數(shù)字信號處理 1

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參考教材：《數(shù)字信號處理》（第三版），高西全、丁玉美，西安電子科技大學出版社。

數(shù)字信號處理2緒論信息化數(shù)字化數(shù)字信號處理（DSP）基礎核心技術3一、信號1、定義：信號是信息的物理表現(xiàn)形式/傳遞信息的函數(shù)2、分類：不同的載體：熱、聲、光、電……不同的角度分類：

1）變量的多少：一維信號：聲音信號，一維時間信號二維信號：灰白圖像多維信號：彩色圖像42）周期性周期信號非周期信號3）確定性確定信號：信號可以用一個確定的時間函數(shù)（或序列）表示。隨機信號4）能量或功率的有限性能量信號和功率信號5時間幅度模擬信號連續(xù)時間信號連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)（或離散）離散時間信號離散連續(xù)數(shù)字信號離散量化（離散）5）連續(xù)性和離散性6二、信號處理1、定義：對含有信息的信號進行處理（或變換），從而獲得所希望信號（提取有用信號）的過程。2、模擬信號處理3、數(shù)字信號處理：用數(shù)值計算的方法對信號進行處理，這里“處理”的實質是“運算”，處理對象則包括模擬信號和數(shù)字信號。7三、系統(tǒng)1、定義：對信號進行處理的物理設備。2、分類

模擬系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)

離散時間系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)本書只討論一維離散時間信號的處理問題8A/D變換器數(shù)字信號處理抗混疊濾波器D/A變換器低通濾波器將模擬信號高頻部分濾除數(shù)字信號進行變換處理濾除不需要的高頻分量四、數(shù)字信號處理系統(tǒng)連續(xù)信號離散化以及幅值量化數(shù)字信號轉換成模擬信號x(n)y(n)xa(t)ya(t)9DSP系統(tǒng)實現(xiàn)方法優(yōu)點缺點應用軟件實現(xiàn)法靈活方便速度慢理論計算與仿真硬件實現(xiàn)法速度快不靈活DSP芯片法（軟硬件結合）靈活方便速度快應用廣泛10DSP的特點接口簡單、方便高精度高穩(wěn)定性編程方便，容易實現(xiàn)復雜的算法，功能強大易大規(guī)模集成111.1離散時間信號（序列）

一、序列的表示方法1、集合符號表示法第1章離散時間信號與系統(tǒng)x(n)={3，4，2，1，0，5，7，8}注：用下劃線標出n=0在序列中的位置，上面序列的x(0)=1122、公式表示法（有規(guī)律的離散序列）3、圖形表示法0123456789nx(n)-11211-1-2222331011……x(0)=2x(1)=1x(2)=2x(3)=3……

橫坐標n表示離散的時間坐標，僅在n為整數(shù)時才有意

義，縱坐標代表信號點的值。131、單位采樣序列二、常用的典型序列

(n)是一個脈沖幅度為1的現(xiàn)實序列。(t)是脈寬為零，幅度為

的一種數(shù)學極限，是非現(xiàn)實信號。

142、單位階躍序列

用單位階躍序列u(n)表示單位取樣序列(n)：

用單位取樣序列(n)表示單位階躍序列u(n)：153、矩形序列

用單位階躍序列u(n)表示矩形序列RN(n)：

用單位取樣序列(n)表示矩形序列RN(n)：164、實指數(shù)序列

當|a|≥1時，序列發(fā)散。

當|a|<1時，序列收斂。17

5、正弦序列模擬正弦信號：數(shù)字域頻率是模擬角頻率對采樣頻率的歸一化頻率186、復指數(shù)序列當時x(n)的實部和虛部分別是余弦和正弦序列。

注：正弦序列與復指數(shù)序列均是以2π為周期，所以在數(shù)字頻域考慮問題時取數(shù)字頻域的主值區(qū)間197、周期序列若對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，滿足則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。例:因此，x(n)是周期為8的周期序列20一般正弦序列的周期性討論21

具體有以下三種情況(1)當2/0

為整數(shù)時：

k=1，則N=2/0為最小整數(shù)，正弦序列是以N為周期的周期序列。(2)當2/0

為有理數(shù)時(有理數(shù)可表示成分數(shù))：

若N、k互素，則此時N取得最小整數(shù)，使x(n)=x(n+N)。(3)當2/0

為無理數(shù)時：

任何k都不能使N為整數(shù)，此時x(n)不是周期性的。

注：此時k≠1。22任意序列的單位脈沖序列表示法：(n)n01234561-1-2-3-42(n-1)n01234562-1-2-3-4可以將任意序列表示成單位抽樣序列的移位加權和3(n-2)n01234563-1-2-3-4x(n)=(n)+2(n-1)+3(n-2)n01234563-1-2-3-412其中，x(0)=1,x(1)=2,x(2)=3231、加法：兩序列x(n)、y(n)的和是指同序號n的序列值逐次對應相加而構成一個新的序列z(n)。

三、序列的運算x(n)n012345621211y(n)n012345611111z(n)n012345632322z(n)=x(n)+y(n)……z(0)=x(0)+y(0)=3z(1)=x(1)+y(1)=2z(2)=x(2)+y(2)=3z(3)=x(3)+y(3)=2z(4)=x(4)+y(4)=2……242、乘法：兩序列同序號n的序列值逐項對應相乘而構成的新序列。x(n)n012345621211z(n)=x(n)*y(n)……z(0)=x(0)*y(0)=2z(1)=x(1)*y(1)=2z(2)=x(2)*y(2)=2z(3)=x(3)*y(3)=2z(4)=x(4)*y(4)=1……y(n)n012345611212z(n)n012345622221253、序列的移位：

設有一序列x(n)，當m為正時：

x(n-m)表示序列x(n)逐項依次右移m位后得到的序列。

x(n+m)表示序列x(n)逐項依次左移m位后得到的序列。n0123456n012345-1-2-3y(n)=x(n±m(xù))x(0)=1x(1)=2x(2)=3nx(n)012342113213x(n+1)213x(n-1)264、序列的翻轉：

設有序列x(n)，

則x(-n)是以n=0為縱軸將x(n)翻轉后的序列。y(n)=x(-n)x(n)n01234562113-1-2-3-4x(-n)n0123456-1-2-3-421327

x(-n+1)和x(-n-1)與x(-n)的移位關系x(n)n01234562113-1-2-3-4x(0)=1x(1)=2x(2)=3x(-n)n0123456-1-2-3-4213x(-n+1)n0123456-1-2-3-4213x(-n-1)n0123456-1-2-3-4213x(-n+1)是x(-n)

右移一位后的序列x(-n-1)是x(-n)

左移一位后的序列285、序列的尺度變換

設某序列為x(n)，則其時間尺度變換序列為x(mn)或

x(n/m)，m為正整數(shù)。

x(mn)為抽取序列（m>1）

x(n/m)為插值序列（m<1）例如：x(n)與x(2n)-2

-1012n12345x(n)135x(2n)-2

-1012n

x(n)=x(t)|t=nT

采樣間隔為T

x(2n)=x(t)|t=2nT

采樣間隔為2T，抽樣

x(n/2)=x(t)|t=nT/2 采樣間隔為T/2，插值

296、累加

設序列x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為：它表示y(n)在某一個n0上的值等于這一個n0上的x(n0)以及n0從前的所有n值上的x(n)值之和。7、序列的能量序列x(n)的能量為：301.2離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)T[?](運算)x(n)輸入序列y(n)輸出序列一、線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入與輸出間滿足線性疊加原理。

1、可加性

設y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]

如果y1(n)+y2(n)=T[x1(n)]+T[x2(n)]=T[x1(n)+x2(n)]

說明系統(tǒng)T[?]滿足可加性。y(n)=T[x(n)]312、比例性(齊次性)設y1(n)=T[x1(n)]

如果a1y1(n)=a1T[x1(n)]=T[a1x1(n)]

說明系統(tǒng)T[·]滿足比例性或齊次性。綜合1、2，得到疊加原理的一般表達式：說明：(1)疊加原理的一個直接結果是零輸入產生零輸出。(2)在證明一個系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)時，應證明系統(tǒng)既

滿足可加性，又滿足比例性。32例：驗證下面的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)：y(n)=ax(n)+b方法一：驗證系統(tǒng)是否滿足疊加原理。

可加性分析：y1(n)=ax1(n)+by2(n)=ax2(n)+by3(n)=T[x1(n)+x2(n)]=ax1(n)+ax2(n)+b≠y1(n)+y2(n)得到：y1(n)+y2(n)=ax1(n)+ax2(n)+2b得證：由于該系統(tǒng)不滿足可加性，故其不是線性系統(tǒng)。方法二：利用線性系統(tǒng)的“零輸入產生零輸出”的特性驗證。

因為當x(n)=0時，y(n)=b≠0，這不滿足線性系統(tǒng)的“零輸入產生零輸出”的特性，因此它不是線性系統(tǒng)。33二、時不變系統(tǒng)(移不變系統(tǒng))

定義：若系統(tǒng)對于輸入信號的響應與輸入信號加入系統(tǒng)的時刻無關，則該系統(tǒng)為時不變或移不變系統(tǒng)。

即：若有y(n)=T[x(n)]，則y(n-m)=T[x(n-m)]成立。例：證y(n)=4x(n)+6是移

不變系統(tǒng)。證：y(n-m)=4x(n-m)+6

T[x(n-m)]=4x(n-m)+6

∵y(n-m)=T[x(n-m)]

∴該系統(tǒng)是移不變系統(tǒng)例：驗證系統(tǒng)y(n)=nx(n)的移不變特性。證：T[x(n-k)]=nx(n-k)y(n-k)=(n-k)x(n-k)因為y(n-k)與T[x(n-k)]不同，故不是移不變系統(tǒng)。34三、線性時不變系統(tǒng)及其輸入與輸出之間的關系

同時具有線性和時不變性的離散時間系統(tǒng)稱為線性時不變（LSI）系統(tǒng)。

單位取樣(沖激)響應h(n)：當輸入為(n)時，系統(tǒng)的輸出用h(n)表示。

h(n)=T[(n)]1、卷積的定義

在前面我們學過，任一序列x(n)可以寫成：35那么系統(tǒng)的輸出為：

卷積：當一個系統(tǒng)是LSI系統(tǒng)時，它的輸出y(n)可以用輸入x(n)與單位沖擊響應h(n)的卷積來表示。36(1)翻轉：畫出x(m)與h(m)，以m=0的縱軸為對稱軸將h(m)

反褶成h(-m)。(2)移位：將h(-m)移位n，得到h(n-m)。

當n為正，右移n位；當n為負，左移n位。(3)相乘：將h(n-m)和x(m)的相同m值的對應點值進行相乘。(4)相加：將所有對應點的乘積累加起來，得到某一個n下的

輸出值y(n)。2、卷積的計算37例：設x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)38x(m)1111h(m)1111h(-m)1111y(0)=1h(1-m)1111y(1)=2h(2-m)1111y(2)=3h(3-m)1111y(3)=4h(4-m)1111y(4)=3h(5-m)1111y(5)=2h(6-m)1111y(6)=1393、卷積的性質

（1）交換律y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)等效于

（2）結合律x(n)*h1(n)*h2(n)

=[x(n)*h1(n)]*h2(n)

=[x(n)*h2(n)]*h1(n)

=x(n)*[h1(n)*h2(n)]

h1(n)x(n)y(n)h2(n)h2(n)x(n)y(n)h1(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)三者等效40（3）分配律x(n)*[h1(n)+h2(n)]=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)h1(n)+h2(n)x(n)y(n)兩者等效h1(n)x(n)y(n)h2(n)41四、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性1、因果性：

如果系統(tǒng)n時刻的輸出只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而和n時刻后的輸入序列無關。即：n=n0時的輸出y(n0)只取決于n≤n0的輸入x(n)|n≤n0的系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，否則為非因果系統(tǒng)。42

線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是：

h(n)=0，n<0證：①充分條件若n<0時，h(n)=0，有：

從上式看出，y(n0)只與m≤n0時刻的x(m)有關，這滿足因果系統(tǒng)的定義。我們將n<0，x(n)=0的序列稱為因果序列n-m≥0,h(n)≠0∴m<=n43②必要條件(反證法)

若已知一系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但當n<0時，至少存在一個n

使得：h(n)≠0，則有：

在設定的條件下，第二項至少有一個h(n-m)≠0，故y(n)將至少和m>n時的一個x(m)值有關，而這又與設定的另一個條件：因果系統(tǒng)相矛盾，所以說明設定條件有誤。∵m≤n∴n-m≥0∵m>n∴n-m<0當利用該性質驗證一個系統(tǒng)為因果系統(tǒng)時，應首先確定系統(tǒng)是LSI系統(tǒng)，并求出其單位沖激響應h(n)。442、穩(wěn)定性

穩(wěn)定系統(tǒng)：有界輸入產生有界輸出的系統(tǒng)。

即：如果|x(n)|≤M<

，則有：|y(n)|≤P<

。一個LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是：單位抽樣響應絕對可和。例：驗證系統(tǒng)y(n)=ax(n)的穩(wěn)定性。證：設x(n)有界，|x(n)|<A∵-A<|x(n)|<A∴a-A<|y(n)|<aA當x(n)有界時，y(n)也有界，故為穩(wěn)定系統(tǒng)。45

證明一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定的方法：①若LSI系統(tǒng)的h(n)已直接給出，或間接求出，則可以用h(n)是否絕對可和來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。②若系統(tǒng)是以y(n)=T[x(n)]

的形式給出的，則應該直接利用穩(wěn)定系統(tǒng)的定義：有界輸入得到有界輸出來證明。③有時可利用反證法，只要找到一個有界的輸入x(n)，若能得到無界的輸出，則該系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。461.3常系數(shù)線性差分方程1、線性常系數(shù)差分方程：常系數(shù)：是指方程中ak和bm為常數(shù)。階數(shù)：y(n)項中變量序號的最高值與最低值之差。線性：y(n-k)與x(n-m)項都只有一次冪，且不存在相乘項。472、常系數(shù)差分方程的求解：①經典解法：類似于模擬系統(tǒng)求解微分方程的方法，要求齊次解、特解，并由邊界條件求待定系數(shù)。由于計算復雜，較少使用。②遞推(迭代)法：簡單、適于用計算機進行求解。但只能得到一系列數(shù)值解，不易得到封閉式(公式)解答。③變換域法：將差分方程變換到z域求解。48用遞推法求解差分方程

例：設因果系統(tǒng)差分方程為：y(n)-ay(n-1)=x(n)，輸入信號x(n)=(n)，求輸出信號y(n)。y(0)=ay(-1)+(0)=0+1=1y(1)=ay(0)+(1)=a+0=ay(2)=ay(1)+(2)=a2+0=a2解：設y(-1)=0y(n)=ay(n-1)+0=an+0=an...遞推故y(n)=anu(n)注意：差分方程相同，輸入信號也一樣時，對于不同的初始條件，會得到不同的系統(tǒng)輸出。49差分方程表示法的一個優(yōu)點是：

可以直接得到系統(tǒng)的結構，這里的結構是指將輸入變換成輸出的運算結構。例：差分方程：

y(n)=b0x(n)-a1y(n-1)該差分方程所表示的結構為：z-1x(n)b0-a1y(n)從圖中可以看出需要多少個加法器、乘法器和延遲單元。50抽樣：利用周期性抽樣脈沖序列p(t)，從連續(xù)信號xa(t)中

抽取一系列的離散值，得到抽樣信號，用表示。A/D：再經幅度量化編碼后得到數(shù)字信號。抽樣器：相當于一個電子開關，開關每隔T(采樣間隔)秒閉合

一次，使時間離散。理想抽樣：閉合時間無限短。實際抽樣：閉合時間為秒，但：<<T

。1.4連續(xù)時間信號的抽樣51一、理想抽樣過程

因為→0，此時抽樣脈沖序列p(t)看成沖激函數(shù)序列T(t)。抽樣后的信號完全與輸入信號xa(t)在抽樣瞬間的幅度相同。研究目標：(1)信號被抽樣后頻譜會發(fā)生什么變化？

(2)在什么條件下，可以從抽樣信號中

不失真地恢復原信號？沖激函數(shù)序列：理想抽樣輸出：抽樣后的信號完全與輸入信號xa(t)在抽樣瞬間的幅度相同。52二、理想抽樣后信號頻譜的變化將時域信號轉換到頻域：時域相乘相當于頻域卷積53利用傅立葉級數(shù)將T(t)展開，可得：s=2/T，為采樣角頻率其中54-2T

-T0T2T1T(t)t-2s

-s0s2s

s△T(j)

FT5556比較與的頻譜，發(fā)現(xiàn)：抽樣后的頻譜是以抽樣角頻率s為周期，進

行周期性延拓而成的。時域離散頻域周期理想抽樣信號的頻譜，其周期為s，頻譜的幅度受1/T加權。57情況①：不混疊

若xa(t)是帶限信號，且信號最高頻譜分量h不超過s/2。

-2s-s0s2s1/T…………

0h1理論上說，只要用一個截止頻率為s/2的理想低通濾波器對進行處理，就能得到，從而得到。58情況②：混疊

若xa(t)是帶限信號，且信號最高頻譜分量h超過s/2。-2s-s0s2s1/T…………

0h1

由于各周期延拓分量產生的頻譜互相交疊，使抽