畫法幾何 題解

畫法幾何及土木工程制圖第八章立體表面展開（第四版）1目錄

概述§8-1多面體表面展開§8-2可展曲面的展開2概述

立體表面可看作由若干小塊平面組成，把表面沿適當位置裁開，按每小塊平面的實際形狀和大小，無褶皺地攤開在同一平面上，稱為立體表面展開，展開后所得的圖形稱為展開圖。3概述

立體表面分為可展和不可展兩種。多面體的表面都為可展。曲面體中只有柱面、錐面和切線面為可展曲面，因為這些曲面上相鄰素線平行或相交，可以構成小塊平面。對于不可展曲面，工程實際中一般把它們近似為相應的可展曲面，進行近似展開。

點擊1次4§8-1多面體表面展開

多面體的表面由若干多邊形平面組成。如圖所示的料斗，忽略其壁厚，上部有棱柱和棱臺體側表面，下部為棱柱體側表面。棱錐和棱柱的表面由矩形和梯形組成。因此，要作出料斗表面的展開圖，需作出屬于多面體側表面的所有多邊形的實形，并依次把它們畫在同一平面上。點擊1次5§8-1多面體表面展開

一、棱柱

棱柱的各棱線互相平行，若用一個垂直于棱線的正截面截棱柱，則沿截交線展開后，截交線成為一直線，且展開后的各棱線垂直于該直線。棱柱表面展開，一般利用這種正截面方法進行。6§8-1多面體表面展開

例8-1

已知料斗下部出料管的投影圖，試作其展開圖。

解：將頂部正截面的截交線展開成一水平線，可作出料管上部棱柱表面的展開圖。

點擊5次7§8-1多面體表面展開

然后，過出料管邊線AB作棱柱的正截面，在展開圖中作水平線RBAKR，過其上各點作豎直線并將正面投影中的長度U1、U2、U3

量取到相應的豎直線上，連接各點，即得展開圖。

點擊5次8§8-1多面體表面展開點擊后自動演播例8-1

已知料斗下部出料管的投影圖，試作其展開圖。

解：再看作圖過程：9§8-1多面體表面展開例8-1

已知料斗下部出料管的投影圖，試作其展開圖。

解：再看作圖過程：點擊后自動演播10§8-1多面體表面展開

從展開作圖可以看出，這樣展開所得到的上、下兩部分棱柱表面的展開圖可以拼畫在一起，從而可節(jié)省板料，而且上、下兩部分連接處的展開折線在安裝時能準確地拼合。點擊2次11§8-1多面體表面展開

二、棱錐

棱椎的側表面都是三角形，只需求出各棱線和底邊的實長，依次畫出各棱面（三角形）的實形，即為展開圖。

例8-2

已知截頭三棱錐SABC的投影圖，截交線為DEF，試作展開圖。12§8-1多面體表面展開

解：因為已知棱錐的底面為水平面，所以水平投影反映各條底邊的實長。各棱邊實長可以利用直角三角形法作得。依次拼畫各棱面的實形在一起，即得截頭三棱錐的展開圖。點擊后自動演播13§8-1多面體表面展開

解：因為已知棱錐的底面為水平面，所以水平投影反映各條底邊的實長。各棱邊實長可以利用直角三角形法作得。依次拼畫各棱面的實形在一起，即得截頭三棱錐的展開圖。點擊后自動演播求棱線實長畫展開圖14§8-1多面體表面展開例8-3

已知料斗進口的投影圖，試作其展開圖。

解：因為四棱臺表面有兩個互相垂直的對稱面，因此，以對稱線為基準進行展開，有利于作圖。首先，作前、后兩個長邊棱面的實形。然后，作左、右兩個短邊棱面的實形，拼畫在一起，從而可得四棱臺四個棱面的展開圖。點擊1次15§8-2可展曲面的展開

一、柱面

柱面可以看作為棱線無限增多的棱柱面，因而其展開方法與棱柱面類似。這里主要討論圓柱面的展開。

例8-4已知直徑為d的截頭圓柱的投影圖，試作圓柱面的展開圖。下頁解答16§8-2可展曲面的展開

解：柱底為水平面，且為柱的正截面。將柱底圓展開成一條水平線(長度為d)，將其與正面投影對齊。將柱底圓及其展開線作相同的n等分，過各等分點作柱面素線的正面投影。用光滑曲線連接各點，得到截交線的展開曲線。展開曲線、兩端素線、底圓展開線所圍成的圖形即為截頭圓柱面的展開圖。

點擊后自動演播17§8-2可展曲面的展開

解：柱底為水平面，且為柱的正截面。將柱底圓展開成一條水平線(長度為d)，將其與正面投影對齊。將柱底圓及其展開線作相同的n等分，過各等分點作柱面素線的正面投影。用光滑曲線連接各點，得到截交線的展開曲線。展開曲線、兩端素線、底圓展開線所圍成的圖形即為截頭圓柱面的展開圖。

點擊后自動演播18§8-2可展曲面的展開

例8-5已知由四節(jié)圓柱面管節(jié)組成的直角彎管的投影圖，管徑為d，試作其展開圖。

解：彎管兩端的管節(jié)Ⅰ和Ⅳ相同，中間的管節(jié)Ⅱ和Ⅲ相同，而且端部管節(jié)恰為中間管節(jié)的一半。如果把管節(jié)Ⅱ和Ⅳ分別繞它們各自的軸線旋轉180，則可與管節(jié)Ⅰ和Ⅲ組成一個直圓柱管，這樣，對于每一個管節(jié)都可以按例8-4截頭圓柱面展開的方法作出展開圖。點擊1次19§8-2可展曲面的展開

各管節(jié)的展開圖拼合成一個矩形，這樣可以充分利用板料。點擊1次20§8-2可展曲面的展開

例8-6

已知圓柱面叉管的投影圖，主管直徑為D1，支管直徑為d1，試作其展開圖。

解：首先，作叉管的相貫線，通過作支管圓柱面端部的輔助半圓，得出相貫線上的點。然后，作支管展開圖。為了便于作圖，將支管正截面（圓）展開成長度為d1的直線，使此直線位于支管端部底圓正面投影的延長線上，這樣，就可按例8－4截頭圓柱面展開的方法作出支管柱面展開圖。點擊1次21§8-2可展曲面的展開

最后，作主管展開圖。為了便于作圖，將主管正截面（底圓）展開成長度為D1的直線，使其位于主管底圓正面投影的延長線上。點擊1次22§8-2可展曲面的展開

二、錐面

錐面可以看作為棱線無限增多的棱錐面，因而其展開方法與棱錐面類似，采用三角形法。

例8-7

已知截頭圓錐的投影圖，試作其展開圖。23§8-2可展曲面的展開

解：圓錐面上各素線長度相等，在正面投影中外形素線反映實長。錐底圓的水平投影反映實形。若圓錐沒有被截斷，則它的展開圖為一扇形，扇形的半徑L等于素線實長，扇形的弧長等于直徑為D的底圓的周長。對于截頭圓錐，可通過截交線上點的正面投影作水平線，與外形素線交于各點，從而得到被截斷的各素線實長。點擊1次24§8-2可展曲面的展開

為了便于作圖，本例使展開圖中扇形的圓心與錐頂正面投影s重合。點擊1次25§8-2可展曲面的展開

例8-8

已知斜圓臺的投影圖，試作其表面展開圖。

解：延長斜圓臺的外形線得錐頂，可利用錐頂S作其展開圖。錐底圓的水平投影反映實形，將其12等分，并作出錐面上的12條素線，利用直角三角形法作出各素線的實長。這樣，斜圓錐面被分成12部分，每一部分作為一個三角形平面，依次作出斜圓錐面上各個三角形的實形，拼畫在一起，便得到斜圓錐面的展開圖。點擊1次26§8-2可展曲面的展開27§8-2可展曲面的展開

例8-9

已知岔管的水平投影，主管為圓柱面，對稱的分岔管為圓錐面。試作其展開圖。28§8-2可展曲面的展開

解：作圓柱面展開圖。在底圓上作輔助半圓。并把它n=6

等分，從而可作出柱面上的素線，它們與岔管上的交線交于點a、b、c、e、g、j、k。于是可參照例8－4截頭圓柱面展開圖的畫法作出其展開圖。點擊1次29§8-2可展曲面的展開

再作圓錐面展開圖。延長錐面的外形線，相交得錐頂S。過岔管中各軸線的各交點o，作右邊錐管底圓的輔助半圓，并把它n=6等分，從而可作出錐面上的素線。與例8－7截頭圓錐素線求實長的方法相同，可參照例8－7的畫法作出其展開圖。

點擊1次30§8-2可展曲面的展開

五、變形接頭

在圓形和矩形之間由平面和錐面組合而成的表面為變形接頭或方圓接頭的表面，在鈑金工中俗稱天圓地方。變形接頭在工程中應用較廣，如料斗、管道中的漸變段等。表面展開時，只要依次將平面和錐面展開，就能作出整個變形接頭的展開圖。點擊1次31§8-2可展曲面的展開