2017學年高中數(shù)學學業(yè)分層測評18平面向量基本定理（含解析）4

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE學業(yè)分層測評（十八)平面向量基本定理（建議用時:45分鐘)［學業(yè)達標］一、選擇題1。(2016·衡水高一檢測）設e1,e2是平面內所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是(）A。e1＋e2和e1－e2B。3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2D。e1和e1＋e2【解析】B中,∵6e1－8e2＝2（3e1－4e2），∴(6e1－8e2)∥（3e1－4e2),∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作為基底.【答案】B2。(2016·合肥高一檢測）如圖2.2.9,向量a－b等于（）圖2.2.9A.－4e1－2e2B.－2e1－4e2C。e1－3e2D。3e1－e2【解析】不妨令a＝eq\o（CA,\s\up13(→)），b＝eq\o(CB,\s\up13（→)），則a－b＝eq\o（CA，\s\up13(→)）－eq\o(CB，\s\up13（→）)＝eq\o(BA，\s\up13(→))，由平行四邊形法則可知eq\o(BA，\s\up13(→))＝e1－3e2?！敬鸢浮緾3。(2016·大連高一檢測)如圖2-2.10，已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊BC，CD的中點，EF與AC交于點G，若eq\o（AB，\s\up13(→））＝a，eq\o（AD,\s\up13(→))＝b，用a、b表示eq\o（AG,\s\up13(→)）＝(）圖2。2.10A。eq\f(1，4）a＋eq\f（1,4）b B。eq\f（1，3)a＋eq\f(1，3）bC。eq\f(3,4）a－eq\f(1，4)b D.eq\f（3,4)a＋eq\f（3，4)b【解析】易知eq\o（CF，\s\up13（→))＝eq\f(1，2)eq\o(CD,\s\up13(→））,eq\o(CE，\s\up13(→）)＝eq\f（1，2)eq\o（CB，\s\up13(→）).設eq\o（CG,\s\up13（→))＝λeq\o(CA,\s\up13（→）),則由平行四邊形法則可得eq\o（CG，\s\up13(→)）＝λ（eq\o(CB，\s\up13（→））＋eq\o(CD，\s\up13(→）））＝2λeq\o（CE,\s\up13(→）)＋2λeq\o（CF,\s\up13(→）），由于E，G，F(xiàn)三點共線，則2λ＋2λ＝1,即λ＝eq\f(1，4),從而eq\o(CG,\s\up13(→）)＝eq\f（1,4）eq\o(CA，\s\up13（→）)，從而eq\o(AG,\s\up13(→）)＝eq\f（3,4)eq\o（AC,\s\up13(→))＝eq\f（3，4）（a＋b）?！敬鸢浮緿4.若D點在三角形ABC的邊BC上，且eq\o(CD,\s\up13(→)）＝4eq\o(DB,\s\up13（→）)＝req\o（AB，\s\up13(→））＋seq\o(AC，\s\up13（→）)，則3r＋s的值為（）A.eq\f（16,5） B。eq\f(12,5)C。eq\f（8,5） D。eq\f(4，5）【解析】∵eq\o（CD，\s\up13（→))＝4eq\o(DB,\s\up13(→)）＝req\o(AB，\s\up13（→）)＋seq\o(AC，\s\up13(→))，∴eq\o（CD,\s\up13(→)）＝eq\f(4，5)eq\o(CB，\s\up13（→））＝eq\f(4,5)（eq\o（AB，\s\up13(→）)－eq\o（AC，\s\up13（→)))＝req\o（AB，\s\up13（→）)＋seq\o（AC，\s\up13（→）)，∴r＝eq\f（4,5),s＝－eq\f(4,5)，∴3r＋s＝eq\f（12,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(8，5）.【答案】C5。如果e1，e2是平面α內所有向量的一組基底，那么下列命題正確的是(）A.若實數(shù)λ1,λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0B。空間任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC。對實數(shù)λ1,λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內D.對平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對【解析】選項B錯誤，這樣的a只能與e1，e2在同一平面內,不能是空間任一向量；選項C錯誤，在平面α內任一向量都可表示為λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α內；選項D錯誤，這樣的λ1，λ2是唯一的，而不是有無數(shù)對.【答案】A二、填空題6。已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________?！窘馕觥坑深}意可以設a＋λb＝λ1（－b＋3a）＝3λ1a－λ1b，因為a與b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1＝3λ1，,λ＝－λ1，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(1，3)，,λ＝－\f(1，3）。）)【答案】－eq\f（1,3)7.設e1,e2是平面內一組基向量，且a＝e1＋2e2,b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________。【解析】因為a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，顯然a與b不共線，①＋②得a＋b＝3e2，所以e2＝eq\f（a＋b，3）代入②得e1＝e2－b＝eq\f（a＋b,3）－b＝eq\f（1，3）a－eq\f(2,3）b，故有e1＋e2＝eq\f(1,3）a－eq\f（2，3)b＋eq\f（1，3)a＋eq\f（1，3）b＝eq\f(2,3）a－eq\f（1,3）b?！敬鸢浮縠q\f（2,3）a－eq\f(1,3)b三、解答題8.如圖2.2。11，平面內有三個向量eq\o（OA,\s\up13(→))，eq\o(OB,\s\up13(→)），eq\o（OC，\s\up13(→))，其中eq\o(OA,\s\up13(→））與eq\o（OB，\s\up13(→）)的夾角為120°，eq\o（OA，\s\up13（→））與eq\o（OC,\s\up13(→））的夾角為30°，且｜eq\o（OA,\s\up13（→)）|＝｜eq\o(OB，\s\up13（→)）｜＝1，eq\o（|OC，\s\up13（→）)｜＝2eq\r(3)，若eq\o(OC，\s\up13（→)）＝λeq\o(OA,\s\up13(→）)＋μeq\o(OB,\s\up13（→))(λ，μ∈R），求λ＋μ的值.圖2。2-11【導學號:72010056】【解】如圖,以OA,OB所在射線為鄰邊，OC為對角線作平行四邊形ODCE,則eq\o(OC，\s\up13（→））＝eq\o（OD，\s\up13（→))＋eq\o(OE,\s\up13(→）），在Rt△OCD中,因為｜eq\o(OC,\s\up13(→))|＝2eq\r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以｜eq\o（OD,\s\up13（→））|＝4，|eq\o(CD,\s\up13（→）)｜＝2，故eq\o(OD,\s\up13(→))＝4eq\o(OA，\s\up13(→）)，eq\o(OE,\s\up13（→））＝2eq\o（OB,\s\up13(→）），即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6。9.（2016·馬鞍山二中期末)如圖2-2.12所示，在?ABCD中，E,F分別是BC，DC的中點，BF與DE交于點G，設eq\o(AB，\s\up13（→）)＝a，eq\o（AD，\s\up13（→））＝b.圖2。2-12（1)用a，b表示eq\o(DE，\s\up13（→))；(2)試用向量方法證明：A，G,C三點共線?！窘狻浚?）eq\o(DE，\s\up13（→)）＝eq\o（AE,\s\up13（→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o（AB，\s\up13(→)）＋eq\o(BE，\s\up13(→）)－eq\o（AD，\s\up13（→）)＝a＋eq\f(1,2)b－b＝a－eq\f（1,2)b。(2)證明：連接AC,BD交于O，則eq\o（CO,\s\up13（→））＝eq\f（1，2)eq\o(CA，\s\up13（→）），∵E，F(xiàn)分別是BC,DC的中點，∴G是△CBD的重心，∴eq\o（GO,\s\up13（→)）＝eq\f（1，3)eq\o（CO，\s\up13(→）)＝eq\f(1，3)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)））eq\o(AC，\s\up13（→）)＝－eq\f（1,6)eq\o（AC，\s\up13(→））,又C為公共點，∴A，G，C三點共線。［能力提升］1.已知點O是平面上一定點，A，B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足eq\o（OP，\s\up13（→))＝eq\o(OA，\s\up13(→)）＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\o(AB,\s\up13（→）)，|\o(AB,\s\up13（→）)｜)＋\f（\o(AC,\s\up13（→））,|\o(AC,\s\up13（→)）|)))（λ∈［0，＋∞）），則點P的軌跡一定通過△ABC的()A。外心 B.內心C。重心 D.垂心【解析】eq\f(\o（AB，\s\up13（→））,｜\o（AB，\s\up13（→））｜）為eq\o（AB,\s\up13（→))上的單位向量，eq\f(\o(AC，\s\up13（→)),｜\o(AC，\s\up13(→)）|）為eq\o(AC,\s\up13（→））上的單位向量,則eq\f（\o(AB，\s\up13(→))，｜\o（AB，\s\up13（→))|)＋eq\f（\o(AC,\s\up13(→)），|\o（AC，\s\up13（→）)｜)的方向為∠BAC的角平分線eq\o(AD，\s\up13（→）)的方向.又λ∈［0，＋∞)，∴λeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\o(AB,\s\up13(→)),｜\o（AB，\s\up13（→）)｜）＋\f(\o（AC,\s\up13(→))，｜\o（AC,\s\up13(→））|）)）的方向與eq\f（\o（AB，\s\up13（→))，|\o（AB，\s\up13(→)）|）＋eq\f(\o（AC,\s\up13（→)),｜\o（AC,\s\up13(→))｜）的方向相同.而eq\o(OP,\s\up13(→）)＝eq\o（OA，\s\up13（→))＋λeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\o（AB,\s\up13(→)）,|\o（AB，\s\up13(→))|）＋\f（\o（AC,\s\up13（→))，|\o（AC,\s\up13(→))|)））,∴點P在eq\o(AD，\s\up13(→))上移動，∴點P的軌跡一定通過△ABC的內心?！敬鸢浮緽2.如圖2。2。13所示，OM∥AB,點P在由射線OM，線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內（不含邊界)運動，且eq\o(OP,\s\up13(→))＝xeq\o（OA,\s\up13(→)）＋yeq\o(OB，\s\up13(→)).圖2.2。13（1)求x的取值范圍；（2)當x＝－eq\f（1，2）時，求y的取值范圍?！窘狻?1)因為eq\o（OP，\s\up13(→））＝xeq\o（OA，\s\up13(→))＋yeq\o（OB，\s\up13(→))，以OB和OA的反向延長線為兩鄰邊作平行四邊形，由向量加法的平行四邊形法則可知OP為此平行四邊形的對角線,當OP長度增大且靠近OM時，x趨向負無窮大，所以x的取值范圍是(－∞，0）。（2)如圖所示，當x＝－eq\f(1,2)時,在OA的反向延長線取點C，使OC＝eq\f(1,2)OA，過C作CE∥OB，分別交OM和AB的延長線于點D，E，則CD＝eq\f(1，2)OB,CE＝eq\f(3，2)OB，要使P點落在指定區(qū)域內，則P點應落在DE上，當點P在點D處時eq\o(OP,\s\up13(→）)＝－eq\f(1,2)eq\o(OA