第2章 測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理

測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理

測(cè)量的目的是獲取被測(cè)量的真實(shí)值。但由于種種原因，例如，傳感器本身性能不十分優(yōu)良，測(cè)量方法不十分完善，外界干擾的影響等，都會(huì)造成被測(cè)參數(shù)的測(cè)量值與真實(shí)值不一致，兩者不一致程度用測(cè)量誤差表示。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理

2.1誤差的基本概念2.2誤差的基本性質(zhì)與處理2.3測(cè)量不確定度2.4最小二乘法與回歸分析2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法測(cè)量誤差：就是測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值之間的差。被測(cè)量的真值理論真值：絕對(duì)真值規(guī)定真值：國際上公認(rèn)的某些基準(zhǔn)量值。相對(duì)真值：計(jì)量器具的上下等級(jí)之間。測(cè)量誤差測(cè)量結(jié)果測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理真值測(cè)量誤差的表示方法有多種，含義各異。1、絕對(duì)誤差：

可正可負(fù)，是有單位的物理量。

注：采用絕對(duì)誤差表示測(cè)量誤差，不能很好說明測(cè)量質(zhì)量的好壞。2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理某采購員分別在三家商店購買100kg大米、10kg蘋果、1kg巧克力，發(fā)現(xiàn)均缺少約0.5kg，但該采購員對(duì)賣巧克力的商店意見最大，是何原因？

2、相對(duì)誤差

可正可負(fù)，是無單位的物理量。

2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法注：由于被測(cè)量的真實(shí)值X0無法知道，實(shí)際測(cè)量時(shí)用測(cè)量值X代替真實(shí)值X0進(jìn)行計(jì)算，這個(gè)相對(duì)誤差稱為標(biāo)稱相對(duì)誤差。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理3、引用誤差

2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法引用誤差是一種簡(jiǎn)化和實(shí)用方便的相對(duì)誤差，是儀表中通用的一種誤差表示方法。它是相對(duì)儀表滿量程的一種誤差，一般也用百分?jǐn)?shù)表示，即：式中：Xm為測(cè)量?jī)x表的量程。可正可負(fù)，是無單位的物理量。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理3、引用誤差

2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法測(cè)量?jī)x表的精度等級(jí)是根據(jù)最大引用誤差來確定的，即絕對(duì)誤差的最大絕對(duì)值與量程之比。電測(cè)量?jī)x表的精度等級(jí)指數(shù)α分為7級(jí)：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。最大引用誤差不能超過儀表精度等級(jí)指數(shù)的百分?jǐn)?shù)，即：例如，0.5級(jí)表的引用誤差的最大值不超過±0.5%，1.0級(jí)表的引用誤差的最大值不超過±1%。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理3、引用誤差

2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理最大引用誤差:當(dāng)示值為x時(shí)可能產(chǎn)生的最大相對(duì)誤差為:用儀表測(cè)量示值為x的被測(cè)量時(shí)，比值越大，測(cè)量結(jié)果的相對(duì)誤差越大。3、引用誤差

2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理思考：如果要測(cè)量一個(gè)40V左右的電壓，現(xiàn)有兩塊電壓表，其中一塊量程為50V、1.5級(jí)，另一塊量程為100V、1.0級(jí)，問應(yīng)選用哪一塊表測(cè)量比較合適？2.1誤差的基本概念二、誤差的來源1、裝置誤差：標(biāo)準(zhǔn)器具誤差、儀器儀表誤差、附件誤差。2、環(huán)境誤差：基本誤差、附加誤差。3、方法誤差4、人員誤差測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理2.1誤差的基本概念三、*誤差的分類根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)中的誤差所呈現(xiàn)的規(guī)律，將誤差分為三種：

系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差粗大誤差測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理2.1誤差的基本概念三、誤差的分類測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理夏天擺鐘變慢的原因是什么？系統(tǒng)誤差：對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)（等精度測(cè)量），絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或在條件改變時(shí)，按一定規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。例如，標(biāo)準(zhǔn)量值的不準(zhǔn)確及儀表刻度的不準(zhǔn)確而引起的誤差。2.1誤差的基本概念三、誤差的分類測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理隨機(jī)誤差：對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)（等精度測(cè)量），絕對(duì)值和符號(hào)不可預(yù)知的隨機(jī)變化，但就誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的誤差稱為隨機(jī)誤差。2.1誤差的基本概念三、誤差的分類測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理粗大誤差：明顯偏離測(cè)量結(jié)果的誤差稱為粗大誤差，又稱疏忽誤差。這類誤差是由于測(cè)量者疏忽大意或環(huán)境條件的突然變化產(chǎn)生的。對(duì)于粗大誤差，首先應(yīng)設(shè)法判斷是否存在，然后將其剔除。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理2.1誤差的基本概念三、表征測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的指標(biāo)正確度：由于系統(tǒng)誤差而使測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量值的偏離程度。精密度：相同條件下，多次重復(fù)測(cè)量所得結(jié)果彼此間符合的程度。準(zhǔn)確度：測(cè)量結(jié)果與被測(cè)真值偏離的程度。不確定度：合理賦予被測(cè)量之值的分散性。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理2.2誤差的基本性質(zhì)與處理一、隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差為：

式中，xi—測(cè)量值；

X0—真值；

測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理2.2誤差的基本性質(zhì)與處理概念：測(cè)量列－對(duì)同一量值進(jìn)行多次反復(fù)測(cè)量時(shí)，得到的一系列不同的測(cè)量值。一、隨機(jī)誤差－服從或近似服從正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理1．隨機(jī)誤差的分布規(guī)律（正態(tài)分布）①對(duì)稱性：分布曲線關(guān)于縱坐標(biāo)對(duì)稱，表明絕對(duì)值相等的正、負(fù)隨機(jī)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等。②單峰性：絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差比絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大。③有界性：測(cè)量（在一定的測(cè)量條件下）的隨機(jī)誤差總是有一定的界限而不會(huì)無限大。④抵償性：由特征①和③不難推出，當(dāng)測(cè)量次數(shù)n→∞時(shí)，隨機(jī)誤差的代數(shù)和趨近于零。該性質(zhì)極為重要，利用這一性質(zhì)建立的數(shù)據(jù)處理法可以有效的減少隨機(jī)誤差的影響。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理由于隨機(jī)誤差大部分按正態(tài)分布規(guī)律出現(xiàn)的，具有統(tǒng)計(jì)意義，通常以正態(tài)分布曲線的兩個(gè)參數(shù)算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。（1）算術(shù)平均值（2）標(biāo)準(zhǔn)差2、隨機(jī)誤差的評(píng)價(jià)指標(biāo)算數(shù)平均值對(duì)被測(cè)量進(jìn)行等精度的n次測(cè)量，得n個(gè)測(cè)量值x1，x2，…，xn，它們的算術(shù)平均值為：n→∞時(shí)，因此，算術(shù)平均值是諸測(cè)量值中最可信賴的。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理隨機(jī)誤差為：

式中，xi—測(cè)量值；

X0—真值；

一般情況下，由于被測(cè)量的真值未知，常用算術(shù)平均值來代替其真值，稱：殘余誤差（簡(jiǎn)稱殘差）標(biāo)準(zhǔn)差

測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差稱為標(biāo)準(zhǔn)差，也稱為均方根誤差。

*算術(shù)平均值是反映隨機(jī)誤差的分布中心，而標(biāo)準(zhǔn)差則反映隨機(jī)誤差的分布范圍。標(biāo)準(zhǔn)差的特性與估計(jì)：①測(cè)量列中單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差②測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理（1）測(cè)量列中單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理（1）測(cè)量列中單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差可見：標(biāo)準(zhǔn)差σ越小，測(cè)量數(shù)據(jù)越集中，曲線越陡，測(cè)量精度越高。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理（2）測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差但當(dāng)n>10時(shí)，值的減小不明顯，并且加大工作量，還可能因時(shí)間長而破壞等精度測(cè)量的條件。因此，測(cè)量次數(shù)n一般取10。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理3．測(cè)量值的置信區(qū)間與置信概率置信區(qū)間：估計(jì)真值以多大概率包含在某一數(shù)值區(qū)間.置信限：置信區(qū)間的界限。

K是置信系數(shù)（置信因子）置信概率（置信水平）

：置信區(qū)間包含真值的概率。置信度：置信區(qū)間與置信概率合起來說明了測(cè)量結(jié)果的可靠程度，稱為置信度。σ是標(biāo)準(zhǔn)差一般用3σ作為隨機(jī)誤差限，如果某誤差大于3σ，則認(rèn)為該測(cè)量誤差為壞值，予以剔出。

k0.674511.9622.5834Pa0.50.68260.950.95450.990.99730.99994幾個(gè)典型的置信系數(shù)k值及其相應(yīng)的概率Pa測(cè)量結(jié)果可表示為（計(jì)算得到的真值和真值的均方根偏差）：測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理例題：對(duì)某一溫度進(jìn)行10次精密測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)如表所示，設(shè)這些測(cè)得值已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差,求測(cè)量結(jié)果和相應(yīng)的概率。序號(hào)測(cè)量值xi殘余誤差vivi2185.710.030.0009285.63-0.050.0025385.65-0.030.0009485.710.030.0009585.690.010.0001685.690.010.0001785.700.020.0004885.6800985.66-0.020.00041085.6800測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理Pa測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理二、系統(tǒng)誤差1.系統(tǒng)誤差的根源

系統(tǒng)誤差是在一定的測(cè)量條件下，測(cè)量值中含有固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差。系統(tǒng)誤差不具有抵償性，重復(fù)測(cè)量也難以發(fā)現(xiàn)，在工程測(cè)量中應(yīng)特別注意系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差常見的變化規(guī)律綜合誤差分布特征測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理1.系統(tǒng)誤差的根源：①所用傳感器、測(cè)量?jī)x表或組成元件是否準(zhǔn)確可靠。傳感器儀表安裝、調(diào)整或放置是否正確合理。如，沒有調(diào)好儀表水平位置，安裝時(shí)儀表指針偏心等都會(huì)引起系統(tǒng)誤差。②測(cè)量方法是否完善。如，用電壓表測(cè)量電壓，電壓表的內(nèi)阻對(duì)測(cè)量結(jié)果有影響。③傳感器或儀表工作場(chǎng)所的環(huán)境條件是否符合規(guī)定條件。如，環(huán)境、溫度、濕度、氣壓等的變化也會(huì)引起系統(tǒng)誤差。④測(cè)量者的操作是否正確。如，讀數(shù)時(shí)的視差、視力疲勞等都會(huì)引起系統(tǒng)誤差。

測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)（1）不變的系統(tǒng)誤差實(shí)驗(yàn)對(duì)比法：這種方法是通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件從而進(jìn)行不同條件的測(cè)量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理例如，一臺(tái)測(cè)量?jī)x表本身存在固定的系統(tǒng)誤差，即使進(jìn)行多次測(cè)量也不能發(fā)現(xiàn)，只有用精度更高一級(jí)的測(cè)量?jī)x表測(cè)量，才能發(fā)現(xiàn)這臺(tái)測(cè)量?jī)x表的系統(tǒng)誤差。

（2）變化的系統(tǒng)誤差①殘余誤差觀察法：這種方法是根據(jù)測(cè)量值的殘余誤差的大小和符號(hào)的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形判斷有無變化的系統(tǒng)誤差。下圖中把殘余誤差按測(cè)量值先后順序排列，圖（a）的殘余誤差排列后有遞減的變值系統(tǒng)誤差，圖（b）則可能有周期性系統(tǒng)誤差。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理（2）變化的系統(tǒng)誤差①殘余誤差觀察法：這種方法只適用于系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況。當(dāng)系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差小時(shí)，不能通過觀察來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。此時(shí)就要通過一些判斷準(zhǔn)則來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。這些準(zhǔn)則實(shí)質(zhì)上是校驗(yàn)誤差的分布是否偏離正態(tài)分布。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理常用的有：馬利科夫準(zhǔn)則、阿貝－赫梅特準(zhǔn)則②馬利科夫準(zhǔn)則：把同一條件下n次測(cè)得值的殘余誤差v1，v2，…，vn，依測(cè)量次序，分為前后兩組求和，然后把兩組殘差和相減，即：K=n/2；n為偶數(shù)K=(n+1)/2；n為奇數(shù)測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理若M顯著不為零，則測(cè)量中存在線性系統(tǒng)誤差；若M近似等于零，說明測(cè)量中不存在線性系統(tǒng)誤差；M=0時(shí)，無法判斷是否存在系統(tǒng)誤差。結(jié)論馬利科夫準(zhǔn)則適用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。③阿貝準(zhǔn)則－適用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差檢查殘余誤差是否偏離正態(tài)分布，若偏離，則可能存在周期變化的系統(tǒng)誤差。具體：將測(cè)量值的殘余誤差按測(cè)量順序排列，且設(shè)若，則可能含有周期性系統(tǒng)誤差。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理

3.系統(tǒng)誤差的減小（1）從產(chǎn)生誤差的根源上減小系統(tǒng)誤差：選擇準(zhǔn)確度等級(jí)高的設(shè)備；使設(shè)備在規(guī)定條件下工作（2）利用修正方法減小系統(tǒng)誤差：預(yù)先得到設(shè)備的系統(tǒng)誤差，將實(shí)際測(cè)量值加上誤差的修正值（3）減小不變系統(tǒng)誤差的方法替代法：在不改變實(shí)驗(yàn)條件下，用標(biāo)準(zhǔn)量代替被測(cè)量抵償法：使兩次測(cè)量所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差相互抵消交換法：交換某些實(shí)驗(yàn)條件，以減小系統(tǒng)誤差測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理3.系統(tǒng)誤差的減?。?）減小線性系統(tǒng)誤差的對(duì)稱法：若被測(cè)量隨時(shí)間的變化系統(tǒng)誤差線性增加，則選定測(cè)量時(shí)間內(nèi)的某點(diǎn)為中點(diǎn)，取對(duì)稱于此點(diǎn)的兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測(cè)量值。（5）減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法：對(duì)于周期性系統(tǒng)誤差，相隔半周期進(jìn)行測(cè)量，取兩次讀數(shù)的平均值作為測(cè)量值。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理三、粗大誤差1.3σ（萊以特）準(zhǔn)則通常把等于3σ的誤差稱為極限誤差，作為鑒別限。3σ準(zhǔn)則就是如果一組測(cè)量數(shù)據(jù)中某個(gè)測(cè)量值的殘余誤差的絕對(duì)值|vi|>3σ時(shí)，則該測(cè)量值為可疑值（壞值），應(yīng)剔除。2.格羅布斯準(zhǔn)則某個(gè)測(cè)量值的殘余誤差的絕對(duì)值|vi|＞g0（n,α

）σ，則判斷此值中含有粗大誤差，應(yīng)予剔除，即格羅布斯準(zhǔn)則。其中：g0（n,

α

）值與重復(fù)測(cè)量次數(shù)n和顯著性水平α有關(guān)，見表。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理格羅布斯準(zhǔn)則中的g0（n,α

）值測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理四、測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理步驟例：對(duì)一軸徑等精度測(cè)量9次，測(cè)量數(shù)據(jù)見表，求測(cè)量結(jié)果。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理解：1）求算術(shù)平均值2）求殘余誤差Vi（i=1,2,…,n）3）求單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值4）判斷系統(tǒng)誤差5）判別并剔出粗大誤差6）求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值7）求算術(shù)平均值的置信限8）寫出最后測(cè)量結(jié)果（表示方法＝算術(shù)平均值＋置信限）

測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理解：1）求算術(shù)平均值2）求殘余誤差Vi（i=1,2,…,n）3）求單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值4）判斷系統(tǒng)誤差馬利科夫準(zhǔn)則：因?yàn)閚=9，則：

因?yàn)椴钪礛較小，可以判斷該測(cè)量列無線性系統(tǒng)誤差。解：5）判別并剔出粗大誤差按格羅布斯準(zhǔn)則判別：經(jīng)檢查，所有的故可判斷測(cè)量列中不存在粗大誤差。6）求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理解：7）求算術(shù)平均值的置信限當(dāng)P=0.95、v=n-1=8時(shí)，查表得ta=2.31（因?yàn)闇y(cè)量數(shù)據(jù)少，采用t分布值），于是有8）寫出最后測(cè)量結(jié)果最后測(cè)量結(jié)果通常用算術(shù)平均值及其置信限來表示，即測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理n－1α0.002

ta0.50.20.10.050.020.010.0050.001113.0786.31412.70631.82163.657127.321318.309636.61920.8161.8862.924.3036.9659.92514.08922.32731.59930.7651.6382.3533.1824.5415.8417.45310.21512.92440.7411.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.6150.7271.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.86960.7181.441.9432.4473.1433.7074.3175.2085.95970.7111.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.40880.7061.3971.862.3062.8963.3553.8334.5015.04190.7031.3831.8332.2622.8213.253.694.2974.781100.71.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587110.6971.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437120.6951.3561.7822.1792.6813.0553.4283.934.318130.6941.351.7712.162.653.0123.3723.8524.221140.6921.3451.7612.1452.6242.9773.3263.7874.14150.6911.3411.7532.1312.6022.9473.2863.7334.073160.691.3371.7462.122.5832.9213.2523.6864.015170.6891.3331.742.112.5672.8983.2223.6463.965180.6881.331.7342.1012.5522.8783.1973.613.922190.6881.3281.7292.0932.5392.8613.1743.5793.883200.6871.3251.7252.0862.5282.8453.1533.5523.85t分布值表五、不等精度測(cè)量的權(quán)與誤差

前面講述的內(nèi)容是等精度測(cè)量的問題。即多次重復(fù)測(cè)量得的各個(gè)測(cè)量值具有相同的精度，可用同一個(gè)均方根偏差σ值來表征，或者說具有相同的可信賴程度。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)或高精度測(cè)量中，為了提高測(cè)量的可靠性和精度，往往在不同的測(cè)量條件下，用不同的測(cè)量?jī)x表，不同的測(cè)量方法，不同的測(cè)量次數(shù)以及不同的測(cè)量者進(jìn)行測(cè)量與對(duì)比，則認(rèn)為它們是不等精度的測(cè)量。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理

1.“權(quán)”的概念

在不等精度測(cè)量時(shí)，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組測(cè)量，得到m組測(cè)量列（進(jìn)行多次測(cè)量的一組數(shù)據(jù)稱為一測(cè)量列）的測(cè)量結(jié)果及其誤差，它們不能同等看待。精度高的測(cè)量列具有較高的可靠性，將這種可靠性的大小稱為“權(quán)”。

“權(quán)”可理解為各組測(cè)量結(jié)果相對(duì)的可信賴程度。測(cè)量次數(shù)多，測(cè)量方法完善，測(cè)量?jī)x表精度高，測(cè)量的環(huán)境條件好，測(cè)量人員的水平高，則測(cè)量結(jié)果可靠，其權(quán)也大。權(quán)是相比較而存在的。測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理

權(quán)的計(jì)算方法：

權(quán)用符號(hào)p表示，有兩種計(jì)算方法：①用各組測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)n的比值表示，并取測(cè)量次數(shù)較小的測(cè)量列的權(quán)為1，則有

p1∶p2∶…∶pm=n1∶n2∶…∶nm②用各組測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差平方的倒數(shù)的比值表示，并取誤差較大的測(cè)量列的權(quán)為1，則有p1∶p2∶…∶pm=測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理

2.加權(quán)算術(shù)平均值

加權(quán)算術(shù)平均值不同于一般的算術(shù)平均值，應(yīng)考慮各測(cè)量列的權(quán)的情況。若對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組不等精度測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值，相應(yīng)各組的權(quán)分別為p1,p2,…,pm，則加權(quán)平均值可用下式表示：測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理

3．加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差

當(dāng)進(jìn)一步計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差時(shí)，也要考慮各測(cè)量列的權(quán)的情況，可由下式計(jì)算：測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理2.4*最小二乘法與回歸分析一、最小二乘法

測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理最小二乘法最早稱為回歸分析法。由著名的英國生物學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)家道爾頓（F.Gallton）——達(dá)爾文的表弟所創(chuàng)。早年，道爾頓致力于化學(xué)和遺傳學(xué)領(lǐng)域的研究。他研究父親們的身高與兒子們的身高之間的關(guān)系時(shí)，建立了回歸分析法。對(duì)被測(cè)量進(jìn)行等精度的n次測(cè)量，得n個(gè)測(cè)量值x1，x2，…，xn，它們的算術(shù)平均值為：測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理設(shè)a為任意值，則有令可得即測(cè)量結(jié)果的最可信賴值應(yīng)在殘差平方和為最小的條件下求出。任意其他量2.4最小二乘法與回歸分析一、最小二乘法最小二乘法原理是一數(shù)學(xué)原理，它在誤差的數(shù)據(jù)處理中作為一種數(shù)據(jù)處理手段。最小二乘法原理就是要獲得最可信賴的測(cè)量結(jié)果，使各測(cè)量值的殘余誤差平方和為最小。在等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量中，用算術(shù)平均值或加權(quán)算術(shù)平均值作為多次測(cè)量的結(jié)果，因?yàn)樗鼈兎献钚《朔ㄔ怼Ｗ钚《朔ㄔ诮M