第2章 彈性力學基本理論

第二章有限元法的基本原理機械與汽車工程學院SchoolofMechanicalandAutomobileEngineering§2-1彈性力學中的幾個基本概念

按照外力作用的不同分布方式，可分為體積力和表面力，分別簡稱體力和面力。

（2）性質(zhì)：一般情況下,體力隨點的位置不同而不同，體力是連續(xù)分布的。（一）外力1.體力（1）定義：所謂體力是分布在物體體積內(nèi)的力，如重力和慣性力。（3）體力集度：體力的平均集度為：P點所受體力的集度為：的方向就是的極限方向。zxy△VOP圖1-2（4）體力分量：將f沿三個坐標軸分解，可得到三個正交的分力：

fx、fy、fz

稱為物體在P點的體力分量，其方向與坐標軸正向相同時為正，因次是[力][長度]-3。（N/m3）方向沿坐標軸為正。zxy△VOP圖1-22.面力上面力的平均集度為：（3）面力集度：xyzP△S圖1-3（2）性質(zhì)：一般情況下,面力一般是物體表面點的位置坐標的函數(shù)。（1）定義：分布在物體表面上的力。如流體壓力和接觸力。P點所受面力的集度為：（4）面力分量：xyzP△S圖1-3

P點的面力分量為、、，其方向與坐標軸正向相同時為正，因次是[力][長度]-2。（N/m2）方向沿坐標軸為正。（二）應力2.性質(zhì)：在物體內(nèi)的同一點，不同截面上的應力是不同的。1.定義：物體承受外力作用，物體內(nèi)部各截面之間產(chǎn)生附加內(nèi)力，為了顯示出這些內(nèi)力，我們用一截面截開物體，并取出其中一部分，其中一部分對另一部分的作用，表現(xiàn)為內(nèi)力，它們是分布在截面上分布力系的合力。單位面積上的分布力即為應力。如圖1－4所示。ΔA面積上的內(nèi)力的平均集度為：3.應力集度：P點的應力為：因次是[力][長度]-2。--正應力---切應力P點的應力分量為、xyzABPo△A圖1-44.應力分量在略去體力和高階微量的情況下，相互平行的面上的應力大小相等，方向相反。（1）為了分析一點的應力狀態(tài)，在這一點從物體內(nèi)取出一個微小的正平行六面體，各面上的應力沿坐標軸的分量稱為應力分量。xyzo圖1-5應力不僅和點的位置有關，和截面的方位也有關，不是一般的矢量，而是二階張量。xyzoσy圖1-6（2）應力標注：圖示單元體右側(cè)面的法線為y,稱為y面，應力分量垂直于單元體面的應力稱為正應力。正應力記為σy

,其下標表示所沿坐標軸的方向。xyzo平行于單元體面的應力稱為切應力，用、表示，其第一下標y表示所在的平面，第二下標x、z分別表示沿坐標軸的具體方向。（2）應力標注：σy圖1-6其它面上的應力分量的表示如圖1－7所示。xyzyxzyzxzyyz圖1－7xyz截面的外法線截面的外法線正面負面正面上的應力沿坐標正向或負面上的應力沿坐標負向為正?？谠E：正面正向或負面負向的應力為正。xyzyxzyzxzyyz圖1－7正面:截面的外法線方向和坐標軸正向一致,反之為負面。正負規(guī)定:例：應力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？試分別畫出正面和負面上的正應力和正的面力的方向。Ozyx彈性力學材料力學圖1-8（3）注意彈性力學切應力符號和材料力學是有區(qū)別的。在圖1－8中，彈性力學里，切應力都為正，而材料力學中相鄰兩面的符號是不同的，順時針轉(zhuǎn)動為正。注意：（4）切應力互等定理xyzxyyxxzyxzzxzyyz過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的切應力分量,則兩個面上的這兩個切應力分量一定等值、方向相對或相離。應力用矩陣表示：共六個應力分量。???（三）形變（應變）形變就是形狀的改變。物體的形變可以歸結(jié)為長度的改變和角度的改變。

1.線應變：圖1-9中線段PA、PB、PC每單位長度的伸縮，即單位伸縮或相對伸縮，稱為線應變。分別用、、表示。P圖1-9應變的正負：線應變：伸長時為正，縮短時為負；切應變：以直角變小時為正，變大時為負；

2.切應變：圖1-9中線段PA、PB、PC之間的直角的改變，用弧度表示，稱為切應變。分別用、、表示。共六個形變分量。P圖1-9線應變和切應變都是量綱為1的量（2）物體內(nèi)各點之間有相對位移，因而物體產(chǎn)生了變形。彈性力學中主要研究物體由變形而引起的位移。（1）整個物體像一個剛體一樣運動所引起的位移，包括平移、轉(zhuǎn)動、平面運動等。這種位移并不使物體的形狀、質(zhì)點間的相對距離發(fā)生變化。（剛體位移）1.當物體各點發(fā)生位置改變時，一般認為是由兩種性質(zhì)的位移組成：（四）位移位移：物體變形時各點位置的改變量稱為位移2.位移的表示方法物體內(nèi)任意一點的位移，用它在x

、y

、z

軸上的投影u

、v、w

來表示，以沿坐標軸正向為正，沿坐標軸負向為負。這三個投影稱為該點的位移分量。彈性力學問題：已知外力、物體的形狀和大小（包括邊界）、材料特性（E、μ）、約束條件等，求解應力、形變、位移共15個未知量。（五）斜截面上的應力

已知彈性體內(nèi)任一點P處的應力分量，求經(jīng)過該點任意斜截面上的應力。為此在P點附近取一個平面AB，它平行于上述斜面，并與經(jīng)過P點而垂直于x軸和y軸的兩個平面畫出一個微小的三角板或三棱柱PAB。當平面AB與P點無限接近時，平面AB上的平均應力就成為上述斜截面上的應力。設AB面在xy平面內(nèi)的長度為ds，厚度為1個單位。N為該面的外法線方向，設其方向余弦分別為：xyOsPABN將x、y軸分別放在兩個主應力的方向小結(jié)：平面問題的應力邊界條件（1）斜面上的應力表明：σ1與σ2互相垂直。（2）一點的主應力、應力主向、最大最小應力τmax、τmin

的方向與σ1（σ2）成45°。工程問題的復雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復雜，數(shù)學推導的困難，將使得問題無法求解。根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設。使問題的研究限定在一個可行的范圍。基本假設是學科的研究基礎。超出基本假設的研究領域是固體力學其它學科的研究范圍?！?-2彈性力學的基本假設1.連續(xù)性假設

——假設所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個質(zhì)點之間不存在任何空隙?！冃魏笕匀槐３诌B續(xù)性。根據(jù)這一假設，物體所有物理量，例如位移、應變和應力等均為物體空間的連續(xù)函數(shù)。微觀上這個假設不成立——宏觀假設。2.均勻性假設

——假設彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標位置的變化而改變。——物體的彈性性質(zhì)處處都是相同的。工程材料，例如混凝土顆粒遠遠小于物體的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。對于環(huán)氧樹脂基玻璃纖維復合材料，不能處理為均勻材料。3.各向同性假設——假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標方向的改變而變化。

當然，像木材、竹子以及纖維增強材料等，屬于各向異性材料。——這些材料的研究屬于復合材料力學研究的對象。4.完全彈性假設——對應一定的溫度，如果應力和應變之間存在一一對應關系，而且這個關系和時間無關，也和變形歷史無關，外力消失后能夠恢復原形，稱為完全彈性。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學研究限于線性的應力與應變關系。研究對象的材料彈性常數(shù)不隨應力或應變的變化而改變。5.小變形假設——假設在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量?！趶椥泽w的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化?！雎晕灰?、應變和應力等分量的高階微量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。

——假設物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內(nèi)部沒有應力。彈性力學求解的應力、位移僅僅是外力、邊界約束或溫度改變而產(chǎn)生的。6.無初始應力假設基本量和基本方程的矩陣表示

采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序。本章無特別指明，均表示為平面應力問題的公式。體力面力位移函數(shù)應變應力結(jié)點位移列陣結(jié)點力列陣

基本物理量：物理方程其中D為彈性矩陣，對于平面應力問題是FEM中應用的方程：幾何方程

幾何方程---位移與應變之間的關系----幾何方程微分算子矩陣§2-3彈性力學的基本方程主要是描述應力、應變、位移及外力間的相互關系1、平衡方程（應力間的關系）2、幾何方程（應變與位移的關系）3、物理方程（應力與應變之間的關系）彈性矩陣未知數(shù)應力6個+應變6個+位移3個=15個方程個數(shù)平衡方程3個+幾何方程6個+物理方程6個=15個原則上可以根據(jù)15個方程求出15個未知物理量但實際求解時先求出一部分再通過方程求解剩下的目前有限元法主要采用的是位移法，以三個位移分量為基本未知量4.邊界條件當物體處于平衡狀態(tài)時，其內(nèi)部各點的應力狀態(tài)應滿足平衡微分方程，在邊界上應滿足邊界條件。一、位移邊界條件按照邊界條件的不同，彈性力學問題分為位移邊界問題、應力邊界問題和混合邊界問題。當邊界上已知位移時，應建立物體邊界上點的位移與給定位移相等的條件。如令給定位移的邊界為，則有（在上）：其中和表示邊界上的位移分量，而和在邊界上是坐標的已知函數(shù)。二、應力邊界條件當物體的邊界上給定面力時，則物體邊界上的應力應滿足與面力相平衡的平衡條件。其中和為面力分量，、、、為邊界上的應力分量。三、混合邊界條件1.物體的一部分邊界上具有已知位移，因而具有位移邊界條件，另一部分邊界上則具有已知面力。則兩部分邊界上分別有應力邊界條件和位移邊界條件。如圖，懸臂梁左端面有位移邊界條件：上下面有應力邊界條件：右端面有應力邊界條件：2.在同一邊界上，既有應力邊界條件又有位移邊界條件。如右圖齒槽邊界條件：如左圖連桿支撐邊界條件：例1如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1)(2)xyahhq（4）(3)練習1圖示構(gòu)件，試寫出其應力邊界條件。上側(cè)：N下側(cè)：N固定端略。

圣維南原理一、圣維南原理（局部影響原理）如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么，近處的應力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。二、舉例(a)(b)(c)設有柱形構(gòu)件，在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P，如圖2-9a。如果把一端或兩端的拉力變換為靜力等效的力，如圖2-9b或2-9c，只有虛線劃出部分的應力分布有顯著的改變，而其余部分所受的影響是可以不計的。(a)(b)(c)(d)如果再將兩端的拉力變換為均勻分布的拉力，集度等于P/A

，其中A

為桿件的橫截面面積，如圖2-9d，仍然只有靠近兩端部分的應力受到顯著的影響。(a)(b)(c)(d)圖2-9(e)如果將右端完全固定，如圖2-9e，仍然只有靠近兩端部分的應力受到顯著的影響。圖2-9(a)(b)(c)(d)(e)在上述五種情況下，離開兩端較遠的部分的應力分布，并沒有顯著的差別。注意：

應用圣維南原理，絕不能離開“靜力等效”的條件。

圣維南原理在小邊界上的應用：

如圖，考慮小邊界，⑴精確的應力邊界條件上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點，應力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。⑵積分的應力邊界條件 在小邊界x=l上，用下列條件代替上式的條件：在同一邊界x=l

上，應力的主矢量Fx,Fy=

面力的主矢量（給定)

應力的主矩(M)=

面力的主矩（給定）數(shù)值相等方向一致(b)具體列出以下三個積分條件：例2

試列出圖中的邊界條件。MFyxl

h/2

h/2q(a)(a)在主要邊界應精確滿足下列邊界條件：MFyxl

h/2

h/2q解:在小邊界x=0應