浙江專用2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何85直線平面垂直的判定與性質(zhì)課件

§8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時訓(xùn)練題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)_______________________

文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條

直線都垂直，則該直線與此平面垂直

a，b?αa∩b＝Ol⊥al⊥b1.直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面α內(nèi)的

直線都垂直，則直線l與平面α垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理知識梳理任意一條?l⊥α相交性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線____

a⊥αb⊥α?a∥b平行__________2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和

所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.若一條直線垂直于平面，它們所成的角是

，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是

的角.它在平面上的射影直角0°3.平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的

所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作

的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是

，就說這兩個平面互相垂直.兩個半平面垂直于棱直二面角

文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的_____，則這兩個平面垂直

性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于

的直線與另一個平面垂直

(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

垂線交線重要結(jié)論：(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直.知識拓展判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(

)(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.(

)(3)直線a⊥α，直線b⊥α，則a∥b.(

)(4)若α⊥β，a⊥β?a∥α.(

)(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直.(

)思考辨析××√×√

考點自測1.(教材改編)下列命題中不正確的是A.如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案解析根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，知A不正確，直線l可能平行平面β，也可能在平面β內(nèi).

2.設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件若α⊥β，因為α∩β＝m，b?β，b⊥m，所以根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α，又a?α，所以a⊥b；反過來，當(dāng)a∥m時，因為b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，所以不能推出α⊥β.答案解析

3.(2016·寶雞質(zhì)檢)對于四面體ABCD，給出下列四個命題：①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD.其中為真命題的是A.①② B.②③ C.②④ D.①④答案解析①如圖，取BC的中點M，連接AM，DM，由AB＝AC?AM⊥BC，同理DM⊥BC?BC⊥平面AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD.④設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影為O，連接BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O為△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC.4.(教材改編)在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的_____心.外答案解析如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心.(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的___心.垂答案解析如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB的高.同理可證BD，AH為△ABC底邊上的高，即O為△ABC的垂心.題型分類深度剖析題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1

(2016·全國甲卷改編)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB＝5，AC＝6，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝

EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置.OD′＝證明：D′H⊥平面ABCD.證明由已知得AC⊥BD，AD＝CD.因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H.所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3.于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF?平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD.證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2016·嵊州市高三質(zhì)檢)在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，P在線段BC上，CP＝3PB，M，N分別為AD，BD的中點.求證：BC⊥平面MNP.證明因為MN是△ABD的中位線，所以MN∥AB.又AB⊥平面BCD，所以MN⊥平面BCD，又因為BC?平面BCD，所以MN⊥BC. ①取BC的中點Q，連接DQ，則DQ⊥BC.由PN是△BDQ的中位線知PN∥DQ，所以PN⊥BC. ②由①②可得BC⊥平面MNP.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2

如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點.(1)求證：CE∥平面PAD；證明方法一取PA的中點H，連接EH，DH.又E為PB的中點，所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD.所以CE∥平面PAD.方法二連接CF.因為F為AB的中點，又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CF∥AD，又CF?平面PAD，AD?平面PAD，所以CF∥平面PAD.因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA.又EF?平面PAD，PA?平面PAD，所以EF∥平面PAD.因為CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.證明因為E、F分別為PB、AB的中點，所以EF∥PA.又因為AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可證AB⊥FG.又因為EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因為M，N分別為PD，PC的中點，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因為MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.引申探究1.在本例條件下，證明：平面EMN⊥平面PAC.證明因為AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.又MN?平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.2.在本例條件下，證明：平面EFG∥平面PAC.證明因為E，F(xiàn)，G分別為PB，AB，BC的中點，所以EF∥PA，F(xiàn)G∥AC，又EF?平面PAC，PA?平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理，F(xiàn)G∥平面PAC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC.(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).(2)在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2016·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；由已知，DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，又由三棱柱的性質(zhì)可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.證明(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.證明在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，A1B1?平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D?平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，A1F?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D?平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.題型三求空間角命題點1求兩條異面直線所成的角和二面角例3

如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，AA1的中點.(1)求直線EF和直線AB1所成的角的大??；解答在正方體ABCD—A1B1C1D1中，因為E，F(xiàn)分別是AD，AA1的中點，所以EF∥A1D.因為AD∥B1C1，AD＝B1C1，所以四邊形ADC1B1為平行四邊形.所以AB1∥DC1.所以∠A1DC1是直線AB1和EF所成的角.因為△A1DC1是等邊三角形，所以∠A1DC1＝60°，即直線AB1和EF所成的角是60°.(2)求二面角D—A1C1—D1的正切值.解答在正方體ABCD—A1B1C1D1中，連接B1D1交A1C1于點M，連接DM，則D1M⊥A1C1.又DD1⊥平面A1C1，所以DD1⊥A1C1，且D1M∩DD1＝D1，所以A1C1⊥平面DD1M，又DM?平面DD1M，所以DM⊥A1C1.故∠DMD1為二面角D—A1C1—D1的平面角，命題點2求直線和平面所成的角例4

(2016·溫州一模)如圖，在三棱錐D—ABC中，DA＝DB＝DC，點D在底面ABC上的射影為點E，AB⊥BC，DF⊥AB于點F.(1)求證：平面ABD⊥平面DEF；證明如圖，由題意知DE⊥平面ABC，所以AB⊥DE，又AB⊥DF，DE∩DF＝D，所以AB⊥平面DEF，又AB?平面ABD，所以平面ABD⊥平面DEF.(2)若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直線BE與平面DAB所成的角的正弦值.解答由DA＝DB＝DC，知EA＝EB＝EC，E為AC的中點，所以E是△ABC的外心.過點E作EH⊥DF于點H，則由(1)知EH⊥平面DAB，所以∠EBH即為BE與平面DAB所成的角.求空間角的策略(1)利用定義將空間角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角，然后在三角形中計算.(2)要遵循求角的四個步驟：作、指、算、答；注意不要忽略角的范圍.思維升華跟蹤訓(xùn)練3在如圖所示的多面體ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB＝2，BC＝

F是CD的中點.(1)求證：AF∥平面BCE；證明如圖所示，取CE的中點為M，連接BM，MF，因為F為CD的中點，所以四邊形ABMF為平行四邊形.所以BM∥AF.因為BM?平面BCE，AF?平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)求直線CE與平面ABED所成角的余弦值.解答因為△ACD是正三角形，所以AC＝AD＝CD＝2.所以AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC.又AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.如圖所示，取AD的中點H，連接CH，EH，則AB⊥CH.又AC＝CD，所以CH⊥AD.又AB∩AD＝A，所以CH⊥平面ABED，所以∠CEH是直線CE與平面ABED所成的角.典例

(14分)如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點.求證：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.立體幾何證明問題中的轉(zhuǎn)化思想思想與方法系列19規(guī)范解答思想方法指導(dǎo)(1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；(2)線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ).證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等；(3)證明過程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時要對照條件、步驟書寫要規(guī)范.返回證明(1)如圖所示，連接NK.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD. [2分]∵N，K分別為CD，C1D1的中點，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四邊形DD1KN為平行四邊形， [4分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四邊形AA1KN為平行四邊形，∴AN∥A1K. [6分]∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK，∴AN∥平面A1MK. [8分](2)如圖所示，連接BC1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M(jìn)，K分別為AB，C1D1的中點，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四邊形BC1KM為平行四邊形，∴MK∥BC1. [10分]在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵M(jìn)K∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C. [12分]∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵M(jìn)K?平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分]返回課時訓(xùn)練1.(2016·嘉興期末)設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線，且m?α，則“m⊥β”是“α⊥β”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件√答案解析若m?α，m⊥β，則α⊥β；反之，若α⊥β，m?α，則m與β的位置關(guān)系不確定，所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件，故選A.123456789101112132.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是A.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB.若α∥β，m?α，n?β，，則m∥nC.若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β√答案解析A中，m與n可垂直、可異面、可平行；B中，m與n可平行、可異面；C中，若α∥β，仍然滿足m⊥n，m?α，n?β，故C錯誤.故選D.123456789101112133.(2016·蕪湖模擬)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上.答案解析√123456789101112134.(2016·包頭模擬)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中點，則下列敘述正確的是A.CC1與B1E是異面直線B.AC⊥平面ABB1A1C.AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E答案解析√12345678910111213A不正確，因為CC1與B1E在同一個側(cè)面中，故不是異面直線；B不正確，由題意知，上底面ABC是一個正三角形，故AC不可能垂直平面ABB1A1；C正確，因為AE，B1C1為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，易得AE⊥BC,而B1C1∥BC，所以AE⊥B1C1；D不正確，因為A1C1所在的平面與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點，故A1C1∥平面AB1E不正確，故選C.123456789101112135.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D－ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的是A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④答案解析√12345678910111213由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，由②知③正確；由①知④錯.故選B.123456789101112136.已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AC1與底面ABC所成角的余弦值等于√答案解析12345678910111213設(shè)三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長為a，A1在底面ABC內(nèi)的射影為O.由題意得四面體A1—ABC為四面體，所以∠A1AC＝60°，∠AA1C1＝120°.12345678910111213123456789101112137.如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有____________；與AP垂直的直線有____.∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴與AP垂直的直線是AB.AB、BC、ACAB答案解析123456789101112138.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________.答案解析12345678910111213設(shè)B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，12345678910111213在Rt△DB1E中，123456789101112139.如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號是________.答案解析①②③12345678910111213由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正確.1234567891011121310.(2016·保定模擬)在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜邊BC?α，一直角邊AC?β，BC與β所成角的正弦值為

則AB與β所成的角是________.答案解析12345678910111213如圖所示，作BH⊥MN于點H，連接AH，則BH⊥β，∠BCH為BC與β所成的角.∴AB與β所成的角為∠BAH.1234567891011121311.(2016·四川)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝解答(1)在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；12345678910111213取棱AD的中點M(M∈平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下：連接BM，CM.所以BC∥AM，且BC＝AM，所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB.又AB?平面PAB，CM?平面PAB.所以CM∥平面PAB.(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)12345678910111213證明(2)證明：平面PAB⊥平面PBD.12345678910111213由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.所以直線AB與CD相交，因為AB?平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，又因為BD?平面ABCD