數(shù)學(xué)期望的定義

§4.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望主講：劉常勝單位：數(shù)理系預(yù)備知識(shí)1、算術(shù)平均值

若有n個(gè)數(shù)為的算術(shù)平均值.

例：一個(gè)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)在校大學(xué)新生，期末成績(jī)?yōu)椋簲?shù)學(xué)分析80分，高等代數(shù)85分，解析幾何90分，大學(xué)英語(yǔ)85分，形勢(shì)與政策80分，則該學(xué)生的算術(shù)平均分?jǐn)?shù)為：稱(chēng)

這個(gè)數(shù)字顯然不能反映該同學(xué)的真正成績(jī)，因?yàn)樗鼪](méi)有考慮到這五個(gè)科目的相對(duì)重要性。譬如在這個(gè)年級(jí)中，數(shù)學(xué)分析為5學(xué)分，高等代數(shù)4學(xué)分，解析幾何3學(xué)分，大學(xué)英語(yǔ)3學(xué)分，形勢(shì)與政策1學(xué)分.因此下面的計(jì)算更為合理些：預(yù)備知識(shí)2、加權(quán)平均值給定權(quán)

預(yù)備知識(shí)滿(mǎn)足

稱(chēng)

為

關(guān)于權(quán)的加權(quán)平均值.權(quán)，又稱(chēng)權(quán)重(Weight)3、加權(quán)平均值與所選的“權(quán)”有關(guān)

在這個(gè)例子中，若數(shù)學(xué)分析為每周6學(xué)時(shí)，高等代數(shù)4學(xué)時(shí)，解析幾何3學(xué)時(shí)，大學(xué)英語(yǔ)4學(xué)時(shí)，形勢(shì)與政策1學(xué)時(shí)，則該生的加權(quán)平均分也可以用下式表達(dá)：預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)等分“權(quán)”（算術(shù)平均值）按學(xué)分分配“權(quán)”按學(xué)時(shí)分配“權(quán)”1、設(shè)X為離散r.v.,分布律為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則稱(chēng)其和為X

的數(shù)學(xué)期望，又稱(chēng)期望,均值或（加權(quán)）平均值，記作E(X),

即§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義即一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義2、在定義中對(duì)級(jí)數(shù)要求絕對(duì)收斂的必要性因?yàn)橹T的順序?qū)﹄S機(jī)變量取期望并不是本質(zhì)的因而在數(shù)學(xué)期望定義中應(yīng)允許任意改變求和次序，而不影響收斂性及其和值，這在數(shù)學(xué)上相當(dāng)于絕對(duì)收斂.[反例]設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為因此按照數(shù)學(xué)期望定義，該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存在.3、數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的數(shù)字特征，而不是本質(zhì)特征.一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義P-101

0.10.80.1P-2020.20.60.2它們具有相同的數(shù)學(xué)期望，但是卻是兩個(gè)完全不同的隨機(jī)變量.注：隨機(jī)變量的概率分布，才是隨機(jī)變量唯一的本質(zhì)特征.[例1]設(shè)r.vX的分布律如下表,求E(X)

.XP

-13解甲乙兩人賭博，甲贏的概率為，輸?shù)母怕蕿?，甲每贏一次可從乙處得3元，而每輸一次，要給乙1元，則甲平均每次可贏元。§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用實(shí)例§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用實(shí)例[例2]某人有10萬(wàn)元現(xiàn)金，想投資某個(gè)項(xiàng)目，預(yù)計(jì)成功的機(jī)會(huì)為30%，可得利潤(rùn)8萬(wàn)元；失敗的機(jī)會(huì)為70%，將損失2萬(wàn)元，若存入銀行，利率為5%，問(wèn)是否做此項(xiàng)投資？

X

8-2

P0.30.7分析：記為投資利潤(rùn)，其概率分布為因此而存入銀行的利息為0.5萬(wàn)元，從數(shù)學(xué)期望角度，似應(yīng)該選擇投資，當(dāng)然要看當(dāng)事人是否愿意冒這個(gè)風(fēng)險(xiǎn).1、

X~B(n,p),即則2、若X~B(1,p),

即§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望三、常用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望則三、常用離散型隨機(jī)的變量數(shù)學(xué)期望3、

X~Possion(),即則§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望三、常用離散型隨機(jī)的變量數(shù)學(xué)期望4、X~G(p),即則某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為50%，規(guī)定該運(yùn)動(dòng)員首次投籃命中時(shí)即刻停止，則投籃次數(shù)X

的平均值為2，即平均每投籃2次才進(jìn)1個(gè)球，正好也反映了命中率.討論題

將4個(gè)不同色的球隨機(jī)放入4個(gè)盒子中,每盒容納球數(shù)無(wú)限,求空盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.分析：設(shè)X為空盒子數(shù),則

X的概率分布為XP0123思考我們知道，所謂離散型隨機(jī)變量就是它的取值在數(shù)軸上的分布是不稠密的，分散的；那么對(duì)于在數(shù)軸上取值稠密的連續(xù)性隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，如何描述數(shù)學(xué)期望（平均值）呢？小結(jié)

一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義二、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用