第七講 微分方程模型(Ⅱ)

第三章微分方程建模（Ⅱ）

§3.4戰(zhàn)爭模型

§3.5餓狼追兔問題

§3.6放射性廢物的處理問題

戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關建模思路和方法為用數(shù)學模型討論社會領域的實際問題提供了可借鑒的示例§3.4戰(zhàn)爭模型第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預測戰(zhàn)役結(jié)局的模型只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱3.4.1一般戰(zhàn)爭模型1）每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力，f(x,y)~甲方戰(zhàn)斗減員率，g(x,y)~乙方戰(zhàn)斗減員率2）每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比，比例系數(shù)分別為3）甲乙雙方的增援率分別為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設模型建立（1）3.4.2正規(guī)戰(zhàn)爭模型甲(乙)方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙(甲)方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)忽略非戰(zhàn)斗減員

假設沒有增援f(x,y)=ay,a~乙方每個士兵的殺傷率a=ry

py,ry

~射擊率，

py

~命中率0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關系平方律模型乙方勝上式說明雙方初始兵力之比y0/x0以平方關系影響著戰(zhàn)爭的結(jié)局，如乙方兵力增加到原來的2倍（甲方不變），則影響戰(zhàn)爭結(jié)局的能力增加到4倍，或者若甲方的戰(zhàn)斗力如射擊率ry增加到原來的4倍（px,rx,py不變），乙方只要將初始兵力y0增加到原來的2倍就可抗衡．平方律模型結(jié)果分析乙方勝3.4.3游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加忽略非戰(zhàn)斗減員假設沒有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每個士兵的殺傷率c=ry

pyry~射擊率py

~命中率py=sry

/sxsx

~甲方活動面積sry

~乙方射擊有效面積0游擊戰(zhàn)爭模型線性律模型線性律模型結(jié)果分析乙方勝即初始兵力之比y0/x0以線性關系影響戰(zhàn)爭結(jié)局，并且當射擊率和射擊有效面積一定時，增加活動面積Sx與增加初始兵力y0起著同樣的作用．03.4.4混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊乙方必須10倍于甲方的兵力方可取勝.設x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)正規(guī)戰(zhàn)模型檢驗

EngelJ.H.利用二次大戰(zhàn)末期美日硫黃島戰(zhàn)役時美軍的戰(zhàn)地記錄驗證了正規(guī)戰(zhàn)爭模型．美軍1945年2月19日開始進攻硫黃島，戰(zhàn)斗36天，日軍21500人全部陣亡或被俘，戰(zhàn)地記錄全部遺失，美軍投入兵力73000人，傷亡20265人．美國曾用這個模型分析越南戰(zhàn)爭．美國正規(guī)部隊（乙方）要取勝越南游擊部隊（甲方），至少要投入8倍于游擊部隊一方的兵力，而美國最多只能派出6倍于越南的兵力，美國得出不可取勝的結(jié)論，最終撤出了越南．

美軍有增援，日軍沒有增援.用A(t)和J(t)表示美軍和日軍第t天的人數(shù)，在模型（1）中取且（1）由u(t)及每天的傷亡人數(shù)可算出A(t)，t=1,2,…,36（見圖3.4.4中虛線）于是有圖3.4.4由A(t)的實際數(shù)據(jù)可得對式（13）用求和代替積分得因J(36)=0,J(0)=21500,式（15）中令t=36求得再將b=0.0106代入(15)式，又可算出J(t),t=1,2,…,36在式（14）中令t=36，得（16）代入式（14）得其中分子是美軍的總傷亡數(shù)，為20265人，分母可由已算出的J(t)得到，為372500人，于是從（16）式有圖3.4.4由式（17）就可算出A(t)的理論值，圖3.5.4中用實線畫出，與實際值（虛線）相比，可以看出吻合的情況．§3.5餓狼追兔問題現(xiàn)有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米處．假設兔子與狼同時發(fā)現(xiàn)對方并一起起跑，兔子往正北60米處的巢穴跑，而狼在追兔子．已知兔子、狼是勻速跑而且狼的速度是兔子的兩倍，問題是兔子能否安全回到巢穴．問題兔子在O處，狼在A處．由于狼要盯著兔子追，所以狼行走的是一條曲線，且在同一時刻，曲線上狼的位置與兔子的位置的連線為曲線上該點處的切線．設狼的行走軌跡為y=f(x)，

首先建立坐標系如圖3.5.1．圖3.5.1則有又因狼的速度是兔子的兩倍，所以在相同時間內(nèi)，狼走的距離為兔子走的距離的兩倍．假設在某時刻，兔子跑到(0,h)處,而狼在C(x,y)處，則有兩邊求導并整理解方程可得狼的行走軌跡為因所以狼追不上兔子．若狼和兔子的行走路線不在坐標軸上，如何考慮？

某些類型的導彈對目標追擊的數(shù)學模型與此數(shù)學模型相似．環(huán)境污染是人類面臨的一大公害，放射性污染對人類生命安全和地球上的生物存在嚴重的威脅，所以特別為人們所關注．和平利用原子能可為人類造福，但是核廢物處置不好，將對人類是一大危害．核廢料如何處置為好，必須進行科學論證．過去一段時間，美國原子能委員會為了處理濃縮的放射性廢物，他們把廢物裝入密封的圓桶，然后扔到水深為300英尺的海里．一些生態(tài)學家和科學家為此表示擔心，圓桶是否會在運輸過程中破裂而造成放射性污染？經(jīng)過實驗證明不會破裂.圓桶扔到海洋中時是否因與海底碰撞而發(fā)生破裂？§3.6放射性廢物的處理問題問題幾位工程師進行了大量的實驗以后發(fā)現(xiàn)：當圓桶的速度超過40英尺/秒時，就會因為碰撞而破裂．如圖3.6.1選取坐標系，ω~圓桶重量，使圓桶向下，m~圓桶質(zhì)量，g~重力加速度，建模與求解B~水作用在圓桶上浮力，B=470.327磅

D

~水作用在圓桶上的阻力.圖3.6.1為此我們需計算圓桶同海底碰撞時的速度，是否會超過40英尺/秒？D=0.08v磅秒/英尺（通過大量實驗得出如下結(jié)論：圓桶方位對于阻力影響甚小，可以忽略不計）．則作用在圓桶上的力為由牛頓第二定律：而所以（1）是一個二階常微分方程．將其解為代入（1）得由(2)式可知，圓桶的速度為時間t的函數(shù)，要確定圓桶同海底的碰撞速度，就必須算出桶碰到海底所需的時間t．但作為y的顯函數(shù)求出t是困難的，所以不能用(2)來求圓桶同海底的碰撞速度．但由（2）我們可以得到圓桶的極限速度vT顯然有如果極限速度小于40英尺/秒，那么圓桶就不可能因同海底碰撞而破裂．然而這個數(shù)值太大了，還不能斷定v(t)究竟是否能超過40英尺/秒.下面將速度v作為位置y的函數(shù)v(y)

來考慮.由v(t)=v[y(t)],利用復合函數(shù)微分法代入（1）中，得對于（3），利用微分方程數(shù)值解法，借助于計算機很容易求出v(300).下面用一個簡便的方法得到v(300)的一個很好的近似值.在(3)中令c=0（即不考慮水的阻力），用u代替v得積分，得由此，得1.無阻力時，圓桶的速度總會大一些，因此2.當y增加時，速度v增加，所以對于有由此可以得出水作用在桶上的阻力D總是小于然而使圓桶向下的合力ω-B≈57.1磅.比D大得多，因而可忽略D

．所以可以認為u(y)是的一個很好的近似值．實際上，用數(shù)值解法可算出v(300)=45.1英尺/秒，與u(300)=45.7英尺/秒是比較接近的．其理由是：u(300)就是v(300)的一個很好的近似值,

綜上得出結(jié)論，圓桶能夠因與海底碰撞而破裂．工程師們的說法是正確的．這一模型科學地論證了美國原子能委員會過去處理核廢料的方法是錯誤的，從而改變了美國政府過去的錯誤做法．現(xiàn)在美國原子能委員會條例明確禁止把低濃度的放射性廢物