第18章 測(cè)量不確定度與回歸分析

第18章測(cè)量不確定度與回歸分析18.1測(cè)量誤差概述任何測(cè)量的目的是為了獲得被測(cè)量的真實(shí)值。量是物體可以從數(shù)量上進(jìn)行確定的一種屬性。由一個(gè)數(shù)和合適的計(jì)量單位表示的量稱為量值。量值有理論真值、約定真值和實(shí)際值或標(biāo)稱值與指示值之分。真值理論真值是在理想情況下表征一個(gè)物理量真實(shí)狀態(tài)或?qū)傩缘闹?，它通常客觀存在但不能實(shí)際測(cè)量得到，或者是根據(jù)一定的理論所定義的數(shù)值。約定真值是為了達(dá)到某種目的按照約定的辦法所確定的值，或以高精度等級(jí)儀器的測(cè)量值約定為等精度等級(jí)儀器測(cè)量值的真值。實(shí)際值是在滿足規(guī)定準(zhǔn)確度時(shí)用以代替真值使用的值。標(biāo)稱值和指示值標(biāo)稱值是計(jì)量或測(cè)量器具上標(biāo)注的量值。指示值（即測(cè)量值）是測(cè)量?jī)x表或量具給出的量值。精度對(duì)于具體物體的測(cè)量：精密度高的準(zhǔn)確度不一定高，準(zhǔn)確度高的精密度不一定高，但精確度高，精密度和準(zhǔn)確度都高。誤差的來(lái)源測(cè)量環(huán)境誤差：測(cè)量?jī)x器的工作環(huán)境與規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)不一致時(shí)所造成的誤差。典型的有溫度、濕度、大氣壓力、振動(dòng)、重力加速度、電磁干擾等。測(cè)量裝置誤差：是指由于測(cè)量?jī)x表本身不完善或測(cè)量精度不高所帶來(lái)的誤差。測(cè)量方法誤差：是指由于測(cè)量方法不合理或不完善所引起的誤差。測(cè)量人員誤差：是指由于測(cè)量人員本身的專業(yè)素質(zhì)不高所引起的誤差。誤差的分類根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)中誤差的規(guī)律，有三類：系統(tǒng)誤差：由于測(cè)量系統(tǒng)本身的性能不完善、測(cè)量方法不完善、測(cè)量者對(duì)儀器的使用不當(dāng)、環(huán)境條件的變化等原因所引起的測(cè)量誤差成為系統(tǒng)誤差。隨機(jī)誤差：對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，絕對(duì)誤差的絕對(duì)值和符號(hào)不可預(yù)知的隨機(jī)變化，但就誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，這類誤差稱之為隨機(jī)誤差。粗大誤差：明顯偏離測(cè)量結(jié)果的誤差稱為粗大誤差（也稱疏忽誤差，或過(guò)失誤差）。提問(wèn)：系統(tǒng)誤差和粗大誤差的產(chǎn)生原因都提到了環(huán)境條件變化，試區(qū)分它們的異同？隨機(jī)誤差是否受環(huán)境影響？誤差的表示絕對(duì)誤差Δ：測(cè)量值x與真實(shí)值L間的差值。

Δ=x-L相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與真實(shí)值（或測(cè)量值）之比。工程上，在無(wú)法得到真值時(shí)，常采用在被測(cè)參量沒(méi)有發(fā)生變化的條件下重復(fù)多次測(cè)量，用多次測(cè)量的平均值代替真值。附加誤差：當(dāng)儀表的使用條件偏離標(biāo)準(zhǔn)條件時(shí)出現(xiàn)的誤差（如溫度、壓力、頻率、電源電壓波動(dòng)附加誤差等）。引用誤差：絕對(duì)誤差與儀表滿量程之比。這里的滿量程是指儀表的測(cè)量范圍的上下限之差。

其中，xm為儀表的滿量程。相比于相對(duì)誤差，這里使用滿量程代替了真值，但引起誤差的分子仍為絕對(duì)誤差Δ；當(dāng)測(cè)量值為檢測(cè)系統(tǒng)測(cè)量范圍的不同數(shù)值時(shí)，各測(cè)量值的絕對(duì)誤差Δ也可能不同。因此，即使是同一檢測(cè)系統(tǒng)，其測(cè)量范圍內(nèi)的不同測(cè)量值處的引用誤差也不一定相同。但是，在沒(méi)有修正值的情況下，通常認(rèn)為在整個(gè)測(cè)量范圍內(nèi)各處的最大絕對(duì)誤差是一個(gè)常數(shù)。例題：檢定一臺(tái)滿量程Am=5A，精度等級(jí)為1.5的電流表，測(cè)得在2.0A處其絕對(duì)誤差Δ=0.1A，請(qǐng)問(wèn)該電流表是否合格？解：

顯然該電流表不合格。最大引用誤差：在檢測(cè)系統(tǒng)全量程所有測(cè)量值引用誤差（絕對(duì)值）的最大者，或者說(shuō)所有測(cè)量值中最大絕對(duì)誤差（絕對(duì)值）與量程的比值的百分?jǐn)?shù)，用符號(hào)γmax表示。檢測(cè)儀表的精度等級(jí)儀表的精度等級(jí)是根據(jù)引用誤差來(lái)定義的，如0.5級(jí)表的引用誤差不超過(guò)±0.5%，根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定，引用誤差分為0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0共7個(gè)等級(jí)。檢測(cè)儀表的精度等級(jí)由生產(chǎn)廠商根據(jù)其最大引用誤差的大小并以選大不選小的原則就近套用上述精度等級(jí)。例如，量程為0~1000V的數(shù)字電壓表，如果其整個(gè)量程中最大絕對(duì)誤差為1.05V，則有該數(shù)字電壓表的精度等級(jí)應(yīng)為0.2級(jí)。檢測(cè)儀表的工作誤差工作誤差是指檢測(cè)儀表在額定工作下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍，它也是衡量檢測(cè)儀表的最重要的質(zhì)量指標(biāo)之一。根據(jù)國(guó)標(biāo)的規(guī)定，工作誤差通常直接用絕對(duì)誤差表示。例題：被測(cè)電壓實(shí)際值為21.7V，現(xiàn)有四種電壓表，A表：1.5級(jí)、量程為0~30V；B表：1.5級(jí)、量程為0~50V；C表：1.0級(jí)、量程為0~50V；D表：0.2級(jí)、量程為0~360V；選用哪種規(guī)格的電壓表測(cè)量時(shí)所產(chǎn)生的測(cè)量誤差較??？被測(cè)電壓實(shí)際值為21.7V，A表：1.5級(jí)、量程為0~30V；B表：1.5級(jí)、量程為0~50V；C表：1.0級(jí)、量程為0~50V；D表：0.2級(jí)、量程為0~360V；解：最大絕對(duì)誤差A(yù)表：B表：C表：D表：檢測(cè)儀表產(chǎn)生的測(cè)量誤差不僅與所選儀表精度等級(jí)有關(guān)，而且與所選儀表的量程有關(guān)。通常測(cè)量值與量程差距越小，測(cè)量準(zhǔn)確度越高。（要求示值落在儀表滿刻度的三分之二以上）粗大誤差的處理1、3

準(zhǔn)則通常把3作為極限誤差。如果一組測(cè)量數(shù)據(jù)中某個(gè)測(cè)量值的殘余誤差的絕對(duì)值時(shí)，則可認(rèn)為該值含有粗大誤差，應(yīng)舍棄。2、肖維勒準(zhǔn)則該準(zhǔn)則以正態(tài)分布為前提，假設(shè)多次重復(fù)測(cè)量得到的n個(gè)測(cè)量值中，某個(gè)測(cè)量值的殘余誤差，則舍棄該測(cè)量值。Zc值的選取與測(cè)量列的測(cè)量值個(gè)數(shù)n有關(guān)。3、格拉布斯準(zhǔn)則該準(zhǔn)則對(duì)于某個(gè)測(cè)量值的殘余誤差的絕對(duì)值，則判斷此值中含有粗大誤差，應(yīng)剔除。G的確定與重復(fù)測(cè)量次數(shù)N和置信概率Pa有關(guān)，如下表所示。隨機(jī)誤差的處理假定對(duì)某個(gè)被測(cè)參量x0

（恒值）進(jìn)行等精度重復(fù)測(cè)量n次，得到n個(gè)測(cè)量值x1,x2,……,xn，則各次測(cè)量值xi與真值x0的差即為隨機(jī)誤差δi=xi-x0，n次測(cè)量對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差分別為δ1,δ2,……

,δn。大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在沒(méi)有起決定性影響的誤差源存在時(shí)，隨機(jī)誤差的分布多數(shù)都服從正態(tài)分布。1、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線單峰性有界性對(duì)稱性x：測(cè)量值；y：概率密度；：標(biāo)準(zhǔn)差；L：數(shù)學(xué)期望；δ：隨機(jī)誤差，

δ=x-L不同均方根下正態(tài)分布曲線真值（或數(shù)學(xué)期望）標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)測(cè)量系統(tǒng)而言，當(dāng)測(cè)量次數(shù)n為無(wú)窮大時(shí)2、正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的數(shù)字特征實(shí)際測(cè)量中，由于測(cè)量次數(shù)n也不能無(wú)窮大，所以真值x0無(wú)法知道。通常用多次測(cè)量值的算術(shù)平均值代替真值x0。各測(cè)量值與算術(shù)平均值的差值稱為殘余誤差vi由殘差可計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值

，即貝塞爾公式：設(shè)在相同條件下對(duì)被測(cè)量進(jìn)行了m組的“多次測(cè)量”，即分別對(duì)每一組做n次測(cè)量，各組所得的算術(shù)平均值為每組的算術(shù)平均值并不相同，它也存在一個(gè)隨機(jī)波動(dòng)，但其波動(dòng)范圍比單次測(cè)量的波動(dòng)范圍要小。由誤差理論可以證明，均值標(biāo)準(zhǔn)差正常情況下，每一組的都是不同值，但假設(shè)在不變的情況下，可以畫出與n的如下關(guān)系曲線：由圖中可以看出，隨著n的增大，測(cè)量精度相應(yīng)提高，但當(dāng)測(cè)量次數(shù)達(dá)到一定值后（如n>10），下降很慢。所以單純依靠增加測(cè)量次數(shù)很難無(wú)3、正態(tài)分布的概率計(jì)算限地提高精度，需要從其他方面考慮。一般取n=5~10。為了確定測(cè)量的可靠性，需要計(jì)算正態(tài)分布在不同區(qū)間的概率，分布曲線下的全部面積應(yīng)等于總概率（即100%）。由殘余誤差表示的正態(tài)分布密度函數(shù)為由于是正態(tài)分布的特征參數(shù)，誤差區(qū)間通常表示成的倍數(shù)，如t。由于正態(tài)分布的對(duì)稱性特點(diǎn)，計(jì)算概率通常取成對(duì)稱區(qū)間的概率，即測(cè)量結(jié)果的兩種表示由上表可知，當(dāng)t=1時(shí)，P=0.6827，即測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差出現(xiàn)在-~+間的概率為68.27%；當(dāng)t=3時(shí)，即出現(xiàn)在-3~+3間的概率為99.73%。所以測(cè)量結(jié)果通常表示為如下兩種例題有一組（10個(gè)）測(cè)量值為237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，求測(cè)量結(jié)果。解：首先根據(jù)測(cè)量值可計(jì)算出測(cè)量平均值：接著計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值因此，測(cè)量結(jié)果可表示為：系統(tǒng)誤差的處理從誤差根源上消除系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：是由測(cè)量系統(tǒng)本身的缺陷或測(cè)量方法的不完善造成的，使得測(cè)量值中含有固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差。特點(diǎn)：系統(tǒng)誤差不具有抵償性，也不能通過(guò)重復(fù)測(cè)量來(lái)消除，因此在處理方法上與隨機(jī)誤差完全不同。處理原則：找出系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源，然后采取相應(yīng)的措施盡量減小或消除系統(tǒng)誤差。分析系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因一般從以下5個(gè)方面著手：所用測(cè)量?jī)x表或元件本身是否準(zhǔn)確可靠；測(cè)量方法是否完善；傳感器或儀表的安裝、調(diào)整、放置等是否正確合理；測(cè)量?jī)x表的工作環(huán)境條件是否符合規(guī)定條件；測(cè)量者的操作是否正確。如讀數(shù)時(shí)的視差、視力疲勞等都會(huì)引起系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別（1）實(shí)驗(yàn)對(duì)比法通過(guò)改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件從而進(jìn)行不同條件下的測(cè)量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差適用于：發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差（2）殘余誤差觀察法是根據(jù)測(cè)量值的殘余誤差的大小和符號(hào)的變化規(guī)律來(lái)判斷有無(wú)變化的系統(tǒng)誤差（3）準(zhǔn)則檢查法馬利科夫準(zhǔn)阿貝準(zhǔn)則3、系統(tǒng)誤差的消除要絕對(duì)地消除系統(tǒng)誤差是不可能的（1）消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源測(cè)量前，仔細(xì)檢查儀表，正確調(diào)整和安裝；防止外界干擾的影響；選擇好觀測(cè)位置消除視差；選擇環(huán)境條件較穩(wěn)定時(shí)進(jìn)行測(cè)量和讀數(shù)。（2）在測(cè)量系統(tǒng)中采用補(bǔ)償措施找出系統(tǒng)誤差的規(guī)律，在測(cè)量過(guò)程中自動(dòng)消除系統(tǒng)誤差。（3）實(shí)時(shí)反饋修正當(dāng)查明某種誤差因素的變化對(duì)測(cè)量結(jié)果有明顯的影響時(shí)，可盡量找出其影響測(cè)量結(jié)果的函數(shù)關(guān)系或近似函數(shù)關(guān)系，然后按照這種函數(shù)關(guān)系對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行實(shí)時(shí)的自動(dòng)修正。（4）在測(cè)量結(jié)果中進(jìn)行修正對(duì)于已知的系統(tǒng)誤差，可以用修正值對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正；對(duì)于變值系統(tǒng)誤差，設(shè)法找出誤差的變化規(guī)律，用修正公式或修正曲線對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正；對(duì)未知的系統(tǒng)誤差，則歸入隨機(jī)誤差一起處理。測(cè)量誤差的傳遞

由于直接測(cè)量的結(jié)果有誤差，由直接測(cè)量值經(jīng)過(guò)計(jì)算得到的間接測(cè)量結(jié)果也會(huì)有誤差，這就是誤差的傳遞（也稱為誤差的合成）即已知被測(cè)量與各個(gè)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系以及各個(gè)參數(shù)測(cè)量值的分項(xiàng)誤差，求被測(cè)量的總誤差。系統(tǒng)誤差的傳遞

隨機(jī)誤差的傳遞

總的誤差如果測(cè)量系統(tǒng)的系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差相互獨(dú)立，則總的誤差表示為

18.3測(cè)量不確定度測(cè)量不確定度是指對(duì)測(cè)量結(jié)果不確定性的評(píng)價(jià)，是表征被測(cè)量的真值在某個(gè)量值范圍的一個(gè)估計(jì)，測(cè)量結(jié)果中所包含的測(cè)量不確定度用以表示被測(cè)量值的分散性。所有的不確定度分量均用標(biāo)準(zhǔn)差表征，它們或者由隨機(jī)誤差引起，或者由系統(tǒng)誤差引起，都對(duì)測(cè)量結(jié)果的分散性產(chǎn)生相應(yīng)的影響。測(cè)量不確定度的來(lái)源

測(cè)量不確定度常見(jiàn)的10項(xiàng)可能來(lái)源：被測(cè)量的定義不完整；被測(cè)量的定義復(fù)現(xiàn)不理想；抽樣可能不完全代表定義的被測(cè)量；對(duì)環(huán)境條件的影響或測(cè)量程序的認(rèn)識(shí)不足，或?qū)Νh(huán)境條件的測(cè)量和控制不完善；模擬式儀器的讀數(shù)偏差；測(cè)量?jī)x器分辨力和鑒別閾值不夠；計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)器和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)不準(zhǔn)確；用于數(shù)據(jù)計(jì)算的常量和其他參量不準(zhǔn)確測(cè)量方法、測(cè)量系統(tǒng)和測(cè)量程序中的近似和假設(shè)；在表面上看來(lái)相同的條件下，被測(cè)量在重復(fù)觀測(cè)中的變化。測(cè)量不確定度與誤差的比較相同點(diǎn)：都是評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果質(zhì)量高低的重要指標(biāo)，都可作為測(cè)量結(jié)果的精度評(píng)定參數(shù)。區(qū)別：從定義上講，誤差是測(cè)量結(jié)果與真值之差，它以真值或約定真值為中心；測(cè)量不確定度是以被測(cè)量的估計(jì)值為中心。因此誤差是一個(gè)理想的概念，一般不能準(zhǔn)確知道，難以定量；而測(cè)量不確定度是反映人們對(duì)測(cè)量認(rèn)識(shí)不足的程度，是可以定量評(píng)定的。在分類上，誤差按自身特征和性質(zhì)分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差，并可采取不同的措施來(lái)減小或消除各類誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。但由于各類誤差之間并不存在絕對(duì)界限，故在分類判別和誤差計(jì)算時(shí)不易準(zhǔn)確掌握。曲線擬合的最小二乘法2什么是最小二乘法3最小二乘法的求法1曲線擬合的問(wèn)題

如果已知函數(shù)f(x)在若干點(diǎn)xi(i=1,2,…,n)處的值yi,便可根據(jù)插值原理來(lái)建立插值多項(xiàng)式作為f(x)的近似。但在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，往往節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值是由實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)，這些函數(shù)值不可避免地帶有測(cè)量誤差，如果要求所得的近似函數(shù)曲線精確無(wú)誤地通過(guò)所有的點(diǎn)(xi,yi),就會(huì)使曲線保留著一切測(cè)試誤差。此外,由實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)提供的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)往往很多,如果用插值法,勢(shì)必得到次數(shù)較高的插值多項(xiàng)式，這樣計(jì)算起來(lái)很煩瑣，缺乏實(shí)用價(jià)值。

希望從給定的數(shù)據(jù)(xi,yi)出發(fā),在某個(gè)函數(shù)類中尋求一個(gè)近似函數(shù)φ(x),

來(lái)擬合這組數(shù)據(jù)。要求所得的近似曲線能最好的反映數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì)，如圖所示。一、問(wèn)題的提法二、目的1曲線擬合的問(wèn)題曲線擬合示意圖

也就是求一條曲線,使數(shù)據(jù)點(diǎn)均在離此曲線的上方或下方不遠(yuǎn)處,它既能反映數(shù)據(jù)的總體分布,又不至于出現(xiàn)局部較大的波動(dòng),能反映被逼近函數(shù)的特性,使求得的逼近函數(shù)與已知函數(shù)從總體上來(lái)說(shuō)其偏差按某種方法度量達(dá)到最小.三、方法曲線擬合方法四、曲線擬合的問(wèn)題設(shè)函數(shù)y=f(x)在m個(gè)互異點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)為

求一個(gè)簡(jiǎn)單的近似函數(shù)φ(x)，使之“最好”地逼近f(x),而不必滿足插值原則。這時(shí)沒(méi)必要取φ(xi)=yi,而要使i=φ(xi)yi

總體上盡可能地小。這種構(gòu)造近似函數(shù)的方法稱為曲線擬合,稱函數(shù)y=φ(x)為經(jīng)驗(yàn)公式或擬合曲線。使最小最小二乘原則三、最小二乘原則（方法）1、定義：使“偏差平方和最小”的原則稱為最小二乘原則。2、定義:按照最小二乘原則選取擬合曲線的方法,稱為最小二乘法。主要討論線性最小二乘問(wèn)題，基本提法是：在某個(gè)函數(shù)類Φ={φ0(x),φ1(x),…φn(x)}來(lái)尋求一個(gè)函數(shù)φ(x)

。是待定常數(shù)，

使其滿足3、線性最小二乘問(wèn)題的提法式中，