概率論浙大精品全套

概率論與數(shù)理統(tǒng)計ProbabilityandMathematicalStatistics

17.1參數(shù)估計的概念第七章參數(shù)估計q是總體F(x,q)中的未知參數(shù)樣本統(tǒng)計量估計值θ——根據(jù)樣本給出參數(shù)的估計參數(shù)估計點估計區(qū)間估計矩估計法極大似然估計法估計量27.2矩估計法和極大似然估計法7.3估計量的評選原則7.4區(qū)間估計一區(qū)間估計的概念二

單個正態(tài)總體均值的區(qū)間估計三單個正態(tài)總體方差的區(qū)間估計四單個正態(tài)總體的單側(cè)區(qū)間估計一無偏性、二有效性、三一致性第七章參數(shù)估計37.2

矩估計法和極大似然估計法一矩估計法1原理：大數(shù)定理，樣本矩≈總體矩。2方法總體X的分布函數(shù)F(x;1,…,k),其中1,…,k為待估參數(shù).(X1,…,Xn)為X的樣本(設(shè)X的k階矩存在),

則總體的j階原點矩E(Xj)=aj(q1,…,qk)令=Aj樣本的j階原點矩aj(q1,…,qk)=Ajj=1,…,k求解方程組,得到解4例試求總體期望q1=EX和方差q2=DX的矩估計。解注1注2注3此結(jié)論對期望和方差存在的總體都適用，即估計不唯一，如對總體P()有可用估計5例設(shè)總體X~U[a,b],試由樣本(X1,X2,…,Xn),求未知參數(shù)a,b

的矩估計量。解6二極大似然估計法MaximumLikelihoodEstimate1原理設(shè)隨機試驗有n種可能結(jié)果現(xiàn)做一次試驗，結(jié)果事件發(fā)生了，則認為事件在這n種可能結(jié)果中出現(xiàn)的概率最大。極大似然估計法：在一次抽樣中，若得到樣本觀測值(x1,…,xn)，則選擇q為q

的估計，使得此組觀測值出現(xiàn)的概率最大。7例設(shè)一袋中放有黑球和白球若干個，已知兩種球的數(shù)目之比為1:2，但不知黑球多還是白球多。今有放回抽取三次，結(jié)果是(白,黑,白)，試估計白球所占比例p是1/3還是2/3？8為樣本的似然函數(shù)。若若總體X有密度函數(shù)f(x;q)(X是D.R.V.時,f(x;q)=P(X=x;q)),其中q=(q1,…,qk)為待估未知參數(shù)，為樣本的一組觀測值。稱則稱為的極大似然估計值，為的極大似然估計量。2

定義9(3)解方程(組)得極大似然估計3一般步驟(1)

寫出似然函數(shù)(2)

建立似然方程(組)10解：設(shè)(x1,…,xn)為樣本的一組觀測值，似然方程l的極大似然估計為：比如，樣本觀測值為：10，13，65，18，79，42，65，77，88，123，n=10。則例X~P(l)，求l的極大似然估計。似然函數(shù)解方程11

例

設(shè)總體X~N(,2)，求和2

的極大似然估計。解思考

若m已知，s2的極大似然估計是什么?12例設(shè)總體

X~U[a,b]，試求a和b的極大似然估計。解無解？即a,b的極大似然估計為13

例

設(shè)總體X~N(,2),m未知.求的極大似然估計。解由上例，.而故5性質(zhì)泛函不變性（Functionalinvariance）

若為的極大似然估計，則為u=u()的極大似然估計，即14例

設(shè)(X1,…,Xn)是正態(tài)總體N(1,s2)的樣本，求P(X<t)的極大似然估計。解故所求值的極大似然估計為又期望m已知時，15

小結(jié)熟練求解未知參數(shù)的矩估計和極大似然估計掌握矩估計和極大似然估計的原理16一無偏性7.3估計量的評選原則1定義則稱q是q的無偏估計量.172

例設(shè)(X1,…,Xn)是總體X的樣本，

注：無偏估計不唯一例如：若D(X)>0，

為的無偏估計，但g()不一定是g()的無偏估計。18二有效性1定義則稱有效.19

例在總體期望m=E(X)的線性無偏估計類中求m最小方差無偏估計。解由Cauchy-Schwarz不等式而故是

的最小方差無偏估計。20三一致性定義則稱一致估計量.例

由大數(shù)定律知樣本均值是總體均值的一致估計。21例

證明正態(tài)總體的樣本方差S2是2的一致估計。證由切比雪夫不等式22

小結(jié)根據(jù)定義，能判斷估計量的無偏性和有效性熟記統(tǒng)計量的無偏性，有效性，一致性的定義237.4區(qū)間估計

一區(qū)間估計的概念設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x;q

),q為未知參數(shù)，(X1,X2,…,Xn)為X的樣本。給定a(0<a<1),若統(tǒng)計量稱為的置信度(水平)為1－

的置信區(qū)間。含義：若1－

=0.95，抽樣100次產(chǎn)生100個區(qū)間，其中約有95個區(qū)間包含q.置信上限24二單個正態(tài)總體N(m,s2)均值m的區(qū)間估計1方差s2已知2方差未知三單個正態(tài)總體N(m,s2)方差s2的區(qū)間估計四單側(cè)區(qū)間估計2512已知2已知時，

的置信度為1－的置信區(qū)間為二單個正態(tài)總體N(m,s2)均值的區(qū)間估計262已知時，

的置信度為1－的置信區(qū)間為注1.置信區(qū)間長度2.相同置信水平下，置信區(qū)間選取不唯一。同一置信水平下，l越小，表示估計精度越高。若R.V.的密度函數(shù)是單峰對稱的，則n固定時，上述公式的置信區(qū)間是所有置信區(qū)間中長度最短的。2722未知2未知時，

的置信度為1－的置信區(qū)間為28例滾珠直徑X~N(m,s2)，從某天生產(chǎn)的滾珠中隨機抽取6個，測得直徑為(單位：mm)1.461.511.491.481.521.51求下面兩種情況下m的置信度為95%的置信區(qū)間。

(1)s2=0.0006時；(2)s2未知時。思考：這兩種情況下哪個置信區(qū)間的長度短？29三單個正態(tài)總體N(m,s2)方差的區(qū)間估計m未知m未知時，2的置信度為1－的置信區(qū)間為m未知時，的置信度為1－的置信區(qū)間呢？30例從自動車床加工的一批零件中隨機的抽取16件，測得各零件長度為(單位：cm)2.152.102.122.102.142.112.152.13設(shè)零件長度服從正態(tài)分布，求零件長度標準差s的置信度為95%的置信區(qū)間。2.132.112.142.132.122.132.102.1431四單側(cè)區(qū)間估計設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x;q

),q為未知參數(shù)，(X1,X2,…,Xn)為X的樣本。給定a(0<a<1),若統(tǒng)計量稱為的置信度(水平)為1－

的置信下(上)限。單側(cè)置信上限或單側(cè)置信下限32例

從一批燈泡中隨機地抽取5只做壽命試驗，測得壽命(單位：小時)1050，1100，1120，1250，1280.設(shè)燈壽命服從正態(tài)分布，求燈泡壽命平均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限。33

小結(jié)熟記關(guān)于單個正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計理解區(qū)間估計和單側(cè)區(qū)間估計的概念34解答題練習35解答題練習求p的極大似然估計值.一個樣品中石灰石的石子數(shù)k恰有k個石灰石的樣品個數(shù)01234567891011672326211230036解答題練習XP1231-q

q-q

2

q237解答題練習385.(6’)某工廠生產(chǎn)一種零件,其口徑X(單位:mm)服從正態(tài)分布N(m,s2),現(xiàn)從某日生產(chǎn)的零