第02-3章 動能定理

第二章質點動力學chapter２dynamicsofparticle本章內容§2-1牛頓運動定律及其應用§2-2動量定理與動量守恒定律§2-3動能和機械能守恒定律§2-4角動量和角動量守恒定律第三節(jié)機械能定律動能及其機械能守恒定律§2-3動能定理和機械能守恒定律KineticenergyandConservationofmechanicalenergy本節(jié)內容一、功與動能二、保守力與勢能四、碰撞三、機械能守恒定律1.定義：[預備知識]矢量的標積2.矢量的標積的正交分量表示：（1）恒力做功1．功在數(shù)學的矢量運算中可表示為：一、功與動能

21XYOrrqrFP作用于P點的力的元功：（力隨運動變化，曲線路徑）ab思想：將運動軌跡分作均勻的Ｎ小段，使得每一小段位移中力可看作恒力（2）變力做功dFF力沿路徑的總功：ab此式的意義是合力的功等于各分量功之代數(shù)和。一、在路徑任意點處選bXYOZ（3）功的計算二、直角坐標系kdzjdyidxrdvvvv++=vvkFjFiFFzyxvv++=a=dz++F(x)dxF(y)dyF(z)=òòAòòabaxbxaybybzazdzdxdyF(x)F(y)F(z)++dzdxdyF(x)F(y)F(z)++[例1]一物體在外力F=3x+2

（SI）作用下，從x=0

移動到x=4m處，求該力對物體所做的功。解：這是一維變力做功的問題例2：一個質點的運動軌道為一拋物線，作用在質點的力，試求質點從處運動到處力F所作的功.（SI）

解：時時dz++F(x)dxF(y)dyF(z)=òòòA例3:

一個質點m=1.0kg,在力F作用下沿x軸運動,運動方程為.在0到4s的時間間隔內,求合力所作的功.

解:F是合力，

功的大小與參照系有關

功是過程量，與始末位置及路程有關

平均功率

瞬時功率

功率的單位

（瓦特）（4）功的小結若有幾個力同時作用在同一質點上，則合力所做的功為各分力做功的代數(shù)和。質點系呢？若有幾個力同時作用在同一質點上，則合力所做的功為：質點在變力Ｆ作用下，沿曲線從a運動到b，Ｆ對質點所做的功為：

合外力對質點做的功=質點動能的增量質點的動能：2．動能定理（1）質點的動能定理qrFPabd例4：一個合外力作用在m=3kg的物體上，其運動方程為

x=3t-4t2+t3

（SI）求最初4秒內該力對物體所做的功。1m2mm3v1v2v3內力做功外力做功外力做功外力做功+.........AkE系統(tǒng)終態(tài)總動能0kE系統(tǒng)初態(tài)總動能系統(tǒng)動能的增量，等于作用在系統(tǒng)中各質點的力所做的功的代數(shù)和。A內A外（2）質點系的動能定理1m122v1A1外01m122v11內A+02mv21222mv21222外2內AA+SiSm122v0m122viiiiSA外+SiA內A+kE0kEDkEA內A外O質點系的動量定理=>內力的沖量最后相互抵消

質點系的動能定理=>內力的功沒有抵消分析：兩質點間的內力做功——位移一般不同AA內+A外kE0kEDkE即使質點系

質點系動量定理作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量.因為內力，故回顧：質點系的動量定理—經歷的時間一般相同（1）功與動能都是標量3.動能定理的幾點說明：(2)此定理揭示了過程量功和狀態(tài)量動能的關系—功是能量變化的量度。不知道力的函數(shù)，可用動能的增量解題。(3)動能定理只適用于慣性系。1.力的空間累積效應——2.力的時間累積效應——(4)動能定理與動量定理比較：解：又因為：

聯(lián)立兩式可得：

例5：如圖，擺線長,求擺球落到角時速度的大??？hA3dxvtd2tkm2td力的功xFdxxF100tk2tkm2td100tk22mtd8mk2()J1042.25

107xFmdvdtdvtkmdtdvtkmdt0t0vv2tkm2vdxtd解法提要已知求m啟動牽引力從0到10秒，xFtk若不計阻力。v0t00力的功。xF練習一=2噸(=6×103N/s)kX功的概念與特點力（功）與狀態(tài)（動能）及系統(tǒng)（質點系）的分析注意：第三節(jié)機械能定律二、保守力與勢能保守力保守力conservativeforce非保守力非保守力non-conservativeforce

保守力做功的大小，只與運動物體的始末位置有關，與路徑無關。特點：如重力萬有引力彈性力

非保守力做功的大小，不僅與物體的始末位置有關，而且還與物體的運動路徑有關。特點：如摩擦力粘滯力流體阻力1．保守力----重力做功bxyOdr沿路徑ab)沿路徑ab)若物體從a出發(fā)經任意閉合路徑回到a點，則:重力的功只與質點的始末位置有關。而與路徑無關。

xm

Oka

xm

Ok1．保守力----彈力做功b

x質點位于x時所受的彈力彈力所做功彈力所做功只與物體的始末位置有關，而與路徑無關。

dx1．保守力----萬有引力做功萬有引力做的功mGM給定，萬有引力的功只與兩質點間的始末距離有關。rbarMMF引qmrdrdrdcosqrF引2rmGMbrbarar保守力的功只取決于受力質點的始、末位置，而與路徑無關。.0drF保亦即沿任意閉合路徑，保守力對質點所做的功為零亦即非保守力沿閉合路徑作功不為零.0drF保非保守力的功小結AFbadrh重力的功重力的功Agmahbhgm()萬有引力的功萬有引力的功AmGM(1ar)rbmGM()1((彈性力的功彈性力的功12kxa2bx2A12k()2勢能重力的功重力的功萬有引力的功萬有引力的功彈性力的功彈性力的功Agmahbhgm()AmGM(1ar)rbmGM()1((12kxa2bx2A12k()保守力的功EpaAFbadrhbEp初態(tài)勢能末態(tài)勢能Ep系統(tǒng)勢能增量的負值重力的功重力勢能重力的功引力勢能重力的功彈性勢能gmbhpEpErmGM1pEx212k若物體間的相互作用力為保守力，保守力由物體間相對位置決定的能量，稱為物體系的勢能（或位能）。相對位置物體系的（1）已知保守力求勢能的方法勢能差：EpaAFbadrhbEp初態(tài)勢能末態(tài)勢能Epb0若b點勢能為零EpaadrhF零勢能點則a點勢能為勢能：Mm任意路徑a物體系或質點系F保守力mb零勢能點mM相對于處于點位置時系統(tǒng)所具有的勢能，a等于將m從a點沿任意路徑移到勢能零點，保守力所做的功。（2）勢能的性質EpaadrhF零勢能點則a點勢能為Mm任意路徑a物體系或質點系F保守力mb零勢能點mM相對于處于點位置時系統(tǒng)所具有的勢能，a等于將m從a點沿任意路徑移到勢能零點，保守力所做的功。勢能屬物體系所共有；勢能是相對量，與勢能零點選擇有關。保守性只有在保守力場中才有；系統(tǒng)性相對性為勢能零點重力勢能重力勢能選地面0bhEpb0dyEpgmah0gmahgmh：離地面高度hEphEpgmhO萬有引力勢能萬有引力勢能8為勢能零點Epb0選rb2Epr8mGMdrr1mGMrOEprEp1mGMr彈性勢能彈性勢能為勢能零點Epb00選無形變處bxEpkxdxx012kx2EpxOEp12kx2（3）幾種常見保守力勢能與勢能曲線例2：一質量為m的質點沿x軸正向運動，其速度與坐標x的函數(shù)關系為v=kx（k為正常數(shù)），求：（1）作用于該質點上的力Ｆ；（2）該質點從點出發(fā)到處處所經歷的時間,以及力Ｆ做的功A；（3）力Ｆ是保守力嗎？解:(1)(2)(3)是。因為滿足第三節(jié)機械能1、機械能某一力學系統(tǒng)的

機械能是該系統(tǒng)的動能

與勢能之和Ek+pEE系統(tǒng)的機械能系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的勢能即在一般情況下，系統(tǒng)的機械能并不保持恒定。系統(tǒng)機械能發(fā)生變化的外因：系統(tǒng)外各種形式的力對系統(tǒng)做功，簡稱A外內因：系統(tǒng)內存在非保守力做功（如摩擦消耗），簡稱A非保內只有在一定條件下，系統(tǒng)的機械能才能保持恒定。三、機械能守恒定律1m2mm3v1v2v3內力做功外力做功外力做功外力做功+.........AkE系統(tǒng)終態(tài)總動能0kE系統(tǒng)初態(tài)總動能系統(tǒng)動能的增量，等于作用在系統(tǒng)中各質點的力所做的功的代數(shù)和。A內A外回顧：質點系的動能定理1m122v1A1外01m122v11內A+02mv21222mv21222外2內AA+SiSm122v0m122viiiiSA外+SiA內A+kE0kEDkEA內A外各種可能形式的外力對系統(tǒng)做功A外系統(tǒng)內的保守力做功系統(tǒng)內的非保守力做功A保內A非保內+AA外A保內+A非保內A外+A非保內Ek+pE()0Ek+0Ep()EE0末態(tài)機械能E初態(tài)機械能E02、質點系功能原理動能定理Ek0Ek：勢能概念()pE0Ep：

若某一過程中外力和非保守內力都不對系統(tǒng)做功，或這兩種力對系統(tǒng)做功的代數(shù)和為零，則系統(tǒng)的機械能在該過程中保持不變。機械能守恒定律若A外A非保內+0及0或A外A非保內0Ek+pE0Ek+0Ep則常量即EE00或EDEE0各種可能形式的外力對系統(tǒng)做功A外系統(tǒng)內的保守力做功系統(tǒng)內的非保守力做功A保內A非保內+AA外A保內+A非保內動能定理()Ek0EkpE勢能概念0EpA外+A非保內EE0Ek+pE()0Ek+0Ep()末態(tài)機械能E初態(tài)機械能E03、機械能守恒定律對于地面上的物體，它與地球組成一個系統(tǒng)。如果沒有摩擦力，并且只有重力與彈力（均為保守力）作功，此時質點的動能、彈力勢能、重力勢能的總量將保持不變。

以上就是中學教材關于機械能守恒的表述。

對與一個與自然界無任何聯(lián)系的系統(tǒng)來說,系統(tǒng)內各種形式的能量是可以相互轉換的，但是不論如何轉換，能量既不能產生，也不能消滅，這一結論叫做能量守恒定律.1）生產斗爭和科學實驗的經驗總結；2）能量是系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)；3）系統(tǒng)能量不變,但各種能量形式可以互相轉化；4）能量的變化常用功來量度.

亥姆霍茲（1821—1894），德國物理學家和生理學家.于1874年發(fā)表了《論力（現(xiàn)稱能量）守恒》的演講，首先系統(tǒng)地以數(shù)學方式闡述了自然界各種運動形式之間都遵守能量守恒這條規(guī)律.所以說亥姆霍茲是能量守恒定律的創(chuàng)立者之一.4、應用：

例1、已知

求

用質點的動能定理：

解法一：

用功能原理：

解法二：

4、應用：

解法三：

按功的定義：

選自然坐標：切向：法向：解：衛(wèi)星脫離火箭時（離地r～R）:例2：將衛(wèi)星發(fā)射到高度為