新高考數(shù)學二輪復習專題08 函數(shù)的極值 (教師版)

專題08函數(shù)的極值1．函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0的函數(shù)值f(x0)比它在點x＝x0附近其他點的函數(shù)值都小，f′(x0)＝0；而且在點x＝x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0．則x0叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(x0)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．如圖1．圖1圖22．函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0的函數(shù)值f(x0)比它在點x＝x0附近其他點的函數(shù)值都大，f′(x0)＝0；而且在點x＝x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0．則x0叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(x0)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．如圖2．3．極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值．對極值的深層理解：(1)極值點不是點；(2)極值是函數(shù)的局部性質(zhì)；(2)按定義，極值點xi是區(qū)間［a，b］內(nèi)部的點(如圖)，不會是端點a，b；(3)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．(4)根據(jù)函數(shù)的極值可知函數(shù)的極大值f(x0)比在點x0附近的點的函數(shù)值都大，在函數(shù)的圖象上表現(xiàn)為極大值對應的點是局部的“高峰”；函數(shù)的極小值f(x0)比在點x0附近的點的函數(shù)值都小，在函數(shù)的圖象上表現(xiàn)為極小值對應的點是局部的“低谷”．一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多極小值和極大值，在某一點處的極小值也可能大于另一個點處的極大值，極大值與極小值沒有必然的聯(lián)系，即極小值不一定比極大值小，極大值不一定比極小值大；(5)使f′(x)＝0的點稱為函數(shù)f(x)的駐點，可導函數(shù)的極值點一定是它的駐點．駐點可能是極值點，也可能不是極值點．例如f(x)＝x3的導數(shù)f′(x)＝3x2在點x＝0處有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的駐點，但從f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)可知，x＝0不是f(x)的極值點．因此若f′(x0)＝0，則x0不一定是極值點，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0處取到極值的必要不充分條件，函數(shù)y＝f′(x)的變號零點，才是函數(shù)的極值點；(6)函數(shù)f(x)在［a，b］上有極值，極值也不一定不唯一．它的極值點的分布是有規(guī)律的，如上圖，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點．一般地，當函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)f(x)在［a，b］內(nèi)的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的．B．7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,lnx)－ax在(1，＋∞)上有極值，則實數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))D．0，eq\f(1,4)7．答案B解析f′(x)＝eq\f(lnx－1,(lnx)2)－a，設g(x)＝eq\f(lnx－1,(lnx)2)＝eq\f(1,lnx)－eq\f(1,(lnx)2)，因為函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上有極值，所以f′(x)＝g(x)－a有正有負．令eq\f(1,lnx)＝t，由x>1可得lnx>0，即t>0，得到y(tǒng)＝t－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)．所以a<eq\f(1,4)，故選B．8．若函數(shù)f(x)＝x2－x＋alnx有極值，則實數(shù)a的取值范圍是________．8．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8)))解析f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋eq\f(a,x)＝eq\f(2x2－x＋a,x)，由題意知y＝f′(x)有變號零點，令2x2－x＋a＝0，即a＝－2x2＋x(x>0)，令φ(x)＝－2x2＋x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2＋eq\f(1,8)(x>0)，其圖象如圖所示，故a<eq\f(1,8)．9．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2＋(a－1)x－alnx存在唯一的極值，且此極值不小于1，則實數(shù)a的取值范圍為________．9．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析對函數(shù)求導得f′(x)＝x－1＋aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))＝eq\f((x＋a)(x－1),x)，x>0，因為函數(shù)存在唯一的極值，所以導函數(shù)存在唯一的零點，且零點大于0，故x＝1是唯一的極值點，此時－a≤0，且f(1)＝－eq\f(1,2)＋a≥1，所以a≥eq\f(3,2)．10．已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋mex(e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍是__________．10．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0))解析f(x)＝xlnx＋mex(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1＋mex(x>0)，令f′(x)＝0，得－m＝eq\f(lnx＋1,ex)，設g(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)，則g′(x)＝eq\f(\f(1,x)－lnx－1,ex)(x>0)，令h(x)＝eq\f(1,x)－lnx－1，則h′(x)＝－eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)<0(x>0)，∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減且h(1)＝0，∴當x∈(0，1]時，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上單調(diào)遞增；當x∈(1，＋∞)時，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故g(x)max＝g(1)＝eq\f(1,e)，而當x→0時，g(x)→－∞，當x→＋∞時，g(x)→0，若f(x)有兩極值點，只要y＝－m和g(x)的圖象在(0，＋∞)上有兩個交點，只需0<－m<eq\f(1,e)，故－eq\f(1,e)<m<0．11．已知函數(shù)f(x)＝xlnx－eq\f(1,2)ax2－2x有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是________．11．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e2)))解析f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝lnx－ax－1．根據(jù)題意可得f′(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，則lnx－ax－1＝0有兩個不同的正根，從而轉(zhuǎn)化為a＝eq\f(lnx－1,x)有兩個不同的正根，所以y＝a與y＝eq\f(lnx－1,x)的圖象有兩個不同的交點，令h(x)＝eq\f(lnx－1,x)，則h′(x)＝eq\f(2－lnx,x2)，令h′(x)>0得0<x<e2，令h′(x)<0得x>e2，所以函數(shù)h(x)在(0，e2)為增函數(shù)，在(e2，＋∞)為減函數(shù)，又h(e2)＝eq\f(1,e2)，x→0時，h(x)→－∞，x→＋∞時，h(x)→0，所以0<a<eq\f(1,e2)．12．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,ex)－a．若f(x)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[0，1)B．(0，1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))12．答案C解析f′(x)＝eq