第19課 概率的應用

第19課概率的應用基礎知識題型分類要點梳理題型一計算等可能事件的概率助學微博基礎自測題型二應用統(tǒng)計頻率的方法估計概率題型三概率與統(tǒng)計綜合題題型四概率與方程、函數(shù)綜合題易錯警示12.不能準確用列表法或樹狀圖法求等

可能事件的概率要點梳理

1．概率表示事件發(fā)生的可能性的大小，不能說明某種肯定的結果．

2．概率這一概念就是建立在頻率這一統(tǒng)計量穩(wěn)定性的基礎之上的，在大量重復進行同一試驗時，可以用某一事件發(fā)生的頻率近似地作為該事件發(fā)生的概率．

3．模擬試驗：由于有時手邊恰好沒有相關的實物或者用實物進行試驗的難度很大，這時可用替代物進行模擬試驗，但必須保證試驗在相同的條件下進行，否則會影響其結果．首頁助學微博頻率與概率概率被我們用來表示一個事件發(fā)生的可能性的大小．如果一個事件是必然事件，它發(fā)生的概率就是1；如果一個事件是不可能事件，它發(fā)生的概率就是0；隨機事件發(fā)生的概率通常大于0且小于1.

對事件可能性大小的感覺通常來自觀察這個事件發(fā)生的頻率，即該事件實際發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，由于觀察的時間有長短，隨機事件的發(fā)生與否也有隨機性，所以在不同的試驗中，同一個隨機事件發(fā)生的頻率可以彼此不相等．首頁助學微博比如拋擲一枚普通硬幣，硬幣落地后“正面朝上”的概率是.當試驗次數(shù)少的時候，“正面朝上”的頻率有可能是0，有可能是1或者是其他數(shù)，但是，經(jīng)過大量的重復試驗，“正面朝上”的頻率會穩(wěn)定在處．首頁助學微博用頻率估計概率誰也無法預測隨機事件在每次試驗中是否會發(fā)生，但是，在相同條件下，進行大量的試驗后，事件出現(xiàn)的頻率會逐漸穩(wěn)定，穩(wěn)定后的頻率可以作為概率的估計值．反之，如果知道一個事件發(fā)生的概率，就可以由此推斷：大量試驗后該事件發(fā)生的頻率接近其概率．需要注意的是：用試驗的方法得出的頻率只是概率估計值，要想得到近似程度比較高的概率估計值，通常需要大量的重復試驗．首頁助學微博概率的預測求一個事件的概率途徑一般有三種：

(1)是主觀經(jīng)驗估計(又稱主觀概率)；

(2)是實驗估計(又稱實驗概率)；

(3)是根據(jù)樹狀圖或列表法分析預測概率(又稱理論概率)．首頁基礎自測1．(2013·宜昌)2012～2013NBA整個常規(guī)賽季中，科比罰球投籃的命中率大約是83.3%，下列說法錯誤的是(

)A．科比罰球投籃2次，一定全部命中

B．科比罰球投籃2次，不一定全部命中

C．科比罰球投籃1次，命中的可能性較大

D．科比罰球投籃1次，不命中的可能性較小

解析概率是反映事件發(fā)生機會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機會的大小，機會大也不一定發(fā)生．根據(jù)概率的意義對各選項分析判斷后利用排除法求解．

A．科比罰球投籃2次，一定全部命中，錯誤，故本選項正確；首頁基礎自測1．(2013·宜昌)2012～2013NBA整個常規(guī)賽季中，科比罰球投籃的命中率大約是83.3%，下列說法錯誤的是(

)A．科比罰球投籃2次，一定全部命中

B．科比罰球投籃2次，不一定全部命中

C．科比罰球投籃1次，命中的可能性較大

D．科比罰球投籃1次，不命中的可能性較小

B．科比罰球投籃2次，不一定全部命中，正確，故本選項錯誤；

C．∵科比罰球投籃的命中率大約是83.3%，∴科比罰球投籃1次，命中的可能性較大，正確，故本選項錯誤；

D．科比罰球投籃1次，不命中的可能性較小，正確，故本選項錯誤．故選A.A首頁基礎自測2．(2013·福州)袋中有紅球4個，白球若干個，它們只有顏色上的區(qū)別．從袋中隨機地取出一個球，如果取到白球的可能性較大，那么袋中白球的個數(shù)可能是(

)A．3個B．不足3個

C．4個D．5個或5個以上解析本題考查可能性大小的比較：只要總情況數(shù)目相同，誰包含的情況數(shù)目多，誰的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當，那么它們的可能性就相等．∵袋中有紅球4個，取到白球的可能性較大，∴袋中的白球數(shù)量大于紅球數(shù)量，即袋中白球的個數(shù)可能是5個或5個以上．故選D.D首頁基礎自測3．(2013·濱州)若從長度分別為3、5、6、9的四條線段中任取三條，則能組成三角形的概率為(

)解析∵從長度分別為3、5、6、9的四條線段中任取三條的可能結果有：3、5、6，3、5、9，3、6、9，5、6、9，能組成三角形的有：3、5、6，5、6、9，A首頁基礎自測4．(2013·資陽)在一個不透明的盒子里，裝有4個黑球和若干個白球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別，搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復，共摸球40次，其中10次摸到黑球，則估計盒子中大約有白球(

)A．12個B．16個C．20個D．30個

解析根據(jù)共摸球40次，其中10次摸到黑球，則摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為1∶3，由此可估計口袋中黑球和白球個數(shù)之比為1∶3，即可計算出白球數(shù)．首頁基礎自測4．(2013·資陽)在一個不透明的盒子里，裝有4個黑球和若干個白球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別，搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復，共摸球40次，其中10次摸到黑球，則估計盒子中大約有白球(

)A．12個B．16個C．20個D．30個

∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有30次摸到白球，∴摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為1∶3，A故選A.首頁基礎自測5．(2013·咸寧)如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為(

)解析求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率．設正方形ABCD的邊長為a，首頁基礎自測5．(2013·咸寧)如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為(

)C首頁題型分類

題型一計算等可能事件的概率【例1】

(2013·安徽)如圖，隨機閉合開關K1、K2、K3中的兩個，則能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為(

)解析首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．首頁題型分類

題型一計算等可能事件的概率【例1】

(2013·安徽)如圖，隨機閉合開關K1、K2、K3中的兩個，則能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為(

)畫樹狀圖如下：首頁題型分類

題型一計算等可能事件的概率【例1】

(2013·安徽)如圖，隨機閉合開關K1、K2、K3中的兩個，則能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為(

)∵共有6種等可能的結果，能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的是閉合開關K1、K3與K3、K1，∴能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為：故選B.

B首頁探究提高本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．首頁知能遷移1

(2013·河北)如圖，A是正方體小木塊(質地均勻)的一頂點，將木塊隨機投擲在水平桌面上，則A與桌面接觸的概率是________．解析正方體小木塊隨機投擲在水平桌面上，六個面與桌面接觸的可能性相同，頂點A在三個面上，故A與桌面接觸的概率是題型分類

題型一計算等可能事件的概率首頁題型分類

題型二用統(tǒng)計頻率的方法估計概率【例2】

(2013·連云港)在一個不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個，除顏色外，形狀、大小、質地等完全相同，小新從布袋中隨機摸出一球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，…如此大量摸球實驗后，小新發(fā)現(xiàn)其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，對此實驗，他總結出下列結論：①若進行大量摸球實驗，摸出白球的頻率穩(wěn)定于30%；②若從布袋中任意摸出一個球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是紅球．其中說法正確的是

(

)A．①②③B．①②C．①③D．②③首頁解析根據(jù)大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，分別分析得出即可．∵在一個不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個，其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，∴①若進行大量摸球實驗，摸出白球的頻率穩(wěn)定于：

1－20%－50%＝30%，故此選項正確；∵摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，大于其它頻率，∴②從布袋中任意摸出一個球，該球是黑球的概率最大，故此選項正確；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是紅球，故此選項錯誤．故正確的有①②.故選B.首頁題型分類

題型二用統(tǒng)計頻率的方法估計概率【例2】

(2013·連云港)在一個不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個，除顏色外，形狀、大小、質地等完全相同，小新從布袋中隨機摸出一球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，…如此大量摸球實驗后，小新發(fā)現(xiàn)其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，對此實驗，他總結出下列結論：①若進行大量摸球實驗，摸出白球的頻率穩(wěn)定于30%；②若從布袋中任意摸出一個球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是紅球．其中說法正確的是

(

)A．①②③B．①②C．①③D．②③B首頁探究提高此題主要考查了利用頻率估計概率，根據(jù)頻率與概率的關系得出結果是解題關鍵．首頁移植總數(shù)(n)400750150035007000900014000成活數(shù)(m)369662133532036335807312628成活的頻率0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902知能遷移2

(2013·大連)某林業(yè)部門統(tǒng)計某種幼樹在一定條件下的移植成活率，結果如下表所示：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計這種幼樹移植成活率的概率為________(精確到0.1)．

解析

x＝(0.923＋0.883＋0.890＋0.915＋0.905＋0.897＋

0.902)÷7≈0.9，∴這種幼樹移植成活率的概率約為0.9.0.9首頁題型分類

題型三概率與統(tǒng)計綜合題【例3】

(2013·廣州)在某項針對18～35歲的青年人每天發(fā)微博數(shù)量的調查中，設一個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”為

m，規(guī)定：當m≥10時為A級，當5≤m＜10時為B級，當0≤m

＜5時為C級．現(xiàn)隨機抽取30個符合年齡條件的青年人開展每人“日均發(fā)微博條數(shù)”的調查，所抽青年人的“日均發(fā)微博條數(shù)”的數(shù)據(jù)如下：

11

10

6

15

9

16

13

12

0

82

8

10176137

5

7

3121071136

8

141512首頁(1)求樣本數(shù)據(jù)中為A級的頻率；(2)試估計1000個18～35歲的青年人中“日均發(fā)微博條數(shù)”為A級的人數(shù)；(3)從樣本數(shù)據(jù)為C級的人中隨機抽取2人，用列舉法求抽得2個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”都是3的概率．解

(1)∵抽取30個符合年齡條件的青年人中A級的有15人，(2)1000個18～35歲的青年人中“日均發(fā)微博條數(shù)”為A級的人數(shù)為：首頁(3)C級的有：0，2，3，3四人，畫樹狀圖如下：∵共有12種等可能的結果，抽得2個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”都是3的有2種情況，∴抽得2個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”都是3的概率為：首頁城市項目北京太原杭州沈陽廣州深圳上海桂林上班花費時間(分鐘)5233343448464723上班堵車時間(分鐘)141212121211117城市項目南能?？谀暇刂萃Ｌm州中山上班花費時間(分鐘)24243725242518上班堵車時間(分鐘)7665550知能遷移3

(2013·濰坊)隨著我國汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，城市道路擁堵問題日益嚴峻．某部門對15個城市的交通狀況進行了調查，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：首頁(1)根據(jù)上班花費時間，將下面的頻數(shù)分布直方圖補充完整；(2)求15個城市的平均上班堵車時間(計算結果保留一位小數(shù))；某人欲從北京、沈陽、上海、溫州四個城市中任意選取兩個作為出發(fā)目的地，求選取的兩個城市的堵車率都超過30%的概率．首頁解

(1)補全的統(tǒng)計圖如圖所示：(2)平均上班堵車時間＝(14＋12×4＋11×2＋7×2＋6×2＋5×3＋0)÷15≈8.3(分鐘)．首頁則堵車率超過30%的城市有北京、沈陽和上海．從四個城市中選兩個的方法共有6種(北京，沈陽)，(北京，上海)，(北京，溫州)，(沈陽，上海)，(沈陽，溫州)，(上海，溫州).∵兩個城市堵車率均超過30%的情況有3種：(北京，沈陽)，(北京，上海)，(沈陽，上海)，∴選取的兩個城市堵車率都超過30%的概率為：首頁題型分類

題型四概率與方程、函數(shù)綜合題【例4】

(2013·恩施)一個不透明的袋子里裝有編號分別為1、2、3的球(除編號以為，其余都相同)，其中1號球1

個，3號球3個，從中隨機摸出一個球是2號球的概率為.(1)求袋子里2號球的個數(shù)；

(2)甲、乙兩人分別從袋中摸出一個球(不放回)，甲摸出球的編號記為x，乙摸出球的編號記為y，用列表法求點A(x，y)在直線y＝x下方的概率．首頁解

(1)設袋子里2號球的個數(shù)為x個．經(jīng)檢驗：x＝2是原分式方程的解，∴袋子里2號球的個數(shù)為2個．首頁1223333(1，3)(2，3)(2，3)(3，3)(3，3)－3(1，3)(2，3)(2，3)(3，3)－(3，3)3(1，3)(2，3)(2，3)－(3，3)(3，3)2(1，2)(2，2)－(3，2)(3，2)(3，2)2(1，2)－(2，2)(3，2)(3，2)(3，2)1－(2，1)(2，1)(3，1)(3，1)(3，1)(2)列表得：∵共有30種等可能的結果，點A(x，y)在直線y＝x下方的有11個，首頁探究提高本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．首頁題型分類

題型四概率與方程、函數(shù)綜合題知能遷移4

(1)(