第二章 古典概型和幾何概型

2.1

古典概型與概率從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性?P（A）應具有何種性質？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)6點的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？向目標射擊，命中目標的概率有多大？第二章隨機事件的概率某人向目標射擊，以A表示事件“命中目標”，P（A）=？?(一）頻率定義事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).2.1頻率與概率歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等。實驗者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005

概率的統(tǒng)計定義：概率是頻率的穩(wěn)定值,常常用于概率的近似計算，是非常有用的.但要注意，試驗次數(shù)要足夠多.實踐證明：當試驗次數(shù)n增大時，fn(A)逐漸趨向一個穩(wěn)定值。可將此穩(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率概率的三條公理5若某實驗E滿足1.有限性：樣本空間＝{w1,w2,…,wn};2.等可能性：（公認）P(w1)=P(w2)=…=P(wn).則稱E為古典概型也叫等可能概型。2.2古典概型設事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N()記樣本空間

中樣本點總數(shù)，則有P(A)具有如下性質古典概型中的概率:(1)0

P(A)1；(2)P(

)＝1；P()=0(3)對任意一列兩兩互斥事件

有.二、古典概型的幾類基本問題乘法公式：設完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法復習：排列與組合的基本概念加法公式：設完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。有重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，記錄其結果后放回，將記錄結果排成一列，nnnn共有nk種排列方式.無重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.nn-1n-2n-k+1組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k個，共有種取法.1、抽球問題

例1

設盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。解:設A-----取到一紅一白答:取到一紅一白的概率為3/5一般地，設盒中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是在實際中，產品的檢驗、疾病的抽查、農作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于使問題的數(shù)學意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。2、分球入盒問題例2將3個球隨機地放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設A:每盒恰有一球,B:空一盒一般地，把n個球隨機地分配到N個盒子中去(nN)，則每盒恰有一球的概率是：某班級有n個人(n365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？?3.分組問題例3

30名學生中有3名運動員，將這30名學生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。解:設A:每組有一名運動員;B:3名運動員集中在一組一般地，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第i

組恰有ni個球(i=1,…m)，共有分法：4隨機取數(shù)問題例4

從1到200這200個自然數(shù)中任取一個,(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率

(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率

(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率解:N()=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25（3）當時，僅僅第一盒為空的概率22解記問題（1）、（2）涉及的隨機事件分別為.

所以發(fā)生當且僅當不同的球落入不同的盒子，因此有利于的樣本點數(shù)為不可重復排列數(shù)；.第一盒的個球自來自個球的總體，一共有種不同選擇；當?shù)谝缓械膫€球選定后，剩下的，個球落入剩下的個盒子中，其球在盒子的分布總數(shù)為.最后得到

.的樣本點數(shù)為因而有利于所以，樣本點總數(shù)為（3）第一盒為空，則有一盒有兩球，從個球中選兩球，有種方法，再從個盒子中選一個放這兩球，有種方法，剩下的個球放入剩下的個盒中，共有種古典概型概率的定義及性質隨機取球問題隨機分球問題隨機取數(shù)問題幾何概型設Ω為試驗E的樣本空間，若①試驗的樣本空間Ω是直線上某個區(qū)間，或者面、空間上的某個區(qū)域，從而含有無限多個樣本點;②每個樣本點發(fā)生具有等可能性

;

則稱E為幾何概型。幾何概型概率的定義

設試驗的每個樣本點是等可能落入?yún)^(qū)域Ω上的隨機點M，且D含在Ω內,則M點落入子域D(事件A)上的概率為:幾何概型

(等可能概型的推廣)例某人的表停了，他打開收音機聽電臺報時，已知電臺是整點報時的，問他等待報時的時間短于十分鐘的概率.9點10點10分鐘

及

在

是區(qū)間時，表示相應的長度；在

是平面或空間區(qū)域時，表示相應的面積或體積．注：幾何概率的性質：非負性規(guī)范性兩兩互不相容，則例1

兩船欲?？客粋€碼頭,設兩船到達碼頭的時間各不相干，而且到達碼頭的時間在一晝夜內是等可能的.如果兩船到達碼頭后需在碼頭停留的時間分別是1小時與2小時,試求在一晝夜內，任一船到達時，需要等待空出碼頭的概率.解:

設船1到達碼頭的瞬時為x，0x<24

船2到達碼頭的瞬時為y，0y

<24設事件A表示任一船到達碼頭時需要等待空出碼頭．xy2424y=xy=x+1y=x-2注：用幾何概型可以回答“概率為1的事件為什么不一定發(fā)生?”這一問題.如圖，設試驗E為“隨機地向邊01xY1長為1的正方形內黃、藍兩個三角形投點”事件A為“點投在黃、藍兩個三角形內”

,求由于點可能投在正方形的對角線上,所以事件A未必一定發(fā)生.2.4概率的公理化定義

注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應具有前述三條基本性質，在數(shù)學上，我們就可以從這些性質出發(fā)，給出概率的公理化定義1.定義若對隨機試驗E所對應的樣本空間

中的每一事件A，均賦予一實數(shù)P(A)，且集合函數(shù)P(A)滿足條件：

(1)非負性1≥P(A)≥0；

(2)規(guī)范性P(

)＝1；

(3)完全可加性：設A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….則稱P(A)為事件A的概率。2.概率的性質

(3)單調不減性：若事件AB，則P(A-B)=P(A)-P(B),P(A)≥P(B)(2)有限可加性：設A1，A2，…An,是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,則有(5)事件差A、B是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)

(4)對于任一事件A(6)加法公式：對任意兩事件A、B，有

P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，…，An的情形(7)

互補性例：求B的逆的概率解：A,B互斥，有(A+B)=P(A)+P(B)=0.8P(B)=0.8-P(A)=0.2思考：在以上條件下，P(A-B)=?某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.EX1解:設A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報

在110這10個自然數(shù)中任取一數(shù)，求（1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率，（2）取到的數(shù)既不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率。解:設A—取到的數(shù)能被2整除;B--取到的數(shù)能被3