第三章 離散Fourier變換

第三章離散Fourier變換Chapter3DiscreteFourierTransform由于數(shù)字信號處理器只能處理離散信號，所以我們需要繼續(xù)將離散時間序列進行頻域離散化（即就是要找到依賴于離散時間變量到依賴于離散頻率變量之間的一種映射關(guān)系）——這就是DFT的作用。僅此變換對適合于在數(shù)字信號處理器上實現(xiàn)總之，一個域的離散就必然造成另一個域的周期延拓，而一個域的非周期與另一個域的連續(xù)是相對應(yīng)的。3.1離散Fourier變換的定義1.定義（1）x(n)是有限長序列，且長度為M。與Fourier變換和z變換不同，n僅定義在[0,N-1]的整數(shù)區(qū)間上；（2）變換核為，將時域序列x(n)變換為頻域序列X(k)；（3）序列x(n)經(jīng)離散Fourier變換后得到k定義在[0,N-1]上的頻域序列X(k)，其中N稱為變換區(qū)間長度，N≥M；（4）離散Fourier變換使得時域序列與頻域序列之間建立關(guān)系，使信號在微處理器上的頻域分析成為可能；（5）x(n)的離散Fourier變換的結(jié)果與變換區(qū)間長度有關(guān)。k=0,1,…,N–1

n=0,1,…,N–1

稱為變換核例3.1.1x(n)=R4(n),求x(n)的8點和16點DFT。解：設(shè)變換區(qū)間N=8設(shè)變換區(qū)間N=16，用MATLAB實現(xiàn)DFTfunction[Xk]=dft(xn,N)%ComputesDiscreteFourierTransform%-----------------------------------%[Xk]=dft(xn,N)%Xk=DFTcoeff.arrayover0<=k<=N-1%xn=N-pointfinite-durationsequence%N=LengthofDFT%n=[0:1:N-1];%rowvectorfornk=[0:1:N-1];%rowvecorforkWN=exp(-j*2*pi/N);%Wnfactornk=n'*k;%createsaNbyNmatrixofnkvaluesWNnk=WN.^nk;%DFTmatrixXk=xn*WNnk;%rowvectorforDFT

coefficients2.DFT和Z變換的關(guān)系說明DFT是Z變換在單位圓上等間隔采樣N個點的結(jié)果說明DFT是序列Fourier變換在[0,2]區(qū)間上等間隔采樣N個點的結(jié)果。,0

k

N–1

,0k

N–1例：R8(n)的Fourier變換與64點DFT、128點DFT

由此例我們可以看出，對同一個序列x(n)：（1）DFT的變換區(qū)間不同，得到不同的X(k)。當n確定后，X(k)與x(n)是一一對應(yīng)的；（2）當N足夠大時，|X(k)|的包絡(luò)可逼近|X(ej)|曲線；（3）|X(k)|表示=(2/N）

k頻率點的幅度譜線。3.DFT的隱含周期性Ⅰ）∴DFT后的X(k)具周期性，周期為NX(k+mN)=X(k)∴IDFT后的x(n)具周期性，周期為Nx(n+mN)=x(n)Ⅱ）概念周期延拓序列記作主值序列k,m,N

均為整數(shù)Ⅲ）周期延拓序列的離散Fourier級數(shù)（DFS）（1）x(n)的N點DFTX(k)正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的DFS的主值序列。（2）對周期序列，只要知道它的一個周期的內(nèi)容就可以完全確定這個序列，也就是說只有一個周期承載信息，其它周期的值都是冗余的；（3）點數(shù)為N的有限長序列和周期為N的周期序列，都是由N個值來定義。（4）與有限長序列的DFT變換對相比，可以發(fā)現(xiàn)，周期序列和有限長序列本質(zhì)上是一樣的；（5）有限長序列及其DFT可以分別看作周期序列及其DFS的主值序列，因此，一定要注意有限長序列的隱含周期性。（這個隱含周期性主要對有限長序列的移位運算產(chǎn)生較大影響，進而使得對有限長序列只能計算循環(huán)卷積）如果x(n)的長度為N，且，則可寫出的離散Fourier級數(shù)表示式(DFS公式見P41公式(2.3.6))3.2離散Fourier變換的基本性質(zhì)線性時域循環(huán)卷積定理復(fù)共軛序列的DFT離散Fourier變換的基本性質(zhì)DFT的共軛對稱性循環(huán)移位性質(zhì)1.序列的循環(huán)移位定義：將x(n)以N為周期進行周期延拓得到再將左移m得到最后取的主值序列則得到有限長序列x(n)

的循環(huán)移位序列y(n).N=6時域循環(huán)移位定理頻域循環(huán)移位定理若則若則2.循環(huán)卷積定理Ⅰ）時域循環(huán)卷積定理X1(k)=DFT[x1(n)]X2(k)=DFT[x2(n)]如果X(k)=X1(k)X2(k)則或x(n)=x1(n)*x2(n)〇記作Ⅱ）頻域循環(huán)卷積定理如果

x(n)=x1(n)x2(n)則或式中X1(k)=DFT[x1(n)]X2(k)=DFT[x2(n)]，0

k

N–1〇〇710循環(huán)卷積的計算（1）離散頻域的有限長序列卷積（圓周卷積）與連續(xù)頻域的卷積（線性卷積）有很大的區(qū)別，這是由于FT在[-∞,∞]區(qū)間討論問題，而DFT僅能在[0,N-1]區(qū)間上討論問題，更重要的是有限長序列的卷積本質(zhì)上是周期序列的線性卷積；（2）手工計算圓周卷積的法則依然是“翻、移、乘、加”，只是序列的翻轉(zhuǎn)是在圓周上進行的；（3）有限長序列的圓周卷積與線性卷積相等的條件是L≥L1+L2-1有限長序列共軛對稱的定義xep(n)=x*ep(N–n)，0

n

N–1xop(n)=–x*op(N–n)，0

n

N–1任何有限長序列都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和。x(n)=xep(n)+xop(n)，0

n

N–1

DFT的共軛對稱性x(n)=xr(n)+jxi(n)X(k)=Xep(k)+Xop(k)x(n)=xep(n)+xop(n)X(k)=XR(k)+jXI(k)DFT的共軛對稱性：如果序列x(n)的DFT為X(k),則x(n)的實部和虛部（包括j）的DFT分別為X(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的DFT分別為X(k)的實部和虛部乘以j。

用MATLAB實現(xiàn)有限長序列的奇偶分解function[xec,xoc]=circevod(x)%signaldecompositionintocircular-evenand%circular-oddparts%---------------------------------------%[xec,xoc]=circecod(x)%N=length(x);n=0:(N-1);xec=0.5*(x+(x(mod(-n,N)+1))'.');xoc=0.5*(x-(x(mod(-n,N)+1))'.');用MATLAB實現(xiàn)有限長序列的循環(huán)移位functiony=cirshftt(x,m,N)%CircularshiftofmsampleswrtsizeN%insequencex:(timedomain)%---------------------------------------%[y]=cirshftt(x,m,N)%y=outputsequencecontainingthecircularshift%x=inputsequenceoflength<=N%m=sampleshift%N=sizeofcircularbuffer%Checkforlengthofxiflength(x)>Nerror('Nmustbe>=thelengthofx')endx=[xzeros(1,N-length(x))];n=[0:1:N-1];n=mod(n-m,N);y=x(n+1);用MATLAB實現(xiàn)有限長序列的循環(huán)卷積functiony=circonvt(x1,x2,N)%N-pointcircularconvolutionbetweenx1andx2:(time-domain)%-----------------------------------------------------%[y]=circonvt(x1,x2,N)%y=outputsequencecontainingthecircularconvolution%x1=inputsequenceoflengthN1<=N%x2=inputsequenceoflengthN2<=N%N=sizeofcircularbufferx1=[x1zeros(1,N-length(x1))];x2=[x2zeros(1,N-length(x2))];m=[0:1:N-1];x2=x2(mod(-m,N)+1);H=zeros(N,N);forn=1:1:NH(n,:)=cirshftt(x2,n-1,N);endy=x1*H';X1(k)=DFT[x1(n)]X2(k)=DFT[x2(n)]如果

X(k)=X1(k)X2(k)則3.3頻率域采樣什么條件下可以由頻率離散采樣恢復(fù)原來的信號？，0

k

N–1

表示在區(qū)間[0,2p]上對x(n)的Z變換的N點等間隔采樣。下面推導(dǎo)序列xN(n)與原序列x(n)之間的關(guān)系，并導(dǎo)出頻域采樣定理。X(k)是xN(n)以N為周期的周期延拓序列的DFS系數(shù)的主值序列，即說明了X(z)在單位圓上的N點等間隔采樣X(k)的N點IDFT，為原序列x(n)以N為周期的周期延拓序列的主值序列所以（1）若x(n)不是有限長序列，則由于頻域的采樣使得時域周期延拓后，必然造成混疊現(xiàn)象；（2）如果x(n)是有限長序列，點數(shù)為M，則當頻域采樣不夠密時，即當N<M時，x(n)以N為周期延拓，也會造成混疊；頻率域的抽取造成時域的周期延拓如果序列x(n)的長度為M，則只有當頻域采樣點數(shù)NM時，才有xN(n)=IDFT[X(k)]=x(n)即可由頻域采樣X(k)恢復(fù)原序列x(n)，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。這就是頻域采樣定理。%一個對指數(shù)序列x(n)=a^n*u(n)進行Z變換后%再進行IDFT的實例，程序中a=0.85N1=5;k=0:1:(N1-1);wk1=2*pi*k/N1;zk1=exp(j*wk1);Xk1=(zk1)./(zk1-0.85);xn1=real(idft(Xk1,N1));xtilde1=xn1'*ones(1,8);xtilde1=(xtilde1(:))';subplot(2,2,1);stem(0:39,xtilde1);axis([0,40,-0.2,1.8]);grid;xlabel(‘n’);ylabel(‘序列x(n)');title('N=5');顯示時域混疊的MATLAB例程1.00000.85000.72250.61410.52200.44370.37710.32060.27250.23160.19690.16730.14220.12090.10280.08740.07430.06310.05360.04560.03880.03290.02800.02380.02020.01720.01460.01240.01060.00901.00770.85650.72810.61880.52600.44710.38000.32300.27460.23340.19840.16860.14330.12180.10360.08800.07480.06360.05410.04600.03910.03320.02820.02400.02040.01730.01470.01250.01060.0090當N=30時0.85nu(n)的序列及取值當N=30時0.85nu(n)經(jīng)Z變換并取樣后IDFT的序列及取值怎樣由X(k)恢復(fù)X(z)和X(ej)?k=0,1,2,…,

N–1

內(nèi)插公式內(nèi)插函數(shù)z=ej時

這是用X(k)表示序列x(n)的Fourier變換X(ej)的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式3.4DFT應(yīng)用1.用DFT計算線性卷積

DFT僅能計算兩序列的循環(huán)卷積，但實際應(yīng)用中需要計算兩序列的線性卷積，所以有必要先來討論以下兩個問題：Ⅰ）循環(huán)卷積與線性卷積之間的關(guān)系結(jié)論：L點循環(huán)卷積等于線性卷積以L為周期的周期延拓序列的主值序列。Ⅱ）循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件若L≥N1+N2-1，則L點循環(huán)卷積能代表線性卷積。用DFT計算線性卷積框圖兩個序列的長度相差很大時。如選取L=N+M–1，則要求對短序列補充很多零點，長序列必須全部輸入后才能進行快速計算。很難實時處理。解決這個問題的方法是將長序列分段計算，這種分段處理法有重疊相加法和重疊保留法兩種。2.用DFT對信號進行譜分析Ⅰ）用DFT對連續(xù)信號進行譜分析所謂信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換。連續(xù)信號頻譜與其采樣序列頻譜間關(guān)系連續(xù)信號頻譜與其采樣序列頻譜間關(guān)系其中F為頻率分辨率，F(xiàn)=1/NT通過對連續(xù)信號采樣并進行DFT再乘以T，近似得到模擬信號頻譜的周期延拓函數(shù)在第一個周期上的N點等間隔采樣Ⅱ）用DFT進行譜分析的問題1、混疊現(xiàn)象：如果x(t)不是帶限信號，必定產(chǎn)生頻率混疊，但可以選擇一個合理的采樣頻率fs使這種混疊可以忽略不計；如果x(t)的最高頻率為fh，雖然fs>2fh可滿足采樣定理，但工程上通常取fs=(3~5)fh以取得更好的效果。2、柵欄效應(yīng)：因為DFT計算頻譜只限于離散點上頻譜，而不是連續(xù)的函數(shù)，這就像通過一個“柵欄”觀察連續(xù)頻譜一樣，因此稱這種現(xiàn)象為“柵欄”現(xiàn)象。3、截斷效應(yīng)：如果x(t)是無限長信號，用DFT作譜分析時，必須取有限長的一段，這就相當于在時域給信號乘了一個矩形函數(shù)，結(jié)果得到的頻譜是原信號的頻譜與矩形函數(shù)頻譜的卷積，造成頻譜泄漏問題和譜間干擾問題。4、頻率分辨率：F=1/NT，NT的增大會提高分辨率。當N固定時，過大的T會造成明顯的混疊現(xiàn)象，而T的減小又會使觀察時間縮短，從而增強截斷效應(yīng)、降低分辨率。加矩形窗前后的頻譜主瓣旁瓣①取更長的數(shù)據(jù)，也就是窗寬加寬，但數(shù)據(jù)太長會使運算量和存儲量都大大增加；②不要突然截斷數(shù)據(jù)，即不加矩形窗而使用緩變的窗，使窗譜的旁瓣能量更小，卷積后造成的泄漏減小。減弱截斷效應(yīng)的方法Ⅲ）用DFT進行譜分析時的參數(shù)選擇問題用DFT作連續(xù)信號的頻譜分析時，必須選擇合理的T和N，以防止混疊現(xiàn)象發(fā)生并且盡量提高頻譜分辨率。例：對連續(xù)信號x(t)=e?0.1t

,t≥0用DFT進行譜分析。①固定分辨率（意味著T

增大一倍，N

需