2023年高中立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、空間幾何體(一)空間幾何體的類(lèi)型１多面體:由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。２旋轉(zhuǎn)體：把一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線(xiàn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的軸。(二）幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特性１、棱柱的結(jié)構(gòu)特性１.1棱柱的定義:有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。圖1-1棱柱1.2棱柱的分類(lèi)圖1-1棱柱棱柱底面是四邊形四棱柱底面是平行四邊形平行六面體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面是矩形長(zhǎng)方體底面是正底面是四邊形底面是平行四邊形側(cè)棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形棱長(zhǎng)都相等性質(zhì):Ⅰ、側(cè)面都是平行四邊形，且各側(cè)棱互相平行且相等；Ⅱ、兩底面是全等多邊形且互相平行;Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.３棱柱的面積和體積公式（是底周長(zhǎng)，是高)S直棱柱表面=c·h+2S底V棱柱=S底·h?2、棱錐的結(jié)構(gòu)特性2．1棱錐的定義(1）棱錐:有一個(gè)面是多邊形,其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。（２）正棱錐:假如有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。2．2正棱錐的結(jié)構(gòu)特性Ⅰ、平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形,相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比;它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比;Ⅱ、正棱錐的各側(cè)棱相等,各側(cè)面是全等的等腰三角形；ABCDPOH正棱錐側(cè)面積:ABCDPOH體積:（為底面積,為高）正四周體：對(duì)于棱長(zhǎng)為正四周體的問(wèn)題可將它補(bǔ)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體問(wèn)題。對(duì)棱間的距離為(正方體的邊長(zhǎng)）正四周體的高（）正四周體的體積為（）正四周體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為()3、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特性3.1棱臺(tái)的定義:用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐,我們把截面和底面之間的部分稱(chēng)為棱臺(tái)。3.2正棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特性(1)各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；(２）正棱臺(tái)的兩個(gè)底面和平行于底面的截面都是正多邊形；(3）正棱臺(tái)的對(duì)角面也是等腰梯形;（4）各側(cè)棱的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)。４、圓柱的結(jié)構(gòu)特性4．1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。4.2圓柱的性質(zhì)(1)上、下底及平行于底面的截面都是等圓；(2)過(guò)軸的截面（軸截面)是全等的矩形。4.3圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖:圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是以底面周長(zhǎng)和母線(xiàn)長(zhǎng)為鄰邊的矩形。4.4圓柱的面積和體積公式Ｓ圓柱側(cè)面＝2π·r·h(r為底面半徑，h為圓柱的高)S圓柱全=2πｒh+2πr2V圓柱=S底h＝πr2h５、圓錐的結(jié)構(gòu)特性５.１圓錐的定義:以直角三角形的一直角邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。5.2圓錐的結(jié)構(gòu)特性（1）平行于底面的截面都是圓,截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比;圖1-5圓錐(2）軸截面是等腰三角形；圖1-5圓錐(３)母線(xiàn)的平方等于底面半徑與高的平方和：l2=r２＋ｈ25.3圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是以頂點(diǎn)為圓心，以母線(xiàn)長(zhǎng)為半徑的扇形。6、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特性6．1圓臺(tái)的定義:用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱(chēng)為圓臺(tái)。６.2圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特性⑴圓臺(tái)的上下底面和平行于底面的截面都是圓；⑵圓臺(tái)的截面是等腰梯形；⑶圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐,然后運(yùn)用相似三角形進(jìn)行研究。6.３圓臺(tái)的面積和體積公式S圓臺(tái)側(cè)＝π·(R+r)·l(r、R為上下底面半徑）S圓臺(tái)全=π·ｒ2+π·R2+π·(R＋r）·ｌV圓臺(tái)=１／3(πｒ2＋πR2+πrR)h(h為圓臺(tái)的高)7球的結(jié)構(gòu)特性7.1球的定義：以半圓的直徑所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸,半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體?？臻g中,與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱(chēng)為球體。7－2球的結(jié)構(gòu)特性⑴球心與截面圓心的連線(xiàn)垂直于截面;⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：ｒ2＝R２–ｄ2★7-3球與其他多面體的組合體的問(wèn)題球體與其他多面體組合，涉及內(nèi)接和外切兩種類(lèi)型，解決此類(lèi)問(wèn)題的基本思緒是：⑴根據(jù)題意,擬定是內(nèi)接還是外切，畫(huà)出立體圖形；⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對(duì)球的合適的切割面，然后做出剖面圖；⑶將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問(wèn)題;⑷注意圓與正方體的兩個(gè)關(guān)系：球內(nèi)接正方體,球直徑等于正方體對(duì)角線(xiàn)；球外切正方體,球直徑等于正方體的邊長(zhǎng)。７-４球的面積和體積公式S球面=4πR2(R為球半徑)Ｖ球=4/３πR3（三)空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和圓柱的表面積:圓錐的表面積：圓臺(tái)的表面積：球的表面積:扇形的面積公式(其中表達(dá)弧長(zhǎng)，表達(dá)半徑,表達(dá)弧度)空間幾何體的體積柱體的體積：錐體的體積：臺(tái)體的體積：球體的體積：(四）空間幾何體的三視圖和直觀(guān)圖正視圖:光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影,得到的投影圖。側(cè)視圖:光線(xiàn)從幾何體的左邊向右邊正投影,得到的投影圖。俯視圖:光線(xiàn)從幾何體的上面向右邊正投影,得到的投影圖?！锂?huà)三視圖的原則:正俯長(zhǎng)相等、正側(cè)高相同、俯側(cè)寬同樣注:球的三視圖都是圓;長(zhǎng)方體的三視圖都是矩形直觀(guān)圖:斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法的環(huán)節(jié)：（1)平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)仍然平行于坐標(biāo)軸;(2)平行于y軸的線(xiàn)長(zhǎng)度變半,平行于ｘ，z軸的線(xiàn)長(zhǎng)度不變；（3）畫(huà)法要寫(xiě)好用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出長(zhǎng)方體的環(huán)節(jié)：（1）畫(huà)軸(2）畫(huà)底面（3）畫(huà)側(cè)棱（4）成圖二、點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的關(guān)系(一）、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：公理4公理4線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行面面平行線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)面垂直面面垂直三垂線(xiàn)逆定理三垂線(xiàn)定理⑴⑵⑷⑶⑸⑹⑾⑿⒀⒁⑼⑽⒂⒃⑺⑻1、線(xiàn)線(xiàn)平行的判斷:(1)、平行于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行。（３）、假如一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行,通過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行。（6)、假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。（12)、垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行。２、線(xiàn)線(xiàn)垂直的判斷：（7）、在平面內(nèi)的一條直線(xiàn),假如和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直,那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。（8)、在平面內(nèi)的一條直線(xiàn),假如和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直,那么它和這條斜線(xiàn)的射影垂直。(１０)、若一直線(xiàn)垂直于一平面,這條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)所有直線(xiàn)。補(bǔ)充:一條直線(xiàn)和兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直,也必垂直平行線(xiàn)中的另一條。3、線(xiàn)面平行的判斷:（2)、假如平面外的一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行。(5）、兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)必平行于另一個(gè)平面。鑒定定理:性質(zhì)定理：★判斷或證明線(xiàn)面平行的方法⑴運(yùn)用定義(反證法）：,則∥α(用于判斷）;⑵運(yùn)用鑒定定理:線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行(用于證明);⑶運(yùn)用平面的平行:面面平行線(xiàn)面平行(用于證明);⑷運(yùn)用垂直于同一條直線(xiàn)的直線(xiàn)和平面平行(用于判斷）。２線(xiàn)面斜交和線(xiàn)面角:∩α=A2.１直線(xiàn)與平面所成的角（簡(jiǎn)稱(chēng)線(xiàn)面角):若直線(xiàn)與平面斜交,則平面的斜線(xiàn)與該斜線(xiàn)在平面內(nèi)射影的夾角θ。2．2線(xiàn)面角的范圍：θ∈［0°,９０°]圖2-3線(xiàn)面角注意:當(dāng)直線(xiàn)在平面內(nèi)或者直線(xiàn)平行于平面時(shí)，θ=0°；圖2-3線(xiàn)面角當(dāng)直線(xiàn)垂直于平面時(shí)，θ＝90°4、線(xiàn)面垂直的判斷:⑼假如一直線(xiàn)和平面內(nèi)的兩相交直線(xiàn)垂直，這條直線(xiàn)就垂直于這個(gè)平面。⑾假如兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面。⒁一直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。⒃假如兩個(gè)平面垂直，那么在—個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)必垂直于另—個(gè)平面。鑒定定理：性質(zhì)定理:(1)若直線(xiàn)垂直于平面,則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)。即:（2）垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行。即：★判斷或證明線(xiàn)面垂直的方法⑴運(yùn)用定義，用反證法證明。⑵運(yùn)用鑒定定理證明。⑶一條直線(xiàn)垂直于平面而平行于另一條直線(xiàn)，則另一條直線(xiàn)也垂直與平面。⑷一條直線(xiàn)垂直于兩平行平面中的一個(gè),則也垂直于另一個(gè)。⑸假如兩平面垂直,在一平面內(nèi)有一直線(xiàn)垂直于兩平面交線(xiàn),則該直線(xiàn)垂直于另一平面?！?.５三垂線(xiàn)定理及其逆定理圖2-7斜線(xiàn)定理⑴斜線(xiàn)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的所有線(xiàn)段中，斜線(xiàn)相等則射影相等,斜線(xiàn)越長(zhǎng)則射影越長(zhǎng),垂線(xiàn)段最短。圖2-7斜線(xiàn)定理如圖:⑵三垂線(xiàn)定理及其逆定理已知ＰO⊥α,斜線(xiàn)ＰA在平面α內(nèi)的射影為OA,ａ是平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)。①三垂線(xiàn)定理：若a⊥OＡ，則ａ⊥ＰA。即垂直射影則垂直斜線(xiàn)。②三垂線(xiàn)定理逆定理：若a⊥PA，則a⊥OA。即垂直斜線(xiàn)則垂直射影。圖2-8三垂線(xiàn)定理⑶三垂線(xiàn)定理及其逆定理的重要應(yīng)用圖2-8三垂線(xiàn)定理①證明異面直線(xiàn)垂直；②作出和證明二面角的平面角；③作點(diǎn)到線(xiàn)的垂線(xiàn)段。5、面面平行的判斷:⑷一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面,這兩個(gè)平面平行。⒀垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行。6、面面垂直的判斷:⒂一個(gè)平面通過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn),這兩個(gè)平面互相垂直。鑒定定理:性質(zhì)定理:⑴若兩面垂直,則這兩個(gè)平面的二面角的平面角為９0°；（2）（3）圖2-10面面垂直性質(zhì)2圖2-10面面垂直性質(zhì)2(4）圖2-11面面垂直性質(zhì)3圖2-11面面垂直性質(zhì)3(二）、其他定理：（1)擬定平面的條件：①不公線(xiàn)的三點(diǎn)；②直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn);③相交直線(xiàn);(2）直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系：相交；平行;異面;直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系:在平面內(nèi);平行；相交（垂直是它的特殊情況)；平面與平面的位置關(guān)系:相交；;平行；（3）等角定理:假如兩個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同,那么這兩個(gè)角相等;假如兩條相交直線(xiàn)和此外兩條相交直線(xiàn)分別平行,那么這兩組直線(xiàn)所成的銳角(或直角)相等;(4）射影定理(斜線(xiàn)長(zhǎng)、射影長(zhǎng)定理):從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段中，射影相等的兩條斜線(xiàn)段相等；射影較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段也較長(zhǎng)；反之，斜線(xiàn)段相等的射影相等;斜線(xiàn)段較長(zhǎng)的射影也較長(zhǎng);垂線(xiàn)段比任何一條斜線(xiàn)段都短。（5）最小角定理:斜線(xiàn)與平面內(nèi)所有直線(xiàn)所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角。(6）異面直線(xiàn)的鑒定：①反證法;②過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn),和平面內(nèi)但是該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)。（７)過(guò)已知點(diǎn)與一條直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)都在過(guò)這點(diǎn)與這條直線(xiàn)垂直平面內(nèi)。(8)假如—直線(xiàn)平行于兩個(gè)相交平面,那么這條直線(xiàn)平行于兩個(gè)平面的交線(xiàn)。(三)、唯一性定理：(1)過(guò)已知點(diǎn),有且只能作一直線(xiàn)和已知平面垂直。（２)過(guò)已知平面外一點(diǎn),有且只能作一平面和已知平面平行。（３)過(guò)兩條異面直線(xiàn)中的一條能且只能作一平面與另一條平行。四、空間角的求法:(所有角的問(wèn)題最后都要轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題,特別是直角三角形）(1）異面直線(xiàn)所成的角：通過(guò)直線(xiàn)的平移，把異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線(xiàn)所成的角。異面直線(xiàn)所成角的范圍：；（２)線(xiàn)面所成的角:①線(xiàn)面平行或直線(xiàn)在平面內(nèi):線(xiàn)面所成的角為;②線(xiàn)面垂直:線(xiàn)面所成的角為;③斜線(xiàn)與平面所成的角：范圍；即也就是斜線(xiàn)與它在平面內(nèi)的射影所成的角。線(xiàn)面所成的角范圍(3)二面角:關(guān)鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線(xiàn)定理法;③垂面法；二面角的平面角的范圍:；五、距離的求法：(1）點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線(xiàn)、點(diǎn)面距離:點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間線(xiàn)段的長(zhǎng)、點(diǎn)與線(xiàn)、面間的距離是點(diǎn)到線(xiàn)、面垂足間線(xiàn)段的長(zhǎng)。求它們一方面要找到表達(dá)距離的線(xiàn)段,然后再計(jì)算。注意：求點(diǎn)到面的距離的方法：①直接法：直接擬定點(diǎn)到平面的垂線(xiàn)段長(zhǎng)(垂線(xiàn)段一般在二面角所在的平面上);②轉(zhuǎn)移法:轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離(運(yùn)用線(xiàn)面平行的性質(zhì)）；③體積法:運(yùn)用三棱錐體積公式。（2)線(xiàn)線(xiàn)距離:關(guān)于異面直線(xiàn)的距離,常用方法有:①定義法，關(guān)鍵是擬定出的公垂線(xiàn)段；②轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面距離，即轉(zhuǎn)化為與過(guò)而平行于的平面之間的距離,關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出這個(gè)平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離；（3)線(xiàn)面、面面距離：線(xiàn)面間距離面面間距離與線(xiàn)線(xiàn)間、點(diǎn)線(xiàn)間距離經(jīng)?；ハ噢D(zhuǎn)化;六、常用的結(jié)論:(１）若直線(xiàn)在平面內(nèi)的射影是直線(xiàn)，直線(xiàn)是平面內(nèi)通過(guò)的斜足的一條直線(xiàn),與所成的角為，與所成的角為,與所成的角為，則這三個(gè)角之間的關(guān)系是；(2)如何擬定點(diǎn)在平面的射影位置：①Ⅰ、假如一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角兩邊距離相等,那么這點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線(xiàn)上；Ⅱ、通過(guò)一個(gè)角的頂角引這個(gè)角所在平面的斜線(xiàn)，假如斜線(xiàn)和這個(gè)角的兩邊夾角相等，那么斜線(xiàn)上的點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)上;Ⅲ、假如平面外一點(diǎn)到平面上兩點(diǎn)的距離相等，則這一點(diǎn)在平面上的射影在以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。②垂線(xiàn)法:假如過(guò)平面外一點(diǎn)的斜線(xiàn)與平