第二章 命題邏輯

ACourseinLogic--進(jìn)入--邏輯學(xué)教程第二章命題邏輯第一節(jié)命題邏輯概述05二月20233命題（1）西南大學(xué)在重慶。（2）閃光的東西都是金子。（3）如果小王有作案動(dòng)機(jī)，那么他就會(huì)作案。上述（1）是真命題;而（2）、（3）是假命題。命題是通過(guò)語(yǔ)句來(lái)反映事物情況的思維形態(tài)。例如：命題的主要特征：命題有真假05二月20234命題和語(yǔ)句首先，有的語(yǔ)句不能直接表達(dá)命題，如：（1）西南大學(xué)在重慶嗎?（2）請(qǐng)把門(mén)關(guān)上！一般來(lái)講：陳述句與反詰句可以直接表達(dá)命題。其次，同一命題可以用不同的語(yǔ)句來(lái)表達(dá)，如：“所有的鳥(niǎo)都會(huì)飛”與“沒(méi)有鳥(niǎo)不會(huì)飛”表達(dá)了相同的命題。

此外，同一命題可用不同的民族語(yǔ)言的語(yǔ)句來(lái)表達(dá)。再次，同一語(yǔ)句，可以表達(dá)不同的命題，如：小張將書(shū)還給小王，因?yàn)樗丶伊恕?/p>

任何命題都是通過(guò)語(yǔ)句來(lái)表達(dá)的，但語(yǔ)句和命題并非一一對(duì)應(yīng)：05二月20235命題和判斷

一個(gè)命題是否能成為判斷，與斷定者的知識(shí)、立場(chǎng)等有關(guān)。如：“杜甫是偉大的詩(shī)人”能否被斷定就與斷定者的知識(shí)水平有很大關(guān)系。充分假言命題被斷定是前后件的關(guān)系，而不是支命題。如：“如果物體受到摩擦，那么物體發(fā)熱”這個(gè)命題，我們既沒(méi)有斷定“物體受到摩擦”，也沒(méi)有斷定“物體發(fā)熱”，我們所斷定的只是前件是后件的充分條件。判斷：就是被斷定者斷定了的命題。判斷的主要特征：有所斷定。05二月20236語(yǔ)句(直陳句和反詰句)有內(nèi)涵也有外延。語(yǔ)句的內(nèi)涵即它表達(dá)的命題。語(yǔ)句的外延即真、假這兩個(gè)真值。采用這種觀點(diǎn)的邏輯理論，稱為二值外延邏輯或經(jīng)典邏輯。我們所說(shuō)的命題，一般指這種或者為真，或者為假的抽象的語(yǔ)句。語(yǔ)句的內(nèi)涵和外延語(yǔ)句(直陳句和反詰句)有內(nèi)涵也有外延。語(yǔ)句的內(nèi)涵即它表達(dá)的命題。語(yǔ)句的外延即真、假這兩個(gè)真值。采用這種觀點(diǎn)的邏輯理論，稱為二值外延邏輯或經(jīng)典邏輯。邏輯學(xué)上所說(shuō)的命題，一般指這種或者為真或者為假的抽象語(yǔ)句。05二月20237命題的分類(lèi)模態(tài)命題命題非模態(tài)命題簡(jiǎn)單命題復(fù)合命題05二月20238命題分析的層次將聯(lián)結(jié)詞所聯(lián)結(jié)的命題作為一個(gè)完整的單位來(lái)看待

——研究關(guān)于聯(lián)結(jié)詞的推理(命題邏輯)深入到命題內(nèi)部，把命題分析為主項(xiàng)、謂項(xiàng)、量項(xiàng)和聯(lián)項(xiàng)

——研究關(guān)于量項(xiàng)和聯(lián)項(xiàng)的推理(傳統(tǒng)詞項(xiàng)邏輯)深入到命題內(nèi)部，把命題分析為個(gè)體詞、謂詞、量詞及聯(lián)結(jié)詞

——研究關(guān)于量詞的推理(現(xiàn)代謂詞邏輯)把命題中包含的模態(tài)詞分析出來(lái)

——研究關(guān)于模態(tài)詞的推理(模態(tài)邏輯)05二月20239推理的種類(lèi)非演繹推理推理演繹推理復(fù)合命題的推理類(lèi)比推理簡(jiǎn)單命題的推理歸納推理模態(tài)命題的推理溯因推理05二月202310

推理是由前提和結(jié)論組成的，前提和結(jié)論之間的關(guān)系稱為推出（推論、推理）關(guān)系。例如：小王既有缺點(diǎn)，又有優(yōu)點(diǎn)，所以，小王有優(yōu)點(diǎn)。在推理中，前提是“小王既有缺點(diǎn)，又有優(yōu)點(diǎn)”，結(jié)論是“小王有優(yōu)點(diǎn)”，“所以”標(biāo)志前提和結(jié)論之間的推出關(guān)系。

推理形式：p且q，所以，q。

邏輯學(xué)是從兩個(gè)方面來(lái)研究推理的：

(1)從前提和結(jié)論的真假方面進(jìn)行

(2)從前提和結(jié)論的形式方面進(jìn)行推出關(guān)系05二月202311自然演繹系統(tǒng)L自然演繹系統(tǒng)L:由形式語(yǔ)言L的初始符號(hào)、公式的形成規(guī)則、定義以及一組變形(推導(dǎo))規(guī)則所組成的。邏輯語(yǔ)形(語(yǔ)法)學(xué):研究符號(hào)與符號(hào)關(guān)系的邏輯理論。邏輯語(yǔ)義學(xué):研究符號(hào)及其解釋的邏輯理論，如:把p、q、r解釋為取真假值的命題變?cè)选?、∨、→解釋為真值集上的運(yùn)算，把p∧q、p∨q、p→q解釋為真值函數(shù)的表達(dá)式。05二月202312推出關(guān)系的雙重刻畫(huà)從語(yǔ)形方面來(lái)刻畫(huà)推出關(guān)系從語(yǔ)義方面來(lái)刻畫(huà)推出關(guān)系根據(jù)L的推理規(guī)則能夠從A1,A2,…，An推導(dǎo)出B；A1,A2,…，An├LB(n≥1);具有語(yǔ)法推出關(guān)系的推理稱為形式正確的推理；語(yǔ)形推出關(guān)系可表示為：

p∧q├Lq。如果在A1,A2,…，An為真的一切解釋C中B都是真的。A1,A2,…，Aｎ=C

B(n≥1);具有語(yǔ)義推出關(guān)系的推理稱為有效的推理；語(yǔ)義推出關(guān)系可表示為：

p∧q=Cq。小王既有缺點(diǎn)，又有優(yōu)點(diǎn)，所以，小王有優(yōu)點(diǎn)。05二月202313邏輯系統(tǒng)的可靠性和完全性如果有A1,A2,…,An├B當(dāng)且僅當(dāng)A1,A2,…，An

=B(n≥1)，我們就說(shuō)這樣的形式系統(tǒng)既可靠又完全。這樣的邏輯系統(tǒng)能保證從真前提推出真的結(jié)論，決不會(huì)推出假結(jié)論甚至邏輯矛盾。凡是從真前提推出真結(jié)論的推出關(guān)系都包含在這個(gè)邏輯系統(tǒng)中，在系統(tǒng)之外，沒(méi)有從真前提推出真結(jié)論的推出關(guān)系?？煽啃裕赫Z(yǔ)法推出關(guān)系都是語(yǔ)義推出關(guān)系。完全性：語(yǔ)義推出關(guān)系都是語(yǔ)法推出關(guān)系。推理的三種不同分析方法05二月202314直言命題推理復(fù)合命題推理量化命題推理直言命題推理05二月202315所有的S都是P所以，有些P是S所有的M都是P所以，所有的S都是P所有的S都是M復(fù)合命題推理05二月202316如果p則q所以，q如果非p則qP或者非p量化命題推理05二月202317有的學(xué)生尊敬所有的老師，所以，所有的老師都有人尊敬。第二章命題邏輯第二節(jié)復(fù)合命題及其推理05二月202319負(fù)命題(1)并非選修邏輯的學(xué)生都是文科生。(2)這個(gè)班的學(xué)生不都學(xué)英語(yǔ)。(3)如果它是三角形，則內(nèi)角和等于180°，這個(gè)觀點(diǎn)不對(duì)。注：負(fù)命題的支命題可以是簡(jiǎn)單命題，也可以是復(fù)合命題。負(fù)命題的形式:并非p（?p）負(fù)命題的邏輯性質(zhì)：負(fù)命題的真假與被否定的命題的真假是相反的。負(fù)命題是否定一個(gè)命題而形成的復(fù)合命題。例如：05二月202320負(fù)命題由于真值集合只有兩個(gè)元素{T,F}，因此，用列表的方式表示真值運(yùn)算最為方便、直觀。這種表稱為真值表。當(dāng)p在真值集合｛T，F(xiàn)｝上取真值后，

p的真值也唯一確定。所以，

p是p的函數(shù)，表達(dá)形式為f(p)=p，這種函數(shù)稱真值函數(shù)。的真值表如下：FT?pp

根據(jù)這個(gè)真值表，也可以給f(p)=p這個(gè)一元真值函數(shù)下如下定義：p為真當(dāng)且僅當(dāng)p為假；p為假當(dāng)且僅當(dāng)p為真。TF真值表的作用05二月202321負(fù)命題根據(jù)負(fù)命題的邏輯性質(zhì)，可對(duì)?p再否定得到??p，其真值與p相同，真值表如下：FTFTFT??p?pp由上真值表知，對(duì)任意公式A，有等值關(guān)系：A

??A負(fù)命題的推導(dǎo)規(guī)則:雙重否定引入規(guī)則（??+）：從A可推出A。圖示：A——??A雙重否定消去規(guī)則（??-）：從A可推出A。圖示：??A——A05二月202322聯(lián)言命題（1）小張歌唱得好并且舞跳得好。（2）這樣建立的邏輯系統(tǒng)既有可靠性，又有完全性。聯(lián)言命題的形式：p并且q（p∧q）。p稱為∧的左轄域，q稱為∧的右轄域。p∧q是二元真值函數(shù)：

f(p,q)=p∧q?！氖窃趦蓚€(gè)真值變?cè)猵和q上進(jìn)行運(yùn)算的二元運(yùn)算。聯(lián)言命題是由命題聯(lián)結(jié)詞“并且”聯(lián)結(jié)支命題而形成的復(fù)合命題，又稱合取命題。例如：05二月202323FFTFFTTTp∧qqp從上表可以得出聯(lián)言命題的邏輯性質(zhì)：當(dāng)p、q同時(shí)為真，p∧q為真；只要p、q其中一個(gè)為假，則p∧q為假。合取詞∧的真值表TFFF由∧的真值表,可得出∧運(yùn)算的規(guī)律:（1）∧的交換律：p∧qq∧p（2）∧的結(jié)合律：p∧(q∧r)(p∧q)∧r（3）∧的重言（冪等）律：p∧pp05二月202324合取引入規(guī)則（∧+）：從A和B可推出A∧B。圖示如下：AB——A∧B合取消去規(guī)則（∧-）：從A∧B可推出A，從A∧B可推出B。圖示如下：

A∧BA∧B

——

——BA小張喜愛(ài)音樂(lè)，小張喜愛(ài)體育，所以，小張不但喜愛(ài)音樂(lè)，也喜愛(ài)體育。根據(jù)∧+作出一個(gè)形式正確的推理，推理形式為：p,q├p∧q小張既有優(yōu)點(diǎn)，也有缺點(diǎn)，所以，小張是有優(yōu)點(diǎn)的。根據(jù)∧_作出一個(gè)形式正確的推理，推理形式為：p∧q├p。聯(lián)言命題的推導(dǎo)規(guī)則05二月202325選言命題(1)李明或者是詩(shī)人，或者是小說(shuō)家。(2)要么武松打死老虎，要么老虎吃掉武松。選言命題的種類(lèi)：一、相容的選言命題二、不相容的選言命題

選言命題用“或者”、“要么”等命題聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)支命題而形成的復(fù)合命題，例如：05二月202326一、相容選言命題及其推理(1)小王或者是班干部，或者是學(xué)生會(huì)干部(二者可以得兼)。(2)這份統(tǒng)計(jì)材料，或者是原始材料有錯(cuò)誤，或者是計(jì)算有錯(cuò)誤，或者兩種情況都存在。相容選言命題的形式：p或者q(p∨q)相容選言命題邏輯特征：相容選言命題為真，它的選言支至少有一個(gè)為真，反過(guò)來(lái)講，選言命題至少有一個(gè)選言支為真，則選言命題為真。相容選言命題又稱弱析取命題，是用“或者”聯(lián)結(jié)支命題而形成的選言命題，例如：05二月202327一、相容選言命題及其推理∨的真值表∨的運(yùn)算規(guī)律FFTFFTTTp∨qqp(1)∨的交換律：p∨qq∨p，(2)∨的結(jié)合律：p∨(q∨r)(p∨q)∨r,(3)∨的重言律：p∨p

p。TFTT05二月202328一、相容選言命題及其推理∧和∨的混合運(yùn)算規(guī)律

(1)∧對(duì)∨的分配律:p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)。

(2)∨對(duì)∧的分配律：

p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)。

(3)吸收律：

p∧(p∨q)p；

p∨(p∧q)p。

(4)德·摩根律：

?(p∧q)

?p∨?q；

?(p∨q)?p∧?q。05二月202329一、相容選言命題及其推理用真值表檢驗(yàn)德·摩根律：從上真值表，可得：?(p∧q)<=>?p∨?q應(yīng)用德·摩根律的實(shí)例:

并非這件衣服物美(而且)價(jià)廉這件衣服或者物不美，或者價(jià)不廉。并非小李或者喜歡音樂(lè)，或者喜歡體育小李既不喜歡音樂(lè)，也不喜歡體育。TTFTTFFTTFFTTFTTFTFFTFFTFFTTp∨q(p∧q)p∧qqpqp05二月202330一、相容選言命題及其推理析取消去規(guī)則(∨－)從A∨B和?A可推出B；從A∨B和?B可推出A。A∨BA∨B?B?A——

——AB析取消去規(guī)則應(yīng)用實(shí)例：或者李某是嫌疑犯，或者王某是嫌疑犯(或者二者都是)；李某不是嫌疑犯；所以，王某是嫌疑犯。其推理形式為：

p∨q,?p├q肯定一部分選言支，不能否定另一部分選言支。下述推理形式均錯(cuò)誤：A∨B,A├?B；A∨B，B├?A規(guī)則：否定一部分選言支，就要肯定其余的選言支。05二月202331一、相容選言命題及其推理析取引入規(guī)則(記為∨＋)：

析取引入規(guī)則(記為∨＋)：從A可推出A∨B；從B可推出A∨B。AB————A∨BA∨B05二月202332二、不相容選言命題及其推理(1)魚(yú)，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼。(2)要么選老王當(dāng)村長(zhǎng)，要么選小李當(dāng)村長(zhǎng)。不相容選言命題是用“要么”聯(lián)結(jié)兩個(gè)支命題構(gòu)成的選言命題，例如：形式：要么p,要么q（pq）q＝df(p∨q)∧(p∧q)p05二月202333二、不相容選言命題及其推理FFTFFTTTpqqp的真值表的運(yùn)算規(guī)律的交換律：pqqP(qr)(pq)的結(jié)合律：prFTTF05二月202334二、不相容選言命題及其推理消去規(guī)則(記為_(kāi)):從AB和A可推出B；從AB和B可推出A；ABA——BABB——A從AB和

A可推出B；從AB和

B可推出A；AB

A——BAB

B——A05二月202335假言命題（1）如果寒潮到來(lái)，那么氣溫就會(huì)下降。（2）只有你去，我才放心。（3）人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人。由“如果”、“只有”引出的支命題稱為前件，由“那么”、“才”引出的支命題稱為后件。假言命題的種類(lèi)一、充分條件假言命題二、必要條件假言命題三、充分必要條件假言命題

假言命題是由“如果，那么”、“只有，才”、“當(dāng)且僅當(dāng)”等聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)兩個(gè)支命題而形成的復(fù)合命題，例如：05二月202336假言命題的種類(lèi)一、充分條件假言命題(1)只要你不斷地堅(jiān)持鍛煉，你的身體就會(huì)康復(fù)。(2)假如語(yǔ)言能創(chuàng)造財(cái)富，那么，夸夸其談的人就會(huì)成為世界上最富有的人。

充分條件假言命題的形式：如果p，那么q(p→q)在蘊(yùn)涵式p→q中，p稱為→的前件(左轄域)，q稱為→的后件(右轄域)。充分條件假言命題亦稱條件命題或者實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵命題,是用“如果，那么”等聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)前、后件形成的假言命題，例如：05二月202337假言命題的種類(lèi)→的真值表

充分條件假言命題的邏輯性質(zhì)是：除了前件為真而后件為假時(shí)充分條件假言命題是假的之外,其它情況下,充分條件假言命題都是真的。FFTFFTTTp→qqpTTTF05二月202338假言命題的種類(lèi)二、必要條件假言命題(1)只有由細(xì)菌引起的疾病，才能用抗生素治療。(2)我不去，除非你去。必要條件假言命題的形式：只有p,才q(p←q)用“只有，才”聯(lián)結(jié)前、后件形成的假言命題，例如：在蘊(yùn)涵式p←q中，p稱為←的前件(左轄域)，q稱為←的后件(右轄域)。05二月202339假言命題的種類(lèi)←的真值表必要條件假言命題的邏輯性質(zhì)是：除了前件為假而后件為真時(shí)充分條件假言命題是假的之外,其它情況下,充分條件假言命題都是真的。pqp←qTTTTFTFTFFFT05二月202340假言命題的種類(lèi)三、充分必要條件假言命題(1)a和b平行,當(dāng)且僅當(dāng)它們的同位角相等。(2)人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。充要條件假言命題的形式：p當(dāng)且僅當(dāng)q(pq)在充要條件式pq中，稱p為的前件(左轄域)，稱q為的后件(右轄域)。充分必要條件假言命題又稱雙條件命題，簡(jiǎn)稱充要條件假言命題，是用“當(dāng)且僅當(dāng)”作為聯(lián)結(jié)詞的命題，例如：05二月202341假言命題的種類(lèi)的真值表的邏輯性質(zhì)：當(dāng)p和q的真值相同時(shí)，pq的真值為真；當(dāng)p和q的真值不相同時(shí)，pq的真值為假。FFTFFTTTp

qqpFFTT05二月202342→、←、的運(yùn)算規(guī)律（１）→的定義：p→q=df(p∧q)（２）←的定義：p←q=df(p∧q)（３）pq的定義：pq＝df(p→q)∧(p←q)（４）←轉(zhuǎn)換為→：p←qq→pp←qp→q（5）蘊(yùn)析律：p→qp∨q（6）假言易位律：p→qq→ppqqppqqp(7)對(duì)→的否定：(p→q)p∧q(8)對(duì)←的否定：(p←q)p∧q(9)對(duì)的否定：(pq)(p→q)∨(q→p) (pq)pq (pq)pq (pq)p∨q (pq)(p∧q)∨(p∧q)05二月202343關(guān)于→的推理規(guī)則(1)蘊(yùn)涵消去規(guī)則,也稱分離規(guī)則(略縮為M.P.)或肯定前件式(記為→_)從A→B和A可推出B。圖示：A→BA——B(2)否定后件式(略縮為M.T.)

從A→B和B可推出A。圖示：

A→B

B——

A規(guī)則：肯定前件就要肯定后件規(guī)則：否定后件就要否定前件05二月202344關(guān)于→的推理規(guī)則的應(yīng)用（1）如果甲方付給了定金,乙方就得按時(shí)發(fā)貨。甲方已付給了定金。所以乙方得按時(shí)發(fā)貨。其推理形式為：p→q，p├q（2）如果這部電影受觀眾歡迎，那么買(mǎi)票的人就多。買(mǎi)票的人不多。所以這部電影不受觀眾歡迎。其推理形式為：p→q,q├p05二月202345案例：下列語(yǔ)句序列是否包含推理？是何推理？并分析其推理的形式正確與否？（1）這輛違章車(chē)還沒(méi)交清罰款，（因此，）不能給它辦理年檢手續(xù)。（2）A:走，我們?nèi)タ纯刺泼?。B:唐明不在家。A:你怎么知道的？B:如果他在家，他的汽車(chē)會(huì)停在他家門(mén)口。但是，我來(lái)時(shí)看到，他的汽車(chē)沒(méi)有停在他家門(mén)口。（3）既然你非知道不可，我就把這件事情告訴你吧。（4）吃了飯從來(lái)不給錢(qián)，這不是土匪嗎？（5）假如中醫(yī)沒(méi)有用，那么病人為什么愿意找中醫(yī)看病呢？05二月202346關(guān)于→的推理的錯(cuò)誤應(yīng)用在日常思維中，關(guān)于→的推理，容易發(fā)生的錯(cuò)誤是：從A→B和B推出A；從A→B和

A推出

B。例如如是小K是持槍殺人兇手，那么他肯定有槍。小K有槍。所以，他是持槍殺人兇手。如是小K是持槍殺人兇手，那么他肯定有槍。小K不是持槍殺人兇手。所以，他肯定沒(méi)有槍。為避免錯(cuò)誤，制定了這樣的規(guī)則：肯定后件不能肯定前件；否定前件不能否定后件。05二月202347邏輯趣話：“殺不殺豬”曾妻：“你在家好好念書(shū)，我回來(lái)后就殺豬燉肉給你吃。”05二月202348邏輯趣話：“我要嫁給希特勒”“假如要你在兩個(gè)人中選擇一個(gè)做你的終身伴侶，你會(huì)選擇誰(shuí)？這兩個(gè)人，一個(gè)是波蘭大音樂(lè)家肖邦，一個(gè)是法西斯頭子希特勒！”“我要嫁給希特勒！”05二月202349(2)肯定后件規(guī)則:從A←B和B可推出A

圖示：

A←

BB——A(1)否定前件規(guī)則:從A←B和A可推出B圖示：A←

BA——B規(guī)則：否定前件就要否定后件規(guī)則：肯定后件就要肯定前件關(guān)于←的推理規(guī)則的應(yīng)用05二月202350關(guān)于←的推理規(guī)則應(yīng)用(1)只有你學(xué)習(xí)努力，才能取得好成績(jī)。你學(xué)習(xí)不努力，所以，你不能取得好成績(jī)。其推理形式為：p←q，p├q(2)除非發(fā)生了意外情況，這趟列車(chē)不會(huì)停在這個(gè)地方。它既然停在這個(gè)地方，可見(jiàn)，發(fā)生了意外情況。其推理形式為：p←q,q├p05二月202351關(guān)于←的推理的錯(cuò)誤應(yīng)用在日常思維中，關(guān)于←的推理的錯(cuò)誤應(yīng)用，容易發(fā)生的錯(cuò)誤是:從A←B和A推出B；從A←B和

B推出

A。例如:

只有小A在作案現(xiàn)場(chǎng)，他才是殺人兇手。有人證明小A在作案現(xiàn)場(chǎng)，所以，小A是殺人兇手。只有小A在作案現(xiàn)場(chǎng)，他才是殺人兇手。小A不是殺人兇手，所以，小A不在作案現(xiàn)場(chǎng)。為避免錯(cuò)誤，制定了這樣的規(guī)則：肯定前件不能肯定后件；否定后件不能否定前件。05二月202352關(guān)于的推理規(guī)則(1)等值引入規(guī)則(記為+)：從A→B和B→A可推出AB。圖示：A→BB→A——AB(2)等值消去規(guī)則(記為－)：從AB可推出A→B；從AB可推出B→A。圖示：AB——A→BAB——B→A05二月202353其他常見(jiàn)的推理1.假言易位推理：

A→B├┤B→A；A→B├┤B→A；A→B├┤B→A2.二難推理：簡(jiǎn)單構(gòu)成式：A→C,B→C,A∨B├C

復(fù)雜構(gòu)成式：A→C,B→D,A∨B├C∨D

簡(jiǎn)單破壞式：A→B,A→C,B∨C├A

復(fù)雜破壞式：A→C,B→D,C∨D├A∨B3.假言三段論：A→B，B→C├A→C4.反三段論：(A∧B)→C├┤(A∧C)→B

(A∧B)→C├┤(B∧C)→A5.反證法：A→B，A→B├A6.歸謬法：A→B，A→B├A05二月202354二難推理構(gòu)造反二難推理

所謂構(gòu)造反二難推理，就是承認(rèn)選言的小前提，但改變大前提，從而引出矛盾的結(jié)論，使對(duì)方處于同樣的二難困境。05二月202355據(jù)說(shuō)古希臘智者普羅泰哥拉曾招收一位名叫歐提勒士的的學(xué)生跟他學(xué)訴訟。兩人訂有契約：歐提勒士畢業(yè)時(shí)付給普羅泰哥拉一半學(xué)費(fèi)，另一半學(xué)費(fèi)等歐提勒士第一次出庭打贏官司時(shí)付清。但是，歐提勒士畢業(yè)后并不出庭打官司，普羅泰哥拉等的不耐煩，訴諸法庭，向歐提勒士提出：

假若我打贏這官司，根據(jù)判決你要付另一半學(xué)費(fèi)

假若我輸了這官司，根據(jù)契約你也要付另一半學(xué)費(fèi)

或者我贏了這官司，或者我輸了這官司

所以，你都要付另一半學(xué)費(fèi)

05二月202356歐提勒士對(duì)普羅泰哥拉提出以下的反訴：

假若我打贏這官司，根據(jù)判決我不該付另一半學(xué)費(fèi)

假若我輸了這官司，根據(jù)契約我也不該付另一半學(xué)費(fèi)

或者我贏了這官司，或者我輸了這官司

所以，我都不該付另一半學(xué)費(fèi)

歐提勒士在這里提出的反訴是有效的，其內(nèi)在的邏輯依據(jù)是：

如果普羅泰哥拉那樣的推論有效，則歐提勒士的推論也有效；如果歐提勒士的推論無(wú)效，則普羅泰哥拉的推論也無(wú)效。但是，這并不意味著普羅泰哥拉的立論是正確的。普羅泰哥拉利用雙重標(biāo)準(zhǔn)講歪理，歐提勒士則利用雙重標(biāo)準(zhǔn)反駁歪理，論證的立場(chǎng)不同，從而決定普羅泰哥拉作了一個(gè)不正確的推論，歐提勒士則作了一個(gè)有效的反駁。這一著名的案例就是“半費(fèi)之訟”。05二月202357思考：1.上帝萬(wàn)能悖論如果上帝可以創(chuàng)造一塊他舉不起的大石頭，那么他不是萬(wàn)能的

如果上帝不能創(chuàng)造一塊他舉不起的大石頭，那么他也不是萬(wàn)能的

上帝要么能夠創(chuàng)造這塊石頭，要么不能創(chuàng)造這塊石頭

所以，上帝不是萬(wàn)能的

2.伊壁鳩魯悖論

如果是上帝想阻止“惡”而阻止不了，那么上帝就是無(wú)能的

如果是上帝能阻止“惡”而不愿阻止，那么上帝就是壞的

如果是上帝既不想阻止也阻止不了“惡”，那么上帝就是既無(wú)能又壞

如果是上帝既想阻止又能阻止“惡”，那為什么我們的世界充滿了“惡”呢05二月2023583.尋找真理一人在尋找真理，別人問(wèn)他：“你真的不知道真理是什么嗎？”那個(gè)人說(shuō)：“當(dāng)然！”別人又問(wèn)：“你既然不知道真理是什么，當(dāng)你找到真理的時(shí)候，你又如何辨別出來(lái)呢？”“如果你辨別得出真理與否，那說(shuō)明你已經(jīng)知道了真理是什么，又何來(lái)尋找呢？”

這個(gè)二難推理的形式如下：

如果你不知道真理是什么，你就無(wú)法辨別出真理，那么你就不必尋找真理

如果你能辨別出真理，你就已經(jīng)知道了真理是什么，那么你也不必尋找真理

或者你知道真理是什么，或者你不知道真理是什么

所以，你都不必尋找真理05二月202359二難推理及其有效式基本定義：二難推理（dilemma)是由兩個(gè)假言命題和一個(gè)二支的選言命題做前提構(gòu)成的推理。從二難推理的原理來(lái)說(shuō)，它不屬于新的推理種類(lèi)，而是假言推理和選言推理的綜合運(yùn)用。

2.伊壁鳩魯悖論

如果是上帝想阻止“惡”而阻止不了，那么上帝就是無(wú)能的

如果是上帝能阻止“惡”而不愿阻止，那么上帝就是壞的

如果是上帝既不想阻止也阻止不了“惡”，那么上帝就是既無(wú)能又壞

如果是上帝既想阻止又能阻止“惡”，那為什么我們的世界充滿了“惡”呢05二月2023601.簡(jiǎn)單構(gòu)成式（simpleconstructive）“如果p，則q”并且“如果r，則q”

p或者r

所以q

其邏輯形式為：[(p→q)∧(r→q)∧(p∨r)]→q

如果刺激老虎，那么它是要吃人的

如果不刺激老虎，它也是要吃人的

或者刺激老虎，或者不刺激老虎

所以，老虎總是要吃人的05二月2023612.復(fù)雜構(gòu)成式（complerconstructive）“如果p，則q”并且“如果r，則s”

p或者r

所以q或者s

其邏輯形式為：[(p→q)∧(r→s)∧(p∨r)]→(q∨s)

如果孫悟空打死妖怪，那么唐僧就會(huì)將他趕走

如果孫悟空不打死妖怪，那么唐僧就會(huì)被妖怪吃掉

孫悟空打死妖怪，或者他不打死妖怪

所以，不是孫悟空被唐僧趕走，就是唐僧被妖怪吃掉

05二月2023623.簡(jiǎn)單破斥式（simpledestructive）“如果p，則q”并且“如果p，則r”

非q或者非r

所以非p

其邏輯形式為：[(p→q)∧(p→r)∧(┐q∨┐r)]→┐p

如果夏洛克履行契約，就必須割下安東尼奧的一塊肉

如果夏洛克履行契約，就不能讓安東尼奧流一滴血

或者不割安東尼奧的肉，或者讓安東尼奧流血

所以，夏洛克不能履行契約05二月2023634.復(fù)雜破斥式（complerdestructive）“如果p，則q”并且“如果r，則s”

非q或者非s

所以，非p或者非r

其邏輯形式為：[(p→q)∧(r→s)∧(┐q∨┐s)]→(┐p∨┐r)

如果子孫賢能而為他們多留財(cái)產(chǎn)，則會(huì)使他們喪失志氣

如果子孫愚笨而為他們多留財(cái)產(chǎn)，則會(huì)使他們?cè)黾舆^(guò)錯(cuò)

為了不使子孫喪失志氣，或者不使子孫增加過(guò)錯(cuò)

所以，無(wú)論子孫賢能或者愚笨，都不為他們多留財(cái)產(chǎn)05二月202364擺脫兩難困境二難推理的主要特征通過(guò)小前提所提供的非此即彼或亦此亦彼的選擇而體現(xiàn)出來(lái)，因而，如果能突破小前提的限制，就能擺脫不利的結(jié)論。這就叫做擺脫進(jìn)退維谷的困境。

如何突破小前提的限制？主要有兩種方法：一種是指出在p或者r這兩個(gè)選言支以外，還有第三種選言情況存在，這樣便瓦解了小前提的限制。另一種是指出p或者r進(jìn)行選擇的一個(gè)無(wú)法滿足的先決條件，由于這個(gè)先決條件的無(wú)法滿足而瓦解了小前提的限制。

05二月202365（1）學(xué)生宿舍區(qū)飲食管理委員會(huì)認(rèn)為，快餐店的零售價(jià)格足夠高了，因此，他們通知持有零售快餐許可證的快餐店，要保持目前的價(jià)格不變，否則將被吊銷(xiāo)營(yíng)業(yè)執(zhí)照。

通知給快餐店設(shè)置了一個(gè)兩難選擇，要么保持價(jià)格不變，要么吊銷(xiāo)營(yíng)業(yè)執(zhí)照。面對(duì)這個(gè)似乎是非此即彼的二難選擇，減少快餐的分量這個(gè)第三者便是一個(gè)反例，它使這個(gè)二難選擇不能成立。05二月202366（2）伊索的主人酒醉狂言，發(fā)誓要喝干大海，并以他的全部財(cái)產(chǎn)和管轄的奴隸作賭注。次日醒來(lái)，發(fā)覺(jué)失言，但全城的人都早已得知此事。這時(shí)主人陷入以下的二難困境：

如果實(shí)現(xiàn)諾言，就要喝干大海

如果不實(shí)現(xiàn)諾言，就會(huì)失信于人

或者實(shí)現(xiàn)諾言，或者不實(shí)現(xiàn)諾言

所以，或者喝干大海，或者失信于人

面對(duì)這個(gè)二難的困境，主人聽(tīng)從了伊索的計(jì)策，到海邊對(duì)圍觀的人說(shuō)：“不錯(cuò)，我要喝干大海，但是現(xiàn)在千百萬(wàn)條江河不停地流入大海，誰(shuí)能把河水與海水的界限分開(kāi)，我保證喝干大海。”伊索為主人指出了進(jìn)行二難選擇的先決條件，即把河水與海水分開(kāi)，由于這個(gè)條件無(wú)法滿足，因而破解了二難的困境。第二章命題邏輯第三節(jié)：

命題邏輯的自然演繹系統(tǒng)NP05二月202368自然演繹系統(tǒng)NP

命題邏輯的自然演繹系統(tǒng)NP是由形式語(yǔ)言L′和一組推導(dǎo)（變形）規(guī)則構(gòu)成的。其中形式語(yǔ)言L′包括初始符號(hào)、形成規(guī)則和定義。一、初始符號(hào)(1)甲類(lèi)符號(hào)：p1,p2,p3,…；(2)乙類(lèi)符號(hào)：，∧，∨，→；(3)丙類(lèi)符號(hào)：(，)。這些符號(hào)構(gòu)成的有窮長(zhǎng)的序列叫做符號(hào)串，例如:p,p∧q，p∨q,p→q；(p∧q)→r，p∧(q→r)，…

構(gòu)建命題邏輯的形式系統(tǒng)，可以采用公理化方法，也可采用自然演繹的方法。為接近人們?nèi)粘Ｋ季S的實(shí)踐，x現(xiàn)采用自然演繹的方法來(lái)構(gòu)建命題邏輯的一個(gè)形式系統(tǒng)NP。05二月202369自然演繹系統(tǒng)NP二、形成規(guī)則(1)任何單個(gè)的命題變?cè)猵是合式公式；(2)如果A是合式公式，則A是合式公式；(3)如果A和B是合式公式，則A∧B、A∨B、A→B是合式公式；只有（1）----（3）形成的符號(hào)串是合式公式。三、定義：用來(lái)表示縮寫(xiě)的，定義兩邊的符號(hào)串可以相互代替。如：(AB)=df(A→B)∧(B→A)。形式語(yǔ)言L′的全體合式公式記為Form(L′)。形式語(yǔ)言L′是我們的研究對(duì)象，叫對(duì)象語(yǔ)言。討論對(duì)象語(yǔ)言的語(yǔ)言叫元語(yǔ)言或語(yǔ)法語(yǔ)言。05二月202370形成規(guī)則的作用（1）以遞歸的方式定義合式公式。（2）提供一種能行、可判定的方法判定任一符號(hào)串是不是合式公式。（3）檢驗(yàn)合式公式的性質(zhì)。如:(((p∨q)∧(p))→q)的形成過(guò)程是：p，q，(p∨q)，(p)，((p∨q)∧(p))，q，(((p∨q)∧(p))→q)。這個(gè)字符串是反復(fù)運(yùn)用形成規(guī)則而形成的，因此它是合式公式。05二月202371合式公式的子公式合式公式的子公式：在生成合式公式的過(guò)程中，每一步所生成的公式。

A的子公式是A和A；A∧B的子公式是A、B和A∧B；A∨B的子公式是A、B和A∨B；A→B的子公式是A、B和A→B。如：p，q，（p∨q），(p)，((p∨q)∧(p))，(((p∨q)∧(p))→q)都是(((p∨q)∧(p))→q)的子公式。主聯(lián)結(jié)詞：轄域最大的聯(lián)結(jié)詞。(((p∨q)∧(p))→q)的主聯(lián)結(jié)詞是→。省略括號(hào)的約定：(1)公式最外層的括號(hào)可以省略。(2)聯(lián)結(jié)詞的結(jié)合力依下列次序遞減：，∧，∨，→，。如：(((p∨q)∧(p))→q)可簡(jiǎn)記為(p∨q)∧p→q。05二月202372NP系統(tǒng)的推導(dǎo)規(guī)則1.合取引入規(guī)則(記為∧+)：從A和B推出A∧B；2.合取消去規(guī)則(記為∧_):

從A∧B推出A；從A∧B推出B；3.析取引入規(guī)則(記為∨+)：從A推出A∨B；從B推出A∨B；4.析取消去規(guī)則(記為∨_(tái)):

從A∨B和A推出B；從A∨B和B推出A；5.蘊(yùn)涵引入規(guī)則(記為→+)：如果從公式集Γ和A推出B，則從Γ推出A→B；6.蘊(yùn)涵消去規(guī)則(記為→_)：從A→B和A推出B；7.否定消去規(guī)則(記為_(kāi))：如果從Γ和A推出B∧B，則從Γ推出A。又稱條件證明規(guī)則或演繹定理，是把從Γ推出A→B的推理轉(zhuǎn)化為從Γ和臨時(shí)的假設(shè)A推出B的推理。(即移出律)又稱間接證明或反證法，是把由Γ推出A的推理轉(zhuǎn)化為由Γ和臨時(shí)的假設(shè)A推出B∧B的推理。05二月202373有前提的形式推演

一個(gè)有窮的公式序列B1,B2,…，Bm是從前提集Γ(Γ不是空集)到結(jié)論B的有前提的形式推演，如果每一個(gè)公式Bi(1≤i≤m)滿足以下條件之一：

(1)Bi∈Γ(即Bi是前提集Γ中的一個(gè)公式)；

(2)Bi是一個(gè)據(jù)→+或-臨時(shí)引入的假設(shè)；

(3)Bi是該序列中在前的若干公式應(yīng)用NP系統(tǒng)的推導(dǎo)規(guī)則得到的公式；

(4)B=Bm。則我們稱Γ和B具有語(yǔ)法推出關(guān)系，B從Γ中可演繹的，或者說(shuō)，從Γ可以推出B，記為：Γ├NPB。05二月202374NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系

我們以T1，T2，…來(lái)給由基本推導(dǎo)規(guī)則確立的語(yǔ)法推論關(guān)系的編號(hào)，用(1)，(2)，…

，(m)給形式推理過(guò)程中的公式序列中的每一個(gè)公式編號(hào)。T1A├A(肯定前提)(1)A前提A既是該序列的第1個(gè)公式，也是第m個(gè)公式(m=1)。T2A，B├A(肯定前提)T3A，B├B(1)AA1(2)BA2B是第2個(gè)公式，也是第m個(gè)公式(m=2)。05二月202375NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T4A，B├A∧BT5(a)A∧B├AT5(b)A∧B├BT6(a)A├A∨BT6(b)B├A∨BT7(a)A∨B,A├BT7(b)A∨B,B├AT8A→B,A├B05二月202376NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T8:A→B,A├B(1)A→BA1(2)AA2(3)B(1)，(2)，→_T9

(假言三段論，記為H.S.)：A→B，B→C├A→C(1)A→BA1(2)B→CA2(3)AH1(→+的假設(shè))(4)B(1)，(3)，→_(5)C(2)，(4)，→_(6)A→C(3)—(5)，→+(消去H1)05二月202377NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T10(雙重否定消去規(guī)則，記為_(kāi))：A├A(1)AA(2)AH（_的假設(shè)）

(3)A∧A(1)，(2)，∧+(4)A(2)—(3)，_(消去H)T11(雙重否定引入規(guī)則，記為+):A├A(1)AA(2)AH（_的假設(shè)）

(3)A(2)

，_(4)A∧A(1)，(3)，∧+(5)A(2)—(4)，_（消去H）05二月202378NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T12A，Ａ├

B

T13Ａ，A├B只證T12：(1)AA1(2)AA2(3)A∨B(1),∨+(4)B(3)，(2)，∨_(tái)T14A→B，A→B├A(歸謬法，記為+)(1)A→BA1(2)A→BA2(3)AH1(_的假設(shè))(4)A(3)，_(5)B(1)，(4)，→_(6)B(2)，(4)，→_(7)B∧B(5)，(6)，∧+(8)A(3)—(7)，_（消去H1）05二月202379NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T15(a)A→B├B→A(假言易位)T15(b)B→A├A→B只證T１5(a)：(1)A→BA(2)BH1（→+的假設(shè)）

(3)AH2(_的假設(shè))(4)A(3)，_(5)B(1)，(4)，→_(6)B∧B(2)，(5)，∧+(7)A(3)—(6)，_（消去H2）(8)B→A(2)—(7)，→+（消去H1）T15(c)A→B├┤B→AT15(d)A→B├┤B→A05二月202380NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系可證等價(jià)關(guān)系也稱演繹等值關(guān)系,如果A├B且B├A，A和B就具有可證等價(jià)關(guān)系，記為A≡B。據(jù)T15(a)和T15(b)，有如下可證等價(jià)關(guān)系：

A→B≡B→A?？勺C等價(jià)置換規(guī)則(記為R．P．)：如果A≡B，則在A出現(xiàn)的公式C中(即A是C的子公式)，可以用B代替A，在B出現(xiàn)的公式C中(即B是C的子公式)，可以用A代替B。05二月202381NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T16A→B，B├A(否定后件,記為M.T.)(1)A→BA1(2)BA2(3)B→A(1)，R．P．(4)A(2)，(3)，→_T17A∨B，A→C，B→C├C(二難推理,記為D.C.)(1)A∨BA1(2)A→CA2(3)B→CA3(4)CH1（_的假設(shè)）

(5)A(2)，(4)，M．T．

(6)B(1)，(5)，∨_(tái)(7)C(3)，(6)，→_(8)C∧C(4)，(7)，∧+(9)C(4)—(8)，_（消去H1）05二月202382NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T18(a)

(A∧B)├┤A∨B(記為DeM.)T18(b)(A∨B)├┤A∧B(記為DeM.)T19(a)(A∨B)├AT19(b)(A∨B)├BT20(a)A├(A∧B)T20(b)B├(A∧B)05二月202383NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T18(a)

(A∧B)├┤A∨B的證明先證(A∧B)├A∨B:(1)(A∧B)A(2)(A∨B)H1(_的假設(shè))(3)AH2(_的假設(shè))(4)A∨B(3)，∨+(5)(A∨B)∧(A∨B)(2),(4),∧+(6)A(3)—(5),_(消去H2)(7)BH3(_的假設(shè))(8)A∨B(7)，∨+(9)(A∨B)∧(A∨B)(2)，(8)，∧+(10)B(7)—(9)，_(消去H3)(11)A∧B(6)，(10),∧+(12)(A∧B)∧(A∧B)(1)，(11),∧+(13)A∨B(2)—(12)，_(消去H1)05二月202384NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T18(a)

(A∧B)├┤A∨B的證明再證A∨B├(A∧B)：(1)A∨BA(2)(A∧B)H(_的假設(shè))(3)A∧B(2)，_(4)A(3)，∧_(5)B(3)，∧_(6)A(4)，+(7)B(1),(6),∨_(tái)(8)B∧B(5),(7),∧+(9)(A∧B)(2)—(8),_(消去H)05二月202385NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系交換律T21(a)A∧B├┤B∧AT21(b)A∨B├┤B∨A結(jié)合律T22(a)A∨(B∨C)├┤(A∨B)∨CT22(b)A∧(B∧C)├┤(A∧B)∧C分配律T23(a)A∧(B∨C)├┤(A∧B)∨(A∧C)T23(b)A∨(B∧C)├┤(A∨B)∧(A∨C)05二月202386NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系

T21(b)A∨B├┤B∨A的證明先證A∨B├B∨A(1)A∨BA(2)AH1(→+的假設(shè))(3)B∨A(2)，∨+(4)A→B∨A(2)—(3)，→+（消去H1）(5)BH2(→+的假設(shè))(6)B∨A(5)，∨+(7)B→B∨A(5)—(6)，→+（消去H2）(8)B∨A(1)，(4)，(7)，D.C.同理，可證B∨A├A∨B。05二月202387NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T24(a)

A→B├┤(A∧B)T24(b)(Ａ→B)├┤A∧BT25(a)A→B├┤A∨B

(蘊(yùn)析律)T25(b)A∨B├┤A→ＢT26(a)(A∧B)├┤A→ＢT26(b)A∧Ｂ├┤(A→Ｂ)T27(a)A∧Ｂ├┤(A∨Ｂ)T27(b)A∨Ｂ├┤(A∧Ｂ)T28(b)A→B,A→C,B∨C├A(二難推理)T28(c)A→C，B→D，A∨B├B∨DT28(d)A→C，B→D，C∨D├A∨B05二月202388NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T29(a)A∧B→C├┤A∧C→B(反三段論)T29(b)A∧B→C├┤B∧C→AT30A∧B→C├A→(B→C)(條件輸出)T31A→(B→C)├A∧B→C(條件輸入)T32A→(B→C)├┤B→(A→C)(條件互易)T33A→(B→C)├┤(A→B)→(A→C)T34A→(A→B)├┤A→B(條件融合)T35(a)A→B├A∧C→B∧C(前件附加)T35(b)A→B├A∨C→B∨CT35(c)A→B├(C→A)→(C→B)T36（A→B）→C├B→C05二月202389NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系T37A→B，B→A├AB(+)T38(a)AB├A→B(_)T38(b)AB├B→AT39A→C,B→C├A∧B→C(前件合取)T40A→B,A→C├A→B∧C(后件合取)T41A∧B→C├┤(A→C)∨(B→C)T42A∨B→C├┤(A→C)∧(B→C)T43A→B∧C├┤(A→B)∧(A→C)T44A→B∨C├┤(A→B)∨(A→C)……05二月202390NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(一)如果不換8號(hào)上場(chǎng)（p），或者換12號(hào)上場(chǎng)(q)，甲隊(duì)的形勢(shì)不會(huì)好轉(zhuǎn)(r)。教練沒(méi)有換8號(hào)上場(chǎng)，也沒(méi)有換12號(hào)上場(chǎng)。所以，甲隊(duì)的形勢(shì)不會(huì)好轉(zhuǎn)。首先，將前提和結(jié)論形式化：

A1：(p∨q)→rA2：p∧qB：r(1)(p∨q)→rA1(2)p∧qA2(3)(p∨q)(2)，DeM.(4)r(1)，(3)，→_05二月202391NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(二)如果線段L有存在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，那么，如果這些點(diǎn)有長(zhǎng)度，則線段L將無(wú)窮長(zhǎng)，而且，如果這些點(diǎn)都沒(méi)有長(zhǎng)度,則線段L也不會(huì)有長(zhǎng)度。但是，一條線段既不會(huì)無(wú)窮長(zhǎng),也不會(huì)沒(méi)有長(zhǎng)度。所以L上不會(huì)有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。前題和結(jié)論符號(hào)化：A1：p→(q→r)∧(q→s)A2：r∧sB：p05二月202392(1)p→(q→r)∧(q→s)A1(2)r∧sA2(3)pH（_的假設(shè))(4)p(3),_(5)(q→r)∧(q→s)(1)，(4)，→_(6)q→r(5),∧_(7)q→s(5),∧_(8)r(2),∧_(9)s(2),∧_(10)q(6),(8),M.T.(11)q(7),(9),M.T.(12)q∧q(10),(11),∧+(13)p(3)—(12)，_,(消去H)05二月202393NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(三)如果貨幣供應(yīng)量保持現(xiàn)狀，而貨幣需求量增加，則銀行利率就會(huì)上升。如果貨幣需求量增加導(dǎo)致銀行利率上升，則在銀行存款更被看好。主管部門(mén)已宣布貨幣供應(yīng)總是保持不變。因此，在銀行存款更被看好。A1：p∧q→rA2：(q→r)→sA3：pB：s05二月202394NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(三)方法一：（1）p∧q→rA1（2）（q→r）→sA2（3）pA3(4)qH1（→+的假設(shè))(5)p∧q(3)，(4)，∧+(6)r(1)，(5)，→_(7)q→r(4)—(6)，→+(消去H1)(8)s(2)，(7)，→_05二月202395NP系統(tǒng)中的語(yǔ)法(語(yǔ)形)推出關(guān)系應(yīng)用實(shí)例(三)方法二：（1）p∧q→rA1（2）（q→r）→sA2（3）pA3 (4)sH（→_的假設(shè)) (5)（q→r）(2),(4)M.T. (6)q∧r(5),R.P. (7)r(6)，∧_ (8)(p∧q)(1),(7)M.T. (9)p∨q(8),R.P. (10)q(6)，∧_ (11)q(10),+ (12)p(9),(11),∨_(tái) (13)p∧p(3),(12),∧+(14)s(4)—(13),_(消去H)05二月202396證明公式集不一致

包括邏輯矛盾的公式(命題)集稱為不相容(不一致,不協(xié)調(diào))的公式集.判定公式集｛A∨B→C，(A→C)→D，B∧D｝是否為不一致的公式集.(1)A∨B→CA1(2)C→DA2(3)A∧DA3(4)A(3)，∧_(5)D(3)，∧__(6)A∨B(4)，∨+(7)C(1)，(6)，→_(8)D(2)，(7)，→_(9)D∧D(5)，(8)，∧+故原公式集是不一致的公式集。第二章命題邏輯第四節(jié)：命題邏輯有效性的判定05二月202398真值指派和真值賦值真值指派（簡(jiǎn)稱指派）：給每個(gè)命題變?cè)付ㄒ粋€(gè)真值的過(guò)程，記為ρ。從直觀上講，真值指派實(shí)質(zhì)上可看成是給構(gòu)成復(fù)合命題的支命題（表示為命題變?cè)┲付ㄕ嬷档倪^(guò)程。ρ(p)=T（ρ(p)=F）就是把p解釋為一個(gè)真（假）命題。真值賦值（簡(jiǎn)稱賦值）:給定一個(gè)真值指派以后，給每個(gè)公式確定一個(gè)唯一的真值的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程稱為由該真值指派導(dǎo)出的真值賦值，記為δ。公式A在賦值δ下的值，記為δ(A)。真值指派ρ導(dǎo)出真值賦值δ，實(shí)質(zhì)上可看成由支命題（表示為命題變?cè)┑恼嬷荡_定復(fù)合命題（表示為公式）的真值的過(guò)程。05二月202399形式語(yǔ)言L′的基本語(yǔ)義解釋設(shè)ρ為任一指派，δ是由ρ導(dǎo)出的賦值：(Ⅰ)對(duì)任何命題變?cè)猵，δ(p)=ρ(p)，其中ρ(p)已有定義。(Ⅱ)δ(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)δ(A)=F;(Ⅲ)δ(A∧B)=T當(dāng)且僅當(dāng)δ(A)=T并且δ(B)=T;(Ⅳ)δ(A∨B)=T當(dāng)且僅當(dāng)δ(A)=T或者δ(B)=T;(Ⅴ)δ(A→B)=T當(dāng)且僅當(dāng)δ(A)=F或者δ(B)=T。給定一個(gè)真值指派ρ:ρ(p)=T,ρ(q)=F,ρ(r)=T,…。根據(jù)基本語(yǔ)義解釋，可以導(dǎo)出一個(gè)真值賦值δ,以確定由這些命題變?cè)獦?gòu)成的任何公式在δ下的真值。例如：δ(p)=F,δ(p∧r)=T,δ(p∨q→r)=T,δ(p∨r→q)=F，…。真值條件語(yǔ)義學(xué)：上述基本基本語(yǔ)義解釋，實(shí)質(zhì)上是以嚴(yán)格的形式陳述了真值表所表示的真值運(yùn)算或真值函數(shù)，陳述了命題變?cè)蜃庸脚c公式的真值對(duì)應(yīng)關(guān)系或真值條件聯(lián)系，因此，我們也把這種對(duì)形式語(yǔ)言L′所作的語(yǔ)義解釋，稱為真值條件語(yǔ)義學(xué)。形式語(yǔ)言L′的語(yǔ)義解釋，就是根據(jù)基本語(yǔ)義解釋來(lái)確定L′的全體公式的真值。05二月2023100重要的語(yǔ)義概念可滿足性：對(duì)任何公式A，如果存在賦值δ,使得δ(A)=T，則稱A是可滿足的。如果對(duì)任何賦值δ，都有δ(A)=F，則稱A為不可滿足的。協(xié)調(diào)性：對(duì)公式集Γ(Γ={A1,A2,…,An})中的任一公式Ai(i=1,2,…,n)，如果存在賦值δ,使得δ(Ai)=T，則稱公式集Γ是協(xié)調(diào)的。語(yǔ)義后承：設(shè)Γ是一個(gè)公式集，B是一個(gè)公式，如果對(duì)任何賦值δ都有：如果δ(Γ)=T(即δ（A1）=T，δ（A2）=T，…，δ（An）=T)，則δ（B）=T，則稱B是Γ的語(yǔ)義后承（或Γ邏輯蘊(yùn)涵B，Γ能有效地推出B，Γ與B具有語(yǔ)義推出關(guān)系），記為：Γ=B。語(yǔ)義等值：如果A=B并且B=A，則稱A語(yǔ)義等值于B（或A邏輯等值于B），記為AB。05二月2023101基本推導(dǎo)規(guī)則的保真性邏輯的中心任務(wù)是從語(yǔ)形方面和語(yǔ)義方面刻畫(huà)前提和結(jié)論之間的推出關(guān)系。從語(yǔ)義方面看,任何推導(dǎo)規(guī)則的根本作用在于保證從真前提能而且只能得出真結(jié)論?！?的保真性

1.∧+:從A，B推出A∧B(A,B├A∧B)

對(duì)任何賦值δ，如果δ（A）=T,δ（B）=T，那么，根據(jù)基本語(yǔ)義解釋(Ⅲ)，δ（A∧B）=T，因此：A，B=A∧B。故∧+能保證從真前提必然得出真結(jié)論。05二月2023102基本推導(dǎo)規(guī)則的保真性∨_(tái)的保真性2.∨_(tái)：從A∨B,A推出B；從A∨B,B推出A（A∨B,A├B；A∨B,B├A）。

(1)假設(shè)存在賦值δ，使得δ(A∨B)=T，δ(A)=T,但是δ(B)=F；

(2)根據(jù)基本語(yǔ)義解釋（Ⅱ），由δ(A)=T，得δ(A)=F;(3)由δ(A)=F和δ(B)=F,根據(jù)基本語(yǔ)義解釋（Ⅳ），得δ(A∨B)=F；

(4)δ（A∨B）=F，與假設(shè)δ(A∨B)=T矛盾；因此，假設(shè)不成立，即沒(méi)有賦值δ，使得：δ(A∨B)=T，δ(A)=T，但是δ(B)=F；所以，A∨B，A=B。同理，A∨B,B=A。故∨_(tái)能保證從真前提必然得出真結(jié)論。05二月2023103基本推導(dǎo)規(guī)則的保真性→_的保真性3.→_:從A→B和A推出B(A→B,A├B)

(1)假設(shè)存在賦值δ，使得δ(A→B)=T，δ(A)=T,但是δ(B)=F;

(2)根據(jù)基本語(yǔ)義解釋（Ⅴ），由δ(A)=T,δ(B)=F,得δ(A→B)=F;

(3)δ(A→B)=T而且δ(A→B)=F，矛盾。

(4)因此，假設(shè)不成立，即對(duì)任何賦值δ，如果δ(A→B)=T,并且δ(A)=T，那么δ(B)=T，即A→B,A=B

故→_能保證從真前提必然得出真結(jié)論。05二月2023104基本推導(dǎo)規(guī)則的保真性→+的保真性4.→+：如果Γ，A├B,則Γ├A→B（1）假設(shè)Γ，A=B，但是Γ≠A→B，即對(duì)任何賦值δ，只要δ(Γ)=T，δ(A)=T，那么δ(B)=T；但是，又存在賦值δ，使得δ(Γ)=T，并且δ(A→B)=F；（2）由δ（A→B）=F，得δ（A）=T，并且，δ(B）=F；（3）這就是說(shuō)存在賦值δ,使得