第二章 地圖的數(shù)學基礎

第二章地圖數(shù)學基礎地球橢球體及大地控制地圖比例尺地圖投影概念地圖投影的自動生成和轉(zhuǎn)換地圖投影判別與選擇常用地圖投影地圖的數(shù)學基礎地理格網(wǎng)系統(tǒng)（GeographicGridSystem）

經(jīng)緯網(wǎng)、公里網(wǎng)地圖定向（MapOrientation）

真北（真子午線）、磁北（磁子午線）、坐標北（坐標縱向）地圖比例尺（MapScale）

語言、數(shù)學、圖形地圖投影（MapProjection）第二章地圖的數(shù)學基礎

掌握比例尺的含義和表示，常見投影的經(jīng)緯網(wǎng)特征、經(jīng)緯距變化規(guī)律、變形分布規(guī)律及用途，判別地圖投影的一般方法，能夠識別常用的投影。理解地球的物理表面、數(shù)學表面地面點位置的表示，比例尺的分類和比例尺精度，地圖投影的基本概念。了解地球的自然表面，我國的大地坐標系統(tǒng)。教學目標2.1地球橢球體與大地控制地球橢球體大地控制全球定位系統(tǒng)2.1.1地球橢球體地球自然表面水準面大地水準面大地球體地球橢球體參考橢球體2.1.1地球橢球體

事實是：地球不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。2.1.1地球橢球體

當海洋靜止時，自由水面與該面上各點的重力方向（鉛垂線）成正交，這個面叫水準面。在眾多的水準面中，有一個與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過大陸、島嶼形成一個閉合曲面，這就是大地水準面。它實際是一個起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包圍的形體稱為大地球體。2.1.1地球橢球體大地水準面的意義：1.地球形體的一級逼近：對地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當。2.起伏波動在制圖學中可忽略：對大地測量和地球物理學有研究價值，但在制圖業(yè)務中，均把地球當作正球體。3.重力等位面：可使用儀器測得海拔高程（某點到大地水準面的高度）。2.1.1地球橢球體地球的數(shù)學表面在測量和制圖中就用旋轉(zhuǎn)橢球體來代替大地球體，這個旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為地球橢球體，簡稱橢球體。它是一個規(guī)則的數(shù)學表面，所以人們視其為地球體的數(shù)學表面，也是對地球形體的二級逼近，用于測量計算的基準面。橢球體三要素:長軸a（赤道半徑）、短軸b（極半徑）和橢球的扁率fa-ba2.1.1地球橢球體對地球形狀a，b，f

測定后，還必須確定大地水準面與橢球體面的相對關系。即確定與局部地區(qū)大地水準面符合最好的一個地球橢球體——參考橢球體，這項工作就是參考橢球體定位。2.1.1地球橢球體

通過數(shù)學方法將地球橢球體擺到與大地水準面最貼近的位置上，并求出兩者各點間的偏差，從數(shù)學上給出對地球形狀的三級逼近——參考橢球體。

在制作小比例尺地圖時可忽略地球扁率，將地球視為圓球體，地球半徑為6371km。制作大比例尺地圖時必須將地球視為橢球體。2.1.1地球橢球體橢球體的選擇標準：最大限度的逼近地球區(qū)域表面思考：我們?yōu)槭裁匆芯康厍驒E球體？地球橢球體長短半徑差值約21km2.1.2大地控制地球表面上的定位問題，是與人類的生產(chǎn)活動、科學研究及軍事國防等密切相關的重大問題。具體而言，就是球面坐標系統(tǒng)的建立。

主要任務：確定地面點在地球橢球體上的位置。平面位置（經(jīng)度、緯度）高程2.1.2大地控制

地理坐標系地理坐標系及其意義：

用經(jīng)緯度標示物體在地面上位置的球面坐標系，顯示其地理方位，表示時差，此外，經(jīng)緯線還標示許多地理現(xiàn)象所處的地理帶。

天文經(jīng)緯度大地經(jīng)緯度地心經(jīng)緯度

地理坐標系天文經(jīng)緯度：

天文經(jīng)度：本初子午面與過觀測點的子午面所夾的二面角。天文緯度：過觀測點的鉛垂線與赤道平面之間的夾角。用于大地測量中定向控制及校核數(shù)據(jù)。

地理坐標系大地經(jīng)緯度：大地經(jīng)度：參考橢球面上某一點的大地子午面與本初子午面之間的二面角。由本初子午面向東西量度，東經(jīng)為正，西經(jīng)為負。大地緯度：過參考橢球面上某一點的法線與赤道面的夾角。

主要用于大地測量

地理坐標系地心經(jīng)緯度：

地心經(jīng)度：即大地經(jīng)度

地心緯度：某一點與橢球體中心連線和赤道面之間的夾角。

常用于地圖學

地理坐標系經(jīng)線：所有含有地軸的平面與橢球體的交線叫經(jīng)線或子午線。經(jīng)度：過p點的小平面與通過（格林尼治天文臺的）本初子午所夾的二面角叫p點的經(jīng)度（L）東經(jīng)、西經(jīng)緯線：所有垂直于地軸的平面與橢球體面的交線，稱為緯線。緯度：p點的法線與赤道面的交角叫做p點的緯度（B）北緯、南緯、。

我國的大地坐標系1980年國家大地坐標系：參考橢球：1975國際橢球，大地原點設在陜西省涇陽縣優(yōu)點：橢球體參數(shù)精度高；定位采用的橢球體與我國大地水準面符合好；經(jīng)過全國整體平差，坐標統(tǒng)一，精度優(yōu)良，可滿足1：5000甚至更大比例尺測圖要求不足：坐標維：二維→三維，精度：3×10-6→10-7~10-8坐標系統(tǒng)：局部定義→地心坐標

高程系1956黃海高程系：1950~1956青島驗潮站觀測記錄1985國家高程基準

大地控制網(wǎng)平面控制網(wǎng)確定控制點的平面位置（大地精度L、大地緯度B）方法：三角測量、導線測量高程控制網(wǎng)

精確求算地面點到大地水準面的高程，由精確測定了高程的地面點組成，測定其它地面點高程的基礎。2.1.3全球定位系統(tǒng)提供高精度、實時、全天候和全球性三維坐標、三維速度和時間信息的導航定位系統(tǒng)。組成：空間衛(wèi)星：6軌道24顆，平均高度20183km，運行周期11小時58分地面監(jiān)控：監(jiān)測站、主控站、注入站

用戶接收：GPS信號接收機2.1.3全球定位系統(tǒng)與傳統(tǒng)大地測量相比：觀測站之間無需通視

定位精度高提供三維坐標

操作簡便

全天候作業(yè)2.2地圖比例尺2.2.1地圖比例尺的含義2.2.2地圖比例尺的形式2.2.3地圖比例尺的作用

當制圖區(qū)域比較小，景物縮小的比例也比較小時，由于采用了各方面變形都比較小的地圖投影，因此，圖面上各處長度縮小的比例都可以看成是相等的。在這種情況下，地圖比例尺的含義，具體指的是圖上長度與相應地面之間的長度比例。2.2.1地圖比例尺的含義當制圖區(qū)域相當大，制圖時對景物的縮小比率也相當大。在這種情況下所注明的比例尺含義，其實質(zhì)指的是在進行地圖投影時，對地球半徑縮小的比率，通常稱之為地圖主比例尺。其余大于或小于住比例尺的比例尺稱為局部比例尺。地圖經(jīng)過投影后，體現(xiàn)在地圖上只有個別的點或線才沒有長度變形。換句話說，只有在這些沒有變形的點或線上，才可以用地圖上注明的主比例尺進行量算。2.2.1地圖比例尺的含義2.2.1地圖比例尺的含義比例尺：地圖上沿某方向的微分線段和地面上相應微分線段水平長度之比。2.2.1地圖比例尺的含義

比例尺越大圖面精度越高，比例尺越小圖面精度越低。

圖幅面積相同時，比例尺越大包括的地面范圍越??；比例尺越小包括的地面范圍越大。1、傳統(tǒng)比例尺傳統(tǒng)地圖上的比例尺通常有以下幾種表現(xiàn)形式：數(shù)字式比例尺、文字式比例尺、圖解式比例尺。（1）數(shù)字式比例尺如1∶10000（2）文字式比例尺如圖上1厘米等于實地1千米（3）圖解比例尺：可分為直線比例尺、斜分比例尺和復式比例尺。2.2.2地圖比例尺的形式直線比例尺，是以直線線段形式標明圖上線段長度所對應的地面距離2.2.2地圖比例尺的形式

斜分比例尺，是一種根據(jù)相似三角形原理制成的圖解比例尺，利用這種斜分比例尺，可以量取比例尺基本長度單位的百分之一。

斜分比例尺是由縱、橫兩種分劃組成的復合比例尺，縱分劃為斜線，橫分劃及其注記與直線比例尺相同。2.2.2地圖比例尺的形式

使用該比例尺時，先在圖上用量角規(guī)卡出欲量線段的長度，然后再到復合比例尺上去比量。比量時應注意：每上升一條水平線，斜線的偏值將增加0.01基本單位；量角規(guī)的兩腳務必位于同一水平線上。2.2.2地圖比例尺的形式復式比例尺，又稱投影比例尺，是一種根據(jù)地圖主比例尺和地圖投影長度變形分布規(guī)律設計的一種圖解比例尺

2.2.2地圖比例尺的形式2.特殊比例尺（1）變比例尺當制圖的主區(qū)分散且間隔的距離比較遠時，為了突出主區(qū)和節(jié)省圖面，可將主區(qū)以外部分的距離按適當比例相應壓縮，而主區(qū)仍按原來規(guī)定的比例尺表示。2.2.2地圖比例尺的形式（2）無級別比例尺是一種隨數(shù)字制圖的出現(xiàn)而與傳統(tǒng)的比例尺系統(tǒng)相對而言的一個新概念，并沒有一個具體的表現(xiàn)形式。在數(shù)字制圖中，由于計算機或數(shù)據(jù)庫里可以存貯物體的實際長度面積體積等數(shù)據(jù)，并且根據(jù)需要可以很容易按比例任意縮小或放大這些數(shù)據(jù)，因此沒有必要將地圖數(shù)據(jù)固定在某一比例尺上。2.2.2地圖比例尺的形式

由于地圖投影的原因會造成地圖上各處的縮小比例不一致性，因此，進行地圖投影時，應考慮地圖投影對地圖比例尺的影響。電子地圖出現(xiàn)后傳統(tǒng)的比例尺概念發(fā)生新變化，在以紙質(zhì)為信息載體的地圖上，地圖內(nèi)容的選取、概括程度、數(shù)據(jù)精度等都與比例尺密切相關，而在計算機生成的屏幕地圖上，比例尺主要表明地圖數(shù)據(jù)的精度。屏幕上比例尺的變化，并不影響上述內(nèi)容涉及的地圖本身比例尺的特征。

2.2.2地圖比例尺的形式?jīng)Q定地圖圖形大小反映地圖量測精度決定地圖內(nèi)容的詳細程度2.2.3地圖比例尺的作用第三章地圖的數(shù)學基礎2.3地圖投影概述2.3.1地圖投影的概念2.3.2地圖投影的基本方法2.3.3地圖投影的變形2.3.4地圖投影的分類2.3.1地圖投影的概念地圖投影研究的對象：如何將地球體表面描寫到平面上。

我們學習投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本的投影性質(zhì)和特點以及他們的變形分布規(guī)律，從而能夠正確的辨認使用各種常用的投影。2.3.1地圖投影的概念地圖投影的產(chǎn)生2.3.1地圖投影的概念地圖：平面圖紙地球橢球體：曲面必然發(fā)生破裂和重疊地物地貌不是被破開就是被壓扁實際需要的地圖：把地球表面的全部或局部完整地連續(xù)地表示在平面上2.3.1地圖投影的概念地圖投影的概念2.3.1地圖投影的概念球面上任一點的位置：地理坐標（L、B）平面上點的位置：直角坐標（縱坐標是x,橫坐標是y）數(shù)學方法球面平面函數(shù)關系地圖投影2.3.1地圖投影的概念地圖投影的實質(zhì)是將地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按一定的數(shù)學法則轉(zhuǎn)移到平面上。2.3.1地圖投影的概念先將一些經(jīng)緯線的交點展繪在平面上構成經(jīng)緯線網(wǎng)把地理事物按照其所在的經(jīng)緯度，用一定的符號畫在平面上相應位置地圖投影實質(zhì)：

建立地球面與投影平面上點的一一對應關系。x=f1(φ,λ)y=f2(φ,λ)2.3.1地圖投影的概念2.3.1地圖投影的概念利用光源把地球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上的方法叫做幾何投影或者幾何透視法。這是人們最早用來解決地球球面和地圖平面這一對矛盾的一種方法。2.3.2地圖投影的基本方法1.幾何投影（透視投影）2.解析法

2.3.2地圖投影的基本方法所謂解析法借助于幾何投影的方式，按照某些條件用數(shù)學分析法確定球面與平面之間點與點之間一一對應的函數(shù)關系。

X=f1(φ、λ)Y=f2(φ、λ)函數(shù)的f1,f2具體形式，是由給定的投影條件確定的。

地圖投影變形的概念

變形橢圓

長度比和長度變形

面積比和面積變形

角度變形

等變形線2.3.3地圖投影的變形2.3.3地圖投影的變形

地圖投影變形的概念

投影變形:研究各種投影變形的大小和分布規(guī)律。投影后的經(jīng)緯線網(wǎng)地球儀上經(jīng)緯線網(wǎng)格地圖投影變形的概念方向長度面積經(jīng)線和緯線相互垂直緯差相等經(jīng)差相等同一緯線不同緯線同一緯度帶不同緯度帶同一經(jīng)度帶地圖投影變形的概念比較地圖投影變形：球面轉(zhuǎn)換成平面后，地圖上所產(chǎn)生的長度、角度和面積誤差。

不存在無變形的投影地圖投影變形的概念地圖投影變形用地圖投影的方法將球面向平面轉(zhuǎn)繪時引起的經(jīng)緯網(wǎng)幾何特性（長度（距離）、角度（形狀）和面積）的變化，稱為地圖投影變形。

在一幅地圖上，到底在哪些地方有哪些多大的變形？

變形橢圓地圖投影變形的概念

變形橢圓演示實驗圖數(shù)學方法圖變形橢圓構成示意圖

變形橢圓

地球面上的微分圓（微小到足以忽略地球曲面的影響而被視為平面）投影后產(chǎn)生的橢圓或圓，統(tǒng)稱為變形橢圓。

變形橢圓

橢圓半徑和小圓半徑之比，可以說明長度變形，很明顯長度變形是隨方向的變化而變化的；橢圓面積與微小圓面積之比，可以說明面積變形的情況；橢圓上任意兩條方向線的夾角與小圓上相應兩方向線的夾角之差就代表了角度變形的情況。

變形橢圓

用數(shù)學方法證明球面上的微分圓，投影到平面上變成橢圓：

變形橢圓

64

在一般情況下，A′B′與C′D′不一定正交，設交角為θ，故A′B′和C′D′為斜坐標軸系，令其軸為X′，Y′，則M′的坐標為ｘ′＝M′J′，ｙ′＝M′K′，由此可得：

變形橢圓

ｍ為經(jīng)線長度比，ｎ為緯線長度比。則以O為圓心，OM為半徑微分圓的方程式為：ｘ2＋ｙ2＝ｒ2將ｘ、ｙ數(shù)值代入方程式，

變形橢圓

66

兩邊同除以ｒ2，則得：

變形橢圓

67

即得以O′為中心，θ為交角的兩共軛直徑為斜坐標軸的橢圓方程式。

變形橢圓

主方向

變形橢圓

adoabcdd’b’a’c’o’設o是球面上一點，過o作兩條垂線ac和bd，投影后為a’c’和b’d’。即地球面上角aob和角boc為直角，投影后分別為銳角a’o’b’和鈍角b’o’c’。由此可見，一個直角在不同的位置下的投影有著不同的的大小，可以由銳角變?yōu)殁g角，或者相反。那么在變化的過程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直線方向，稱之為主方向。boc’

變形橢圓

在主方向上，具有極大和極小長度比。有的投影，經(jīng)緯線投影后均保持垂直，那么該投影中，經(jīng)緯線方向就是主方向。經(jīng)緯線投影后為正交，經(jīng)緯線方向就是為主方向。但也有一些投影后經(jīng)緯線斜交，因此，主方向與經(jīng)緯線方向并不一致。

變形橢圓

設地球球面上有一微小線段ds,投影到平面上為ds’,如圖所示。

ds

ds’

平面上微小線段與球面上相應微小線段之比，叫做長度比。用公式表示為：μ=ds’/ds

長度比是一個變量，它不僅隨著點的位置不同而變化，還隨著方向的變化而變化。長度比是指某點某方向上微小線段之比。

長度比和長度變形長度比長度比是一個相對變量，不僅隨點位不同而變化，而且在同一點上隨方向不同也有大小的差異；它只有大于1和小于1的數(shù)（個別地方等于1），沒有負數(shù)，因而僅表明某線段按比例縮小投影后的長度是增長了還是縮短了這一概念。

長度比和長度變形長度變形

投影面上一微分線段長度ｄｓ′與橢球體面上相應微分線段長度ｄｓ之差值同這微分線段長度ｄｓ之比。用υμ表示

長度比和長度變形74

長度變形就是長度比與1之差。反映線段投影后變化的程度，通常用百分數(shù)（%）表示，有正有負，分別表明某線段按比例縮小投影后長度增長或縮短的程度。

長度比和長度變形ABCDdsA’B’C’D’ds’ds’ds注意長度比、長度變形與地圖比例尺的區(qū)別。

長度比和長度變形長度變形是所有投影上都存在的最基本的變形；正因為這樣，而引起面積和角度的變形。

長度比和長度變形

投影平面上的微小面積與球面上相應微小面積之比，稱為面積比。以投影面上變形橢圓的面積dF’=abπ,相應球面上微小圓的面積dF=π12為例，以P表示面積比，則:P=dF’/dF=abπ/π1=ab

面積比與面積變形面積比等于主方向長度比的乘積。若經(jīng)緯線方向就是主方向時：P=mn若經(jīng)緯線方向不是主方向時，面積比:P=mnsinθ(θ為投影后經(jīng)緯線夾角)面積比是個變量，它隨點位置不同而變化。面積變形就是面積比與1之差，以Vp表示。Vp=p-1

面積變形有正有負，面積變形為零，表示投影后面積無變形，面積變形為正，表示投影后面積增加；面積變形為負，表示投影后面積縮小。

面積比與面積變形面積比與面積變形ABCDA’B’C’D’dFdF’P=dF’dF

面積比與面積變形角度變形，指投影面上過某一點的任意兩方向線的夾角α′與地球橢球體面上相應兩方向線的夾角α之差值，以α′－α表示。是衡量地圖投影變形大小的一種數(shù)量指標。

角度變形81

角度變形角度變形uu’du=u’-u

角度變形研究其中具有代表性的、最值得注意的一些角度變形，如經(jīng)緯線夾角、某兩方向線所產(chǎn)生的最大角度變形。83

圖2-8中X′、Y′軸為主方向，呈正交，圖中任一方向線OA與主方向線的夾角α，投影后O′A′與X′軸的夾角為α′，則因即ｙ′＝ｂｙ

，

ｘ′＝ａｘ

角度變形將上式兩邊各減和加

ｔｇ

α，可推演出：

ｓｉｎ（α－α′）＝ａ－ｂ/ａ＋ｂ*ｓｉｎ（α＋α′）

當（α＋α′）＝90°時，ｓｉｎ（α－α′）的值為最大，

即α－α′的差值最大。因α是一個方向線與一個主方向所夾的角，故設ω/2代表α－α′的最大差值，則：

2.11

84

故

角度變形85

（2-11）式反映的是一條方向線OA與主方向OX夾角的變形情況，即方向變形。假設在相鄰象限內(nèi)有一個與OA對稱的方向線OA1與主方向OX的夾角也是α，投影后亦為α′；在微分圓上OA與OA1的夾角為ｕ，投影后O′A′與O′A′1的夾角為ｕ′，則由圖中可見ｕ′－ｕ＝（180°－2α′）－（180°－2α）＝2（α－α′）＝ω則稱ω為（最大角度變形）。最大角度變形，時常用它的正切函數(shù)計算：

角度變形86

若已知經(jīng)線長度比ｍ、緯線長度比ｎ和經(jīng)緯線夾角θ，則最大角度變形用下式計算：

角度變形由（2-18）式可知，角度變形與變形橢圓的長短軸差值成正比。鑒于長度變形隨經(jīng)緯度變化而變化，變形橢圓的長短軸差值也隨之變化，從而使變形橢圓與微分圓的形狀差別也增大；因此，角度變形是形狀變形的具體標志。

角度變形等變形線就是變形值相等的各點的連線，它是根據(jù)計算的各種變形的數(shù)值（如p,w）繪于經(jīng)緯線網(wǎng)格內(nèi)的，如面積等變形線。等變形線

等變形線等變形線通常是用點虛線來表示的。按變形性質(zhì)分類等角投影等積投影等距投影

按構成方法分類幾何投影非幾何投影

按照投影面積與地球相割或相切分類割投影切投影2.3.4地圖投影的分類小結按變形性質(zhì)，可將地圖投影分為三類：

等角投影

等面積投影

任意投影

按變形性質(zhì)分類小結等角投影投影面上任意兩方向線間夾角與橢球體面上相應方向線的夾角相等。

即角度變形為0。由公式可知，w=0，sin(w/2)=(a—b)/（a+b)=0，a=b，m=n，最大長度比等于最小長比，變形橢圓是圓。

按變形性質(zhì)分類條件：a=bF=0;E/R=G/RcosB

按變形性質(zhì)分類等角投影（正形投影）小結①定義:投影以后角度沒有變形的投影。②投影條件：w=0或a=b，m=n③變形橢圓④投影特點：面積變形大。等角投影在同一點任何方向的長度比都相等，但在不同地點長度比是不同的。⑤用途：多用于編制航海圖、洋流圖、風向圖等地形圖。

按變形性質(zhì)分類等積投影投影面上任意一塊圖形的面積與橢球體面上相應的圖形面積相等。即面積變形為0。由于這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進行面積對比。一般用于繪制對面積精度要求較高的自然地圖和經(jīng)濟地圖。

按變形性質(zhì)分類條件：ab=1

按變形性質(zhì)分類等積投影小結①定義:投影以后面積沒有變形的投影。②投影條件：Vp=p―１＝０p=1

或a=1/b或b=1/a③變形橢圓

④投影特點：角度變形大。這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進行面積對比。⑤用途：一般用于繪制對面積精度要求較高的自然地圖和經(jīng)濟地圖。

按變形性質(zhì)分類任意投影任意投影是即不等角也不等積的投影。這種投影的特點是面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影。在任意投影中，有一種特殊的投影，叫做等距投影，其條件是m=1或n=1。即誤差橢圓上的一個半徑和球面上相應微小圓半徑相等。按變形性質(zhì)分類等距離投影條件：

E/R=1

m=1

按變形性質(zhì)分類任意投影小結①定義:既不等角也不等積的投影。在任意投影中，有一種特殊的投影，叫做等距投影。②投影條件：a=1或b=1或m=1③變形橢圓④投影特點：面積變形、角度變形都不大（面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影）。⑤用途：用于教學地圖、交通地圖。

按變形性質(zhì)分類形狀不變面積不變特定方向距離不變等積投影等角投影等距投影

按變形性質(zhì)分類按地圖投影的變形性質(zhì)分類等角投影任意投影等積投影等距投影

按變形性質(zhì)分類角度變形最大等積投影等角投影任意投影等距投影面積變形最大

按變形性質(zhì)分類通過比較可以看出：①等積投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等積特性。②任意投影不能保持等積、等角特性。③等積投影的形狀變化比較大，等角投影的面積變形比較大。

按變形性質(zhì)分類幾何投影條件投影

按構成方法分類

小結幾何投影幾何投影是把地球球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而得到的，根據(jù)幾何面的形狀，可進一步分為

方位投影

圓柱投影

圓錐投影

.1幾何投影小結.1.1方位投影幾何概念：假想用一平面切（割）地球，然后按一定的數(shù)學方法將地球面投影在平面上，即得方位投影。按投影方式：

透視方位投影

非透視方位投影按投影面位置：

正軸橫軸

斜軸小結透視方位投影利用透視法把地球表面投影到平面上的方法稱為透視投影。透視方位投影的點光源或視點位于垂直于投影面的地球直徑及其延長線上，由于視點位置不同，因而有不同的透視方位投影。.1.1方位投影.1.1方位投影①中心射方位投影或球心投影:視點（光源）位于地球球心，視點距投影面距離為R。②平射方位投影或球面投影:視點或光源位于地球表面時，即視點到投影面距離為2R。③正射投影:視點或光源位于無限遠時，投影線（光線）成為平行線。.1.1方位投影非透視方位投影非透視方位投影是借助于透視投影的方式，而附加上一定的條件，如加上等積、等距等條件所構成的投影。.1.1方位投影正軸方位投影投影中心為極點，緯線為同心圓，經(jīng)線為同心圓的半徑，兩條經(jīng)線間的夾角與實地相等。經(jīng)緯線形狀：適合制作：

兩極地區(qū)圖.1.1方位投影橫軸方位投影平面與球面相切，其切點位于赤道上的任意點。經(jīng)緯線形狀：適合制作：

赤道附近圓形區(qū)域地圖.1.1方位投影

斜軸方位投影投影面切于兩極和赤道間的任意一點上。.1.1方位投影經(jīng)緯線形狀：適合制作：

中緯度地區(qū)圓形區(qū)域地圖橫軸和斜軸方位投影的變形分布規(guī)律在地球表面上重新建立一種新的坐標系，使新坐標系的極點在投影面的中心點上，這樣對于橫軸和斜軸投影來說，投影面與新極點的關系，也就和正軸投影的投影面與地理極的關系一樣了，正軸的公式就可以應用到橫軸和斜軸投影中去，而只是地面上點的位置用不同的坐標系表示而已。

.1.1方位投影

無論是正軸方位投影還是橫軸方位投影或是斜軸方位投影，誤差分布規(guī)律是一致的。等變形線都是以投影中心為圓心的同心圓，所不同的是在橫軸和斜軸方位投影中，經(jīng)緯線方向不是主方向。

.1.1方位投影常見方位投影特征（1）經(jīng)緯網(wǎng)的形狀（2）經(jīng)緯距的變化規(guī)律（3）變形規(guī)律.1.1方位投影構成形式（經(jīng)緯線網(wǎng)）：判別是正軸、橫軸、斜軸方位投影。

正軸投影，其緯線為以投影中心為圓心的同心圓，經(jīng)線為交于投影中心的放射狀直線，夾角相等。橫軸投影，赤道與中央經(jīng)線為垂直的直線，其他經(jīng)緯線為曲線。斜軸投影，除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)緯線均為曲線。.1.1方位投影經(jīng)緯網(wǎng)的形狀正軸方位投影橫軸方位投影斜軸方位投影.1.1方位投影根據(jù)中央經(jīng)線和赤道上經(jīng)緯線間隔的變化，判別變形性質(zhì)。（以橫軸為例）

等角方位投影，在中央經(jīng)線上，緯線間隔從投影中心向外逐漸增大；等積方位投影，逐漸縮??；等距方位投影，間隔相等。.1.1方位投影經(jīng)緯距的變化規(guī)律以正軸為例.1.1方位投影緯距心射：急劇擴大平射：逐漸擴大正射：急劇縮小等角：等積：等距：變形規(guī)律從投影中心向各個方向引出的方向線投影后方位不變。平面與球面相切或相割處無變形，故稱標準點或標準線。等變形線是以投影中心為圓心的同心圓。.1.1方位投影總結

方位投影的特點是：在投影平面上，由投影中心（平面與球面的切點）向各方向的方位角與實地相等，其等變形線是以投影中心為圓心的同心圓。

.1.1方位投影正軸圓柱投影橫軸圓柱投影斜軸圓柱投影圓柱投影定義：以圓柱面作為投影面，按某種投影條件，將地球橢球面上的經(jīng)緯線投影于圓柱面上，并沿圓柱的母線切開成平面的一種投影。.1.2圓柱投影

經(jīng)線：平行直線，線間距離和經(jīng)差成正比。

緯線：經(jīng)線正交的平行直線，平行線間的距離視投影條件而異。

等變形線赤道弧長或相隔的兩條緯線的弧長為正長無變形。.1.2圓柱投影正軸圓柱投影特點：等距正軸切圓柱投影

1、投影條件圓柱面切于赤道,某方向上無長度變形2、特點及誤差分析赤道:正長無變形緯線:與赤道等長的平行線段離赤道越遠，緯線投影后產(chǎn)生的誤差也就越大經(jīng)線:垂直于緯線的一組平行線，經(jīng)線方向長度比為1，經(jīng)線上緯線間隔相等，主方向:經(jīng)緯線方向。.1.2圓柱投影等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影）.1.2圓柱投影投影條件等角，正軸，切圓柱特點及誤差分析緯線經(jīng)線無變形點線主方向圓錐投影以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。.1.3圓錐投影特征分析經(jīng)緯網(wǎng)的特征經(jīng)線為放射直線；緯線為同心圓。等距：緯距相等。等積：緯距從圖幅中央向南北逐漸縮小。等角：緯距從圖幅中央向南北逐漸擴大。.1.3圓錐投影變形規(guī)律切線或割線為標準線，無變形。等變形線以投影中心為圓心呈同心圓分布。正軸時等變形線平行于緯線。.1.3圓錐投影簡單投影小結經(jīng)緯網(wǎng)形狀簡單變形規(guī)律簡單：等變形線分別為平行直線、同心圓弧、同心圓共性明顯.1幾何投影條件投影構成方法：非幾何投影，不借助于任何幾何面，根據(jù)制圖的某些特定要求，選用合適的投影條件，利用數(shù)學解析法確定平面與球面之間對應點的函數(shù)關系，把球面轉(zhuǎn)化成平面。.2條件投影在這類投影中，一般按經(jīng)緯網(wǎng)形狀又可分為

偽方位投影

偽圓柱投影

偽圓錐投影

多圓錐投影等。據(jù)方位投影修改而來。在正軸情況下，緯線仍為同心圓，除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)線均改為對稱于中央經(jīng)線的曲線，且相交于緯線的圓心。

.2條件投影偽方位投影.2條件投影偽圓柱投影偽圓柱投影是在圓柱投影經(jīng)緯線形狀的基礎上，規(guī)定其緯線投影的形狀與圓柱投影相似即緯線為平行直線，但經(jīng)線則不同，除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)線均為對稱與中央經(jīng)線的曲線。經(jīng)線的形狀是任意曲線，但通常選擇為正弦曲線或橢圓曲線。按變形性質(zhì)，偽圓柱投影沒有等角投影。因為投影后經(jīng)緯線不正交。只有等積和任意投影兩種。.2條件投影.2條件投影偽圓錐投影是對圓錐投影的經(jīng)緯線形狀加以改變而成的。緯線為同心圓弧，圓心位于中央經(jīng)線上，但經(jīng)線則不同，除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)線均為對稱于中央經(jīng)線的曲線。按投影的變形性質(zhì)，偽圓錐投影沒有等角投影，因為經(jīng)緯線不直交，偽圓錐投影只有等積投影和任意投影，最常用的是等積偽圓錐投影。偽圓錐投影多圓錐投影概念

在切圓錐投影中，離開標準緯線越遠，變形越大。如果制圖區(qū)域包含緯差較大時，則在邊遠部分會產(chǎn)生相當大的變形，因此采用雙標準緯線圓錐投影比單標準緯線圓錐投影變形要小些。如果有更多的標準緯線則變形會更小些，多圓錐投影就是由這樣的設想建立的。.2條件投影

假設有許多圓錐與球面上的緯線相切，將球面上的經(jīng)緯線投影到這些圓錐面上，然后沿同一母線方向?qū)A錐面剪開展平，并在中央經(jīng)線上排接起來就得到了所謂多圓錐投影。.2條件投影

在多圓錐投影中，由于圓錐頂點不是一個，所以緯線投影為同軸圓弧。圓心在中央經(jīng)線上，中央經(jīng)線投影為直線。其他經(jīng)線投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。

由于多圓錐投影的經(jīng)緯線系彎曲的曲線，具有良好的球形感，所以它經(jīng)常用于編制世界地圖。.2條件投影2.普通多圓錐投影

普通多圓錐投影除了中央經(jīng)線和每一條緯線的長度比等于1外，其余經(jīng)線長度比均大于1，這個投影在中央經(jīng)線上緯線間隔相等，在每一條緯線上經(jīng)線間隔相等。.2條件投影普通多圓錐投影屬于任意投影，中央經(jīng)線是一條沒有變形的線，離開中央經(jīng)線越遠變形越大。適于做南北方向延伸地區(qū)的地圖。美國海岸測量局曾用此投影做美國海岸附近地區(qū)的地圖。普通多圓錐投影的另一個用途就是繪制地球儀用的圖形。把整個地球按一定經(jīng)差分為若干帶，每帶中央經(jīng)線都投影為直線，各帶的投影圖在赤道相接，將這樣的投影圖貼在預制的球胎上，就是一個地球儀。.2條件投影幾何投影條件投影方位投影圓柱投影圓錐投影偽方位投影偽圓柱投影偽圓錐投影多圓錐投影正軸投影橫軸投影斜軸投影切投影割投影地圖投影2.3.4地圖投影的分類世界地圖半球地圖分洲、分國地圖地形圖2.4常用地圖投影等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影）空間斜軸墨卡托投影桑遜投影摩爾魏特投影古德投影等差分緯線多圓錐投影2.4.1世界地圖常用投影小結

等角正軸切圓柱投影

（墨卡托投影）投影特征分析：緯線經(jīng)線無變形點線主方向赤道投影為正長，緯線投影成和赤道等長的平行線段，即離赤道越遠，緯線投影的長度比也越大，為了保持等角條件，必須把地圖上的每一點的經(jīng)線方向上的長度比和緯線方向上的長度比相等。所以隨著緯線長度比的增加，相應經(jīng)線方向上的長度比也得增加，并且增加的程度相等。所以在墨卡托投影中，從赤道向兩極，緯線間隔越來越大。

等角正軸切圓柱投影

（墨卡托投影）投影特征

在正軸等角切圓柱投影中，赤道為標準線，隨著緯度增高，長度、面積變形逐漸增大。如在緯度60度地區(qū)，經(jīng)線和緯線比都擴大了2倍，面積比P=m*n=2*2=4，擴大了4倍，愈接近兩極，經(jīng)緯線擴大的越多，在φ=80度時，經(jīng)緯線都擴大了近6倍，面積比擴大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高緯地區(qū)通常就不繪出來了。

等角正軸切圓柱投影

（墨卡托投影）投影特征

墨卡托投影被廣泛應用于航海和航空方面，這是因為等角航線（或稱斜航線），在此投影中表現(xiàn)為直線，墨卡托投影也可用來編制赤道附近國家及一些區(qū)域的地圖。

所謂等角航線，就是地球表面上與經(jīng)線交角都相同的曲線，或者說是地球上兩點間的一條等方位線。由于經(jīng)線是收斂于兩極的，所以地球表面上的等角航線是除經(jīng)線和緯線以外，以極點為漸近點的螺旋曲線。因墨卡托投影是等角投影，而且經(jīng)線投影為平行直線，那末兩點間的那條等方位螺旋線在投影中只能是連接該兩點的一條直線。

等角正軸切圓柱投影

（墨卡托投影）

等角航線在墨卡托投影圖上表現(xiàn)為直線，這一點對于航海航空具有重要意義。在墨卡托投影圖上只要將出發(fā)地和目的地連一直線，用量角器測出直線與經(jīng)線的夾角，船上的航海羅盤按照這個角度指示船只航行，就能達到目的地。

等角正軸切圓柱投影

（墨卡托投影）等角航線不是地球上兩點間的最短距離，地球上兩點間的最短距離是通過兩點的大圓弧，（又稱大圓航線或正航線）。大圓航線與各經(jīng)線的夾角是不等的，因此它在墨卡托投影圖上為曲線。

等角正軸切圓柱投影

（墨卡托投影）

遠航時，完全沿著等角航線航行，走的是一條較遠路線，是不經(jīng)濟的，但船只不必時常改變方向，大圓航線是一條最近的路線，但船只航行時要不斷改變方向，如從非洲的好望角到澳大利亞的墨爾本，沿等角航線航行，航程是6020海里，沿大圓航線航行5450海里，二者相差570海里（約1000公里）。

等角正軸切圓柱投影

（墨卡托投影）實際上在遠洋航行時，一般把大圓航線展繪到墨卡托投影的海圖上，然后把大圓航線分成幾段，每一段連成直線，就是等角航線。船只航行時，總的情況來說，大致是沿大圓航線航行。因而走的是一條較近路線，但就每一段來說，走的又是等角航線，不用隨時改變航向，從而領航十分方便?？臻g斜軸墨卡托投影

是美國針對陸地衛(wèi)星對地面掃描圖像的需要而設計的一種近似等角的投影。在地面點地理坐標（λ，φ）或大地坐標（x，y，z）的基礎上，又加入了時間維，即上述坐標是時間t的函數(shù)，在四維空間動態(tài)條件下建立的投影。

空間斜軸墨卡托投影

空間斜軸墨卡托投影空間圓柱面斜切于衛(wèi)星地面軌跡，因此，衛(wèi)星地面軌跡成為該投影的交無變形線，其長度比近似等于1，這條無變形線是一條不同于球面大圓線的曲線。之所以是彎曲的，是因為衛(wèi)星在沿軌道運行時地球也在自轉(zhuǎn)，衛(wèi)星軌道對于赤道面的傾角，將衛(wèi)星地面軌跡限制在約±81°之間的區(qū)域內(nèi).

空間斜軸墨卡托投影投影特征這種投影，是設想空間圓柱面為了保持與衛(wèi)星地面軌跡相切，必須隨衛(wèi)星的空間運動而擺動，并且根據(jù)衛(wèi)星軌道運動、地球自轉(zhuǎn)等幾種主要條件，將經(jīng)緯網(wǎng)投影到圓柱表面上。在該投影圖上，衛(wèi)星地面軌跡為以某種角度與赤道相交的斜線，衛(wèi)星成像掃描線與衛(wèi)星地面軌跡垂直，并且能正確反映上述幾種運動的影響，可將地面景像直接投影到投影面上。

空間斜軸墨卡托投影投影特征它是一種經(jīng)線為正弦曲線的等積偽圓柱投影。是法國人桑遜于1650年所創(chuàng)。緯線為間隔相等的平行線，經(jīng)線為對稱與中央經(jīng)線的正弦曲線。。

桑遜投影在每一條緯線上經(jīng)線間隔相等。這種投影的所有緯線長度比均等于1。緯線長度無變形，中央經(jīng)線長度比等于1，其他經(jīng)線長度比均大于1，而且離中央經(jīng)線越遠，其數(shù)值越大。赤道和中央經(jīng)線是兩條標準線，離開這兩條線越遠變形越大。所以這種投影適合于作赤道附近南北延伸的地區(qū)地圖

桑遜投影投影特征其他經(jīng)線為對稱與中央經(jīng)線的同中心的橢圓，在離中央經(jīng)線的經(jīng)差正負90度的經(jīng)線為一個圓，圓的面積等于地球面積的一半。在赤道上經(jīng)線間隔相等。

摩爾魏特投影經(jīng)線為橢圓曲線的等積偽圓柱投影。由德國人摩爾魏特于1805年設計而得名。投影特征在這種投影上沒有面積變形。長度和角度都有變形，赤道長度比等于0.9，中央經(jīng)線和南北緯40度的兩交點是沒有變形的點，從這兩點向外變形逐漸增大。在國外出版的一些地圖中，這種投影常用在地圖集和地理課本的封面上，英國1962年出版的飛利浦世界地圖集中的世界地圖采用這種投影。

摩爾魏特投影古德投影

從偽圓柱投影的變形情況來看離中央經(jīng)線越遠變形越大，為了減小遠離中央經(jīng)線部分的變形，美國地理學家古德于1923年提出了一種分瓣方法，就是在地圖上幾個主要制圖區(qū)域的中央都定一條中央經(jīng)線，將地圖分為幾個部分，按同一主比例尺及統(tǒng)一的經(jīng)緯差展繪地圖，然后沿赤道拼接起來，這樣每條中央經(jīng)線兩側(cè)投影范圍不寬，變形就小一些。

古德投影

這種分瓣方法可用以上兩種投影及其它偽圓柱投影。如適用于世界地圖的摩爾魏特——古德投影，為了保證大陸的完整性，則在海洋部分斷裂，古德分瓣方法如下：北美洲，中央經(jīng)線為西經(jīng)100度。南美洲中央經(jīng)線為西經(jīng)60度。非洲中央經(jīng)線東經(jīng)20度。澳大利亞中央經(jīng)線為東經(jīng)150度，如果為了完態(tài)的表示海洋則可在大陸部分斷開。。

古德投影在國外出版的世界地圖集中的世界地圖經(jīng)常采用這種投影，如美國出版的古德世界地圖集中的世界各種自然地圖，大多采用古德投影

古德投影等差分緯線多圓錐投影

這個投影是由我國地圖出版社于1963年設計的一種不等分緯線的多圓錐投影。是我國編制“世界地圖”常用的一種投影。

等差分緯線多圓錐投影

這種投影的特點是赤道和中央緯線是互相垂直的直線，其他緯線是對稱于赤道的同軸圓弧，其圓心均在中央經(jīng)線上，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線，每一條緯線上各經(jīng)線間的間隔，隨離中央經(jīng)線距離的增大而逐漸縮小，按等差遞減。極點為圓弧，其長度為赤道的1/2。

等差分緯線多圓錐投影

這種投影的變形性質(zhì)屬任意投影。我國絕大部分地區(qū)的面積變形在10%以內(nèi)，面積比等于1的等變形線自東向西橫貫我國中部，中央經(jīng)線和緯線44度的交點處沒有角度變形。

等差分緯線多圓錐投影

我國境內(nèi)絕大部分地區(qū)的角度變形在10度以內(nèi)，少數(shù)地區(qū)在13度左右。我國位于地圖的中央部位，圖形較正確，圖形上太平洋保持完整，利于顯示我國與鄰近國家的水陸聯(lián)系。地圖出版社用這一投影編制過數(shù)種比例尺的世界政區(qū)圖和其他類型的世界地圖。

等差分緯線多圓錐投影世界地圖等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影）等角航線在墨卡托投影圖上表現(xiàn)為直線空間斜軸墨卡托投影在四維空間動態(tài)條件下建立的投影桑遜投影緯線為間隔相等的平行線，經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的正弦曲線2.4.1世界地圖常用投影2.4.2半球地圖常用投影橫軸等積方位投影又名蘭勃特（J.H.Lambert）方位投影，赤道和中央經(jīng)線為相互正交的直線，緯線為凸向并對稱于赤道的曲線，經(jīng)線為凹向并對稱于中央經(jīng)線的曲線。該投影圖上面積無變形，角度變形明顯。投影切點為無變形點，角度等變形線以切點為圓心，呈同心圓分布。離開無變形點愈遠，長度、角度變形愈大，到半球的邊緣，角度變形可達38°37′。橫軸等積方位投影常用于編制東、西半球地圖。東半球的投影中心為70°E與赤道的交點；西半球的投影中心為110°W與赤道的交點。2.4.2半球地圖常用投影橫軸等角方位投影橫軸等角方位投影又名球面投影、平射投影，是一種視點在球面，切點在赤道的完全透視的方位投影，又稱赤道投影，經(jīng)緯線網(wǎng)形狀與橫軸等積方位投影的經(jīng)緯線網(wǎng)相同。2.4.2半球地圖常用投影在變形方面，該投影沒有角度變形，但面積變形明顯。赤道上的投影切點為無變形點，面積等變形線以切點為圓心，呈同心圓分布。離開無變形點愈遠，長度、面積變形愈大，到半球的邊緣，面積變形可達400％。2.4.2半球地圖常用投影

正軸等距方位投影

等距方位投影屬于任意投影，它既不等積也不等角。投影后經(jīng)線保持正長，經(jīng)線上緯距保持相等。經(jīng)緯網(wǎng)的構成：緯線投影后為同心圓，經(jīng)線投影為交于緯線同心的直線束，經(jīng)線投影后保持正長，所以投影后的緯線間距相等。經(jīng)緯線投影后正交，經(jīng)緯線方向為主方向。角度、面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。2.4.2半球地圖常用投影在世界地圖集中，正軸等距方位投影多用于編制南北半球地圖和北極、南極區(qū)域地圖。2.4.2半球地圖常用投影2.4.3分洲、分國地圖常用投影分洲、分國地圖采用的投影以方位投影、圓錐投影和偽圓錐投影為主。斜軸等積方位投影投影面與橢球面相切于極地與赤道之間的任一點（投影中心）。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線為凹向并對稱于中央經(jīng)線的曲線；緯線為凹向極地的曲線。中央經(jīng)線上，緯線間距從投影中心向南、向北逐漸縮短。2.4.3分洲、分國地圖常用投影該投影沒有面積變形，中央經(jīng)線上的投影中心無變形，長度和角度變形隨著遠離投影中心而逐漸增加，等變形線為同心圓。主要用于編制亞洲、歐洲和北美洲等大區(qū)域地圖。中國政區(qū)圖可采用此投影，投影中心通常位于30°N，105°E2.4.3分洲、分國地圖常用投影正軸等角圓錐投影正軸圓錐投影的緯線為同心圓弧，經(jīng)線為放射性直線。無論變形性質(zhì)如何，只要是切圓錐投影，相切的緯線就是標準緯線，其長度比等于1，其他緯線的長度比均大于1；只要是割圓錐投影，相割的兩條緯線為標準緯線，其長度比為1。在兩條割線之內(nèi)，緯線長度比小于1，之外長度比大于1。2.4.3分洲、分國地圖常用投影由于緯線長度比是不可變的，為了使圓錐投影具有等角性質(zhì)，只能改變經(jīng)線長度比。正軸等角圓錐投影就是通過改變經(jīng)線長度比，并使經(jīng)線長度比等于緯線長度比而得到的。兩條標準緯線之外的緯線長度比大于1，為達到等角，經(jīng)線長度比必須相應同等增大；兩條標準緯線之內(nèi)，緯線長度比小于1，經(jīng)線長度比也必須相應同等縮小，達到等角目的。2.4.3分洲、分國地圖常用投影正軸等角圓錐投影又稱蘭勃特正形投影，應用很廣。我國新編百萬分之一地圖采用的就是該投影。除此以外，該投影還廣泛應用于我國編制出版的全國l：400萬、1：600萬掛圖，以及全國性普通地圖和專題地圖等。2.4.3分洲、分國地圖常用投影正軸等積圓錐投影,又稱亞爾勃斯投影（Albers′projection），亦是在正軸圓錐投影的基礎上，通過改變經(jīng)線長度比而得來的，但其經(jīng)線長度比與緯線長度比互為倒數(shù)，兩條標準緯線之外的緯線長度比大于1，為達到等積，經(jīng)線長度比相應同等縮短；兩條標準緯線之內(nèi)，緯線長度比小于1，為保持等積，經(jīng)線長度相應同等增加，達到等積目的。我國常用等積圓錐投影編制全國性自然地圖中的各種分布圖、類型圖、區(qū)劃圖以及全國性社會經(jīng)濟地圖中的行政區(qū)劃圖、人口密度圖、土地利用圖等。2.4.3分洲、分國地圖常用投影彭納投影彭納投影是法國水利工程師彭納1752年設計的一種等積偽圓錐投影。該投影的中央經(jīng)線為直線，其長度比等于1，其余經(jīng)線為凹向并對稱于中央經(jīng)線的曲線；緯線為同心圓弧，長度比等于1；同一條緯線上的經(jīng)線間隔相等，中央經(jīng)線上的緯線間隔相等，中央經(jīng)線與所有的緯線正交，中央緯線與所有的經(jīng)線正交，同緯度帶的球面梯形面積相等。2.4.3分洲、分國地圖常用投影彭納投影無面積變形，中央經(jīng)線和中央緯線是兩條沒有變形的線，離開這兩條線越遠，長度、角度變形越大。該投影常用于中緯度地區(qū)小比例尺地圖，如我國出版的《世界地圖集》中的亞洲政區(qū)圖（圖2.36），英國《泰晤士世界地圖集》中的澳大利亞與西南太平洋地圖，采用的都是彭納投影。2.4.3分洲、分國地圖常用投影2.4.4地形圖常用投影大、中比例尺的地形圖:

等角橫軸切橢圓柱投影，即

高斯——克呂格投影。小比例尺地形圖（1：100萬）:

等角圓錐投影投影特征分析分帶坐標網(wǎng)

高斯——克呂格投影高斯-克呂格投影演示

這個投影是德國數(shù)學家、天文學家高斯于1825年擬定，后經(jīng)德國大地測量學家克呂格于1912年對投影公式加以補充，故稱高斯——克呂格投影。.1投影分析經(jīng)緯網(wǎng)特征：

(1)中央經(jīng)線和赤道為垂直相交的直線，也是經(jīng)緯網(wǎng)圖形的對稱軸。

(2)經(jīng)線為對稱并凹向于中央經(jīng)線的曲線，緯線為對稱并凸向于赤道的曲線，經(jīng)緯線投影后正交，沒有角度變形。

(3)中央經(jīng)線上沒有長度變形，其余經(jīng)線的長度略大于球面實際長度，離中央經(jīng)線東西兩側(cè)愈遠，其變形愈大。（在赤道上，經(jīng)差為±3°，長度比為1.38%）。.1投影分析投影條件：1、中央經(jīng)線和赤道投影為平面直角坐標系的坐標軸。2、投影后無角度變形。3、中央經(jīng)線投影后保持長度不變。變形規(guī)律：

在同一緯線上，長度比隨經(jīng)度增大而增大；在同一經(jīng)線上，長度比隨緯度減小而增大。.1投影分析為了控制變形，采用分帶投影的辦法，規(guī)定1：2.5萬至1：50萬地形圖采用經(jīng)差6°分帶;1:1萬及更大的比例尺地形圖采用3°分帶。3°分帶法：從東經(jīng)1°30′算起，自西向東按經(jīng)差3°為一個投影帶，全球共分為120個帶，我國位于24——45帶。6°分帶法：從格林威治0°經(jīng)線（本初子午線），自西向東按經(jīng)差每6°為一投影帶，全球共分60個投影帶，依次編號為1——60。我國位于東經(jīng)72°——136°之間，共包括11個投影帶，即13——23帶。.2分帶每帶帶號與其中央經(jīng)線的經(jīng)度有如下關系：

6°帶中央經(jīng)度λ中=6°xn-3°3°帶中央經(jīng)度λ中=3°xn.2分帶6度帶3度帶6度帶：1：25000–1：500000系列比例尺地形圖3度帶：1：10000及大于1：10000比例尺地形圖.2分帶

地形圖上的坐標網(wǎng)

為了在地圖上迅速而準確的指示目標位置和確定方向，距離、面積等，高斯——克呂格投影的地圖上繪有兩種坐標網(wǎng)：地理坐標網(wǎng)（經(jīng)緯網(wǎng)）和直角坐標網(wǎng)（方里網(wǎng)）。

.3坐標網(wǎng)地理坐標網(wǎng)（經(jīng)緯線）

1：1萬——1：10萬比例尺的地形圖：每幅圖的內(nèi)圖廓為經(jīng)緯線，而圖內(nèi)不加繪經(jīng)緯線，經(jīng)緯度數(shù)值注記在內(nèi)圖廓的四角，在內(nèi)外圖廓間，還繪有黑白相間或僅用針線表示經(jīng)差、緯差1′的分度帶。需要時將對應點相連接，就可構成很密的經(jīng)緯網(wǎng)。

1：25萬——1：100萬地形圖：直接繪出經(jīng)緯網(wǎng)，有時還繪有加密經(jīng)緯網(wǎng)的加密分割線。緯度注記在東西內(nèi)外圖廓間，經(jīng)度注記在南北內(nèi)外圖廓間。.3坐標網(wǎng)直角坐標網(wǎng)坐標系的建立和起算

橫坐標本來應以中央經(jīng)線為0起算，以東為正，以西為負，但因坐標數(shù)值有正有負，不便于使用，所以，又規(guī)定凡橫坐標值均加500千米即等于將縱坐標軸向西移500千米，橫坐標從此起算則均為正值。直角坐標網(wǎng)是以每一投影帶的中央經(jīng)線為縱軸（X軸），赤道作為橫軸（Y軸），縱坐標以赤道為0起算，赤道以北為正，以南為負。我國位于北半球，縱坐標都是正值。.3坐標網(wǎng)1、將各帶的坐標縱軸西移500公里（坐標原點起算）

Y=y+500000m2、加上投影帶號（從本初子午線起算）。

Y通=n*1000000+Y.3坐標網(wǎng)直角坐標網(wǎng)的構成為應用方便，在圖上每隔1km、2km或10km繪出中央經(jīng)線和赤道的平行線，即坐標橫線或坐標縱線，便構成了圖面上的平面直角坐標網(wǎng)，又叫方里網(wǎng)。坐標的注記橫坐標注記在東西內(nèi)外圖廓間，由南向北增加（四位數(shù)）；縱坐標注記在南北內(nèi)外圖廓間，由西向東增加。地圖四角注有全部坐標數(shù)?？v坐標前兩位為帶號，其余只注最后兩位公里數(shù)。.3坐標網(wǎng)

1：10萬和更大的比例尺地形圖繪制方里網(wǎng)，其間隔規(guī)定如下表：比例尺圖上方里網(wǎng)間隔相應實地長度

1：1萬10cm1km1：2.5萬4cm1km1：5萬2cm1km1：10萬2cm2km.3坐標網(wǎng)198

1：100萬地形圖投影等角圓錐投影

分帶：緯差4度，經(jīng)差6度變形規(guī)律：沒有角度變形；兩條標準緯線上沒有任何變形；由于采用了分帶投影，每帶緯差較小，因此我國范圍內(nèi)的變形幾乎相等，最大長度變形不超過±0.03％（南北圖廓和中間緯線），最大面積變形不大于±0.06％。

等角圓錐投影2.5地圖投影的判別和選擇地圖投影的判別地圖投影的選擇2.5.1地圖投影的判別

地圖投影是地圖的數(shù)學基礎，它直接影響地圖的使用，如果在使用地圖時不了解投影的特性，往往會得出錯誤的結論。

目前國內(nèi)外出版的地圖，大部分都注明投影的名稱。有的還附有有關投影的資料，這對于使用地圖當然是很方便的。但是也有一些地圖沒注明投影的名稱和有關說明，因此，需要我們運用有關地圖投影的知識來判別投影。地圖投影的判別，主要是對小比例尺地圖而言，大比例尺地圖往往是屬于國家地形圖系列，投影資料一般易于查知。另外由于大比例尺地圖包括的地區(qū)范圍小，不管采用什么投影，變形都是很小的，使用時可忽略不計。2.5.1地圖投影的判別1.根據(jù)地圖上經(jīng)緯線的形狀確定投影類型。

首先對地圖經(jīng)緯線網(wǎng)作一般觀察，應用所學過的各類投影的特點確定其投影是屬于哪一類型，如是方位、圓柱、圓錐還是偽圓錐、偽圓柱投影等。2.5.1地圖投影的判別判別依據(jù)直線：直尺曲線：是否為圓弧可將透明紙覆蓋在曲線之上，在透明紙上沿曲線按一定間隔定出三個以上的點，然后沿曲線移動透明紙，使這些點位于曲線的不同位置，如這些點處處都與曲線吻合，則證明曲線是圓弧，否則就是其他曲線。2.5.1地圖投影的判別判別同心圓弧與同軸圓弧，則可以量測相鄰圓弧間的垂線距離，若處處相等則為同心圓弧，否則是同軸圓弧。正軸投影是最容易判斷的，如緯線是同心圓，經(jīng)線是交于同心圓的直線束，肯定是方位投影；如果經(jīng)緯線都是平行直線，則是圓柱投影；若緯線是同心圓弧，經(jīng)線是放射狀直線，則是圓錐投影。2.5.1地圖投影的判別由于正軸圓錐投影與正軸方位投影的經(jīng)緯線形狀有時可能完全相同，因此，在判別時，可以通過以下兩種方法來區(qū)分：一是量算相鄰兩條經(jīng)線的夾角是否與實地經(jīng)差相等。若相等則為方位投影，否則就是圓錐投影；二是分析制圖區(qū)域所處的地理位置。若制圖區(qū)域在極地一帶，則為正軸方位投影，若在中緯度地帶，則為圓錐投影。2.5.1地圖投影的判別2.根據(jù)圖上量測的經(jīng)緯線長度的數(shù)值確定其變形性質(zhì)當已確定投影的種類后，為了進一步判定投影性質(zhì)，量測和分析緯線間距的變化就能判定出投影的性質(zhì)。

2.5.1地圖投影的判別如確定為圓錐投影，那么只需量出一條經(jīng)線上緯線間隔從投影中心向南北方向的變化就可以判別變形性質(zhì)。通常，中央經(jīng)線上緯線間距的變化規(guī)律是確定投影變形性質(zhì)的重要標志。2.5.1地圖投影的判別2.5.1地圖投影的判別有些投影的變化性質(zhì)從經(jīng)緯線網(wǎng)形狀上分析就能看出，例如，經(jīng)緯線不成直角相交，肯定不會是等角性質(zhì)；在同一條緯度帶內(nèi)，經(jīng)差相同的各個梯形面積，如果差別較大當然不可能是等積投影；在一條直經(jīng)線上檢查相同緯差的各段經(jīng)線長度若不相等，肯定不是等距投影。如等角投影經(jīng)緯線一定是正交的，但經(jīng)緯線正交的投影不一定都是等角的。因此要把判別經(jīng)緯網(wǎng)形狀和必要的量算工作結合起來。即在中央經(jīng)線或其他經(jīng)線上選若干經(jīng)緯線交點，用分規(guī)量取這些交點在經(jīng)線和緯線方向上的一段長度，從制圖用表中查取地球橢球體上相應這一段經(jīng)線和緯線的弧長，并按地圖主比例尺計算相應的長度比或面積比或角度變形，依據(jù)等角、等積和等距投影的條件，判定投影的變形性質(zhì)，熟悉常用地圖投影的經(jīng)緯線形狀特征，掌握這些資料，將大大的有助于辨認各種投影。2.5.1地圖投影的判別2.5.2地圖投影的選擇這里所講的地圖投影選擇，主要是指中小比例尺地圖，不包括國家基本比例尺地圖。這是因為地形圖的投影由國家測繪主管部門統(tǒng)一確定。另外，編制小區(qū)域大比例尺地圖時，不論采用何種投影，變形都是很小的。在選擇地圖投影時，受到許多地圖因素的影響，這就需要正確處理好主要矛盾和次要矛盾的關系，綜合考慮多種因素及其相互影響。一般的講，在選擇投影時，需要考慮如下幾個條件：1.制圖區(qū)域的地理位置、形狀根據(jù)制圖區(qū)域的輪廓形狀選擇投影時，有一條基本的原則，即投影的無變形點或線應位于制圖區(qū)域的中心位置，等變形線盡量與制圖區(qū)域輪廓的形狀一致，從而保證制圖區(qū)域的變形分布均勻。

2.5.2地圖投影的選擇

制圖區(qū)域地理位置決定了所選擇投影的種類。

極地——

赤道附近——

中緯地區(qū)——正軸方位投影橫軸方位投影正軸圓錐投影或斜軸方位投影2.5.2地圖投影的選擇2.5.2地圖投影的選擇

2.制圖區(qū)域形狀直接制約地圖投影的選擇。中緯度地區(qū):

沿緯線方向延伸的長形區(qū)域——

沿經(jīng)線方向略窄，沿緯線方向略寬的長形區(qū)域——

沿經(jīng)線方向南北延伸的長形區(qū)域——

圓形區(qū)域——低緯赤道附近:

沿東西方向長條形區(qū)域——

圓形區(qū)域——單標準緯線正軸圓錐投影雙標準緯線正軸圓錐投影

多圓錐投影斜軸方位投影正軸圓柱投影橫軸方位投影

2.制圖比例尺和范圍不同比例尺地圖對精度的要求不同，導致投影選擇也不相同。制圖區(qū)域的范圍大小也影響到地圖投影的選擇。當制圖區(qū)域范圍不太大時無論選擇什么樣的投影，投影變形的空間分布差異也不會太大。

2.5.2地圖投影的選擇2.5.2地圖投影的選擇等積圓柱投影橫軸墨卡托投影摩爾維特（Mollweide）投影等面積偽圓柱投影，常用于編制小比例尺世界地圖桑遜投影等面積偽圓柱投影正射方位投影斜軸方位投影橫軸方位投影2.5.2地圖投影的選擇不同比例尺地圖，對精度要求不同，投影選擇不同。

以我國為例，大比例地形圖，量算及精確定位，選擇各方面變形都較小的地圖投影，如分帶投影的橫軸等角橢圓柱投影；中小比例尺的省區(qū)圖，定位精度相對降低，選擇正軸等角、等積、等距圓錐投影。

3.地圖內(nèi)容

地圖內(nèi)容不同對地圖投影要求也不一樣。2.5.2地圖投影的選擇

表現(xiàn)的主題和內(nèi)容:

交通圖，航海圖，航空圖——

自然地圖和社會經(jīng)濟地圖中的分布圖，類型圖，區(qū)劃圖——

世界時區(qū)圖——等角投影等積投影經(jīng)線投影成直線的正軸圓柱投影從精度要求上分析，用于精密量測的地圖，長度和面積變形通常不應大于±0.2％－0.4％，角度變形不應大于15′－30′；