概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第八章假設(shè)檢驗(yàn)

第8章假設(shè)檢驗(yàn)§8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念§8.3兩個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)§8.2單個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)§8.1

假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念一、假設(shè)檢驗(yàn)的概念二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理三、假設(shè)檢驗(yàn)可能犯的兩類錯(cuò)誤四、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟若對總體參數(shù)有所了解但有懷疑需要證實(shí)之時(shí)用假設(shè)檢驗(yàn)方法來處理若對總體參數(shù)一無所知用參數(shù)估計(jì)的方法處理一、假設(shè)檢驗(yàn)的概念參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)檢驗(yàn)假設(shè)是針對總體分布函數(shù)中的未知參數(shù)而提出的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)；分布函數(shù)形式或類型的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn).非參數(shù)檢驗(yàn)假設(shè)是針對總體假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容例1

某產(chǎn)品出廠檢驗(yàn)規(guī)定:次品率p不超過4%才能出廠.現(xiàn)從一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問該批產(chǎn)品能否出廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品,問能否廠？為此提出如下假設(shè):例2

某廠生產(chǎn)的螺釘,按標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度為68/mm2,而實(shí)際生產(chǎn)的強(qiáng)度X

服.若,則認(rèn)為這批螺釘符合要求,否則認(rèn)為不符合要求.現(xiàn)從整批螺釘中取容量為36的樣本,其樣本均值為68.5,問原假設(shè)是否正確?為此提出如下假設(shè):在例1中在例2中均稱為參數(shù)假設(shè)參數(shù)假設(shè)一般是一對互逆的假設(shè),比較參數(shù)的相等或大小稱其中的一個(gè)為原假設(shè),也稱零假設(shè)或基本假設(shè)稱另一個(gè)為備擇假設(shè),也稱備選假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)一般將含有等號的假設(shè)稱為原假設(shè)必須在原假設(shè)與備擇假設(shè)之間作一選擇假設(shè)檢驗(yàn)的任務(wù)在例1中在例2中均稱為參數(shù)假設(shè)參數(shù)假設(shè)一般是一對互逆的假設(shè),比較參數(shù)的相等或大小稱其中的一個(gè)為原假設(shè),也稱零假設(shè)或基本假設(shè)稱另一個(gè)為備擇假設(shè),也稱備選假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)一般將含有等號的假設(shè)稱為原假設(shè)必須在原假設(shè)與備擇假設(shè)之間作一選擇假設(shè)檢驗(yàn)的任務(wù)例1某車間用一臺包裝機(jī)包裝葡萄糖,袋裝糖的凈重是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從正態(tài)分布.0.4970.5060.5180.5240.4980.511當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值為0.5kg,標(biāo)準(zhǔn)差為0.015kg.某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9袋,稱得凈重為(kg):問機(jī)器是否正常?0.5200.5150.512,由長期實(shí)踐表明標(biāo)準(zhǔn)差比較穩(wěn)定,我們提出兩個(gè)相互對立的假設(shè)為此，和然后，我們給出一個(gè)合理的法則，根據(jù)這一法問題分析則，工作是正常的,即認(rèn)為機(jī)器否則,認(rèn)為是不正常的.反之，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點(diǎn)的定義得：于是拒絕假設(shè)H0,

假設(shè)檢驗(yàn)過程如下:認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常.以上所采取的檢驗(yàn)法是符合實(shí)際推斷原理的.二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理假設(shè)檢驗(yàn)的理論依據(jù)是“小概率原理”小概率原理:如果一個(gè)事件發(fā)生的概率很小,那么在一次實(shí)驗(yàn)中,這個(gè)事件幾乎不會發(fā)生.事件“擲100枚均勻硬幣全出現(xiàn)正面”事件“某人隨機(jī)買一注彩票中一等獎”事件“在一副撲克中隨機(jī)抽取4張全為A”以上幾個(gè)事件都可稱為“小概率事件”如:

無論原假設(shè)中是否含不等號，在實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)，均可按原假設(shè)僅含等號的檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn).例1

某產(chǎn)品出廠檢驗(yàn)規(guī)定:次品率p不超過4%才能出廠.現(xiàn)從一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問該批產(chǎn)品能否出廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品,問能否廠？解假設(shè)一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品是小概率事件,那么在一次實(shí)驗(yàn)中,這個(gè)事件幾乎是不會發(fā)生的,現(xiàn)在竟然發(fā)生了,故認(rèn)為原假設(shè)不成立,即該批產(chǎn)品次品率,則該批產(chǎn)品不能出廠.例1

某產(chǎn)品出廠檢驗(yàn)規(guī)定:次品率p不超過4%才能出廠.現(xiàn)從一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問該批產(chǎn)品能否出廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品,問能否廠？解假設(shè)一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品是小概率事件,那么在一次實(shí)驗(yàn)中,這個(gè)事件幾乎是不會發(fā)生的,現(xiàn)在竟然發(fā)生了,故認(rèn)為原假設(shè)不成立,即該批產(chǎn)品次品率,則該批產(chǎn)品不能出廠.

這不是小概率事件,沒理由拒絕原假設(shè),從而接受原假設(shè),即該批產(chǎn)品可以出廠.若從一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)1件次品假設(shè)檢驗(yàn)方法是概率意義下的反證法.要注意的是小概率事件畢竟不是不可能事件,只是小概率事件發(fā)生的概率很小,在一次實(shí)驗(yàn)中“幾乎”不會發(fā)生.因此上述方法就可能出現(xiàn)錯(cuò)誤,即真的假設(shè)被拒絕了,而錯(cuò)誤的假設(shè)卻可能被接受了.1.第一類錯(cuò)誤:棄真錯(cuò)誤此時(shí)我們便犯了“棄真”錯(cuò)誤,也稱為第一類錯(cuò)誤三、假設(shè)檢驗(yàn)可能犯的兩類錯(cuò)誤則犯棄真錯(cuò)誤的概率為小概率事件發(fā)生的概率就是犯棄真錯(cuò)誤的概率越大,犯第一類錯(cuò)誤的概率越大,即越顯著.2.第二類錯(cuò)誤:納偽錯(cuò)誤此時(shí)我們便犯了“納偽”錯(cuò)誤,也稱為第二類錯(cuò)誤犯納偽錯(cuò)誤的概率為

我們希望這兩類錯(cuò)誤都很小.但可以證明，在樣本容量n固定時(shí),同時(shí)減小和是辦不到的.當(dāng)減小時(shí)必導(dǎo)致增大,反之亦然.要想使和同時(shí)減小，只有增大樣本容量n.在實(shí)際應(yīng)用中，一般原則是：在給定犯第一類錯(cuò)誤的概率之后,使得犯納偽錯(cuò)誤的概率盡可能的小.（一）寫明原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1的具體內(nèi)容.四、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟（三）對給定顯著性水平，由統(tǒng)計(jì)量的分布查表確定出臨界值，進(jìn)而得到H0的拒絕域和接受域.（二）根據(jù)H0的內(nèi)容，給出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并確定其分布.（四）由樣本觀察值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值.（五）做出推斷：當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的值滿足“接受H0的條件”時(shí)就接受H0，否則就拒絕H0接受H1.（六）完整準(zhǔn)確地寫出檢驗(yàn)的結(jié)論.§8.2

單個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)一、方差已知的正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)二、方差未知的正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)三、大樣本場合下,非正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)四、單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)一、方差已知的正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)構(gòu)造小概率事件H0拒絕域雙側(cè)檢驗(yàn)H0拒絕域例1

某百貨商場的日營業(yè)額近似服從正態(tài)分布,去年的日平均營業(yè)額為53.6萬元,均方差為6萬元,今年隨機(jī)抽查了10天的營業(yè)額,分是:58.2,57.8,58.4,59.3,60.7,71.3,56.4,58.9,48.5,49.5.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為方差沒有變化.問今年的日平均營業(yè)額與去年相比是否有顯著變化?

解構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量原假設(shè)的拒絕域?yàn)樵僭O(shè)的拒絕域?yàn)橛蓸颖居^測值得統(tǒng)計(jì)量觀測值查表得臨界值即認(rèn)為今年的日平均營業(yè)額與去年有顯著變化統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造小概率事件H0拒絕域單側(cè)(邊)檢驗(yàn)右側(cè)(邊)檢驗(yàn)上述方法稱為例2

某車間生產(chǎn)某種規(guī)格的鋼絲,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),其折斷力

,現(xiàn)改革了生產(chǎn)工藝,生產(chǎn)了一批鋼絲,從中隨機(jī)抽取一個(gè)n=10的樣本,測得千克,問新工藝是否值得推廣?解構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量原假設(shè)的拒絕域?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量觀測值即可以認(rèn)為平均折斷力有顯著提高,故新工藝值得推廣查表得臨界值原假設(shè)的拒絕域?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量構(gòu)造小概率事件H0拒絕域左側(cè)(邊)檢驗(yàn)二、方差未知的正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造小概率事件H0拒絕域H0拒絕域若統(tǒng)計(jì)量觀測值雙側(cè)檢驗(yàn)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量H0拒絕域單側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量單側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)H0拒絕域例3

用傳統(tǒng)方法養(yǎng)雞,經(jīng)若干天后,雞的平均重量為4斤,今改善飼養(yǎng)方法,經(jīng)相同天數(shù)后,隨機(jī)抽測10只,得數(shù)據(jù)如下:3.7,3.8,4.1,3.9,4.6,4.7,5.0,4.5,4.3,3.8斤,經(jīng)驗(yàn)表明同一批雞的重量近似服從正態(tài)分布,問改進(jìn)飼養(yǎng)方法后的這批雞的平均重量是否顯著提高了?解構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量原假設(shè)的拒絕域?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量觀測值即可以認(rèn)為這批雞的重量沒有顯著提高由查表得臨界值原假設(shè)的拒絕域?yàn)槿?、大樣本場合?非正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量四、單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)由抽樣分布定理,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量若小概率事件發(fā)生H0拒絕域則例4正常生產(chǎn)知某維尼綸廠所產(chǎn)維尼綸的纖度近似服從正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)差為0.048,某日任意抽取20根測量其纖度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.067,試判斷該日產(chǎn)品的纖度波動是否有顯著變化?解則構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量由查表得臨界值統(tǒng)計(jì)量的觀測值即認(rèn)為該日產(chǎn)品的纖度波動與以前有顯著變化構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量H0拒絕域構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量H0拒絕域應(yīng)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量8.3

兩個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)參照單個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)對兩個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)相互獨(dú)立由抽樣分布定理構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的觀測值的絕對值應(yīng)很小H0拒絕域因此原假設(shè)的拒絕域?yàn)闃?gòu)造統(tǒng)計(jì)量例1

甲、乙兩廠生產(chǎn)的某種元件的壽命都近似服從正態(tài)分布,,且相互獨(dú)立,從兩廠生產(chǎn)的元件中分別抽取了100只和75只,測得樣本均值分別為1180小時(shí)和1220小時(shí),問乙廠生產(chǎn)的元件平均壽命是否比甲廠高?解構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量原假設(shè)的拒絕域?yàn)橛刹楸淼门R界值統(tǒng)計(jì)量觀測值即可以認(rèn)為乙廠生產(chǎn)的元件壽命要比甲廠的高由抽樣分布定理構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量因此原假設(shè)的拒絕域?yàn)闃?gòu)造統(tǒng)計(jì)量例2

甲、乙兩零件彼此可以替代,且它們的抗壓強(qiáng)度都近似服從正態(tài)分布,但甲零件的成本較低,為評估質(zhì)量,各抽取了5只,測得抗壓強(qiáng)度數(shù)據(jù)如下:(kg/cm2)

甲零件:89,89,90,84,88

乙零件:88,87,92,90,91假定它們抗壓強(qiáng)度的方差相等,問能否認(rèn)為甲零件的抗壓強(qiáng)度不比乙零件低?解統(tǒng)計(jì)量由由樣本觀測值,得查表得臨界值即可以認(rèn)為甲零件的抗壓強(qiáng)度不比乙零件低由抽樣分布定理構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量因此H0拒絕域?yàn)镠0拒絕域構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量因此H0拒絕域?yàn)镠0拒絕域?yàn)闃?gòu)造統(tǒng)計(jì)量例3

有兩臺機(jī)床生產(chǎn)同一型號的滾珠,測得直徑近似服從正態(tài)分布,從這兩臺機(jī)床加工的產(chǎn)品中分別抽取了9個(gè)和7個(gè),測得滾珠直徑如下:(單位mm)甲機(jī)床:15,15.2,14.8,15.2,15,14.9,15.1,14.8,15.3乙機(jī)床:15.2,14.5,15.5,14.8,15.1,15.6,14.7問甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品是否更穩(wěn)定(方差更小)?解構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量由由樣本觀測值,得查表得臨界值統(tǒng)計(jì)量觀測值為即甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品比乙機(jī)床更穩(wěn)定例4

某燈泡廠在使用一項(xiàng)新工藝