2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)17向量共線(xiàn)的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算（含解析）4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE11學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（十七)向量共線(xiàn)的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)］一、選擇題1.已知向量a，b，且eq\o(AB，\s\up13（→）)＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up13(→)）＝－5a＋6b,eq\o(CD,\s\up13（→)）＝7a－2b，則一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是（)A.A,B，D B.A，B，CC.B，C，D D。A,C，D【解析】eq\o（BD,\s\up13（→））＝eq\o（BC，\s\up13（→））＋eq\o（CD，\s\up13(→))＝（－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b）＝2eq\o(AB,\s\up13（→）)，所以A，B,D三點(diǎn)共線(xiàn).【答案】A2。（2016·臨沂高一檢測(cè)）設(shè)a，b為不共線(xiàn)向量,eq\o(AB,\s\up13(→)）＝a＋b，eq\o(BC，\s\up13(→)）＝－4a－b，eq\o（CD,\s\up13（→）)＝－5a－2b，則下列關(guān)系式中正確的是(）A.eq\o（AD,\s\up13（→））＝eq\o（BC，\s\up13（→)) B。eq\o（AD,\s\up13(→))＝2eq\o(BC,\s\up13（→））C。eq\o（AD，\s\up13（→))＝－eq\o（BC,\s\up13(→）) D.eq\o（AD，\s\up13(→))＝－2eq\o（BC，\s\up13(→))【解析】eq\o(AD，\s\up13(→）)＝eq\o（AB,\s\up13（→）)＋eq\o(BC，\s\up13（→))＋eq\o(CD，\s\up13（→）)＝－8a－2b＝2（－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up13(→）)?！敬鸢浮緽3。設(shè)a,b是不共線(xiàn)的向量，eq\o(AB，\s\up13(→))＝a＋kb,eq\o(AC,\s\up13（→)）＝ma＋b（k，m∈R)，則當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),有()A。k＝m B.km－1＝0C.km＋1＝0 D.k＋m＝0【解析】∵A,B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，∴eq\o（AB，\s\up13（→））＝neq\o(AC,\s\up13（→)），∴a＋kb＝mna＋nb，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（mn＝1，,k＝n,)）∴mk－1＝0。【答案】B4。（2016·濟(jì)南高一檢測(cè))已知向量e1，e2不共線(xiàn),a＝ke1＋e2,b＝e1＋ke2，若a與b共線(xiàn)，則k等于（)A.±1 B。1C。－1 D.0【解析】∵a與b共線(xiàn)，∴a＝λb。即ke1＋e2＝λ(e1＋ke2），∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(k＝λ，，kλ＝1，）)解得k＝±1?！敬鸢浮緼5。(2016·佛山高一檢測(cè))已知e1≠0，λ∈R,a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，則（）A.λ＝0 B.e2＝0C。e1∥e2 D。e1∥e2或λ＝0【解析】∵a∥b，∴存在實(shí)數(shù)k，使得a＝kb,即（2k－1)e1＝λe2?！遝1≠0，∴若2k－1＝0,則λ＝0或e2＝0；若2k－1≠0，則e1＝eq\f(λ,2k－1）e2，此時(shí)e1∥e2，又0與任何一個(gè)向量平行,∴有e1∥e2或λ＝0.【答案】D二、填空題6。已知A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,AB＝5，AC＝2,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______?！窘馕觥吭O(shè)A，C的坐標(biāo)分別為xA，xC，則AB＝3－xA＝5，∴xA＝－2，又AC＝xC－xA＝xC－（－2）＝2，∴xC＝0?！敬鸢浮?7。（2015·全國(guó)卷Ⅱ）設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________.【解析】∵λa＋b與a＋2b平行,∴λa＋b＝t(a＋2b），即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t,)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2），,t＝\f（1,2）.）)【答案】eq\f(1，2）8.（2016·紹興高一檢測(cè))設(shè)a,b是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，記eq\o（OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(OB，\s\up13（→))＝tb(t∈R），eq\o（OC，\s\up13(→)）＝eq\f（1,3)（a＋b),那么當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______?！緦?dǎo)學(xué)號(hào)：72010053】【解析】∵eq\o（OA,\s\up13（→))＝a，eq\o（OB，\s\up13（→））＝tb，eq\o（OC，\s\up13（→）)＝eq\f(1，3）(a＋b）,∴eq\o（AB，\s\up13(→））＝eq\o（OB,\s\up13（→）)－eq\o（OA,\s\up13(→）)＝tb－a，eq\o(AC，\s\up13(→)）＝eq\o(OC,\s\up13（→))－eq\o（OA，\s\up13（→)）＝eq\f（1，3）（a＋b）－a＝eq\f（1,3）b－eq\f（2，3)a，∵A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，∴存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o（AB，\s\up13（→））＝λeq\o（AC，\s\up13(→)),即tb－a＝λeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)b－\f(2，3)a））.由于a，b不共線(xiàn)，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝\f(1,3)λ，，－1＝－\f（2，3)λ，））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝\f(3，2），，t＝\f(1,2)。）)故當(dāng)t＝eq\f（1,2）時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn).【答案】eq\f（1，2）三、解答題9。已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為x1,x2,根據(jù)下列題中的已知條件,求點(diǎn)A的坐標(biāo)x1。（1）x2＝－5,BA＝－3;(2)x2＝－1,|AB｜＝2.【解】(1)BA＝x1－(－5)＝－3,所以x1＝－8.（2)｜AB｜＝｜－1－x1｜＝2,所以x1＝1或x1＝－3.10。已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線(xiàn),向量c＝2e1－9e2，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ使向量d＝λa＋μb與c共線(xiàn)？【解】假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)λ,μ使得d＝λa＋μb與c共線(xiàn)，∴d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2）＋μ（2e1＋3e2）＝（2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2。要使d與c共線(xiàn)。則有實(shí)數(shù)k，使得d＝kc，即（2λ＋2μ)e1＋（－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，）)所以λ＝－2μ。故存在這樣的λ，μ，使d與c共線(xiàn).［能力提升]1.設(shè)e1，e2是不共線(xiàn)向量,若向量a＝3e1＋5e2與向量b＝me1－3e2共線(xiàn)，則m的值等于（)A。－eq\f(9，5) B。－eq\f（5,3)C.－eq\f（3,5) D.－eq\f（5,9）【解析】∵a∥b，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，即me1－3e2＝λ(3e1＋5e2），∵e1，e2是不共線(xiàn)向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝3λ，，－3＝5λ，))解得m＝－eq\f（9，5）。【答案】A2.（2016·棗莊校級(jí)月考)已知向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線(xiàn)，但a＋b與c共線(xiàn),且b＋c與a共線(xiàn),則向量a＋b＋c＝（）A.a B.bC.c D.0【解析】∵a＋b與c共線(xiàn),b＋c與a共線(xiàn)，∴a＋b＝λc，b＋c＝μa，兩式相減得a－c＝λc－μa，移項(xiàng)得(1＋λ)c＝（1＋μ）a?！呦蛄縜,c不共線(xiàn),∴只有1＋λ＝0，1＋μ＝0.即λ＝－1，μ＝－1。也就是a＋b＝－c,即a＋b＋c＝0?！敬鸢浮緿3。已知向量e1，e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，若a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線(xiàn)，則λ＝________.【解析】∵a∥b，∴存在實(shí)數(shù)μ，使得a＝μb.即2e1－e2＝μe1＋λμe2，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2＝μ，,－1＝λμ，)）解得λ＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1，2)4。如圖2。1。35，設(shè)G為△ABC的重心，過(guò)G的直線(xiàn)l分別交AB，AC于P，Q,若eq\o(AP,\s\up13(→））＝meq\o（AB,\s\up13（→)），eq\o(AQ，\s\up13（→))＝neq\o（AC，\s\up13（→))，求證：eq\f（1,m）＋eq\f（1,n)＝3.圖2。1.35【證明】設(shè)eq\o（AB，\s\up13(→）)＝a，eq\o(AC，\s\up13(→))＝b,∵eq\o（AP,\s\up13（→））＝meq\o(AB，\s\up13(→)）,eq\o(AQ,\s\up13(→）)＝neq\o（AC，\s\up13(→))，∴eq\o（AP，\s\up13（→)）＝ma，eq\o(AQ，\s\up13(→）)＝nb。∵G為△ABC的重心，連接AG并延長(zhǎng)交BC于D，則AD為△ABC一邊BC的中線(xiàn)，∴eq\o(AD，\s\up13（→））＝eq\f(1,2)(a＋b)，∴eq\o（AG，\s\up13(→))＝eq\f(2，3)eq\o(AD,\s\up13（→）)＝eq\f(1，3）（a＋b）,∴eq\o(PG，\s\up13（→）)＝eq\o(AG,\s\up13(→））－eq\o(AP，\s\up13(→）)＝eq\f(1,3)（a＋b）－ma＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，3）－m)）a＋eq\f(1，3)b.eq\o（GQ，\s\up13(→））＝eq\o(AQ,\s\up13(→））－eq\o(AG，\s\up13(→)）＝nb－eq\f(1，3)（a＋b）＝－eq\f（1,3)a＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)))b。又eq\o（PG,\s\up13（→））與eq\o（GQ,\s\up13（→)）共線(xiàn)，∴eq\o(PG,\s\up13(→）)＝λeq\o(GQ，\s\up13（→）),∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)－m))a＋eq\f(1，3)b＝－eq\f(1，3）λa＋λeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（n