浙江省溫州市興港高級中學人教版高中數學必修二課件：2-1-1平面與平面的關系

面與面之間的關系1、初中《幾何》中我們認識了哪些平面幾何圖形？三角形、四邊形、多邊形、圓形、橢圓等。平面內基本圖形：點、線空間中基本圖形：點、線、面2、高中《幾何》中我們認識了哪些立體幾何圖形？棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球等。復習引入41.特點:平面是無限延展,沒有厚度的.2.畫法:水平或豎直的平面常用平行四邊形表示.3.記法:①平面α、平面β、平面γ（標記在邊上）②平面ABCD、平面AC或平面BD（但常用平面的一部分表示平面）ABCDABCD一、平面的表示方法5

判斷下列各題的說法正確與否，在正確的說法的題號后打，否則打.1、一個平面長4米，寬2米；()2、平面有邊界；()3、一個平面的面積是25cm2；()4、平面是無限延展、沒有厚度的；()5、一個平面可以把空間分成兩部分.()鞏固:Aa點在直線上點在直線外點在平面內

點在平面外結論1：空間中點與線、點與面的位置關系思考1:把一根木條固定在墻面上需要幾根釘子?Aa表示兩平面相交的畫法點與平面的位置關系點A在平面內，記作：點B在平面外，記作：二、平面的基本性質公理1：若一條直線的兩點在一個平面內，則這條直線上所有的點都在這個平面內,即:這條直線在這個平面內。作用:用于判定線在面內即:A∈a且B∈aABaAB直線a在平面a內記作：aa直線a在平面a外記作：aa結論2：空間中線與面的位置關系強調:

空間中點與線(面)只有∈和關系空間中線與面只有

與

的關系條件結論結論條件1條件2｝推導符號“”的使用：思考2:固定一扇門需要幾樣東西？回答:確定一個平面需要什么條件?公理2：過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面。ABC

A、B、C確定一個平面A、B、C不共線強調:推導符號跟著結論一起換行。作用:用于確定一個平面.推論1.一條直線和直線外一點確定一個平面。推論2.兩條相交直線確定一個平面。推論3.兩條平行直線確定一個平面。公理2.不共線的三點確定一個平面.確定一平面還有哪些方法？aACB應用1:

幾位同學的一次野炊活動,帶去一張折疊方桌,不小心弄壞了桌腳,有一生提議可將幾根一樣長的木棍,在等高處用繩捆扎一下作桌腳（如圖所示）,問至少要幾根木棍，才可能使桌面穩(wěn)定？答:至少3根

應用2:過空間中一點可以做幾個平面？過空間中兩點呢？三點呢？

結論：過空間中一點或兩點可以做無數個平面，過空間中不共線的三點只能做一個，否則有無數個。思考3:如圖所示，兩個平面α、β,若相交于一點,則會發(fā)生什么現象?βPlα公理3：若兩個不重合平面有一個公共點，則它們有且只有一條過該點的公共直線。即:P∈a且P∈baIb=l且P∈l｝｛P∈aP∈baIb=lP∈l作用:用于證明點在線上或多點共線.

例1如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關系．alABalPb（1）（2）解：在（1）中，在（2）中，典型例題1.正方體的各頂點如圖所示，正方體的三個面所在平面

,分別記作，試用適當的符號填空．(6)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=A1B1C1D1O1ABCDOOO1練習back20例2：求證兩兩相交于不同點的三條直線必在同一個平面內(共面問題)ABC已知:

AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C.求證:直線AB、BC、AC共面.證明∵AB∩AC=Aa∴直線AB、BC、AC共面于a∴AB和AC確定一平面a(公理2的推論2)

∵B∈ABa,C∈ACa∴BCa(公理1)證法二：因為A不在直線BC上，所以過點A和直線BC確定平面α

.（推論1）因為B∈BC，所以B∈α

.又A∈α，故AB，同理AC，所以AB，AC，BC共面.ABC例2證明兩兩相交且不同點的三條直線必在同一個平面內.證法三：因為A，B，C三點不在一條直線上，所以過A，B，C三點可以確定平面α.（公理2）因為A∈α，B∈α，所以AB.（公理1）同理BC，AC，所以AB，BC，CA三直線共面.

例3:△ABC在平面a外,

AB∩a

=Ｐ,BC

∩a=R，AC∩a

=Q,求證:Ｐ、Ｑ、Ｒ三點共線.(共線問題)ABCa又P∈a證明:∵P∈AB且AB平面ABCQPR∴

P∈平面ABC∴

P∈平面ABC∩a(公理3)設平面ABC∩a=l則P∈

l同理Q∈l且R∈l故P、Q、R三點共線于直線ll三線共點的問題練習：空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB和CB上的點，G，H分別是CD和AD上的點，且EH與FG相交于K.求證：EH，BD，FG三條直線相交于同一點.分析：已知EH∩FG=K，要證EH，BD，FG共點.即要證明B，D，K三點共線.而BD是面ABD和面CBD的交線.所以往證K∈面ABD∩面CBD.而顯然，由EH∈面ABD，K∈EH，可得K∈面ABD.同理，由FG∈面CBD，K∈FG，可得K∈面CBD.三線共點的問題練習：已知ABCD是四個頂點不在同一個平面內的空間四邊形，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，連結EF，FG，GH，HE，求證：EFGH是一個平行四邊形.問1:若上例加上條件AC=BD，則四邊形EFGH是一個什么圖形？“見中點找中點”構造三角形的中位線是證明平行的常用方法．∵EH是△ABD的中位線，∴EH∥FG且EH=FG．∴EFGH是一個平行四邊形．證明：連結BD，同理，FG∥BD且FG=BD．

∴EH∥BD且EH=BD．ABDEFGHC菱形問2:若上例中四邊形EFGH為矩形，AC與BD垂直嗎？另注：平行線段成比例練習例4：證明：一條直線與兩條平行直線都相交，則這三條直線共面.已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B.求證：直線a，b，c共面.證明：因為a//b，所以直線a，b確定一個平面α

.（推論3）因為A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因為A∈c，B∈c.故AB

.（公理1）因此直線a，b，c共面.點線共面問題練已知a，b，a∩b=A，P∈b，PQ//a.求證：PQ

.點線共面問題補充練習：1、A為直線上的點，又點A不在平面內，則與的公共點最多有_______個.12、四條直線過同一點，過每兩條直線作一個平面，則可以作_____________個不同的平面.1或4或6

若一條直線的兩點在一個平面內，則這條直線上所有的點都在這個平面內,即:這條直線在這個平面內

小結:平面的基本性質

公理1：作用:用于判定線在面內即:A∈a且B∈aABaABAaabABC作用:用于確定一個平面.baＰ小結：公理2及其推論aIb=Ｐa和b確定一平面.A∈aA和a確定一平面.A,B,C確定一平面.A,B,C不共線a和b確定一平面.a∥b公理3：若兩個不重合平面有一個公共點，則它們有且只有一條過該點的公共直線。即:P∈a且P∈baIb=l且P∈l｝｛P∈aP∈baIb=lP∈l作用:用于證明點在線上或多點共線Aa點在直線上點在直線