沈陽工業(yè)大學(xué)數(shù)字電子技術(shù)第2章2

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2邏輯代數(shù)基礎(chǔ)內(nèi)容2.2邏輯代數(shù)的基本運算2.3邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)2.5邏輯函數(shù)的化簡2.1邏輯代數(shù)中的幾個概念2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)邏輯函數(shù)表達(dá)式與邏輯圖有直接關(guān)系表達(dá)式越簡單，實現(xiàn)該邏輯函數(shù)所需的邏輯關(guān)系就越少，這樣即節(jié)省集成電路數(shù)目，焊接點又少，大大提高電路的可靠性需要對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)用單一的與非門可以實現(xiàn)三種基本邏輯運算：復(fù)合邏輯1與非邏輯⑴它是“與”和“非”的復(fù)合邏輯，表達(dá)式為：ABF00101101110

＆ABFABF與非門邏輯符號2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)

＆ABF2

＆非運算與運算或運算

＆

＆

＆ABF3

＆AF1與非邏輯⑴①②③復(fù)合邏輯2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)1或非邏輯⑵或非邏輯是“或”和“非”的符復(fù)合邏輯，它與“與非”邏輯互為對偶，它的邏輯表達(dá)式為ABF00101000110≥1ABFAB或非門邏輯符號F或非門可以有多個輸入端，其邏輯功能是：只要輸入端有一個為1時，輸出必為0；只有輸入端全為0時，輸出才為1

2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)用單一的或非門可以實現(xiàn)三種基本邏輯運算≥1ABF3≥1≥1AF1≥1≥1≥1ABF2與運算非運算或運算復(fù)合邏輯2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)1與或非邏輯⑶與或非邏輯是“與”、“或”、“非”的復(fù)合邏輯，其表達(dá)式為：與或非門邏輯符號＆≥1ABCDFCDABF復(fù)合邏輯2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)1異或邏輯⑷對于二輸入變量問題，當(dāng)二輸入值相異時，輸出為

1

；當(dāng)二輸入值相同時，輸出為0

二輸入變量的異或表達(dá)式：式中符號表示異或運算。它的邏輯功能可用下列真值表說明異或邏輯2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)⑷異或邏輯有下列等式：

異或運算的邏輯功能可用下列真值表說明ABF00001101110=1ABABFF01A復(fù)合邏輯2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)1同或邏輯⑸對于二輸入變量問題，當(dāng)二輸入值相同時，輸出為

1

；當(dāng)二輸入值相異時，輸出為0

二輸入變量的同或表達(dá)式：式中符號⊙表示異或運算。它的邏輯功能可用下列真值表說明⊙同或邏輯2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)⑸

同或運算的邏輯功能可用下列真值表說明ABF00101000111=1ABABFF復(fù)合邏輯2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)1異或邏輯與同或運算之間的關(guān)系⑹互補關(guān)系當(dāng)n為偶數(shù)個變量時，有即：⊙⊙（偶數(shù)）⊙⊙⊙⊙當(dāng)n為奇數(shù)個變量時，有⊙⊙⊙⊙2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)異或邏輯與同或運算之間的關(guān)系⑹對偶關(guān)系⊙⊙⊙⊙⊙2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)異或邏輯與同或運算之間的關(guān)系⑹異或運算和同或運算的基本代數(shù)性質(zhì)0—1律(a)A⊕0=AA⊕1=A(b)A⊙0=AA⊙1=A交換律(a)A⊕B=B⊕A(b)A⊙B=B⊙A分配律(a)A(B⊕C)=AB⊕AC(b)A＋(B⊙C)=(A＋B)⊙(A＋C)結(jié)合律(a)A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕C(b)A⊙(B⊙C)=(A⊙B)⊙C調(diào)換律(a)若A⊕B=C則A⊕C=B，C⊕B=A(b)若A⊙B=C則A⊙C=B，C⊙B=A2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)一個邏輯命題可以用多種形式的邏輯函數(shù)來描述邏輯函數(shù)的基本表達(dá)式2這些邏輯函數(shù)的真值表都是相同的，如果以函數(shù)式中所含的變量乘項的特點以及乘積項之間的邏輯關(guān)系來分類，邏輯表達(dá)式可以分成與或、或與、與非、或非、與或非、或與非等形式邏輯函數(shù)的基本表達(dá)式2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)2與或式或與式與非式或非式與或非式異或的五種表達(dá)式2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)一個邏輯命題的三種表示法邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式3

真值表、邏輯表達(dá)式、卡諾圖真值表是邏輯函數(shù)最基本的表達(dá)方式，具有唯一性；由真值表可以導(dǎo)出邏輯表達(dá)式和卡諾圖；由真值表導(dǎo)出邏輯表達(dá)式的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：

最小項之和

最大項之積2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)最小項和最大項⑴乘積項和項

n個變量有2n個最小項，記作mi

3個變量有23（8）個最小項m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567最小項：在邏輯函數(shù)中，有n個變量為A1~An，m是這n個變量的與項，若與項m是包括全部n個變量的乘積項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）。最小項二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)編號最小項編號i，各輸入變量取值看成二進(jìn)制數(shù)，用1代表原變量，0代表反變量對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。最小項和最大項2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)最小項變量數(shù)的標(biāo)明為了區(qū)別不同變量數(shù)n的相同最小項符號，可以給最小項符號mi加上一個上角標(biāo)n，如剛才的可以寫成⑴最小項的性質(zhì)1

在輸入變量的任意取值下，必有一個且只有一個最小項的值為1，其它最小項的值均為02同一組變量取值任意兩個不同最小項的乘積為0，即：

mi

mj=0(i≠j)3全部最小項之和為1，即：001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三變量最小項最小項和最大項2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4⑴若干個最小項之和等于其余最小項和之反例m3+m2=m0+m1，m0=m1+m2+m3ABm3m2m1m0000001010010100100111000最大項

n個變量有2n個最大項，記作i。

在邏輯函數(shù)中，有n個變量為A1~An，M是這n個變量的或項，若和項M包括全部n個變量（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）。最大項編號i：把或項中的原變量記做“0”，反變量記做“1”，此二進(jìn)制數(shù)所對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是其值。三變量的最大項M0M100000101M2M3M4M5M6M7010011100101110111234567最小項和最大項2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)最大項性質(zhì)在輸入變量的任意取值下，必有一個且只有一個最大項的值為0，其它最大項的值均為1;⑴同一組變量取值，任意兩個不同最大項的和為1，即Mi

+Mj=1(i≠j)全部最大項之積為0，即最小項和最大項2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)最小項與最大項關(guān)系相同編號的最小項和最大項存在互補關(guān)系⑴

最小項的反是最大項；最大項的反是最小項即:

mi

=Mi

Mi

=mi如：①最小項與最大項關(guān)系2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)②

若干個最小項之和表示的表達(dá)式F，其反函數(shù)F可用等同個與這些最小項相對應(yīng)的最大項之積表示。

例：即：可推出：=m0+m2+m4+m6最小項和最大項2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)最小項性質(zhì)與最大項性質(zhì)具有對偶性⑴

例如，全部最小項之和恒等于“1”；那么，全部最大項之積恒等于“0”，其他性質(zhì)可以類推邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)3積之和表達(dá)式（與或表達(dá)式）⑵邏輯函數(shù)被表達(dá)成一系列乘積項之和，則稱之為積之和表達(dá)式，也叫與或表達(dá)式

最小項標(biāo)準(zhǔn)式（標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式）F(A、B、C、D)解:式中的每一個乘積項均為最小項積之和表達(dá)式（與或表達(dá)式）2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)⑵例求函數(shù)F(A、B、C)的標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式解：F(A、B、C)利用反演律利用互補律，補上所缺變量C積之和表達(dá)式（與或表達(dá)式）2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)⑵ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例：已知函數(shù)的真值表，寫出該函數(shù)的最小項標(biāo)準(zhǔn)式

從真值表找出F為1的對應(yīng)最小項011331101551然后將這些項邏輯加F(A、B、C)1106611117712.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)

最小項標(biāo)準(zhǔn)式（標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式）例：寫出函數(shù)Y(ABC)=AB+BC+CA的最小項表達(dá)式。解：這是一個包含ABC三個變量的邏輯函數(shù)表達(dá)式，乘積項AB中缺少C，利用（C+C）乘以AB，同理（A+A）乘以BC，（B+B）乘以AC利用重疊律A+A＝A2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)

最小項標(biāo)準(zhǔn)式（標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式）寫出函數(shù)Y(ABC)=A+BC的最小項表達(dá)式。利用重疊律A+A＝A練習(xí)2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)

最小項標(biāo)準(zhǔn)式（標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式）練習(xí)函數(shù)Y=AB+BC的真值表如下，求函數(shù)Y的最小項表達(dá)式。ABCY000000110101011110001011110011102.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)

最小項標(biāo)準(zhǔn)式（標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式）反函數(shù)的最小項標(biāo)準(zhǔn)式ABCY00000011