2023年高中立體幾何知識點總結

高中立體幾何知識點總結一、空間幾何體(一)空間幾何體的類型１多面體:由若干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。２旋轉體：把一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱為旋轉體的軸。(二）幾種空間幾何體的結構特性１、棱柱的結構特性１.1棱柱的定義:有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。圖1-1棱柱1.2棱柱的分類圖1-1棱柱棱柱底面是四邊形四棱柱底面是平行四邊形平行六面體側棱垂直于底面直平行六面體底面是矩形長方體底面是正底面是四邊形底面是平行四邊形側棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形棱長都相等性質:Ⅰ、側面都是平行四邊形，且各側棱互相平行且相等；Ⅱ、兩底面是全等多邊形且互相平行;Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.３棱柱的面積和體積公式（是底周長，是高)S直棱柱表面=c·h+2S底V棱柱=S底·h?2、棱錐的結構特性2．1棱錐的定義(1）棱錐:有一個面是多邊形,其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。（２）正棱錐:假如有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。2．2正棱錐的結構特性Ⅰ、平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形,相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比;它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比;Ⅱ、正棱錐的各側棱相等,各側面是全等的等腰三角形；ABCDPOH正棱錐側面積:ABCDPOH體積:（為底面積,為高）正四周體：對于棱長為正四周體的問題可將它補成一個邊長為的正方體問題。對棱間的距離為(正方體的邊長）正四周體的高（）正四周體的體積為（）正四周體的中心到底面與頂點的距離之比為()3、棱臺的結構特性3.1棱臺的定義:用一個平行于底面的平面去截棱錐,我們把截面和底面之間的部分稱為棱臺。3.2正棱臺的結構特性(1)各側棱相等，各側面都是全等的等腰梯形；(２）正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形；(3）正棱臺的對角面也是等腰梯形;（4）各側棱的延長線交于一點。４、圓柱的結構特性4．1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸,其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。4.2圓柱的性質(1)上、下底及平行于底面的截面都是等圓；(2)過軸的截面（軸截面)是全等的矩形。4.3圓柱的側面展開圖:圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。4.4圓柱的面積和體積公式Ｓ圓柱側面＝2π·r·h(r為底面半徑，h為圓柱的高)S圓柱全=2πｒh+2πr2V圓柱=S底h＝πr2h５、圓錐的結構特性５.１圓錐的定義:以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。5.2圓錐的結構特性（1）平行于底面的截面都是圓,截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比;圖1-5圓錐(2）軸截面是等腰三角形；圖1-5圓錐(３)母線的平方等于底面半徑與高的平方和：l2=r２＋ｈ25.3圓錐的側面展開圖：圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。6、圓臺的結構特性6．1圓臺的定義:用一個平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱為圓臺。６.2圓臺的結構特性⑴圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓；⑵圓臺的截面是等腰梯形；⑶圓臺經(jīng)常補成圓錐,然后運用相似三角形進行研究。6.３圓臺的面積和體積公式S圓臺側＝π·(R+r)·l(r、R為上下底面半徑）S圓臺全=π·ｒ2+π·R2+π·(R＋r）·ｌV圓臺=１／3(πｒ2＋πR2+πrR)h(h為圓臺的高)7球的結構特性7.1球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸,半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體?？臻g中,與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。7－2球的結構特性⑴球心與截面圓心的連線垂直于截面;⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：ｒ2＝R２–ｄ2★7-3球與其他多面體的組合體的問題球體與其他多面體組合，涉及內(nèi)接和外切兩種類型，解決此類問題的基本思緒是：⑴根據(jù)題意,擬定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形；⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對球的合適的切割面，然后做出剖面圖；⑶將立體問題轉化為平面幾何中圓與多邊形的問題;⑷注意圓與正方體的兩個關系：球內(nèi)接正方體,球直徑等于正方體對角線；球外切正方體,球直徑等于正方體的邊長。７-４球的面積和體積公式S球面=4πR2(R為球半徑)Ｖ球=4/３πR3（三)空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和圓柱的表面積:圓錐的表面積：圓臺的表面積：球的表面積:扇形的面積公式(其中表達弧長，表達半徑,表達弧度)空間幾何體的體積柱體的體積：錐體的體積：臺體的體積：球體的體積：(四）空間幾何體的三視圖和直觀圖正視圖:光線從幾何體的前面向后面正投影,得到的投影圖。側視圖:光線從幾何體的左邊向右邊正投影,得到的投影圖。俯視圖:光線從幾何體的上面向右邊正投影,得到的投影圖?！锂嬋晥D的原則:正俯長相等、正側高相同、俯側寬同樣注:球的三視圖都是圓;長方體的三視圖都是矩形直觀圖:斜二測畫法斜二測畫法的環(huán)節(jié)：（1)平行于坐標軸的線仍然平行于坐標軸;(2)平行于y軸的線長度變半,平行于ｘ，z軸的線長度不變；（3）畫法要寫好用斜二測畫法畫出長方體的環(huán)節(jié)：（1）畫軸(2）畫底面（3）畫側棱（4）成圖二、點、直線、平面之間的關系(一）、立體幾何網(wǎng)絡圖：公理4公理4線線平行線面平行面面平行線線垂直線面垂直面面垂直三垂線逆定理三垂線定理⑴⑵⑷⑶⑸⑹⑾⑿⒀⒁⑼⑽⒂⒃⑺⑻1、線線平行的判斷:(1)、平行于同一直線的兩直線平行。（３）、假如一條直線和一個平面平行,通過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行。（6)、假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（12)、垂直于同一平面的兩直線平行。２、線線垂直的判斷：（7）、在平面內(nèi)的一條直線,假如和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。（8)、在平面內(nèi)的一條直線,假如和這個平面的一條斜線垂直,那么它和這條斜線的射影垂直。(１０)、若一直線垂直于一平面,這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補充:一條直線和兩條平行直線中的一條垂直,也必垂直平行線中的另一條。3、線面平行的判斷:（2)、假如平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。(5）、兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。鑒定定理:性質定理：★判斷或證明線面平行的方法⑴運用定義(反證法）：,則∥α(用于判斷）;⑵運用鑒定定理:線線平行線面平行(用于證明);⑶運用平面的平行:面面平行線面平行(用于證明);⑷運用垂直于同一條直線的直線和平面平行(用于判斷）。２線面斜交和線面角:∩α=A2.１直線與平面所成的角（簡稱線面角):若直線與平面斜交,則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角θ。2．2線面角的范圍：θ∈［0°,９０°]圖2-3線面角注意:當直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時，θ=0°；圖2-3線面角當直線垂直于平面時，θ＝90°4、線面垂直的判斷:⑼假如一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。⑾假如兩條平行線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面。⒁一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。⒃假如兩個平面垂直，那么在—個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另—個平面。鑒定定理：性質定理:(1)若直線垂直于平面,則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。即:（2）垂直于同一平面的兩直線平行。即：★判斷或證明線面垂直的方法⑴運用定義，用反證法證明。⑵運用鑒定定理證明。⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。⑷一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則也垂直于另一個。⑸假如兩平面垂直,在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線,則該直線垂直于另一平面。★1.５三垂線定理及其逆定理圖2-7斜線定理⑴斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的所有線段中，斜線相等則射影相等,斜線越長則射影越長,垂線段最短。圖2-7斜線定理如圖:⑵三垂線定理及其逆定理已知ＰO⊥α,斜線ＰA在平面α內(nèi)的射影為OA,ａ是平面α內(nèi)的一條直線。①三垂線定理：若a⊥OＡ，則ａ⊥ＰA。即垂直射影則垂直斜線。②三垂線定理逆定理：若a⊥PA，則a⊥OA。即垂直斜線則垂直射影。圖2-8三垂線定理⑶三垂線定理及其逆定理的重要應用圖2-8三垂線定理①證明異面直線垂直；②作出和證明二面角的平面角；③作點到線的垂線段。5、面面平行的判斷:⑷一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面,這兩個平面平行。⒀垂直于同一條直線的兩個平面平行。6、面面垂直的判斷:⒂一個平面通過另一個平面的垂線,這兩個平面互相垂直。鑒定定理:性質定理:⑴若兩面垂直,則這兩個平面的二面角的平面角為９0°；（2）（3）圖2-10面面垂直性質2圖2-10面面垂直性質2(4）圖2-11面面垂直性質3圖2-11面面垂直性質3(二）、其他定理：（1)擬定平面的條件：①不公線的三點；②直線和直線外一點;③相交直線;(2）直線與直線的位置關系：相交；平行;異面;直線與平面的位置關系:在平面內(nèi);平行；相交（垂直是它的特殊情況)；平面與平面的位置關系:相交；;平行；（3）等角定理:假如兩個角的兩邊分別平行且方向相同,那么這兩個角相等;假如兩條相交直線和此外兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等;(4）射影定理(斜線長、射影長定理):從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等；射影較長的斜線段也較長；反之，斜線段相等的射影相等;斜線段較長的射影也較長;垂線段比任何一條斜線段都短。（5）最小角定理:斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角。(6）異面直線的鑒定：①反證法;②過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線,和平面內(nèi)但是該點的直線是異面直線。（７)過已知點與一條直線垂直的直線都在過這點與這條直線垂直平面內(nèi)。(8)假如—直線平行于兩個相交平面,那么這條直線平行于兩個平面的交線。(三)、唯一性定理：(1)過已知點,有且只能作一直線和已知平面垂直。（２)過已知平面外一點,有且只能作一平面和已知平面平行。（３)過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。四、空間角的求法:(所有角的問題最后都要轉化為解三角形的問題,特別是直角三角形）(1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉化為平面內(nèi)相交直線所成的角。異面直線所成角的范圍：；（２)線面所成的角:①線面平行或直線在平面內(nèi):線面所成的角為;②線面垂直:線面所成的角為;③斜線與平面所成的角：范圍；即也就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。線面所成的角范圍(3)二面角:關鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法;③垂面法；二面角的平面角的范圍:；五、距離的求法：(1）點點、點線、點面距離:點與點之間的距離就是兩點之間線段的長、點與線、面間的距離是點到線、面垂足間線段的長。求它們一方面要找到表達距離的線段,然后再計算。注意：求點到面的距離的方法：①直接法：直接擬定點到平面的垂線段長(垂線段一般在二面角所在的平面上);②轉移法:轉化為另一點到該平面的距離(運用線面平行的性質）；③體積法:運用三棱錐體積公式。（2)線線距離:關于異面直線的距離,常用方法有:①定義法，關鍵是擬定出的公垂線段；②轉化為線面距離，即轉化為與過而平行于的平面之間的距離,關鍵是找出或構造出這個平面；③轉化為面面距離；（3)線面、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點線間距離經(jīng)常互相轉化;六、常用的結論:(１）若直線在平面內(nèi)的射影是直線，直線是平面內(nèi)通過的斜足的一條直線,與所成的角為，與所成的角為,與所成的角為，則這三個角之間的關系是；(2)如何擬定點在平面的射影位置：①Ⅰ、假如一個角所在平面外一點到角兩邊距離相等,那么這點在平面上的射影在這個角的平分線上；Ⅱ、通過一個角的頂角引這個角所在平面的斜線，假如斜線和這個角的兩邊夾角相等，那么斜線上的點在平面上的射影在這個角的平分線所在的直線上;Ⅲ、假如平面外一點到平面上兩點的距離相等，則這一點在平面上的射影在以這兩點為端點的線段的垂直平分線上。②垂線法:假如過平面外一點的斜線與平