的程序框圖,那么輸出的S=______.答案:根據(jù)題意可知該循環(huán)體運(yùn)行4次第一次:i=2,s=4,第二次:i=3,s=10,第三次:i=4,s=22,第四次:i=5,s=46,因?yàn)閕=5>4,結(jié)束循環(huán),輸出結(jié)果S=46.故為:46.42.設(shè)a1,a2,…,a2n+1均為整數(shù),性質(zhì)P為:對(duì)a1,a2,…,a2n+1中任意2n個(gè)數(shù),存在一種分法可將其分為兩組,每組n個(gè)數(shù),使得兩組所有元素的和相等求證:a1,a2,…,a2n+1全部相等當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P.答案:證明:①當(dāng)a1,a2,…,a2n+1全部相等時(shí),從中任意2n個(gè)數(shù),將其分為兩組,每組n個(gè)數(shù),兩組所有元素的和相等,故性質(zhì)P成立.②下面證明:當(dāng)a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P時(shí),a1,a2,…,a2n+1全部相等.反證法:假設(shè)a1,a2,…,a2n+1不全部相等,則其中至少有一個(gè)整數(shù)和其它的整數(shù)不同,不妨設(shè)此數(shù)為a1,若a1在取出的2n個(gè)數(shù)中,將其分為兩組,每組n個(gè)數(shù),則a1在的那個(gè)組所有元素的和與另一個(gè)組所有元素的和不相等,這與性質(zhì)P矛盾,故假設(shè)不成立,所以,當(dāng)a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P時(shí),a1,a2,…,a2n+1全部相等.綜上,a1,a2,…,a2n+1全部相等當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P.43.在極坐標(biāo)系中,圓ρ=-2cosθ的圓心的極坐標(biāo)是()
A.(1,)
B.(1,-)
C.(1,0)
D.(1,π)答案:D44.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=57且λ>0,則λ=______.答案:∵λa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ),|λa+b|=57,∴42+(1-λ)2+λ2=57,化為λ2-λ-20=0,又λ>0,解得λ=5.故為5.45.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD為BC邊上的高,O為AD的中點(diǎn),若
=λ+μ,則λ+μ=()
A.1
B.
C.
D.答案:D46.若A(0,2,198),B(1,-1,58),C(-2,1,58)是平面α內(nèi)的三點(diǎn),設(shè)平面α的法向量a=(x,y,z),則x:y:z=______.答案:AB=(1,-3,-74),AC=(-2,-1,-74),α?AB=0,α?AC=0,∴x=23yz=-43y,x:y:z=23y:y:(-43y)=2:3:(-4).故為2:3:-4.47.用反證法證明“a>b”時(shí),反設(shè)正確的是()
A.a(chǎn)>b
B.a(chǎn)<b
C.a(chǎn)=b
D.以上都不對(duì)答案:D48.拋物線y2=4x,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB,當(dāng)直線AB的傾斜角為45°時(shí),△AOB的面積為_(kāi)_____.答案:設(shè)直線AB的方程為y=x-m,代入拋物線聯(lián)立得x2-(2m+4)x+m2=0,則x1+x2=2m+4,x1x2=m2,∴|x1-x2|=16m+16∵三角形的面積為S△AOB=|12my1-12my2|=12m(|x1-x2|)=12m16m+16;又因?yàn)镺A⊥OB,設(shè)A(x1,2x1),B(x2,-2x2)所以2x1x1?-2x2x2=-1,求的m=4,代入上式可得S△AOB=12m16m+16=12×4×64+16=85故為:8549.若a=(1,2,-2),b=(1,0,2),則(a-b)?(a+2b)=______.答案:∵a=(1,2,-2),b=(1,0,2),∴a-b=(0,2,-4),a+2b=(3,2,2).∴(a-b)?(a+2b)=0×3+2×2-4×2=-4.故為-4.50.
如圖梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的斜二側(cè)直觀圖,若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=1,則四邊形ABCD的面積是()
A.10
B.5
C.2
D.10
答案:B第2卷一.綜合題(共50題)1.已知a,b為正數(shù),求證:≥.答案:證明略解析:1:∵a>0,b>0,∴≥,≥,兩式相加,得≥,∴≥.解析2.≥.∴≥.解析3.∵a>0,b>0,∴,∴欲證≥,即證≥,只要證
≥,只要證
≥,即證
≥,只要證a3+b3≥ab(a+b),只要證a2+b2-ab≥ab,即證(a-b)2≥0.∵(a-b)2≥0成立,∴原不等式成立.【名師指引】當(dāng)要證明的不等式形式上比較復(fù)雜時(shí),常通過(guò)分析法尋求證題思路.“分析法”與“綜合法”是數(shù)學(xué)推理中常用的思維方法,特別是這兩種方法的綜合運(yùn)用能力,對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題有重要的作用.這兩種數(shù)學(xué)方法是高考考查的重要數(shù)學(xué)思維方法.2.一位母親記錄了她的兒子3~9歲的身高數(shù)據(jù),并由此建立身高與年齡的回歸模型為y=7.19x+73.93,用這個(gè)模型預(yù)測(cè)她的兒子10歲時(shí)的身高,則正確的敘述是()A.身高一定是145.83
cmB.身高在145.83
cm以上C.身高在145.83
cm左右D.身高在145.83
cm以下答案:∵身高與年齡的回歸模型為y=7.19x+73.93.∴可以預(yù)報(bào)孩子10歲時(shí)的身高是y=7.19x+73.93.=7.19×10+73.93=145.83則她兒子10歲時(shí)的身高在145.83cm左右.故選C.3.在平行四邊形ABCD中,AC與DB交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE延長(zhǎng)線與CD交于F.若AC=a,BD=b,則AF=()A.14a+12bB.23a+13bC.12a+14bD.13a+23b答案:∵由題意可得△DEF∽△BEA,∴DEEB=DFAB=13,再由AB=CD可得DFDC=13,∴DFFC=12.作FG平行BD交AC于點(diǎn)G,∴FGDO=CGCO=23,∴GF=23OD=13BD=13b.∵AG=AO+OG=AO+13OC=12AC+16AC=23AC=23a,∴AF=AG+GF=23a+13b,故選B.4.給定橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是a2+b2的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為3.
(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;
(2)過(guò)橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),求l1,l2的方程;
(3)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn),B,D是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且BD⊥x軸,求AB?AD的取值范圍.答案:(1)由題意可得:a=3,c=2,b=1,∴r=(3)2+12=2.∴橢圓C的方程為x23+y2=1,其“準(zhǔn)圓”的方程為x2+y2=4;(2)由“準(zhǔn)圓”的方程為x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取P(2,0),設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與橢圓相切的直線l的方程為my=x-2,聯(lián)立my=x-2x23+y2=1,消去x得到關(guān)于y的一元二次方程(3+m2)x2+4m+1=0,∴△=16m2-4(3+m2)=0,解得m=±1,故直線l1、l2的方程分別為:y=x-2,y=-x+2.(3)由“準(zhǔn)圓”的方程為x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取點(diǎn)A(2,0).設(shè)點(diǎn)B(x0,y0),則D(x0,-y0).∴AB?AD=(x0-2,y0)?(x0-2,-y0)=(x0-2)2-y02,∵點(diǎn)B在橢圓x23+y2=1上,∴x023+y02=1,∴y02=1-x023,∴AD?AB=(x0-2)2-1+x023=43(x0-32)2,∵-3<x0<3,∴0≤43(x0-32)2<7+43,∴0≤AD?AB<7+43,即AD?AB的取值范圍為[0,7+43)5.已知a=(1,0),b=(m,m)(m>0),則<a,b>=______.答案:∵b=(m,m)(m>0),∴b與第一象限的角平分線同向,且由原點(diǎn)指向遠(yuǎn)處,而a=(1,0)同橫軸的正方向同向,∴<a,b>=45°,故為:45°6.如圖:已知圓上的弧
AC=
BD,過(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn),證明:
(Ⅰ)∠ACE=∠BCD.
(Ⅱ)BC2=BE×CD.答案:(Ⅰ)因?yàn)锳C=BD,所以∠BCD=∠ABC.又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C,故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD.(5分)(Ⅱ)因?yàn)椤螮CB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,所以△BDC~△ECB,故BCBE=CDBC.即BC2=BE×CD.(10分)7.雙曲線的漸近線方程是3x±2y=0,則該雙曲線的離心率等于______.答案:∵雙曲線的漸近線方程是3x±2y=0,∴ba=32,設(shè)a=2k,b=3k,則c=13k,∴e=ca=132.:132.8.以直線x+3=0為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.答案:由題意,拋物線的焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=12x故為:y2=12x9.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0,-1),平行于向量=(2,1,1),平面α過(guò)直線l與點(diǎn)M(1,2,3),則平面α的法向量不可能是()
A.(1,-4,2)
B.(,-1,)
C.(-,-1,-)
D.(0,-1,1)答案:D10.平面ABCD中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,1,1),點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,2,1),點(diǎn)C坐標(biāo)為(-1,0,-1).若向量a=(-2,y,z),且a為平面ABC的法向量,則yz=()A.2B.0C.1D.-1答案:AB=(1,1,0),AC=(-1,-1,-2),與平面ABC垂直的向量應(yīng)與上面的向量的數(shù)量積為零,向量a=(-2,y,z),且a為平面ABC的法向量,則a⊥AB且a⊥AC,即a?AB=0,且a?AC=0,即-2+y+0=0且2-y-2z=0,即y=2z=0,∴則yz=20=1,故選C.11.已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+5=0,那么x2+y2的最小值為_(kāi)_____.答案:x2+y2
表示直線2x+y+5=0上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,其最小值就是原點(diǎn)到直線2x+y+5=0的距離|0+0+5|4+1=5,故為:5.12.有外形相同的球分裝三個(gè)盒子,每盒10個(gè).其中,第一個(gè)盒子中7個(gè)球標(biāo)有字母A、3個(gè)球標(biāo)有字母B;第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè);第三個(gè)盒子中則有紅球8個(gè),白球2個(gè).試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行:先在第一號(hào)盒子中任取一球,若取得標(biāo)有字母A的球,則在第二號(hào)盒子中任取一個(gè)球;若第一次取得標(biāo)有字母B的球,則在第三號(hào)盒子中任取一個(gè)球.如果第二次取出的是紅球,則稱試驗(yàn)成功,那么試驗(yàn)成功的概率為()
A.0.59
B.0.54
C.0.8
D.0.15答案:A13.某程序框圖如圖所示,該程序運(yùn)行后輸出的k的值是()A.4B.5C.6D.7答案:根據(jù)流程圖所示的順序,程序的運(yùn)行過(guò)程中各變量值變化如下表:是否繼續(xù)循環(huán)
S
K循環(huán)前/0
0第一圈
是
1
1第二圈
是
3
2第三圈
是
11
3第四圈
是
20594第五圈
否∴最終輸出結(jié)果k=4故為A14.一個(gè)試驗(yàn)要求的溫度在69℃~90℃之間,用分?jǐn)?shù)法安排試驗(yàn)進(jìn)行優(yōu)選,則第一個(gè)試點(diǎn)安排在(
)。(取整數(shù)值)答案:82°15.b=ac(a,b,c∈R)是a、b、c成等比數(shù)列的()A.必要非充分條件B.充分非必要條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件答案:當(dāng)b=a=0時(shí),b=ac推不出a,x,b成等比數(shù)列成立,故不充分;當(dāng)a,b,c成等比數(shù)列且a<0,b<0,c<0時(shí),得不到b=ac故不必要.故選:D16.已知x2a2+y2b2=1(a>b>0),則a2+b2與(x+y)2的大小關(guān)系為
______.答案:由已知x2a2+y2b2=1(a>b>0)和柯西不等式的二維形式.得a2+b2=(a2+b2)(x2a2+y2b2)≥(a?xa+b?yb)2=(x+y)2.故為a2+b2≥(x+y)2.17.若復(fù)數(shù)(1+bi)?(2-i)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位,b是實(shí)數(shù)),則b=()A.-2B.-12C.12D.2答案:由(1+bi)?(2-i)=2+b+(2b-1)i是純虛數(shù),則2+b=02b-1≠0,解得b=-2.故選A.18.探測(cè)某片森林知道,可采伐的木材有10萬(wàn)立方米.設(shè)森林可采伐木材的年平均增長(zhǎng)率為8%,則經(jīng)過(guò)______年,可采伐的木材增加到40萬(wàn)立方米.答案:設(shè)經(jīng)過(guò)n年可采伐本材達(dá)到40萬(wàn)立方米則有10×(1+8%)n=40即(1+8%)n=4故有n=log1.084,解得n≈19即經(jīng)過(guò)19年,可采伐的木材增加到40萬(wàn)立方米故為1919.從數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù),這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率()A.15B.25C.35D.45答案:由題意知本題是一個(gè)古典概型,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù),共有A52=20種結(jié)果,滿足條件的事件可以列舉出有,41,41,43,45,54,53,52,51共有8個(gè),根據(jù)古典概型概率公式得到P=820=25,故選B.20.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,比賽規(guī)則為“3局2勝”,即以先贏2局者為勝.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),每局比賽中甲獲勝的概率為0.6,則本次比賽甲獲勝的概率是(
)
A.0.216
B.0.36
C.0.432
D.0.648答案:D21.設(shè)拋物線C:y2=3px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),則C的方程為()
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x答案:C22.如圖,圓與圓內(nèi)切于點(diǎn),其半徑分別為與,圓的弦交圓于點(diǎn)(不在上),求證:為定值。
答案:見(jiàn)解析解析:考察圓的切線的性質(zhì)、三角形相似的判定及其性質(zhì),容易題。證明:由弦切角定理可得23.設(shè)點(diǎn)P(,1)(t>0),則||(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值是()
A.3
B.5
C.
D.答案:D24.已知a>0,b>0,直線l與x軸、y軸分別交于A(a,0),B(0,b),且過(guò)點(diǎn)(1,2),O為原點(diǎn).求△OAB面積的最小值.答案:∵a>0,b>0,直線l與x軸、y軸分別交于A(a,0),B(0,b),∴直線l的方程為xa+yb=1,又直線l過(guò)點(diǎn)(1,2),∴1a+2b=1,由基本不等式得1≥22ab,∴ab≥8,△OAB面積為:12ab≥12×8=4,當(dāng)且僅當(dāng)1a=2b=12,即a=2且b=4時(shí),等號(hào)成立.故△OAB面積的最小值是4.25.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(2,π2)關(guān)于直線l:ρcosθ=1的對(duì)稱點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為_(kāi)_____.答案:在直角坐標(biāo)系中,A(0,2),直線l:x=1,A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B(2,2).由于|OB|=22,OB直線的傾斜角等于π4,且點(diǎn)B在第一象限,故B的極坐標(biāo)為(22,π4),故為
(22,π4).26.當(dāng)x∈N+時(shí),用“>”“<”或“=”填空:
(12)x______1,2x______1,(12)x______2x,(12)x______(13)x,2x______3x.答案:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得,當(dāng)x∈N+時(shí),(12)x<1,2x>1,則2x>(12)x,且2x<3x,則(12)x>(13)x,故為:<、>、<、>、<.27.
如圖梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的斜二側(cè)直觀圖,若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=1,則四邊形ABCD的面積是()
A.10
B.5
C.2
D.10
答案:B28.已知Sn=1+12+13+14+…+12n(n>1,n∈N*).求證:S2n>1+n2(n≥2,n∈N*).答案:證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1+12+13+14=2512,右邊=1+22=2,∴左邊>右邊(2)假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立,即S
2k=1+12+13+14+…+12k≥1+k2,當(dāng)n=k+1時(shí),不等式左邊S2(k+1)=1+12+13+14+…+12k+1+…+12k+1>1+k2+12k+1+…+12k+1>1+k2+2k2k+2k=1+k2+12=1+k+12,綜上(1)(2)可知S2n>1+n2對(duì)于任意的n≥2正整數(shù)成立.29.已知矩陣A=b-2-7a的逆矩陣是B=a273,則a+b=______.答案:根據(jù)矩陣A=b-2-7a的逆矩陣是B=a273,得a273b-2-7a=1001,∴ab-14=1-2a+2a=07b-21=0-14+3a=1,解得a=5b=3∴a+b=8.故為:8.30.回歸直線方程必定過(guò)點(diǎn)()A.(0,0)B.(.x,0)C.(0,.y)D.(.x,.y)答案:∵線性回歸方程一定過(guò)這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn),∴線性回歸方程y=bx+a表示的直線必經(jīng)過(guò)(.x,.y).故選D.31.根據(jù)給出的空間幾何體的三視圖,用斜二側(cè)畫法畫出它的直觀圖.答案:畫法:(1)畫軸如下圖,畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使∠x(chóng)Oy=45°,∠x(chóng)Oz=90°.(2)畫圓臺(tái)的兩底面畫出底面⊙O假設(shè)交x軸于A、B兩點(diǎn),在z軸上截取O′,使OO′等于三視圖中相應(yīng)高度,過(guò)O′作Ox的平行線O′x′,Oy的平行線O′y′利用O′x′與O′y′畫出底面⊙O′,設(shè)⊙O′交x′軸于A′、B′兩點(diǎn).(3)成圖連接A′A、B′B,去掉輔助線,將被遮擋的部分要改為虛線,即得到給出三視圖所表示的直觀圖.32.已知△ABC和點(diǎn)M滿足.若存在實(shí)數(shù)使得成立,則m=()
A.2
B.3
C.4
D.5答案:B33.例3.設(shè)a>0,b>0,解關(guān)于x的不等式:|ax-2|≥bx.答案:原不等式|ax-2|≥bx可化為ax-2≥bx或ax-2≤-bx,(1)對(duì)于不等式ax-2≤-bx,即(a+b)x≤2
因?yàn)閍>0,b>0即:x≤2a+b.(2)對(duì)于不等式ax-2≥bx,即(a-b)x≥2①當(dāng)a>b>0時(shí),由①得x≥2a-b,∴此時(shí),原不等式解為:x≥2a-b或x≤2a+b;當(dāng)a=b>0時(shí),由①得x∈?,∴此時(shí),原不等式解為:x≤2a+b;當(dāng)0<a<b時(shí),由①得x≤2a-b,∴此時(shí),原不等式解為:x≤2a+b.綜上可得,當(dāng)a>b>0時(shí),原不等式解集為(-∞,2a+b]∪[2a-b,+∞),當(dāng)0<a≤b時(shí),原不等式解集為(-∞,2a+b].34.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:1n+1n+1+1n+2+…+1n2>1(n∈N*且n.1).答案:證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=12+13+14=1312>1,∴n=2時(shí)成立(2分)(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)成立,即1k+1k+1+1k+2+…+1k2>1那么當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1k+1+1k+2+1k+3+…+1(k+1)2=1k+1k+1+1k+2+1k+3+…+1k2+2k+1(k+1)2-1k>1+1k2+1+1k2+2+…+1(k+1)2-1k>1+(2k+1)?1(k+1)2-1k>1+k2-k-1k2+2k+1>1∴n=k+1時(shí)也成立(7分)根據(jù)(1)(2)可得不等式對(duì)所有的n>1都成立(8分)35.若命題p:2是偶數(shù);命題q:2是5的約數(shù),則下列命題中為真命題的是()A.p∧qB.(¬p)∧(¬q)C.¬pD.p∨q答案:∵2是偶數(shù),∴命題p為真命題∵2不是5的約數(shù),∴命題q為假命題∴p或q為真命題故選D36.若矩陣滿足下列條件:①每行中的四個(gè)數(shù)所構(gòu)成的集合均為{1,2,3,4};②四列中有且只有兩列的上下兩數(shù)是相同的.則這樣的不同矩陣的個(gè)數(shù)為()
A.24
B.48
C.144
D.288答案:C37.已知空間三點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),若A,B,C三點(diǎn)共線,則p=______,q=______.答案:∵A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),∴AB=(1,-1,3),AC=(p-1,-2,q+4)∵A,B,C三點(diǎn)共線,∴AB=λAC∴(1,-1,3)=λ(p-1,-2,q+4),∴1=λ(p-1)-1=-2λ,3=λ(q+4),∴λ=12,p=3,q=2,故為:3;238.如圖是一幾何體的三視圖,正視圖是一等腰直角三角形,且斜邊BD長(zhǎng)為2;側(cè)視圖一直角三角形;俯視圖為一直角梯形,且AB=BC=1,則異面直線PB與CD所成角的正切值是()A.1B.2C.12D.12答案:取AD的中點(diǎn)E,連接BE,PE,CE,根據(jù)題意可知BE∥CD,∴∠PBE為異面直線PB與CD所成角根據(jù)條件知,PE=1,BE=2,PE⊥BE∴tan∠PBE=12故選C.39.已知圓的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,則點(diǎn)P(3,2)滿足()
A.是圓心
B.在圓上
C.在圓內(nèi)
D.在圓外答案:C40.已知a,b,c是三條直線,且a∥b,a與c的夾角為θ,那么b與c夾角是______.答案:∵a∥b,∴b與c夾角等于a與c的夾角又∵a與c的夾角為θ∴b與c夾角也為θ故為:θ41.下列點(diǎn)在x軸上的是()
A.(0.1,0.2,0.3)
B.(0,0,0.001)
C.(5,0,0)
D.(0,0.01,0)答案:C42.已知A=(2,-4,-1),B=(-1,5,1),C=(3,-4,1),若=,=,則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為()
A.(5,-9,2)
B.(-5,9,-2)
C.(5,9,-2)
D.(5,-9,-2)答案:B43.若拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)等于______.答案:∵拋物線y2=4x=2px,∴p=2,由拋物線定義可知,拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的,∴|MF|=3=x+p2=3,∴x=2,故為:2.44.直線l過(guò)橢圓x24+y23=1的右焦點(diǎn)F2并與橢圓交與A、B兩點(diǎn),則△ABF1的周長(zhǎng)是()A.4B.6C.8D.16答案:根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義可得:|AF1|+|AF2|=2a=4,,并且|BF1|+|BF2|=2a=4,又因?yàn)閨AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周長(zhǎng)為:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.故選C.45.已知P為拋物線y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Q為圓x2+(y-4)2=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是()
A.2-1
B.2-2
C.-1
D.-2答案:C46.已知△ABC,A(-1,0),B(3,0),C(2,1),對(duì)它先作關(guān)于x軸的反射變換,再將所得圖形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.
(1)分別求兩次變換所對(duì)應(yīng)的矩陣M1,M2;
(2)求△ABC在兩次連續(xù)的變換作用下所得到△A′B′C′的面積.答案:(1)關(guān)于x軸的反射變換M1=100-1,繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的變換M2=0-110.(4分)(2)∵M(jìn)2?M1=0-110100-1=0110,(6分)△ABC在兩次連續(xù)的變換作用下所得到△A′B′C′,∴A(-1,0),B(3,0),C(2,1)變換成:A′(0,-1),B′(0,3),C′(1,2),(9分)∴△A'B'C'的面積=12×4×1=2.(10分)47.在△ABC所在平面存在一點(diǎn)O使得OA+OB+OC=0,則面積S△OBCS△ABC=______.答案:∵OA+OB+OC=0,∴OB+
OC=AO,設(shè)OB+OC=OD∴O是AD的中點(diǎn),要求面積之比的兩個(gè)三角形是同底的三角形,∴面積之比等于三角形的高之比,∴比值是13,故為:13.48.設(shè)A、B、C表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù),a,b,c表示其對(duì)邊,求證:aA+bB+cCa+b+c≥π3.答案:證明:法一、不妨設(shè)A>B>C,則有a>b>c由排序原理:順序和≥亂序和∴aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC上述三式相加得3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c)∴aA+bB+cCa+b+c≥π3.法二、不妨設(shè)A>B>C,則有a>b>c,由排序不等式aA+bB+cC3≥A+B+C3?a+b+c3,即aA+bB+cC≥π3(a+b+c),∴aA+bB+cCa+b+c≥π3.49.利用斜二測(cè)畫法能得到的()
①三角形的直觀圖是三角形;
②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形;
③正方形的直觀圖是正方形;
④菱形的直觀圖是菱形.
A.①②
B.①
C.③④
D.①②③④答案:A50.“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P),某奇數(shù)(S)是9的倍數(shù)(M),故此奇數(shù)(S)是3的倍數(shù)(P)”,上述推理是()
A.小前提錯(cuò)
B.結(jié)論錯(cuò)
C.正確的
D.大前提錯(cuò)答案:C第3卷一.綜合題(共50題)1.用反證法證明“a+b=1”時(shí)的反設(shè)為()
A.a(chǎn)+b>1且a+b<1
B.a(chǎn)+b>1
C.a(chǎn)+b>1或a+b<1
D.a(chǎn)+b<1答案:C2.在正方形ABCD中,已知它的邊長(zhǎng)為1,設(shè)=,=,=,則|++|的值為(
)
A.0
B.3
C.2+
D.2答案:D3.點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),若+=-,則是S△AOB:S△AOC=()
A.1
B.
C.
D.答案:A4.已知x2+4y2+kz2=36,(其中k>0)且t=x+y+z的最大值是7,則
k=______.答案:因?yàn)橐阎獂2+4y2+kz2=36根據(jù)柯西不等式(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)構(gòu)造得:即(x+y+z)2≤(x2+4y2+kz2)(12+(12)2+(1k)2)=36×[12+(12)2+(1k)2]=49.故k=9.故為:9.5.用隨機(jī)數(shù)表法從100名學(xué)生(男生35人)中選20人作樣本,男生甲被抽到的可能性為()A.15B.2035C.35100D.713答案:由題意知,本題是一個(gè)等可能事件的概率,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是用隨機(jī)數(shù)表法從100名學(xué)生選一個(gè),共有100種結(jié)果,滿足條件的事件是抽取20個(gè),∴根據(jù)等可能事件的概率公式得到P=20100=15,故選A.6.請(qǐng)輸入一個(gè)奇數(shù)n的BASIC語(yǔ)句為_(kāi)_____.答案:INPUT表示輸入語(yǔ)句,輸入一個(gè)奇數(shù)n的BASIC語(yǔ)句為:INPUT“輸入一個(gè)奇數(shù)n”;n.故為:INPUT“輸入一個(gè)奇數(shù)n”;n.7.已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是()
A.
B.
C.
D.答案:B8.在三棱錐O-ABC中,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G是MN的中點(diǎn),則OG可用基底{OA,OB,OC}表示成:OG=______.答案:如圖,連接ON,在△OBC中,點(diǎn)N是BC中點(diǎn),則由平行四邊形法則得ON=12(OB+OC)在△OMN中,點(diǎn)G是MN中點(diǎn),則由平行四邊形法則得OG=12(OM+ON)=12OM+12ON=14OA+12?12(OB+OC)14(OA+OB+OC),故為:14(OA+OB+OC).9.以A(1,5)、B(5,1)、C(-9,-9)為頂點(diǎn)的三角形是()
A.等邊三角形
B.等腰三角形
C.不等邊三角形
D.直角三角形答案:B10.函數(shù)f(x)=2|log2x|的圖象大致是()
A.
B.
C.
D.
答案:C11.如圖,設(shè)a,b,c,d>0,且不等于1,y=ax,y=bx,y=cx,y=dx在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖,則a,b,c,d的大小順序()
A.a(chǎn)<b<c<d
B.a(chǎn)<b<d<c
C.b<a<d<c
D.b<a<c<d
答案:C12.點(diǎn)(1,-1)在圓(x-a)2+(y-a)2=4的內(nèi)部,則a取值范圍是()
A.-1<a<1
B.0<a<1
C.a(chǎn)<-1或a>1
D.a(chǎn)≠±1答案:A13.△ABC中,,若,則m+n=()
A.
B.
C.
D.1答案:B14.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為()
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)答案:A15.x>1是x>2的()A.充分但不必要條件B.充要條件C.必要但不充分條件D.既不充分又不必要條件答案:由x>1,我們不一定能得出x>2,比如x=1.5,所以x>1不是x>2的充分條件;∵x>2>1,∴由x>2,能得出x>1,∴x>1是x>2的必要條件∴x>1是x>2的必要但不充分條件故選C.16.若不等式logax>sin2x(a>0,a≠1)對(duì)任意x∈(0,π4)都成立,則a的取值范圍是()A.(0,π4)B.(π4,1)C.(π4,π2)D.(0,1)答案:∵當(dāng)x∈(0,π4)時(shí),函數(shù)y=logax的圖象要恒在函數(shù)y=sin2x圖象的上方∴0<a<1如右圖所示當(dāng)y=logax的圖象過(guò)點(diǎn)(π4,1)時(shí),a=π4,然后它只能向右旋轉(zhuǎn),此時(shí)a在增大,但是不能大于1故選B.17.當(dāng)太陽(yáng)光線與水平面的傾斜角為60°時(shí),要使一根長(zhǎng)為2m的細(xì)桿的影子最長(zhǎng),則細(xì)桿與水平地面所成的角為()
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°答案:B18.已知直線ax+by+c=0(abc≠0)與圓x2+y2=1相離,則以三條邊長(zhǎng)分別為|a|,|b|,|c|所構(gòu)成的三角形的形狀是______.答案:直線ax+by+c=0(abc≠0)與圓x2+y2=1相離,即|c|a2+b2>
1即|c|2>a2+b2三角形是鈍角三角形.故為:鈍角三角形.19.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,δ2)(δ>0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為(
)
A.
B.
C.
D.答案:D20.紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北.現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi)、外面朝上展平,得到右側(cè)的平面圖形,則標(biāo)“△”的面的方位()
A.南
B.北
C.西
D.下
答案:B21.用反證法證明“a>b”時(shí),反設(shè)正確的是()
A.a(chǎn)>b
B.a(chǎn)<b
C.a(chǎn)=b
D.以上都不對(duì)答案:D22.選修4-4參數(shù)方程與極坐標(biāo)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)圓x2+y2-8xcosθ-6ysinθ+7cos2θ+8=0(θ∈R)的圓心為P(x0,y0),求2x0-y0的取值范圍.答案:將圓的方程整理得:(x-4cosθ)2+(y-3sinθ)2=1由題設(shè)得x0=4cosθy0=3sinθ(θ為參數(shù),θ∈R).所以2x0-y0=8cosθ-3sinθ=73cos(θ+φ),所以
-73≤2x0-y0≤73.23.已知a,b
,c滿足a+2c=b,且a⊥c,|a|=1,|c|=2,則|b|=______.答案:根據(jù)題意,a⊥c?a?c=0,則|b|2=(a+2c)2=a2+4c2=17,則|b|=17;故為17.24.如圖,四面體ABCD中,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),記=(
)
A.
B.
C.
D.
答案:B25.在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí),下面哪個(gè)敘述是正確的(
)
A.預(yù)報(bào)變量x軸上,解釋變量y軸上
B.解釋變量x軸上,預(yù)報(bào)變量y軸上
C.可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量x軸上
D.可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量y軸上答案:B26.半徑分別為1和2的兩圓外切,作半徑為3的圓與這兩圓均相切,一共可作()個(gè).
A.2
B.3
C.4
D.5答案:D27.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜,驕傲起來(lái),睡了一覺(jué),當(dāng)它醒來(lái)時(shí),發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了,于是急忙追趕,但為時(shí)已晚,烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)…,用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程,t為時(shí)間,則下圖與故事情節(jié)相吻合的是()
A.
B.
C.
D.
答案:B28.對(duì)賦值語(yǔ)句的描述正確的是(
)
①可以給變量提供初值
②將表達(dá)式的值賦給變量
③可以給一個(gè)變量重復(fù)賦值
④不能給同一變量重復(fù)賦值A(chǔ).①②③B.①②C.②③④D.①②④答案:A解析:試題分析:在表述一個(gè)算法時(shí),經(jīng)常要引入變量,并賦給該變量一個(gè)值。用來(lái)表明賦給某一個(gè)變量一個(gè)具體的確定值的語(yǔ)句叫做賦值語(yǔ)句。賦值語(yǔ)句的一般格式是:變量名=表達(dá)式其中“=”為賦值號(hào).故選A。點(diǎn)評(píng):簡(jiǎn)單題,賦值語(yǔ)句的一般格式是:變量名=表達(dá)式其中"="為賦值號(hào)。29.在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD、CE分別為斜邊AB上的高和中線,且∠BCD與∠ACD之比為3:1,求證CD=DE.
答案:證明:∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°,∴∠ACD=∠B又∵CE是直角△ABC的斜邊AB上的中線∴CE=EB∠B=∠ECB,∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD,∠ECD=2∠ACD=12∠ACB=12×90°=45°,△EDC為等腰直角三角形∴CE=DE.30.若圓臺(tái)的上下底面半徑分別是1和3,它的側(cè)面積是兩底面面積和的2倍,則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是()A.2B.2.5C.5D.10答案:設(shè)母線長(zhǎng)為l,則S側(cè)=π(1+3)l=4πl(wèi).S上底+S下底=π?12+π?32=10π.據(jù)題意4πl(wèi)=20π即l=5,故選C.31.如圖,過(guò)點(diǎn)P作⊙O的割線PAB與切線PE,E為切點(diǎn),連接AE、BE,∠APE的平分線分別與AE、BE相交于點(diǎn)C、D,若∠AEB=30°,則∠PCE=______.答案:如圖,PE是圓的切線,∴∠PEB=∠PAC,∵AE是∠APE的平分線,∴∠EPC=∠APC,根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角關(guān)系有:∠EDC=∠PEB+∠EPC;∠ECD=∠PAC+∠APC,∴∠EDC=∠ECD,∴△EDC為等腰三角形,又∠AEB=30°,∴∠EDC=∠ECD=75°,即∠PCE=75°,故為:75°.32.若圓C過(guò)點(diǎn)M(0,1)且與直線l:y=-1相切,設(shè)圓心C的軌跡為曲線E,A、B為曲線E上的兩點(diǎn),點(diǎn)P(0,t)(t>0),且滿足AP=λPB(λ>1).
(I)求曲線E的方程;
(II)若t=6,直線AB的斜率為12,過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓N與拋物線在點(diǎn)A處共同的切線,求圓N的方程;
(III)分別過(guò)A、B作曲線E的切線,兩條切線交于點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q恰好在直線l上,求證:t與QA?QB均為定值.答案:【解】(Ⅰ)依題意,點(diǎn)C到定點(diǎn)M的距離等于到定直線l的距離,所以點(diǎn)C的軌跡為拋物線,曲線E的方程為x2=4y.(Ⅱ)直線AB的方程是y=12x+6,即x-2y+12=0.由{_x2=4y,x-2y+12=0,及AP=λPB(λ>1)知|AP|>|PB|,得A(6,9)和B(-4,4)由x2=4y得y=14x2,y′=12x.所以拋物線x2=4y在點(diǎn)A處切線的斜率為y'|x=6=3.直線NA的方程為y-9=-13(x-6),即y=-13x+11.①線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,132),線段AB中垂線方程為y-132=-2(x-1),即y=-2x+172.②由①、②解得N(-32,232).于是,圓C的方程為(x+32)2+(y-232)2=(-4+32)2+(4-232)2,即(x+32)2+(y-232)2=1252.(Ⅲ)設(shè)A(x1,x124),B(x2,x224),Q(a,-1).過(guò)點(diǎn)A的切線方程為y-x214=x12(x-x1),即x12-2ax1-4=0.同理可得x22-2ax2-4=0,所以x1+x2=2a,x1x2=-4.又kAB=x124-x224x1-x2=x1+x24,所以直線AB的方程為y-x124=x1+x24(x-x
1),即y=x1+x24x-x1x24,亦即y=a2x+1,所以t=-1.而QA=(x1-a,x124+1),QB=(x2-a,x224+1),所以QA?QB=(x1-a)(x2-a)+(x214+1)(x224+1)=x1x2-a(x1+x2)+a2+x21x2216+(x1+x2)2-2x1x24+1=-4-2a2+a2+1+4a2+84+1=0.33.f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n(m,n∈N*)的展開(kāi)式中x的系數(shù)為13,則x2的系數(shù)為()A.31B.40C.31或40D.71或80答案:(1+2x)m的展開(kāi)式中x的系數(shù)為2Cm1=2m,(1+3x)n的展開(kāi)式中x的系數(shù)為3Cn1=3n∴3n+2m=13∴n=1m=5或n=3m=2(1+2x)m的展開(kāi)式中的x2系數(shù)為22Cm2,(1
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