第1章數值分析-緒論

第1章緒論基礎部數學教研室

彭曉華數值分析參考教材(TextBook)*《數值分析》，曾繁慧主編，中國礦業(yè)大學出版社*《數值分析》，李慶揚王能超易大義編，清華大學出版社基礎知識微積分、線性代數、常微分方程數值分析——緒論1.1

數值分析的研究對象與特點數值分析(NumericalAnalysis):

數值分析也稱計算數學，是數學科學的一個分支，它研究用計算機求解各種數學問題的數值計算方法、理論與軟件實現(xiàn)。本課程的主要內容：誤差與誤差分析非線性代數方程組求解線性代數方程組求解插值最佳逼近數值微分與數值積分常微分方程初值問題的數值解法數值分析的算法要求：（1）面向計算機，要根據計算機的特點提供切實可行的有效算法，即算法只能包括加、減、乘、除運算和邏輯運算，這些計算是計算機能直接處理的運算（2）有可靠的理論分析，能任意逼近并達到精度要求，對近似算法要保證收斂性和數值穩(wěn)定性，還要對誤差進行分析，這些都建立在相應數學理論的基礎上數值分析的算法要求：（4）要有數值實驗，即任何一個算法除了從理論上滿足上述三點外，還要通過數值實驗證明是行之有效的。（3）要有好的計算復雜性，時間復雜性好是指節(jié)省計算時間，空間復雜性好是指節(jié)省存儲空間，這也是建立算法要研究的問題，它關系到算法能否在計算機上實現(xiàn)一個面向計算機，有可靠理論分析、計算復雜性好并且通過數值實驗能夠驗證算法是行之有效的算法就是一個好的數值算法。如何學好這門課掌握微積分、線性代數、常微分方程的基本內容注意掌握基本原理和基本方法，要注意方法處理的技巧及其與計算機的結合要重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論注意用所學數值方法解決實際計算問題基本要求:確保出勤，有事請假認真完成習題的演練一定數量的數值實驗（利用MATLAB用數值方法解決實際問題）結合自己的專業(yè)解決實際問題數值分析——緒論1.2.1誤差的來源（1）模型誤差：在建立數學模型時對被描述的實際問題進行抽象簡化而產生的模型與實際問題之間的誤差稱為模型誤差（2）觀測誤差（測量誤差）：在數學模型中，根據實驗觀測得到的數據誤差稱為觀測誤差或測量誤差1.2數值計算的誤差數值分析——緒論（3）方法誤差(截斷誤差)：當數學模型不能得到精確解時，通常用數值方法求它的近似解，其近似解與精確解之間的誤差稱為方法誤差或截斷誤差。由Taylor多項式求的近似值。截斷誤差:例1數值分析——緒論由Taylor公式求ex的近似值。取n項近似:截斷誤差:例2數值分析——緒論由于計算機的字長有限，原始數據在計算機上表示時要產生誤差，計算過程又有可能產生新的誤差，這種誤差稱為舍入誤差（4）舍入誤差：用0.3333近似代替1/3.例3舍入誤差:1/3-0.3333=0.000033….【注】（1）

數值分析中主要關心方法誤差和舍入誤差。不研究模型誤差和觀測誤差。（2）方法誤差將結合具體算法討論。（3）下面介紹舍入誤差，的基本概念和研究方法。數值分析——緒論1.2.2誤差的概念設x為精確值,a為x的一個近似數?！径x1】如果一、絕對誤差例如，用毫米刻度的米尺測量一長度的近似值，它的誤差限是0.5mm.如讀出的長度是765mm，則讀出和該長度接近的刻度則稱δ為a的絕對誤差限(誤差限)近似數a的絕對誤差(誤差):是數值分析——緒論對于一般情形例4

絕對誤差的局限性例子?！咀ⅰ拷^對誤差（或誤差限）不能充分說明近似數的精確程度。則即但有時記為二、相對誤差【定義2】(相對誤差限)實際運算a=3.14是π的近似值。取5位,a=3.1416,δ≤0.000008三、有效數字例如【注】四舍五入后得到的近似數，從第一位非零數開始直到最末位，有幾位就稱該近似數有幾位有效數字取3位,a=3.14,δ≤0.002誤差數值分析——緒論誤差近似數a的相對誤差:例5

若近似值

且a1是1到9中的一個整數，意整數。m為整數，a2,…,an為0到9中的任【定義3】【注】

近似數的有效數字不但給出了近似值的大小,而且還指出了它的絕對誤差限。數值分析——緒論成立,則稱a近似x有n位有效數字。的誤差限是某一位的半個單位，該位到的第一位非零數字共有n位，就說有n位有效數字。它可以表示為則a=8.0000具有5位有效數字。設則例6因為m=-2,所以n=2，即a有2位有效數字。設x

=8.00001，例7數值分析——緒論若則因為m=-2,所以n=3，即a有3位有效數字。因為m=1,所以n=5，即a有5位有效數字。如果以為單位,重力常數例8它們都有3位有效數字，因為按第一種寫法數值分析——緒論根據前面的式子，這里如果以為單位，這里按第二種寫法3位有效數字，絕對誤差限由于單位不同而不同盡管寫法不同，但都具而相對誤差限相同，因為注：（1）相對誤差和相對誤差限是無量綱的，

（3）有效位數與小數點后有幾位無關，

具有n位有效數字的近似數數值分析——緒論的絕對誤差限為越小在m相同的情況下，n越大，則（4）有效位數越多，絕對誤差限越小。（2）絕對誤差和絕對誤差限是有量綱的四、有效數字與相對誤差的關系設x的近似數為數值分析——緒論則a的相對誤差限為如果a具有n位有效數字，【定理1】反之，若a的相對誤差限則a至少具有n位有效數字四、有效數字與相對誤差的關系或證明：數值分析——緒論當a具有n位有效數字時反之，由故a至少具有n位有效數字注：（5）有效位數越多，相對誤差限越小數值分析——緒論例9要使的近似值的相對誤差限小于0.1%要取幾位有效數字？設取n位有效數字,由定理1，由于知所以取只要取所以的近似值取4位有效數字，其相對誤差限小于0.1%。1.2.3

函數值的誤差估計一、一元函數的誤差估計設a、b分別為精確值x、y的近似值；δa

、δb分別為a、b的誤差限。

f(a)為f(x)的近似函數值。

數值分析——緒論二、二元函數的誤差估計f(a,b)為f(x,y)的近似函數值。

數值分析——緒論三、n元函數的誤差估計的近似函數值。于是由泰勒

數值分析——緒論為展開得函數值的誤差為為的近似值，設試求面積

數值分析——緒論已知的絕對誤差限和相對誤差限。解：因為的值為其中例10已測得某場地長的值為寬四、簡單算術運算的誤差限和相對誤差限兩個數的加、減、乘、除算術運算得到的誤差限和相對誤差限分別為：應避免用高精度數據和低精度數據作混合運算。作加減法時，盡量避免接近的兩個數相減?！咀ⅰ繑抵捣治觥w論作乘除法時計算結果的精度也不會比原始數據的高。1.3

誤差定性分析與避免誤差危害1.3.1算法的數值穩(wěn)定性用一個算法進行計算，初始數據誤差（舍入誤差造成）在計算中傳播使計算結果誤差增長很快，則稱該算法是數值不穩(wěn)定的，否則是數值穩(wěn)定的。計算積分得兩個遞推算法:算法2算法1例11數值分析——緒論利用MATLAB程序遞推計算，結果見表MATLAB計算程序：E0=0.09531;%初始值E(1)=1-10*E0;forn=2:8E(n)=1/n-10*E(n-1);%遞推計算endE%用quadl計算積分值E8E8=quadl('x.^8./(x+10)',0,1)兩算法計算值與精確值比較

(算法1)(算法2)(精確值)算法2是穩(wěn)定的算法1是不穩(wěn)定的數值分析——緒論【定義4】對于某個算法，若輸入數據的誤差在計算過程中迅速增長而得不到控制，則稱該算法是數值不穩(wěn)定的，否則是數值穩(wěn)定的。算法1誤差分析數值不穩(wěn)定

算法2誤差分析數值穩(wěn)定數值分析——緒論1.3.2病態(tài)數學問題與條件數條件數C衡量問題的病態(tài)程度：數值穩(wěn)定性是對算法而言的。病態(tài)是數學問題即數學模型本身的性質,與算法無關。病態(tài)數學問題：對一個數值問題本身，當輸入數據有微小擾動（即誤差）時，引起輸出數據（即問題解）的相對誤差很大，這就是病態(tài)問題。相反的問題為良態(tài)數學問題。C越大病態(tài)可能越嚴重。數值分析——緒論計算函數值y=f(x)時，若例如有擾動相對誤差的比值

稱為計算函數值問題的條件數。其相對誤差為函數值y=f(a)的相對誤差為y=f(x)的條件數定義為：即例12取對數函數

x越接近1條件數越大，求對數函數值的相對誤差越大。自變量的相對誤差一般不會太大，如果條件數很大，將引起函數值相對誤差很大，出現(xiàn)這種情況的問題就是病態(tài)問題。則例13如

有這問題可以認為是病態(tài)的。一般情況它表示相對誤差可能放大n倍。自變量的相對誤差函數值的相對誤差就認為是病態(tài)的。條件數越大病態(tài)越嚴重。1.3.3避免誤差危害的若干原則一、避免兩相近的數相減例14計算只有一位有效數字利用三角恒等式具有三位有效數字如果無法改變算式，則采用增加有效位數進行運算。在計算機上則采用雙倍字長的高精度運算。二、注意簡化計算步驟，減少運算次數數值分析——緒論計算多項式例15(1)若直接計算akxk再逐項相加(2)秦九韶算法乘法：n次用克萊姆（Cramer）法則求解線性方程組Ax=b例16當n=20時總計算量≈21×19×20！約307816年

天啊，30多萬年的時間?。僭O計算機每秒可做1億次乘除法運算）乘法：加法：n數值分析——緒論【注】算法復雜度包括空間的復雜度和時間復雜度。高斯消元法：2千多次乘除運算加法：n次的值。三、要避免用絕對值很小的數做除數數值分析——緒論用絕對值很小的數做除數，舍入誤差會增大，甚至會在計算機中造成“溢出”錯誤。如計算分母的絕對值很小，此算法是數值不穩(wěn)定的。四、兩數相加要防止大數“吃”掉小數12346+0.6+0.6-12345數值分析——緒論=0.12346×105-0.12345×105=1=0.12346×105+0.000006×105+0.000006×105-0.12345×105求多項式值的秦九韶算法

輸入

x；a0，a1，…，an

S←a0；u←1k

從

1到n循環(huán)u←x×uS←S+ak×u輸出數據S

；結束輸入

x；a0，a1，…，an

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從

n

到1

循環(huán)S←ak－1+x×S輸出數據S

；結束秦九韶算法P(x