第九章 系統(tǒng)辨識(shí)與Kalman濾波

系統(tǒng)模型的表現(xiàn)形式直接模型：過(guò)程的特性以非解析的形式直接存儲(chǔ)在頭腦中，靠人的直覺(jué)控制過(guò)程的進(jìn)行；物理模型：根據(jù)相似原理把時(shí)間過(guò)程加以縮小的復(fù)制品，或是實(shí)際過(guò)程的一種物理模擬；圖表模型：以圖形或表格形式表現(xiàn)過(guò)程的特性數(shù)學(xué)模型：用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式來(lái)反映實(shí)際過(guò)程的行為特性，常用的有代數(shù)方程，微分方程，差分方程和狀態(tài)方程等。1系統(tǒng)模型的建立機(jī)理建模。根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)相應(yīng)的定律，定理或原理，如化學(xué)動(dòng)力學(xué)原理，牛頓定理，能量平衡方程等原理推導(dǎo)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。有時(shí)也稱白箱建模。系統(tǒng)辨識(shí)。根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)來(lái)建模，是對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的一個(gè)近似。有時(shí)也稱黑箱建模。機(jī)理模型與辨識(shí)建模結(jié)合的辦法。適用于系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)機(jī)理不是完全未知的情況，利用一直的運(yùn)動(dòng)機(jī)理和經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。也稱為灰色建模。2辨識(shí)的定義辨識(shí)就是在輸入和輸出的基礎(chǔ)上由規(guī)定的一類系統(tǒng)模型中確定一個(gè)系統(tǒng)模型，使之與被測(cè)系統(tǒng)等價(jià)。辨識(shí)的三大要素：系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，模型類和等價(jià)原則。辨識(shí)的任務(wù)：模型結(jié)構(gòu)的確定和參數(shù)估計(jì)。

3系統(tǒng)辨識(shí)的基本原理4辨識(shí)的內(nèi)容和步驟設(shè)法取得系統(tǒng)輸入輸出的觀測(cè)數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則——給出估量試驗(yàn)優(yōu)劣的準(zhǔn)則。持續(xù)激勵(lì)輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)——采用零均值的白噪聲采樣間隔的設(shè)計(jì)——適當(dāng)選取采樣間隔和輸入信號(hào)的時(shí)序脈沖寬度其中為主要時(shí)間常數(shù)。選取的模型集——一般選取線性模型驗(yàn)證評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（利用先驗(yàn)知識(shí)驗(yàn)證，利用數(shù)據(jù)驗(yàn)證）5辨識(shí)問(wèn)題的表達(dá)形式其中和是模型的輸入量和輸出量，它們?cè)陔x散點(diǎn)上必須是可觀測(cè)的，是模型噪聲，是未知模型參數(shù)；問(wèn)題：如何根據(jù)來(lái)獲得的知識(shí)？考慮線性離散模型的辨識(shí)問(wèn)題6記則線性離散模型的輸出可表示成進(jìn)而通過(guò)一定的辨識(shí)算法，得到的大小。7線性系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)的最小二乘法早在1795年，高斯就提出最小二乘法(LSM)，并用于行星和彗星運(yùn)動(dòng)軌道的計(jì)算中?；驹恚焊鶕?jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)推斷未知參數(shù)時(shí)，未知參數(shù)的最合適數(shù)值應(yīng)該使實(shí)際觀測(cè)值和計(jì)算值之間誤差的平方和最小。優(yōu)點(diǎn)：算法簡(jiǎn)單；并不需要觀測(cè)數(shù)據(jù)提供概率方面的信息，而其估計(jì)結(jié)果卻有相當(dāng)好的統(tǒng)計(jì)特性。8基本最小二乘考慮SISO線性定常隨機(jī)數(shù)學(xué)模型已取得與的測(cè)量序列對(duì)于該系統(tǒng)，辨識(shí)包括兩個(gè)問(wèn)題：(1)首先需要確定系統(tǒng)階，這是結(jié)構(gòu)辨識(shí)問(wèn)題。(2)在確定后，求參數(shù)，這是參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。9假設(shè)已知，先討論參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。改寫系統(tǒng)為利用測(cè)得的數(shù)據(jù)，建立個(gè)觀測(cè)方程10記則記11則可以給出觀測(cè)方程組的矩陣形式情況1：如果，此時(shí)相當(dāng)于從個(gè)方程中求取個(gè)參數(shù)，如果令，則。而實(shí)際上，因此將進(jìn)入從而使其偏離真實(shí)值。情況2：如果，觀測(cè)值方程個(gè)數(shù)大于參數(shù)個(gè)數(shù)，這是一個(gè)超定方程問(wèn)題。12最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則和正則方程最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則：找到一個(gè)線性離散模型，在此模型中估計(jì)參數(shù)使模型擬合殘差的平方和最小。模型擬合殘差為目標(biāo)函數(shù)為可以把目標(biāo)函數(shù)寫成另外一種形式13由求極值的原理可知，最小二乘估計(jì)滿足而為正定陣從而得到這個(gè)正則方程從中得到最小二乘估計(jì)為14線性穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型的參數(shù)估計(jì)討論穩(wěn)態(tài)多輸入單輸出(MISO)系統(tǒng)進(jìn)行次觀測(cè)后，得到輸入輸出數(shù)據(jù)求解。令15線性穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型的參數(shù)估計(jì)則有從而有16非線性穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)只要能使輸出與被辨識(shí)參數(shù)關(guān)系描述為線性方程，非線性參數(shù)估計(jì)也可以用LS方法。例可以令，即可得從而使用LS方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。17自回歸(AR)模型的參數(shù)估計(jì)考慮AR模型顯然，可以寫成對(duì)于次觀測(cè)可建立方程18其中19最小二乘算法的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性無(wú)偏性一致性有效性20最小二乘的缺點(diǎn)

LS算法是對(duì)整批數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的一種算法，當(dāng)新數(shù)據(jù)源源而來(lái)時(shí)，將出現(xiàn)以下問(wèn)題：數(shù)據(jù)增加，要求計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)空間增加；每增加一組數(shù)據(jù)，及作一次求逆，導(dǎo)致計(jì)算機(jī)量增加；能否給處一種新的算法，使得不保留全部數(shù)據(jù)；避免矩陣求逆21遞推最小二乘的推導(dǎo)最小二乘估計(jì)LSE為當(dāng)?shù)玫揭唤M新觀測(cè)數(shù)據(jù)后構(gòu)成一新的觀測(cè)方程從而得到新的估計(jì)式能否通過(guò)計(jì)算出？22令令則23從而得到將以上式子進(jìn)行整理24遞推最小二乘算法對(duì)于初值的選取，一般是任意選取一，而令，為的單位矩陣。25遞推最小二乘的改進(jìn)算法目標(biāo)函數(shù)中，對(duì)等加權(quán)將產(chǎn)生以下問(wèn)題：①數(shù)據(jù)飽和，②不能跟蹤參數(shù)變化為了避免該問(wèn)題的出現(xiàn)，可以適當(dāng)降低舊數(shù)據(jù)的影響，有兩種解決辦法①漸消記憶（指數(shù)窗），②限定記憶（矩形窗）26漸消記憶的遞推算法修改目變函數(shù)，對(duì)殘差平方加指數(shù)權(quán)，從而可以得到遞推算法為一般取值27限定記憶的遞推算法每次估計(jì)只有

個(gè)觀測(cè)方程（組數(shù)據(jù)），每得到一個(gè)新方程，即去掉一個(gè)老方程，就像用個(gè)矩形窗框住。28廣義最小二乘考慮如下離散系統(tǒng)其中引入白噪聲濾波器令其中為白噪聲序列。29從而即其中稱為廣義的方程殘差。最小化下面的準(zhǔn)則函數(shù)可得參數(shù)的估計(jì)值，30其他最小二乘改進(jìn)算法輔助變量法增廣最小二乘法多步最小二乘法31輔助變量法考慮系統(tǒng)傳統(tǒng)方法是根據(jù)得到因此，如果與相關(guān)，則構(gòu)造與和同維的與不相關(guān)的矩陣得到32增廣最小二乘法其中令33則有由于是未知的，所以用

來(lái)代替。從而得到該算法在自校正控制領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，在大多數(shù)情況下效果滿意。34多步最小二乘法將系統(tǒng)參數(shù)，噪聲辨識(shí)分成三步來(lái)辨識(shí)，而每一次均是無(wú)偏的最小二乘估計(jì)，故最后得到是無(wú)偏估計(jì)。定義35辨識(shí)和

根據(jù)辨識(shí)和

根據(jù)辨識(shí)36線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)實(shí)際系統(tǒng)均存在隨機(jī)干擾，控制與辨識(shí)都需要從輸出觀測(cè)中估計(jì)狀態(tài)。狀態(tài)估計(jì)就是用輸出量測(cè)序列對(duì)狀態(tài)序列作出方差最小估計(jì)。具體說(shuō)，即量測(cè)向量已知，求使得估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣最小。37當(dāng)時(shí)，為的平滑或內(nèi)插；當(dāng)時(shí)，為的濾波；當(dāng)時(shí)，為的預(yù)報(bào)或外推；38隨機(jī)線性離散系統(tǒng)考慮如下的隨機(jī)線性離散系統(tǒng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖為39基礎(chǔ)定義其中為非隨機(jī)的控制輸入序列，為隨機(jī)擾動(dòng)輸入序列，為量測(cè)噪聲序列，為量測(cè)輸出。已知的統(tǒng)計(jì)特性為已知分別為非負(fù)定陣和正定矩陣。40Kalman濾波器考慮如下的隨機(jī)線性離散系統(tǒng)為初值為41擴(kuò)展Kalman濾波