機(jī)械振動(dòng)-西安交大版

第二篇

機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)第六章廣義振動(dòng)：任一物理量(如電路中的電流、電壓的變化、電磁波中場強(qiáng)的變化、一年四季氣溫的變化等)在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。(如樹葉的擺動(dòng)、鼓膜的振動(dòng)、心臟的跳動(dòng)、晶體中原子的振動(dòng)等。）機(jī)械振動(dòng)是最直觀、最基本的振動(dòng)形式6-1

簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征簡諧振動(dòng)——最簡單最基本的線性振動(dòng)。

簡諧振動(dòng)：一個(gè)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體，其偏離平衡位置的位移x（或角位移）隨時(shí)間t按余弦（或正弦）規(guī)律變化的振動(dòng)。6.1.1

簡諧振動(dòng)一、彈簧振子模型彈簧振子：彈簧—物體系統(tǒng)平衡位置：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕彈簧—質(zhì)量忽略不計(jì)，形變滿足胡克定律物體—可看作質(zhì)點(diǎn)簡諧振動(dòng)微分方程令:其通解為：簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程簡諧振動(dòng)的特征：力學(xué)方程1.動(dòng)力學(xué)方程2.運(yùn)動(dòng)學(xué)方程3.判斷系統(tǒng)作簡諧振動(dòng)的依據(jù)結(jié)論：單擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。二、微振動(dòng)的簡諧近似_單擺擺球?qū)點(diǎn)的力矩簡諧振動(dòng)微分方程簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程令:l單擺作小角度擺動(dòng)時(shí)：復(fù)擺：繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體結(jié)論：復(fù)擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。當(dāng)時(shí)令:其通解為：一、簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程6.1.2

簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)簡諧振動(dòng)的微分方程簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程可得任意時(shí)刻的速度和加速度：速度：加速度：二、描述簡諧振動(dòng)的特征量1、振幅A簡諧振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對(duì)值。初始條件頻率：單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。2、周期、頻率、圓頻率角頻率:周期T：物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間。物體在2π秒時(shí)間內(nèi)所作的完全振動(dòng)的次數(shù)，用ω表示，單位為弧度/秒(rad.s-1)。對(duì)彈簧振子固有角頻率固有周期固有頻率單擺復(fù)擺0

是t=0時(shí)刻的位相—初位相3、位相和初位相—位相，決定諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或:位相差兩振動(dòng)位相之差。當(dāng)=2k

,k=0,±1,±2…,兩振動(dòng)步調(diào)相同,稱同相當(dāng)=(2k+1)

,k=0,±1,±2...兩振動(dòng)步調(diào)相反,稱反相2

超前于1

或1滯后于

2

位相差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落設(shè)有:toTxx1x2例1、一個(gè)輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，下端掛一質(zhì)量為m的物體。今將物體向下拉一段距離后再放開，證明物體將作簡諧振動(dòng)。因此,此振動(dòng)為簡諧振動(dòng)。以平衡位置O為原點(diǎn)彈簧原長掛m后伸長某時(shí)刻m位置伸長受彈力平衡位置解：求平衡位置例:如圖m=2×10-2kg,

彈簧的靜止形變?yōu)長=9.8cmx0=-9.8cm,v0=0⑴取開始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程；

(2)若取x0=0，v0>0為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程,并計(jì)算振動(dòng)頻率。XOmx解：⑴設(shè)振動(dòng)方程為由初條件得由x0=Acos0=-0.098<0cos0<0,取0=振動(dòng)方程為：x=9.810-2cos(10t+)m(2)按題意t=0

時(shí)x0=0，v0>0x0=Acos0=0,cos0=00=/2,3/2

v0=-Asin>0,sin0

<0,取0=3/2x=9.810-2cos(10t+3/2)m對(duì)同一諧振動(dòng)取不同的計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，但、A不變固有頻率XOmx以彈簧振子為例諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動(dòng)能Ek+系統(tǒng)的勢(shì)能Ep某一時(shí)刻，諧振子速度為v，位移為x諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能是時(shí)間的周期性函數(shù)6.1.4

簡諧振動(dòng)的能量機(jī)械能簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒動(dòng)能勢(shì)能情況同動(dòng)能。機(jī)械能簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒對(duì)彈簧振子結(jié)論：彈簧串聯(lián)對(duì)彈簧振子結(jié)論：彈簧并聯(lián)課堂練習(xí)：復(fù)擺機(jī)械能動(dòng)能6.1.5簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法0t=0t+0t=txoX用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系同相反相4-5一個(gè)沿X軸作簡諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為A，周期為T，其振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示．如果t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是：

(1)；

(2)過平衡位置向正向運(yùn)動(dòng)；

(3)過x=A/2處向負(fù)向運(yùn)動(dòng)；

(4)過處向正向運(yùn)動(dòng)．

試求出相應(yīng)的初位相，并寫出振動(dòng)方程．

解：設(shè)振動(dòng)方程為：(1)(2)(4)(3)4-8圖為兩個(gè)諧振動(dòng)的x-t曲線，試分別寫出其諧振動(dòng)方程．

解：(1)(2)例題：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧運(yùn)動(dòng)，振幅A=0.06m，周期T=2s，初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x0=0.03m處且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）初相位；（2）在x=-0.03m處且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)物體回到平衡位置所需要的最短時(shí)間。解：（1）用旋轉(zhuǎn)矢量法，則初相位在第四象限（2）從x=-0.03m處且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)到平衡位置，意味著旋轉(zhuǎn)矢量從M1點(diǎn)轉(zhuǎn)到M2點(diǎn)，因而所需要的最短時(shí)間滿足依題意園頻率:課堂練習(xí)一、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)是簡諧振動(dòng),其頻率仍為質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng):合振動(dòng):6.2

簡諧振動(dòng)的合成如A1=A2,則A=0兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)兩分振動(dòng)相互減弱分析若兩分振動(dòng)同相：若兩分振動(dòng)反相:初相與振幅大振動(dòng)相同.振動(dòng)合成的三角形法則N個(gè)同方向、同頻率振動(dòng)的合成：合振動(dòng)不是簡諧振動(dòng)式中隨t緩變隨t快變合振動(dòng)可看作振幅緩變的簡諧振動(dòng)二.同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)合振動(dòng)當(dāng)21時(shí),拍

合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象拍頻:單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)

=|2-1|

xtx2tx1t*四、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)分振動(dòng)合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且在第一、第三象限內(nèi)的直線質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移討論利用旋轉(zhuǎn)矢量合成合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且在第二、第四象限內(nèi)的直線質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移合振動(dòng)的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。合振動(dòng)的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針的。=5/4=3/2=7/4=0==/2=3/4Q=/4P

·.時(shí)，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。*五、垂直方向不同頻率可看作兩頻率相等而2-1隨t緩慢變化合運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。軌跡稱為李薩如圖形yxA1A2o-A2-A1簡諧振動(dòng)的合成兩分振動(dòng)頻率相差很小兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比李薩如圖形一、阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：振動(dòng)以波的形式向外傳波，使振動(dòng)能量向周圍輻射出去。4-5

阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）振子動(dòng)力學(xué)方程振子受阻力系統(tǒng)固有角頻率阻尼系數(shù)弱介質(zhì)阻力是指振子運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，介質(zhì)對(duì)物體的阻力僅與速度的一次方成正比—阻力系數(shù)弱阻尼弱阻尼每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動(dòng)。阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地回到平衡位置并停下來過阻尼過阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩慢地回到平衡位置二、受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動(dòng)力作用下的受迫振動(dòng)的方程令周期性外力——策動(dòng)力穩(wěn)定解(1)頻