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文檔簡介
長風破浪會有時,直掛云帆濟滄海。住在富人區(qū)的她2023年常州信息職業(yè)技術(shù)學院高職單招(數(shù)學)試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請謹慎購買!第1卷一.綜合題(共50題)1.若數(shù)列{an}(n∈N+)為等差數(shù)列,則數(shù)列bn=a1+a2+a3+…+ann(n∈N+)也為等差數(shù)列,類比上述性質(zhì),相應(yīng)地,若數(shù)列{cn}是等比數(shù)列且cn>0(n∈N+),則有數(shù)列dn=______(n∈N+)也是等比數(shù)列.答案:從商類比開方,從和類比到積,可得如下結(jié)論:nC1C2C3Cn故為:nC1C2C3Cn2.某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位的二進制數(shù)A=
,其中A的各位數(shù)中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為,出現(xiàn)1的概率為.記ξ=a1+a2+a3+a4+a5,當程序運行一次時,ξ的數(shù)學期望Eξ=()
A.
B.
C.
D.答案:C3.如圖程序運行后輸出的結(jié)果為______.答案:由題意,列出如下表格s
0
5
9
12
n
5
4
3
2當n=12時,不滿足“s<10”,則輸出n的值2故為:24.如果雙曲線的焦距為6,兩條準線間的距離為4,那么該雙曲線的離心率為()
A.
B.
C.
D.2答案:C5.將兩個數(shù)a=8,b=17交換,使a=17,b=8,下面語句正確一組是()
A.a(chǎn)=bb=a
B.c=b
b=a
a=c
C.b=aa=b
D.a(chǎn)=cc=bb=a答案:B6.已知平面α內(nèi)有一個點A(2,-1,2),α的一個法向量為=(3,1,2),則下列點P中,在平面α內(nèi)的是()
A.(1,-1,1)
B.(1,3,)
C.,(1,-3,)
D.(-1,3,-)答案:B7.已知向量=(x,1),=(3,6),且⊥,則實數(shù)x的值為()
A.
B.-2
C.2
D.-答案:B8.某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.答案:由莖葉圖可知樣本數(shù)據(jù)共有8個,按照從小到大的順序為:87,89,90,91,92,93,94,96.出現(xiàn)在中間兩位的數(shù)據(jù)是91,92.所以樣本的中位數(shù)是(91+92)÷2=91.5,故為:91.59.設(shè)復數(shù)z滿足條件|z|=1,那么|z+22+i|的最大值是______.答案:∵|z|=1,∴可設(shè)z=cosα+sinα,于是|z+22+i|=|cosα+22+(sinα+1)i|=(cosα+22)2+(sinα+1)2=10+6sin(α+θ)≤10+6=4.∴|z+22+i|的最大值是4.故為410.下列各組向量中,可以作為基底的是()A.e1=(0,0),e2=(-2,1)B.e1=(4,6),e2=(6,9)C.e1=(2,-5),e2=(-6,4)D.e1=(2,-3),e2=(12,-34)答案:A、中的2個向量的坐標對應(yīng)成比例,0-2=01,所以,這2個向量是共線向量,故不能作為基底.B、中的2個向量的坐標對應(yīng)成比例,46=69,所以,這2個向量是共線向量,故不能作為基底.C中的2個向量的坐標對應(yīng)不成比例,2-6≠-54,所以,這2個向量不是共線向量,故可以作為基底.D、中的2個向量的坐標對應(yīng)成比例,212=-3-34,這2個向量是共線向量,故不能作為基底.故選C.11.某程序框圖如圖所示,該程序運行后輸出的k的值是()A.4B.5C.6D.7答案:根據(jù)流程圖所示的順序,程序的運行過程中各變量值變化如下表:是否繼續(xù)循環(huán)
S
K循環(huán)前/0
0第一圈
是
1
1第二圈
是
3
2第三圈
是
11
3第四圈
是
20594第五圈
否∴最終輸出結(jié)果k=4故為A12.下列說法中正確的是()A.一個命題的逆命題為真,則它的逆否命題一定為真B.“a>b”與“a+c>b+c”不等價C.“a2+b2=0,則a,b全為0”的逆否命題是“若a,b全不為0,則a2+b2≠0”D.一個命題的否命題為真,則它的逆命題一定為真答案:A、逆命題與逆否命題之間不存在必然的真假關(guān)系,故A錯誤;B、由不等式的性質(zhì)可知,“a>b”與“a+c>b+c”等價,故B錯誤;C、“a2+b2=0,則a,b全為0”的逆否命題是“若a,b不全為0,則a2+b2≠0”,故C錯誤;D、否命題和逆命題是互為逆否命題,有著一致的真假性,故D正確;故選D13.已知△ABC的頂點坐標為A(3,4),B(-2,-1),C(4,5),D在BC上,且S△ABC=3S△ABD,則AD的長為______.答案:D在BC上,且S△ABC=3S△ABD,∴D點為BC邊上的三等分點則D點分線段BC所成的比為12則易求出D點坐標為:x=-2+12×41+12y=-1+12×51+12∴x=0y=1故AD=32故為:3214.如圖,在⊙O中,弦CD垂直于直徑AB,求證:CBCO=CDCA.答案:證明:連接AD,如圖所示:由垂徑定理得:AD=AC又∵OC=OB∴∠ADC=∠OBC=∠ACD=∠OCB∴△CAD∽△COB∴CBCO=CDCA.15.整數(shù)630的正約數(shù)(包括1和630)共有______個.答案:首先將630分解質(zhì)因數(shù)630=2×32×5×7;然后注意到每一因數(shù)可出現(xiàn)的次冪數(shù),如2可有20,21兩種情況,3有30,31,32三種情況,5有50,51兩種情況,7有70,71兩種情況,按分步計數(shù)原理,整數(shù)630的正約數(shù)(包括1和630)共有2×3×2×2=24個.故為:24.16.三棱柱ABC-A1B1C1中,M、N分別是BB1、AC的中點,設(shè),,=,則等于()
A.
B.
C.
D.答案:A17.教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是______.答案:這兩章的內(nèi)容都是通過建立直角坐標系,用代數(shù)中的函數(shù)思想來解決圖形中的幾何性質(zhì).故為用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)解析:教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是______.18.不等式x+x3≥0的解集是(
)。答案:{x|x≥0}19.若三角形的內(nèi)切圓半徑為r,三邊的長分別為a,b,c,則三角形的面積S=12r(a+b+c),根據(jù)類比思想,若四面體的內(nèi)切球半徑為R,四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4,則此四面體的體積V=______.答案:設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個面的距離都是R,所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點,分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和.故為:13R(S1+S2+S3+S4).20.點M的直角坐標是,則點M的極坐標為()
A.(2,)
B.(2,-)
C.(2,)
D.(2,2kπ+)(k∈Z)答案:C21.離心率e=23,短軸長為85的橢圓標準方程為______.答案:離心率e=23,短軸長為85,所以ca=23;b=45又a2=b2+c2解得a2=144,b2=80所以橢圓標準方程為x2144+y280=1或y2144+x280=1故為x2144+y280=1或y2144+x280=122.已知圓x2+y2=r2在曲線|x|+|y|=4的內(nèi)部,則半徑r的范圍是()A.0<r<22B.0<r<2C.0<r<2D.0<r<4答案:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:可得曲線|x|+|y|=4表示邊長為42的正方形,如圖ABCD為正方形,x2+y2=r2表示以原點為圓心的圓,過O作OE⊥AB,∵邊AB所在直線的方程為x+y=4,∴|OE|=42=22,則滿足題意的r的范圍是0<r<22.故選A23.已知定點A(12.0),M為曲線x=6+2cosθy=2sinθ上的動點,若AP=2AM,試求動點P的軌跡C的方程.答案:設(shè)M(6+2cosθ,2sinθ),動點(x,y)由AP=2AM,即M為線段AP的中點故6+2cosθ=x+122,2sinθ=y+02即x=4cosθy=4sinθ即x2+y2=16∴動點P的軌跡C的方程為x2+y2=1624.已知x∈R,a=x2+12,b=2-x,c=x2-x+1,試證明a,b,c至少有一個不小于1.答案:證明:假設(shè)a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,則有a+b+c<3而a+b+c=2x2-2x+12+3=2(x-12)2+3≥3,兩者矛盾;故a,b,c至少有一個不小于1.25.已知點A(-3,0),B(3,0),動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2,點C的軌跡與直線
y=x-2交于D、E兩點,求線段DE的中點坐標及其弦長DE.答案:∵|CB|-|CA|=2<23=|AB|,∴點C的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線,2a=2,2c=23,∴a=1,c=3,∴b=2,∴點C的軌跡方程為x2-y22=1.把直線
y=x-2代入x2-y22=1化簡可得x2+4x-6=0,△=16-4(-6)=40>0,設(shè)D、E兩點的坐標分別為(x1,y1
)、(x2,y2),∴x1+x2=-4,x1?x2=-6.∴線段DE的中點坐標為M(-2,4),DE=1+1?|x1-x2|=2?(x1
+x2)2-4x1
?x2
=216-4(-6)=45.26.已知一次函數(shù)y=(2k-4)x-1在R上是減函數(shù),則k的取值范圍是()A.k>2B.k≥2C.k<2D.k≤2答案:因為函數(shù)y=(2k-4)x-1為R上是減函數(shù)?該一次函數(shù)的一次項的系數(shù)為負?2k-4<0?k<2.故為:C27.從一批含有13只正品,2只次品的產(chǎn)品中,不放回地抽取3次,每次抽取1只,設(shè)抽得次品數(shù)為X,則E(5X+1)=______.答案:由題意,X的取值為0,1,2,則P(X=0)=1315×1214×1113=2235;P(X=1)=215×1314×1213+1315×214×1213+1315×1214×213=1235P(X=2)=1315×214×113+215×1314×113+215×114×1313=135所以期望E(X)=0×2235+1×1235+2×135=1435,所以E(5X+1)=1435×5+1=3故為3.28.實數(shù)變量m,n滿足m2+n2=1,則坐標(m+n,mn)表示的點的軌跡是()
A.拋物線
B.橢圓
C.雙曲線的一支
D.拋物線的一部分答案:A29.為了讓學生更多地了解“數(shù)學史”知識,某中學高二年級舉辦了一次“追尋先哲的足跡,傾聽數(shù)學的聲音”的數(shù)學史知識競賽活動,共有800名學生參加了這次競賽.為了解本次競賽的成績情況,從中抽取了部分學生的成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)進行統(tǒng)計.請你根據(jù)下面的頻率分布表,解答下列問題:
序號
(i)分組
(分數(shù))本組中間值
(Gi)頻數(shù)
(人數(shù))頻率
(Fi)1(60,70)65①0.122[70,80)7520②3[80,90)85③0.244[90,100]95④⑤合
計501(1)填充頻率分布表中的空格(在解答中直接寫出對應(yīng)空格序號的答案);
(2)為鼓勵更多的學生了解“數(shù)學史”知識,成績不低于85分的同學能獲獎,請估計在參賽的800名學生中大概有多少同學獲獎?
(3)請根據(jù)頻率分布表估計該校高二年級參賽的800名同學的平均成績.答案:(1)①為6,②為0.4,③為12,④為12⑤為0.24.(5分)(2)(12×0.24+0.24)×800=288,即在參加的800名學生中大概有288名同學獲獎.(9分)(3)65×0.12+75×0.4+85×0.24+95×0.24=81(4)估計平均成績?yōu)?1分.(12分)30.在大小相同的5個球中,2個是紅球,3個是白球,若從中任取2個,則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是______.答案:由題意知本題是一個古典概型,試驗發(fā)生包含的基本事件有C52=10種結(jié)果,其中至少有一個紅球的事件包括C22+C21C31=7個基本事件,根據(jù)古典概型公式得到P=710,故為:710.31.曲線y=log2x在M=0110作用下變換的結(jié)果是曲線方程______.答案:設(shè)P(x,y)是曲線y=log2x上的任一點,P1(x′,y′)是P(x,y)在矩陣M=0110對應(yīng)變換作用下新曲線上的對應(yīng)點,則x′y′=0110xy=yx(3分)即x′=yy′=x,所以x=y′y=x′,(6分)將x=y′y=x′代入曲線y=log2x,得x′=log2y′,(8分)即y′=2x′曲線y=log2x在M=0110作用下變換的結(jié)果是曲線方程y=2x故為:y=2x32.設(shè)P、Q為兩個非空實數(shù)集合,定義集合P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},則P+Q中元素的個數(shù)是______.答案:∵a∈P,b∈Q,∴a可以為0,2,5三個數(shù),b可以為1,2,6三個數(shù),∴x=0+1=1,x=0+2=2,x=0+6=6,x=2+1=3,x=2+2=4,x=2+6=8,x=5+1=6,x=5+2=7,x=5+6=11,∴P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q}={1,2,3,4,6,7,8,11},有8個元素.故為8.33.下列命題:
①用相關(guān)系數(shù)r來刻畫回歸的效果時,r的值越大,說明模型擬合的效果越好;
②對分類變量X與Y的隨機變量的K2觀測值來說,K2越小,“X與Y有關(guān)系”可信程度越大;
③兩個隨機變量相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1;
其中正確命題的序號是
______.(寫出所有正確命題的序號)答案:①是由于r可能是負值,要改為|r|的值越大,說明模型擬合的效果越好,故①錯誤,②對分類變量X與Y的隨機變量的K2觀測值來說,K2越大,“X與Y有關(guān)系”可信程度越大;故②正確③兩個隨機變量相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1;故③正確,故為:③34.解下列關(guān)于x的不等式
(1)
(2)答案:(1)(2)原不等式的解集為解析:(1)
解:(2)
解:分析該題要設(shè)法去掉絕對值符號,可由去分類討論當時原不等式等價于
故得不等式的解集為所以原不等式的解集為35.若函數(shù)f(2x+1)=x2-2x,則f(3)=______.答案:解法一:(換元法求解析式)令t=2x+1,則x=t-12則f(t)=(t-12)2-2t-12=14t2-32t+54∴f(x)=14x2-32x+54∴f(3)=-1解法二:(湊配法求解析式)∵f(2x+1)=x2-2x=14(2x+1)2-32(2x+1)+54∴f(x)=14x2-32x+54∴f(3)=-1解法三:(湊配法求解析式)∵f(2x+1)=x2-2x令2x+1=3則x=1此時x2-2x=-1∴f(3)=-1故為:-136.設(shè)直線的參數(shù)方程是x=2+12ty=3+32t,那么它的斜截式方程是______.答案:∵直線的參數(shù)方程為x=2+12ty=3+32t(t為參數(shù)),消去參數(shù)化為普通方程可得y-3=3(x-2),那么它的斜截式方程是y=3x+3-23.故為:y=3x+3-23.37.命題“若a,b都是奇數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是
______.答案:∵“a,b都是奇數(shù)”的否命題是“a,b不都是奇數(shù)”,“a+b是偶數(shù)”的否命題是“a+b不是偶數(shù)”,∴命題“若a,b都是奇數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是“若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是奇數(shù)”.故為:若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是奇數(shù).38.(1)用紅、黃、藍、白四種不同顏色的鮮花布置如圖一所示的花圃,要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花,相鄰區(qū)域用不同顏色鮮花,問共有多少種不同的擺放方案?
(2)用紅、黃、藍、白、橙五種不同顏色的鮮花布置如圖二所示的花圃,要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花,相鄰區(qū)域使用不同顏色鮮花.
①求恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花的概率;
②記花圃中紅色鮮花區(qū)域的塊數(shù)為S,求它的分布列及其數(shù)學期望E(S).
答案:(1)根據(jù)分步計數(shù)原理,擺放鮮花的不同方案有:4×3×2×2=48種(2)①設(shè)M表示事件“恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花”,如圖二,當區(qū)域A、D同色時,共有5×4×3×1×3=180種;當區(qū)域A、D不同色時,共有5×4×3×2×2=240種;因此,所有基本事件總數(shù)為:180+240=420種.(由于只有A、D,B、E可能同色,故可按選用3色、4色、5色分類計算,求出基本事件總數(shù)為A53+2A51+A55=420種)它們是等可能的.又因為A、D為紅色時,共有4×3×3=36種;B、E為紅色時,共有4×3×3=36種;因此,事件M包含的基本事件有:36+36=72種.所以,P(M)=72420=635②隨機變量ξ的分布列為:ξ012P6352335635所以,E(ξ)=0×635+1×2335+2×635=139.已知
|x|<a,|y|<a.求證:|xy|<a.答案:證明:∵0<|x|<a,0<|y|<a∴由不等式的性質(zhì),可得|xy|<a40.已知A=(2,-4,-1),B=(-1,5,1),C=(3,-4,1),若=,=,則對應(yīng)的點為()
A.(5,-9,2)
B.(-5,9,-2)
C.(5,9,-2)
D.(5,-9,-2)答案:B41.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為A1C1中點,則直線CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A答案:以A為原點,AB、AD、AA1所在直線分別為x,y,z軸建空間直角坐標系,設(shè)正方體棱長為1,則A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),E(12,12,1),∴CE=(-12,-12,1),AC=(1,1,0),BD=(-1,1,0),A1D=(0,1,-1),A1A=(0,0,-1),顯然CE?BD=12-12+0=0,∴CE⊥BD,即CE⊥BD.
故選B.42.已知f(x)=,a≠b,
求證:|f(a)-f(b)|<|a-b|.答案:證明略解析:方法一
∵f(a)=,f(b)=,∴原不等式化為|-|<|a-b|.∵|-|≥0,|a-b|≥0,∴要證|-|<|a-b|成立,只需證(-)2<(a-b)2.即證1+a2+1+b2-2<a2-2ab+b2,即證2+a2+b2-2<a2-2ab+b2.只需證2+2ab<2,即證1+ab<.當1+ab<0時,∵>0,∴不等式1+ab<成立.從而原不等式成立.當1+ab≥0時,要證1+ab<,只需證(1+ab)2<()2,即證1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2,即證2ab<a2+b2.∵a≠b,∴不等式2ab<a2+b2成立.∴原不等式成立.方法二
∵|f(a)-f(b)|=|-|==,又∵|a+b|≤|a|+|b|=+<+,∴<1.∵a≠b,∴|a-b|>0.∴|f(a)-f(b)|<|a-b|.43.在市場上供應(yīng)的燈泡中,甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,乙廠的合格率是80%,則從市場上買到一個甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是______.答案:由題意知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率,∵甲廠產(chǎn)品占70%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,∴從市場上買到一個甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是0.7×0.95=0.665故為:0.66544.過點P(3,0)作一直線,它夾在兩條直線l1:2x-y-3=0,l2:x+y+3=0之間的線段恰被點P平分,該直線的方程是()
A.4x-y-6=0
B.3x+2y-7=0
C.5x-y-15=0
D.5x+y-15=0答案:C45.設(shè)f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N*.
(1)當n=1,2,3,4時,比較f(n)與g(n)的大?。?/p>
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜測一個一般性結(jié)論,并加以證明.答案:(1)當n=1時,nn+1=1,(n+1)n=2,此時,nn+1<(n+1)n,當n=2時,nn+1=8,(n+1)n=9,此時,nn+1<(n+1)n,當n=3時,nn+1=81,(n+1)n=64,此時,nn+1>(n+1)n,當n=4時,nn+1=1024,(n+1)n=625,此時,nn+1>(n+1)n,(2)根據(jù)上述結(jié)論,我們猜想:當n≥3時,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.①當n=3時,nn+1=34=81>(n+1)n=43=64即nn+1>(n+1)n成立.②假設(shè)當n=k時,kk+1>(k+1)k成立,即:kk+1(k+1)k>1則當n=k+1時,(k+1)k+2(k+2)k+1=(k+1)?(k+1k+2)k+1>(k+1)?(kk+1)k+1=kk+1(k+1)k>1即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,即當n=k+1時也成立,∴當n≥3時,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.46.隋機變量X~B(6,),則P(X=3)=()
A.
B.
C.
D.答案:C47.已知圖形F上的點A按向量平移前后的坐標分別是和,若B()是圖形F上的又一點,則在F按向量平移后得到的圖形F,上B,的坐標是(
)A.B.C.D.答案:選D解析:設(shè)向量,則平移公式為依題意有∴平移公式為將B點坐標代入可得B,點的坐標為.所以選D.48.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},則A∩B=()A.{3,5}B.{3,6}C.{3,7}D.{3,9}答案:因為A∩B={1,3,5,7,9}∩{0,3,6,9,12}={3,9}故選D49.已知:如圖,CD是⊙O的直徑,AE切⊙O于點B,DC的延長線交AB于點A,∠A=20°,則
∠DBE=______.答案:連接BC,∵CD是⊙O的直徑,∴∠CBD=90°,∵AE是⊙O的切線,∴∠DBE=∠1,∠2=∠D;又∵∠1+∠D=90°,即∠1+∠2=90°---(1),∠A+∠2=∠1----(2),(1)-(2)得∠1=55°即∠DBE=55°.故為:∠DBE=55°.50.在對兩個變量x,y進行線性回歸分析時,有下列步驟:
①對所求出的回歸直線方程作出解釋;
②收集數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,…,n;
③求線性回歸方程;
④求相關(guān)系數(shù);
⑤根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點圖.
如果根據(jù)可形性要求能夠作出變量x,y具有線性相關(guān)結(jié)論,則在下列操作順序中正確的是()
A.①②⑤③④
B.③②④⑤①
C.②④③①⑤
D.②⑤④③①答案:D第2卷一.綜合題(共50題)1.如圖,半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱.當圓柱的側(cè)面積最大時,球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是______.
答案:設(shè)圓柱的上底面半徑為r,球的半徑與上底面夾角為α,則r=Rcosα,圓柱的高為2Rsinα,圓柱的側(cè)面積為:2πR2sin2α,當且僅當α=π4時,sin2α=1,圓柱的側(cè)面積最大,圓柱的側(cè)面積為:2πR2,球的表面積為:4πR2,球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是:2πR2.故為:2πR22.一組數(shù)據(jù)12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50的中位數(shù)是()
A.31
B.36
C.35
D.34答案:B3.已知正四棱柱的對角線的長為6,且對角線與底面所成角的余弦值為33,則該正四棱柱的體積等于______.答案::如圖可知:∵AC1=6,cos∠AC1A1=33∴A1C1=2,AA1=2∴正四棱柱的體積等于A1B12?AA1=2故為:24.在對吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中,下列說法正確的是()
A.若隨機變量K2的觀測值k>6.635,我們有99%的把握說明吸煙與患肺病有關(guān),則若某人吸煙,那么他有99%的可能患有肺病
B.若由隨機變量求出有99%的把握說吸煙與患肺病有關(guān),則在100個吸煙者中必有99個人患有肺病
C.若由隨機變量求出有95%的把握說吸煙與患肺病有關(guān),那么有5%的可能性使得推斷錯誤
D.以上說法均不正確答案:D5.某校選修乒乓球課程的學生中,高一年級有40名,高二年級有50名,現(xiàn)用分層抽樣的方法在這90名學生中抽取一個樣本,已知在高一年級的學生中抽取了8名,則在高二年級的學生中應(yīng)抽取的人數(shù)為______.答案:∵高一年級有40名學生,在高一年級的學生中抽取了8名,∴每個個體被抽到的概率是
840=15∵高二年級有50名學生,∴要抽取50×15=10名學生,故為:10.6.下列關(guān)于算法的說法不正確的是()A.算法必須在有限步操作之后停止.B.求解某一類問題的算法是唯一的.C.算法的每一步必須是明確的.D.算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果.答案:因為算法具有有窮性、確定性和可輸出性.由算法的特性可知,A是指的有窮性;C是確定性;D是可輸出性.而解決某一類問題的算法不一定唯一,例如求排序問題算法就不唯一,所以,給出的說法不正確的是B.故選B.7.下列各組向量中不平行的是()A.a(chǎn)=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)答案:選項A中,b=-2a?a∥b;選項B中有:d=-3c?d∥c,選項C中零向量與任意向量平行,選項D,事實上不存在任何一個實數(shù)λ,使得g=λh,即:(16,24,40)=λ(16,24,40).故應(yīng)選:D8.
如圖,已知平行六面體OABC-O1A1B1C1,點G是上底面O1A1B1C1的中心,且,則用
表示向量為(
)
A.
B.
C.
D.
答案:A9.已知200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示,則時速在[60,70]的汽車大約有()輛.A.90B.80C.70D.60答案:由已知可得樣本容量為200,又∵數(shù)據(jù)落在區(qū)間[60,70]的頻率為0.04×10=0.4∴時速在[60,70]的汽車大約有200×0.4=80故選B.10.直線y=x-1的傾斜角是()
A.30°
B.120°
C.60°
D.150°答案:A11.已知點A(1,2),直線l1:x=1+3ty=2-4t(t為參數(shù))與直線l2:2x-4y=5相交于點B,則A、B兩點之間的距離|AB|=______.答案:將x=1+3t,y=2-4t代入2x-4y=5,得t=12,所以兩直線的交點坐標為(52,0)所以|AB|=(1-52)2+(2-0)2
=52.故為:5212.某超市推出如下優(yōu)惠方案:
(1)一次性購物不超過100元不享受優(yōu)惠;
(2)一次性購物超過100元但不超過300元的一律九折;
(3)一次性購物超過300元的一律八折,有人兩次購物分別付款80元,252元.
如果他一次性購買與上兩次相同的商品,則應(yīng)付款______.答案:該人一次性購物付款80元,據(jù)條件(1)、(2)知他沒有享受優(yōu)惠,故實際購物款為80元;另一次購物付款252元,有兩種可能,其一購物超過300元按八折計,則實際購物款為2520.8=315元.其二購物超過100元但不超過300元按九折計算,則實際購物款為2520.9=280元.故該人兩次購物總價值為395元或360元,若一次性購買這些商品應(yīng)付款316元或288元.故為316元或288元.13.已知點P為y軸上的動點,點M為x軸上的動點,點F(1,0)為定點,且滿足PN+12NM=0,PM?PF=0.
(Ⅰ)求動點N的軌跡E的方程;
(Ⅱ)過點F且斜率為k的直線l與曲線E交于兩點A,B,試判斷在x軸上是否存在點C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立,請說明理由.答案:(Ⅰ)設(shè)N(x,y),則由PN+12NM=0,得P為MN的中點.∴P(0,y2),M(-x,0).∴PM=(-x,-y2),PF=(1,-y2).∴PM?PF=-x+y24=0,即y2=4x.∴動點N的軌跡E的方程y2=4x.(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),由y=k(x-1)y2=4x,消去x得y2-4ky-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
y1+y2=4k,y1y2=-4.假設(shè)存在點C(m,0)滿足條件,則CA=(x1-m,y1),CB=(x2-m,y2),∴CA?CB=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2=(y1y24)2-m(y12+y224)+m2-4=-m4[(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3=m2-m(4k2+2)-3.∵△=(4k2+2)2+12>0,∴關(guān)于m的方程m2-m(4k2+2)-3=0有解.∴假設(shè)成立,即在x軸上存在點C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.14.已知x=-3-2i(i為虛數(shù)單位)是一元二次方程x2+ax+b=0(a,b均為實數(shù))的一個根,則a+b=______.答案:∵x=-3-2i(i為虛數(shù)單位)是一元二次方程x2+ax+b=0(a,b均為實數(shù))的一個根,∴(-3-2i)2+a(-3-2i)+b=0,化為5-3a+b+(12-2a)i=0.根據(jù)復數(shù)相等即可得到5-3a+b=012-2a=0,解得a=6b=13.∴a+b=19.故為19.15.已知焦點在x軸上的雙曲線漸近線方程是y=±4x,則該雙曲線的離心率是()
A.
B.
C.
D.答案:A16.參數(shù)方程(t是參數(shù))表示的圖象是()
A.射線
B.直線
C.圓
D.雙曲線答案:A17.集合A={3,2a},B={a,b},若A∩B={2},則A∪B=______.答案:根據(jù)題意,若A∩B={2},則2∈A,2∈B,而已知A={3,2a},則必有2a=2,故a=1,又由2∈B,且a=1則b=2,故A∪B={1,2,3},故為{1,2,3}.18.若|a|=3、|b|=4,且a⊥b,則|a+b|=______.答案:∵|a|=3,|b|=4,且a⊥b,∴|a+b|=a2+2a?b+b2=9+0+16=5.故為:5.19.某教師出了一份三道題的測試卷,每道題1分,全班得3分、2分、1分和0分的學生所占比例分別為30%、50%、10%和10%,則全班學生的平均分為______分.答案:∵全班得3分、2分、1分和0分的學生所占比例分別為30%、50%、10%和10%,∴全班的平均分是3×30%+2×50%+1×10%+0×10%=2,故為:220.已知函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),其零點為x1,x2,…,x2011,則x1+x2+…+x2011=______.答案:∵f(x)是R上的奇函數(shù),∴0是函數(shù)y=f(x)的零點.其他非0的零點關(guān)于原點對稱.∴x1+x2+…+x2011=0.故為:0.21.直線l只經(jīng)過第一、三、四象限,則直線l的斜率k()
A.大于零
B.小于零
C.大于零或小于零
D.以上結(jié)論都有可能答案:A22.若直線l過拋物線y=ax2(a>0)的焦點,并且與y軸垂直,若l被拋物線截得的線段長為4,則a=______.答案:拋物線方程整理得x2=1ay,焦點(0,14a)l被拋物線截得的線段長即為通徑長1a,故1a=4,a=14;故為14.23.已知:關(guān)于x的方程2x2+kx-1=0
(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若方程的一個根是-1,求另一個根及k值.答案:(1)證明:2x2+kx-1=0,△=k2-4×2×(-1)=k2+8,無論k取何值,k2≥0,所以k2+8>0,即△>0,∴方程2x2+kx-1=0有兩個不相等的實數(shù)根.(2)設(shè)2x2+kx-1=0的另一個根為x,則x-1=-k2,(-1)?x=-12,解得:x=12,k=1,∴2x2+kx-1=0的另一個根為12,k的值為1.24.已知函數(shù)f(x)=|log2x-1|+|log2x-2|,解不等式f(x)>4.答案:f(x)=|log2x-1|+|log2x-2|,取絕對值得:f(x)=3-2log2x,0<x<21,2≤x≤42log2x-3,x>4所以f(x)>4等價于:0<x≤23-2log2x>4或x≥42log2x-3>4,解得:0<x<22或x>82.25.對于一組數(shù)據(jù)的兩個函數(shù)模型,其殘差平方和分別為153.4
和200,若從中選取一個擬合程度較好的函數(shù)模型,應(yīng)選殘差平方和為______的那個.答案:殘差的平方和是用來描述n個點與相應(yīng)回歸直線在整體上的接近程度殘差的平方和越小,擬合效果越好,由于153.4<200,故擬合效果較好的是殘差平方和是153.4的那個模型.故為:153.4.26.從2008名學生中選取50名學生參加數(shù)學競賽,若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機抽樣從2008人中剔除8人,剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取50人,則在2008人中,每人入選的概率()
A.不全相等
B.均不相等
C.都相等,且為
D.都相等,且為答案:C27.在平行四邊形ABCD中,等于()
A.
B.
C.
D.答案:C28.△ABC中,,若,則m+n=()
A.
B.
C.
D.1答案:B29.長方體的共頂點的三個側(cè)面面積分別為3,5,15,則它的體積為______.答案:設(shè)長方體過同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,∵從長方體一個頂點出發(fā)的三個面的面積分別為3,5,15,∴a?b=3,a?c=5,b?c=15∴(a?b?c)2=152∴a?b?c=15即長方體的體積為15,故為:15.30.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點,若f(c)=0,且0<x<c時,f(x)>0
(1)證明:1a是f(x)的一個根;(2)試比較1a與c的大?。鸢福鹤C明:(1)∵f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點,f(x)=0的兩個根x1,x2滿足x1x2=ca,又f(c)=0,不妨設(shè)x1=c∴x2=1a,即1a是f(x)=0的一個根.(2)假設(shè)1a<c,又1a>0由0<x<c時,f(x)>0,得f(1a)>0,與f(1a)=0矛盾∴1a≥c又:f(x)=0的兩個根不相等∴1a≠c,只有1a>c31.設(shè)一次試驗成功的概率為p,進行100次獨立重復試驗,當p=______時,成功次數(shù)的標準差的值最大,其最大值為______.答案:由獨立重復試驗的方差公式可以得到Dξ=npq≤n(p+q2)2=n4,等號在p=q=12時成立,∴Dξ=100×12×12=25,σξ=25=5.故為:12;532.命題“若ab=0,則a、b中至少有一個為零”的逆否命題是
______.答案:∵ab=0的否命題是ab≠0,a、b中至少有一個為零的否命題是a≠0,且b≠0,∴命題“若ab=0,則a、b中至少有一個為零”的逆否命題是“若a≠0,且b≠0,則ab≠0.”故:若a≠0,且b≠0,則ab≠0.33.已知離散型隨機變量X服從二項分布X~B(n,p)且E(X)=3,D(X)=2,則n與p的值分別為()
A.
B.
C.
D.答案:B34.根據(jù)如圖的框圖,寫出打印的第五個數(shù)是______.答案:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是:輸出N<35時,打印A值.程序在運行過程中各變量的情況如下表示:
是否繼續(xù)循環(huán)
A
N循環(huán)前
1
1
第一圈
2×1+1=3
2
是第二圈
2×3+1=7
3
是第三圈
2×7+1=15
4
是第四圈
2×15+1=31
5
是…所以這個打印的第五個數(shù)是31.故為:3135.甲、乙兩人參加一次考試,已知在備選的10道試題中,甲能答對其中6題,乙能答對其中8題.若規(guī)定每次考試分別都從這10題中隨機抽出3題進行測試,至少答對2題算合格.
(1)分別求甲、乙兩人考試合格的概率;
(2)求甲、乙兩人至少有一人合格的概率.答案:(1)(2)解析:(1)設(shè)甲、乙考試合格分別為事件A、B,甲考試合格的概率為P(A)=,乙考試合格的概率為P(B)=.(2)A與B相互獨立,且P(A)=,P(B)=,則甲、乙兩人至少有一人合格的概率為P(AB++A)=×+×+×=.36.直線l過橢圓x24+y23=1的右焦點F2并與橢圓交與A、B兩點,則△ABF1的周長是()A.4B.6C.8D.16答案:根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義可得:|AF1|+|AF2|=2a=4,,并且|BF1|+|BF2|=2a=4,又因為|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周長為:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.故選C.37.一位運動員投擲鉛球的成績是14m,當鉛球運行的水平距離是6m時,達到最大高度4m.若鉛球運行的路線是拋物線,則鉛球出手時距地面的高度是()
A.2.25m
B.2.15m
C.1.85m
D.1.75m
答案:D38.參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程是()
A.2x-y+4=0
B.2x+y-4=0
C.2x-y+4=0,x∈[2,3]
D.2x+y-4=0,x∈[2,3]答案:D39.若下列算法的程序運行的結(jié)果為S=132,那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的判斷條件是
______.答案:本題考查根據(jù)程序框圖的運算,寫出控制條件按照程序框圖執(zhí)行如下:s=1
k=12s=12
k=11s=12×11=132
k=10因為輸出132故此時判斷條件應(yīng)為:K≤10或K<11故為:K≤10或K<1140.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A、B兩點,若AF=3FB,則k=______.答案:設(shè)l為橢圓的右準線,過A、B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1為垂足,過B作BE⊥AA1于E,則|AA1|=|AF|e,|BB1|=|BF|e,由AF=3FB知,|AA1|=3|BF|e,∴cos<BAE=|AE||AB|=2|BF|e4|BF|=12e=33,∴sin∠BAE=63,∴tan∠BAE=2.∴k=2.故:2.41.
若平面向量,,兩兩所成的角相等,||=||=1,||=3,則|++|=()
A.2
B.4
C.2或5
D.4或5答案:C42.mx+ny=1(mn≠0)與兩坐標軸圍成的三角形面積為______.答案:由mx+ny=1(mn≠0),得x1m+y1n=1,所以mx+ny=1(mn≠0)在兩坐標軸上的截距分別為1m,1n.則mx+ny=1(mn≠0)與兩坐標軸圍成的三角形面積為12|mn|.故為12|mn|.43.已知圓C:x2+y2-4y-6y+12=0,求:
(1)過點A(3,5)的圓的切線方程;
(2)在兩條坐標軸上截距相等的圓的切線方程.答案:(l)設(shè)過點A(3,5)的直線?的方程為y-5=k(x-3).因為直線?與⊙C相切,而圓心為C(2,3),則|2k-3-3k+5|k2+1=1,解得k=34所以切線方程為y-5=34(x-3),即3x-4y+11=0.由于過圓外一點A與圓相切的直線有兩條,因此另一條切線方程為x=3.(2)因為原點在圓外,所以設(shè)在兩坐標軸上截距相等的直線方程x+y=a或y=kx.由直線與圓相切得,|2+3-a|2=1或|2k-3|k2+1=1,解得a=5士2,k=6±223故所求的切線方程為x+y=5士2或y=6±223x.44.確定方程3x2-9+4x2-16+5x2-25=120x的解集______.答案:由題意,x2-9≥0x2-16≥0x2-25≥0x>0,∴x≥5∴x2-9≥4,x2-16≥3,x2-25≥0,∴3x2-9+4x2-16+5x2-25≥24∵3x2-9+4x2-16+5x2-25=120x∴120x≥24∵x≥5,∴120x≤24∴120x=24∴x=5故為:{5}45.在極坐標系中,過點(22,π4)作圓ρ=4sinθ的切線,則切線的極坐標方程是______.答案:(22,π4)的直角坐標為:(2,2),圓ρ=4sinθ的直角坐標方程為:x2+y2-4y=0;顯然,圓心坐標(0,2),半徑為:2;所以過(2,2)與圓相切的直線方程為:x=2,所以切線的極坐標方程是:ρcosθ=2故為:ρcosθ=246.圓錐曲線x=4secθ+1y=3tanθ的焦點坐標是______.答案:由x=4secθ+1y=3tanθ可得secθ=x-14tanθ=y3,由三角函數(shù)的運算可得tan2θ+1=sec2θ,代入可得(x-14)2-(y3)2=1,即(x-1)216-y29=1,可看作雙曲線x216-y29=1向右平移1個單位得到,而雙曲線x216-y29=1的焦點為(-5,0),(5,0)故所求雙曲線的焦點為(-4,0),(6,0)故為:(-4,0),(6,0)47.命題:“若a>0,則a2>0”的否命題是()A.若a2>0,則a>0B.若a<0,則a2<0C.若a≤0,則a2≤0D.若a≤0,則a2≤0答案:否命題是將條件,結(jié)論同時否定,∴若a>0,則a2>0”的否命題是若a≤0,則a2≤0,故為:C48.從1,2,3,4,5,6,7這七個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù),組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為()
A.432
B.288
C.216
D.108答案:C49.對賦值語句的描述正確的是(
)
①可以給變量提供初值
②將表達式的值賦給變量
③可以給一個變量重復賦值
④不能給同一變量重復賦值A(chǔ).①②③B.①②C.②③④D.①②④答案:A解析:試題分析:在表述一個算法時,經(jīng)常要引入變量,并賦給該變量一個值。用來表明賦給某一個變量一個具體的確定值的語句叫做賦值語句。賦值語句的一般格式是:變量名=表達式其中“=”為賦值號.故選A。點評:簡單題,賦值語句的一般格式是:變量名=表達式其中"="為賦值號。50.已知平面向量.a,b的夾角為60°,.a=(3,1),|b|=1,則|.a+2b|=______.答案:∵平面向量.a,b的夾角為60°,.a=(3,1),∴|.a|=2.b2
再由|b|=1,可得.a?b=2×1cos60°=1,∴|.a+2b|=(.a+2b)2=a2+4a?b+4b2=23,故為23.第3卷一.綜合題(共50題)1.(理)下列以t為參數(shù)的參數(shù)方程中表示焦點在y軸上的橢圓的是()
A.
B.(a>b>0)
C.
D.
答案:C2.若矩陣A=
72
69
67
65
62
59
81
74
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76
72
69
64
228
219
211
204
195
183
是表示我校2011屆學生高二上學期的期中成績矩陣,A中元素aij(i=1,2,3,4;j=1,2,3,4,5,6)的含義如下:i=1表示語文成績,i=2表示數(shù)學成績,i=3表示英語成績,i=4表示語數(shù)外三門總分成績j=k,k∈N*表示第50k名分數(shù).若經(jīng)過一定量的努力,各科能前進的名次是一樣的.現(xiàn)小明的各科排名均在250左右,他想盡量提高三門總分分數(shù),那么他應(yīng)把努力方向主要放在哪一門學科上()
A.語文
B.數(shù)學
C.外語
D.都一樣答案:B3.在極坐標系中,過點p(3,)且垂直于極軸的直線方程為()
A.Pcosθ=
B.Psinθ=
C.P=cosθ
D.P=sinθ答案:A4.已知直線l的方程為x=2-4
ty=1+3
t,則直線l的斜率為______.答案:直線x=2-4
ty=1+3
t,所以直線的普通方程為:(y-1)=-34(x-2);所以直線的斜率為:-34;故為:-34.5.位于直角坐標原點的一個質(zhì)點P按下列規(guī)則移動:質(zhì)點每次移動一個單位,移動的方向向左或向右,并且向左移動的概率為,向右移動的概率為,則質(zhì)點P移動五次后位于點(1,0)的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:D6.有一個容量為80的樣本,數(shù)據(jù)的最大值是140,最小值是51,組距為10,則可以分為(
)
A.10組
B.9組
C.8組
D.7組答案:B7.已知雙曲線的a=5,c=7,則該雙曲線的標準方程為()
A.-=1
B.-=1
C.-=1或-=1
D.-=0或-=0答案:C8.已知點A(5,0)和⊙B:(x+5)2+y2=36,P是⊙B上的動點,直線BP與線段AP的垂直平分線交于點Q.
(1)證明點Q的軌跡是雙曲線,并求出軌跡方程.
(2)若(BQ+BA)?QA=0,求點Q的坐標.答案:(1)∵點Q在線段AP的垂直平分線上,∴|QP|=|QA|,∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6.∴點Q的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線.(4′)其軌跡方程是x29-y216=1.(7′)(2)以A、B、Q為三個頂點作平行四邊形ABQC,則BQ+BA=BC∵(BQ+BA)?QA=0,∴BC?QC=0,∴平行四邊形ABQC是菱形,∴|BA|=|BQ|.(8′)∴點Q在圓(x+5)2+y2=100上.解方程組(x+5)2+y2=100x29-y216=1.(10′)得Q(-395,±485)或Q(215,±865).(12′)9.如果拋物線y2=a(x+1)的準線方程是x=-3,那么這條拋物線的焦點坐標是()A.(3,0)B.(2,0)C.(1,0)D.(-1,0)答案:拋物線y2=a(x+1)可由拋物線y2=ax向左平移一個單位長度得到,因為拋物線y2=a(x+1)的準線方程是x=-3,所以拋物線y2=ax的準線方程是x=-2,且焦點坐標為(2,0),那么拋物線y2=a(x+1)的焦點坐標為(1,0).故選C.10.想要檢驗是否喜歡參加體育活動是不是與性別有關(guān),應(yīng)該檢驗()
A.H0:男性喜歡參加體育活動
B.H0:女性不喜歡參加體育活動
C.H0:喜歡參加體育活動與性別有關(guān)
D.H0:喜歡參加體育活動與性別無關(guān)答案:D11.已知向量a、b的夾角為60°,且|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=______;向量a與向量a+2b的夾角的大小為______.答案:∵a?b=|a|?|b|cos60°=1,∴|a+2b|=(a+2b)2=4+4+4a?b=23,設(shè)向量a與向量a+2b的夾角的大小為θ,∵a?(a+2b)=2×23cosθ=43cosθ,a?(a+2b)=a2+2a?b=4+2=6,∴43cosθ=6,cosθ=32,∴θ=30°,故為23,30°.12.直線l過橢圓x24+y23=1的右焦點F2并與橢圓交與A、B兩點,則△ABF1的周長是()A.4B.6C.8D.16答案:根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義可得:|AF1|+|AF2|=2a=4,,并且|BF1|+|BF2|=2a=4,又因為|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周長為:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.故選C.13.以橢圓x23+y2=1的右焦點為焦點,且頂點在原點的拋物線標準方程為______.答案:∵橢圓x23+y2=1的右焦點F(2,0),∴以F(2,0)為焦點,頂點在原點的拋物線標準方程為y2=42x.故為:y2=42x.14.用數(shù)學歸納法證明:1n+1+1n+2+1n+3+…+1n+n>1124
(n∈N,n≥1)答案:證明:(1)當n=1時,左邊=12>1124,∴n=1時成立(2分)(2)假設(shè)當n=k(k≥1)時成立,即1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k>1124那么當n=k+1時,左邊=1k+2+1k+3+…+1k+k
+1K+1+k+1k+1+k+1=1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k+1k+k+1
+1k+1+k+1-1k+1>1124+12k+1-12k+2>1124.∴n=k+1時也成立(7分)根據(jù)(1)(2)可得不等式對所有的n≥1都成立(8分)15.已知a,b,c是正實數(shù),且a+b+c=1,則的最小值為(
)A.3B.6C.9D.12答案:C解析:本題考查均值不等式等知識。將1代入中,得,當且僅當,又,故時不等式取,選C。16.x2+(m-3)x+m=0
一個根大于1,一個根小于1,m的范圍是______.答案:設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+m,則∵x2+(m-3)x+m=0一個根大于1,一個根小于1,∴f(1)<0∴1+(m-3)+m<0∴m<1故為m<1.17.在用樣本頻率估計總體分布的過程中,下列說法正確的是()A.總體容量越大,估計越精確B.總體容量越小,估計越精確C.樣本容量越大,估計越精確D.樣本容量越小,估計越精確答案:∵用樣本頻率估計總體分布的過程中,估計的是否準確與總體的數(shù)量無關(guān),只與樣本容量在總體中所占的比例有關(guān),∴樣本容量越大,估計的月準確,故選C.18.如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,點O在AB上,BD⊥AB,點B是垂足,OD∥AC,連接CD.
求證:CD是⊙O的切線.答案:證明:連接CO,(1分)∵OD∥AC,∴∠COD=∠ACO,∠CAO=∠DOB.(3分)∵∠ACO=∠CAO,∴∠COD=∠DOB.(6分)∵OD=OD,OC=OB,∴△COD≌△BOD.(8分)∴∠OCD=∠OBD=90°.∴OC⊥CD,即CD是⊙O的切線.(10分)19.若拋物線y2=4x上一點P到其焦點的距離為3,則點P的橫坐標等于______.答案:∵拋物線y2=4x=2px,∴p=2,由拋物線定義可知,拋物線上任一點到焦點的距離與到準線的距離是相等的,∴|MF|=3=x+p2=3,∴x=2,故為:2.20.如圖是用來求2+32+43+54+…+101100的計算程序,請補充完整:______.
答案:2+32+43+54+…+101100=(1+1)+(1+12)+(1+13)+…+(1+1100)故循環(huán)體中應(yīng)是S=S+(1+1i)故為:S=S+(1+1i)21.已知l∥α,且l的方向向量為(2,-8,1),平面α的法向量為(1,y,2),則y=______.答案:∵l∥α,∴l(xiāng)的方向向量(2,-8,1)與平面α的法向量(1,y,2)垂直,∴2×1-8×y+2=0,解得y=12.故為12.22.命題“p:任意x∈R,都有x≥2”的否定是______.答案:命題“任意x∈R,都有x≥2”是全稱命題,否定時將量詞對任意的x∈R變?yōu)榇嬖趯崝?shù)x,再將不等號≥變?yōu)椋技纯桑蕿椋捍嬖趯崝?shù)x,使得x<2.23.O為△ABC平面上一定點,該平面上一動點p滿足M={P|OP=OA+λ(AB|AB|sinC+AC|AC|sinB)
,λ>0},則△ABC的()一定屬于集合M.A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心答案:如圖:D是BC的中點,在△ABC中,由正弦定理得,|AB|sinC=|AC|sinB即sinc|AB|=sinB||AC|,設(shè)t=sinc|AB|=sinB||AC|,代入OP=OA+λ(AB|AB|sinC+AC|AC|sinB)得,OP=OA+λt(AB+AC)①,∵D是BC的中點,∴AB+AC=2AD,代入①得,OP=OA+2λtAD,∴AP=2λtAD且λ、t都是常數(shù),則AP∥AD,∴點P得軌跡是直線AD,△ABC的重心一定屬于集合M,故選A.24.不等式|x-2|+|x+1|<5的解集為()
A.(-∞,-2)∪(3,+∞)
B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(-2,3)
D.(-∞,+∞)答案:C25.若點A的坐標為(3,2),F(xiàn)是拋物線y2=2x的焦點,點M在拋物線上移動時,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐標為()A.(0,0)B.(12,1)C.(1,2)D.(2,2)答案:由題意得F(12,0),準線方程為x=-12,設(shè)點M到準線的距離為d=|PM|,則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|,故當P、A、M三點共線時,|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=3-(-12)=72.把y=2代入拋物線y2=2x得x=2,故點M的坐標是(2,2),故選D.26.已知實數(shù)x、y、z滿足x+2y+3z=1,則x2+y2+z2的最小值為______.答案:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2+)(12+22+32)故x2+y2+z2≥114,當且僅當x1=y2=z3,即:x2+y2+z2的最小值為114.故為:11427.在平面直角坐標系下,曲線C1:x=2t+2ay=-t(t為參數(shù)),曲線C2:x2+(y-2)2=4.若曲線C1、C2有公共點,則實數(shù)a的取值范圍
______.答案:∵曲線C1:x=2t+2ay=-t(t為參數(shù)),∴x+2y-2a=0,∵曲線C2:x2+(y-2)2=4,圓心為(0,2),∵曲線C1、C2有公共點,∴圓心到直線x+2y-2a=0距離小于等于2,∴|4-2a|5≤2,解得,2-5≤a≤2+5,故為2-5≤a≤2+5.28.中,是邊上的中線(如圖).
求證:.
答案:證明見解析解析:取線段所在的直線為軸,點為原點建立直角坐標系.設(shè)點的坐標為,點的坐標為,則點的坐標為.可得,,,.,..29.已知向量,滿足:||=3,||=5,且=λ,則實數(shù)λ=()
A.
B.
C.±
D.±答案:C30.在極坐標系中,曲線p=4cos(θ-π3)上任意兩點間的距離的最大值為______.答案:將原極坐標方程p=4cos(θ-π3),化為:ρ=2cosθ+23sinθ,∴ρ2=2ρcosθ+23ρsinθ,化成直角坐標方程為:x2+y2-2x-23y=0,是一個半徑為2圓.圓上兩點間的距離的最大值即為圓的直徑,故填:4.31.有這樣一段“三段論”推理,對于可導函數(shù)f(x),大前提:如果f’(x0)=0,那么x=x0是函數(shù)f(x)的極值點;小前提:因為函數(shù)f(x)=x3在x=0處的導數(shù)值f’(0)=0,結(jié)論:所以x=0是函數(shù)f(x)=x3的極值點.以上推理中錯誤的原因是______錯誤(填大前提、小前提、結(jié)論).答案:∵大前提是:“對于可導函數(shù)f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函數(shù)f(x)的極值點”,不是真命題,因為對于可導函數(shù)f(x),如果f'(x0)=0,且滿足當x>x0時和當x<x0時的導函數(shù)值異號時,那么x=x0是函數(shù)f(x)的極值點,∴大前提錯誤,故為:大前提.32.若m∈{-2,-1,1,2},n∈{-2,-1,1,2,3},則方程x2m+y2n=1表示的是雙曲線的概率為______
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