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2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.2.如圖是甲、乙兩位同學在六次數(shù)學小測試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說法錯誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等3.已知集合,則為()A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]4.已知復數(shù),則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.5.以下關于的命題,正確的是A.函數(shù)在區(qū)間上單調遞增B.直線需是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D.將函數(shù)圖象向左平移需個單位,可得到的圖象6.設,則(
)A.10 B.11 C.12 D.137.函數(shù)(,,)的部分圖象如圖所示,則的值分別為()A.2,0 B.2, C.2, D.2,8.已知,滿足條件(為常數(shù)),若目標函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.9.若的內(nèi)角滿足,則的值為()A. B. C. D.10.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關于對稱,則的值為()A.2 B.3 C.4 D.11.已知集合,,,則的子集共有()A.個 B.個 C.個 D.個12.已知函數(shù),若時,恒成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則的取值范圍是__________.14.已知集合U={1,3,5,9},A={1,3,9},B={1,9},則?U(A∪B)=________.15.已知向量,滿足,,且已知向量,的夾角為,,則的最小值是__.16.若關于的不等式在時恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_____三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱柱中,平面,,且.(1)求棱與所成的角的大?。唬?)在棱上確定一點,使二面角的平面角的余弦值為.18.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)若,求曲線與的交點坐標;(2)過曲線上任意一點作與夾角為45°的直線,交于點,且的最大值為,求的值.19.(12分)如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品,如果年返修率不超過千分之一,則其生產(chǎn)部門當年考核優(yōu)秀,現(xiàn)獲得該公司年的相關數(shù)據(jù)如下表所示:年份20112012201320142015201620172018年生產(chǎn)臺數(shù)(萬臺)2345671011該產(chǎn)品的年利潤(百萬元)2.12.753.53.2534.966.5年返修臺數(shù)(臺)2122286580658488部分計算結果:,,,,注:年返修率=(1)從該公司年的相關數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù),以表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;(2)根據(jù)散點圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大,如果去掉該年的數(shù)據(jù),試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(百萬元)關于年生產(chǎn)臺數(shù)(萬臺)的線性回歸方程(精確到0.01).附:線性回歸方程中,,.21.(12分)已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標方程:(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)已知點,直線與圓相交于、兩點,求的值.22.(10分)在中,角,,所對的邊分別為,,,已知,,角為銳角,的面積為.(1)求角的大小;(2)求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
先求出集合N的補集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補集的運算,屬于基礎題.2.B【解析】
由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結論.【詳解】對于甲,;對于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯誤;對于甲,方差.5,對于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.【點睛】本題考查莖葉圖的應用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計算能力,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎題.3.B【解析】
先求出,得到,再結合集合交集的運算,即可求解.【詳解】由題意,集合,所以,則,所以.故選:B.【點睛】本題主要考查了集合的混合運算,其中解答中熟記集合的交集、補集的定義及運算是解答的關鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎題.4.A【解析】
分子分母同乘分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查學生運算能力,是一道容易題.5.D【解析】
利用輔助角公式化簡函數(shù)得到,再逐項判斷正誤得到答案.【詳解】A選項,函數(shù)先增后減,錯誤B選項,不是函數(shù)對稱軸,錯誤C選項,,不是對稱中心,錯誤D選項,圖象向左平移需個單位得到,正確故答案選D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調性,對稱軸,對稱中心,平移,意在考查學生對于三角函數(shù)性質的綜合應用,其中化簡三角函數(shù)是解題的關鍵.6.B【解析】
根據(jù)題中給出的分段函數(shù),只要將問題轉化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值,代入即可求出其值.【詳解】∵f(x),∴f(5)=f[f(1)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=1.故選:B.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值,屬于基礎題.7.D【解析】
由題意結合函數(shù)的圖象,求出周期,根據(jù)周期公式求出,求出,根據(jù)函數(shù)的圖象過點,求出,即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知:,函數(shù)的圖象過點,,則故選【點睛】本題主要考查的是的圖像的運用,在解答此類題目時一定要挖掘圖像中的條件,計算三角函數(shù)的周期、最值,代入已知點坐標求出結果8.B【解析】
由目標函數(shù)的最大值為9,我們可以畫出滿足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點的坐標,然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【詳解】畫出,滿足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標函數(shù)的最大值為9,可得直線與直線的交點,使目標函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【點睛】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個不等式對應的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點,然后得到一個含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.9.A【解析】
由,得到,得出,再結合三角函數(shù)的基本關系式,即可求解.【詳解】由題意,角滿足,則,又由角A是三角形的內(nèi)角,所以,所以,因為,所以.故選:A.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質,以及三角函數(shù)的基本關系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題,著重考查了推理與計算能力.10.B【解析】
因為將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,可得,結合已知,即可求得答案.【詳解】將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,又和的圖象都關于對稱,由,得,,即,又,.故選:B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對稱求參數(shù),解題關鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.11.B【解析】
根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計算,可得結果.【詳解】由題可知:,當時,當時,當時,當時,所以集合則所以的子集共有故選:B【點睛】本題考查集合的運算以及集合子集個數(shù)的計算,當集合中有元素時,集合子集的個數(shù)為,真子集個數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎題.12.D【解析】
通過分析函數(shù)與的圖象,得到兩函數(shù)必須有相同的零點,解方程組即得解.【詳解】如圖所示,函數(shù)與的圖象,因為時,恒成立,于是兩函數(shù)必須有相同的零點,所以,解得.故選:D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應用和函數(shù)的零點問題,考查不等式的恒成立問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13..【解析】
配方求出頂點,作出圖像,求出對應的自變量,結合函數(shù)圖像,即可求解.【詳解】,頂點為因為函數(shù)的值域是,令,可得或.又因為函數(shù)圖象的對稱軸為,且,所以的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)值域,考查數(shù)形結合思想,屬于基礎題.14.{5}【解析】易得A∪B=A={1,3,9},則?U(A∪B)={5}.15.【解析】
求的最小值可以轉化為求以AB為直徑的圓到點O的最小距離,由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示,設,由題,得,又,所以,則點C在以AB為直徑的圓上,取AB的中點為M,則,設以AB為直徑的圓與線段OM的交點為E,則的最小值是,因為,又,所以的最小值是.故答案為:【點睛】本題主要考查向量的綜合應用問題,涉及到圓的相關知識與余弦定理,考查學生的分析問題和解決問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想.16.【解析】
利用對數(shù)函數(shù)的單調性,將不等式去掉對數(shù)符號,再依據(jù)分離參數(shù)法,轉化成求構造函數(shù)最值問題,進而求得的取值范圍。【詳解】由得,兩邊同除以,得到,,,設,,由函數(shù)在上遞減,所以,故實數(shù)的取值范圍是?!军c睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調性,以及恒成立問題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】試題分析:(1)因為AB⊥AC,A1B⊥平面ABC,所以以A為坐標原點,分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸,以過A,且平行于BA1的直線為z軸建立空間直角坐標系,由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點的坐標,求出棱AA1與BC上的兩個向量,由向量的夾角求棱AA1與BC所成的角的大?。?/p>
(2)設棱B1C1上的一點P,由向量共線得到P點的坐標,然后求出兩個平面PAB與平面ABA1的一個法向量,把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為,轉化為它們法向量所成角的余弦值,由此確定出P點的坐標.試題解析:解(1)如圖,以為原點建立空間直角坐標系,則,.,故與棱所成的角是.(2)為棱中點,設,則.設平面的法向量為,,則,故而平面的法向量是,則,解得,即為棱中點,其坐標為.點睛:本題主要考查線面垂直的判定與性質,以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關系轉化為向量關系;(5)根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.18.(1),;(2)或【解析】
(1)將曲線的極坐標方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程,聯(lián)立方程,即可求得曲線與的交點坐標;(2)由直線的普通方程為,故上任意一點,根據(jù)點到直線距離公式求得到直線的距離,根據(jù)三角函數(shù)的有界性,即可求得答案.【詳解】(1),.由,得,曲線的直角坐標方程為.當時,直線的普通方程為由解得或.從而與的交點坐標為,.(2)由題意知直線的普通方程為,的參數(shù)方程為(為參數(shù))故上任意一點到的距離為則.當時,的最大值為所以;當時,的最大值為,所以.綜上所述,或【點睛】解題關鍵是掌握極坐標和參數(shù)方程化為直角坐標方程的方法,和點到直線距離公式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.19.(1)見解析(2)【解析】
(1)連結BM,推導出BC⊥BB1,AA1⊥BC,從而AA1⊥MC,進而AA1⊥平面BCM,AA1⊥MB,推導出四邊形AMNP是平行四邊形,從而MN∥AP,由此能證明MN∥平面ABC.(2)推導出△ABA1是等腰直角三角形,設AB,則AA1=2a,BM=AM=a,推導出MC⊥BM,MC⊥AA1,BM⊥AA1,以M為坐標原點,MA1,MB,MC為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值.【詳解】(1)如圖1,在三棱柱中,連結,因為是矩形,所以,因為,所以,又因為,,所以平面,所以,又因為,所以是中點,取中點,連結,,因為是的中點,則且,所以且,所以四邊形是平行四邊形,所以,又因為平面,平面,所以平面.(圖1)(圖2)(2)因為,所以是等腰直角三角形,設,則,.在中,,所以.在中,,所以,由(1)知,則,,如圖2,以為坐標原點,,,的方向分別為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標系,則,,.所以,則,,設平面的法向量為,則即取得.故平面的一個法向量為,因為平面的一個法向量為,則.因為二面角為鈍角,所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查了利用空間向量法求解二面角的方法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力,是中檔題.20.(1)見解析;(2)【解析】
(1)先判斷得到隨機變量的所有可能取值,然后根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)計算得到相應的概率,進而得到分布列和期望.(2)由于去掉年的數(shù)據(jù)后不影響的值,可根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出;然后再根據(jù)去掉年的數(shù)據(jù)后所剩數(shù)據(jù)求出即可得到回歸直線方程.【詳解】(1)由數(shù)據(jù)可知,,,,,五個年份考核優(yōu)秀.由題意的所有可能取值為,,,,,,,.故的分布
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