明 2015中考28題分析

2015中考試題分析----28題燕山星城中學(xué)馬艷明2015年12月23日28.在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在射線CD上（與點C、D不重合），連接AP，平移△ADP，使點D移動到點C，得到△BCQ，過點Q作QH⊥BD于H，連接AH，PH．（1）若點P在線段CD上，如圖1．①依題意補(bǔ)全圖1；②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；（2）若點P在線段CD的延長線上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路．（可以不寫出計算結(jié)果）試題背景2015年北京中考數(shù)學(xué)命題的主要特點：

特點一，重視基礎(chǔ)，得基礎(chǔ)者得高分

特點二，代數(shù)壓軸題難度下降

特點三，幾何壓軸題難度基本持平

特點四，強(qiáng)調(diào)畫圖能力

特點五，強(qiáng)調(diào)運用能力特點六，閱讀量加大

特點七，出現(xiàn)新題型

本題是一道幾何壓軸題，難度變化不大，與2014年基本持平，但是它在整個題目出題特點上具有一些新穎的特征。特色解讀一.與前幾年對比，難度基本持平

相當(dāng)于2010年到2014年解答題第24題，這道題往往都考察的是幾何綜合。2010年幾何綜合考察的是二次函數(shù)與三角形，2011年考察的幾何綜合跟旋轉(zhuǎn)相關(guān)，2012年考察的幾何綜合跟軸對稱相關(guān)，2013年考察的幾何綜合旋轉(zhuǎn)相關(guān)，2014年考察的幾何綜合包括畫圖、軸對稱以及模型的運用，今年的幾何綜合考察了平移做圖、旋轉(zhuǎn)型全等，難度基本持平。二.強(qiáng)調(diào)畫圖能力，考察基本解題能力第一問，兩個小題，都要清晰的按照題目的要求畫出圖形，強(qiáng)調(diào)了畫圖能力，第二問同樣要依題意畫出圖形，在平移之后，出現(xiàn)了152度角，而我們在課堂上和練習(xí)時經(jīng)常見的角度有30度、45度、60度、120度、135度、150，甚至還有36度、20度、80度、76度。今年出現(xiàn)了一種不常見的角度152度，考察了學(xué)生的基本解題能力。特色解讀特色解讀三.問題答案開放，體現(xiàn)不同思維個問題較為開放，表示方法并不單一，實際上如果我們解出這道問題的答案并不是很難的，關(guān)鍵是學(xué)生對于求完了答案之后，感覺對還是不對是存在不確定性的，所以整個28題難度系數(shù)，基本和去年持平，再有一點不要被一些新穎的問法給唬到，我們只要按照題目給的有效信息，認(rèn)真地梳理，最后這道題應(yīng)該大部分學(xué)生都可以解決。解法研究考點：四邊形綜合題．此題以正方形為大環(huán)境，考察旋轉(zhuǎn)、平移、四點共圓、解三角形等知識點．分析：（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；②方法1.連接CH，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SSS定理得出△HDP≌△HQC，故PH=CH，∠HPC=∠HCP，由正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②方法2.四點共圓方法（2）只要求給出計算方案而不要求計算結(jié)果，提問方式新穎。方法1.根據(jù)四邊形ABCD是正方形，QH⊥BD可知△DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性質(zhì)得出PD=CQ．作HR⊥PC于點R，由∠AHQ=152°，可得出∠AHB及∠DAH的度數(shù)，設(shè)DP=x，則DR=HR=RQ，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．解法研究解法研究（2）方法2.利用Rt△ADP、Rt△AHP共斜邊，得出A、P、D、H四點共圓，圓心為斜邊AP的中點．利用共圓倒角，得出。（2）方法3.根據(jù)四邊形ABCD是正方形，QH⊥BD可知△DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性質(zhì)得出PD=CQ．由∠AHQ=152°，可得出∠AHB及∠DAH的度數(shù)，再由三角形APH是等腰直角三角形求出∠PAD，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．解法研究解：（1）①如圖1；

②如圖1，連接CH，∵四邊形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵DP=CQ，在△HDP與△HQC中．∵

，∴△HDP≌△HQC（SSS），解法研究∴PH=CH，∠HPC=∠HCP．∵BD是正方形ABCD的對稱軸，∴AH=CH，∠DAH=∠HCP，∴∠AHP=180°﹣∠ADP=90°，∴AH=PH，AH⊥PH．②方法2.四點共圓作法.同上得：∠HPC=

∠DAH∴A、D、P、H共圓∴∠AHP=90°

，∠APH=

∠ADH=45°∴△APH等腰Rt△解法研究（2）如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵△BCQ由△ADP平移而成，∴PD=CQ．作HR⊥PC于點R，∵∠AHQ=152°，∴∠AHB=62°，∴∠DAH=17°．解法研究設(shè)DP=x，則DR=HR=RQ=．∵tan17°=，即tan17°=，∴x=．解法研究（2）法二：四點共圓作法A、H、D、