社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)-參數(shù)估計(jì)

第6章參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)推論基本概念抽樣分布點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)大樣本區(qū)間估計(jì)6.1統(tǒng)計(jì)推論統(tǒng)計(jì)推論是根據(jù)局部資料（樣本資料）對(duì)總體的特征進(jìn)行推斷。屬于歸納推理的范疇。統(tǒng)計(jì)推論的特點(diǎn)：（1）局部反映總體；（2）抽樣結(jié)果總是存在隨機(jī)性。統(tǒng)計(jì)推論的內(nèi)容：（1）參數(shù)估計(jì)（parameter’sestimation）（2）假設(shè)檢驗(yàn)(Hypothesistest)6.2基本概念總體（Population）：是研究對(duì)象的全體。可以看作是一個(gè)研究對(duì)象的集合，又可以看作是所研究的變量的一個(gè)分布。例如家庭和家庭收入?？傮w由個(gè)體（調(diào)查單位）構(gòu)成。樣本（Sample）：從總體中按一定方式將要調(diào)查的個(gè)體抽出來(lái)，就組成一個(gè)樣本。其中包含的個(gè)體數(shù)目n稱為樣本大小或樣本容量。簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：樣本中個(gè)體的抽取是獨(dú)立的，且和總體同分布，由此形成的樣本即簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。要研究的總體的特征叫做參數(shù)值。要研究的樣本的特征叫做統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)樣本觀測(cè)值得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)字叫做統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值。有時(shí)也把它們看作是統(tǒng)計(jì)量的本身。統(tǒng)計(jì)量的分布即抽樣分布。6.3抽樣分布總體分布（populationdistribution）是變量X的所有取值形成的分布。但我們?cè)诜治鲋型荒苤揽傮w分布的情況。1、樣本均值的分布（1）總體正態(tài)分布，方差已知

反映了統(tǒng)計(jì)量圍繞總體均值（μ）的分散程度，或者說(shuō)反映了抽樣均值與μ的平均誤差水平。所以它又稱作抽樣均值的平均誤差或標(biāo)準(zhǔn)誤差。

是由抽樣引起的，其大小可以反映統(tǒng)計(jì)量的可靠性程度。其標(biāo)準(zhǔn)化后也得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（2）總體正態(tài)分布，方差未知用樣本方差作為總體方差的估計(jì)值；統(tǒng)計(jì)量服從t分布。（3）任意總體，大樣本情況在社會(huì)現(xiàn)象的研究中，可以不考慮總體分布如何，只要n足夠大（≥50），樣本均值的分布將確定為一個(gè)近似的正態(tài)分布。2、樣本方差S2的分布樣本方差是隨機(jī)變量，當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)，S2的分布與分布相聯(lián)系?！?/p>

2023/2/57

分布回顧該分布是指一些相互獨(dú)立、服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量平方和的分布。即從正態(tài)分布總體中抽取出來(lái)的樣本，經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后，它的平方和服從分布。～（n-1）常用于列聯(lián)表檢驗(yàn)。2023/2/586.4點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)：是以一個(gè)最適當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計(jì)值來(lái)代表總體參數(shù)值。具體說(shuō)，用樣本均值作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)值。用樣本方差作為總體方式差的點(diǎn)估計(jì)值。估計(jì)量如果具有無(wú)偏性、一致性和有效性，就可以認(rèn)為這種統(tǒng)計(jì)量是總體參數(shù)的合理估計(jì)或最佳估計(jì)。6.4.1求點(diǎn)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性：要求統(tǒng)計(jì)量抽樣分布的均值恰好等于被估計(jì)的參數(shù)之值。比如，中心極限定理告訴我們，樣本均值抽樣分布的均值恰好等于總體均值，因此用樣本均值估計(jì)總體均值就滿足這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。但絕不是說(shuō)任何的值將等于μ。一致性：當(dāng)樣本容量逐漸增加時(shí)，統(tǒng)計(jì)量越來(lái)越接近總體參數(shù)。要求統(tǒng)計(jì)量隨著樣本容量n的增大以更大的概率接近被估計(jì)參數(shù)。有效性：是指統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布集中在真實(shí)參數(shù)周?chē)某潭?。要求估?jì)值的抽樣分布有較小的分散性，即選擇抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差較小的統(tǒng)計(jì)量作為估計(jì)量。6.4.2點(diǎn)估計(jì)值的計(jì)算總體均值的點(diǎn)估計(jì)總體方差的點(diǎn)估計(jì)值在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常常用符號(hào)“”來(lái)表示無(wú)偏估計(jì)量。數(shù)學(xué)上可以證明，對(duì)于隨機(jī)樣本而言，才是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量，它稱為修正樣本方差。當(dāng)Xi表示的是變量，其取值是0和1。如果A類(lèi)（X=1）出現(xiàn)了m次,我們用樣本的成數(shù)P作為總體的估計(jì)值。[例]工會(huì)為了了解春游期間需用幾輛公共汽車(chē)，在全廠10000名職工中進(jìn)行了共100人的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣調(diào)查。統(tǒng)計(jì)結(jié)果，其中有20名愿意外出春游。假設(shè)每輛車(chē)可載乘客50名，問(wèn)估計(jì)要預(yù)租多少輛公共汽車(chē)？用樣本成數(shù)來(lái)估計(jì)。[例]研究者要調(diào)查某社區(qū)居民家庭收入分布的差異情況，現(xiàn)隨機(jī)抽查了10戶，得到樣本方差為＝200(元2)。試以此資料估計(jì)總體家庭收入分布的差異情況。

[解]因?yàn)闃颖救萘枯^小，宜用修正樣本方差作為總體方差點(diǎn)估計(jì)量。即

＝＝＝222.26.5區(qū)間估計(jì)（Intervalestimation)區(qū)間估計(jì)的任務(wù)是，在點(diǎn)估計(jì)值的兩側(cè)設(shè)置一個(gè)區(qū)間，使得總體參數(shù)被估計(jì)到的概率大大增加。可靠性和精確性(即信度和效度)在區(qū)間估計(jì)中是相互矛盾的兩個(gè)方面。

6.5.1有關(guān)區(qū)間估計(jì)的幾個(gè)概念置信區(qū)間：區(qū)間估計(jì)是求所謂置信區(qū)間的方法。置信區(qū)間就是我們?yōu)榱嗽黾訁?shù)被估計(jì)到的信心而在點(diǎn)估計(jì)兩邊設(shè)置的估計(jì)區(qū)間。區(qū)分精確性與可靠性顯著性水平

α：表示用置信區(qū)間來(lái)估計(jì)的不可靠的概率。置信度（水平）1-α：表示置信區(qū)間估計(jì)的可靠性（把握度）。例如置信水平取0.90。抽樣平均誤差與概率度

Z抽樣平均誤差：樣本均值抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差。反映在參數(shù)周?chē)闃悠骄档钠骄儺惓潭?。越大，樣本均值越分散。概率度：Z在參數(shù)估計(jì)中被稱為概率度，其大小由

α決定.

顯著性水平、置信水平、概率度之間的關(guān)系：

α

=0.10時(shí)，1-

α

=0.90，Zα/2=1.65

α=0.05時(shí)，1-

α

=0.95，Zα/2=1.96

α=0.01時(shí)，1-

α

=0.99，Zα/2=2.582023/2/5186.5.2區(qū)間估計(jì)的做法從點(diǎn)估計(jì)值開(kāi)始，向兩側(cè)展開(kāi)一定倍數(shù)的抽樣平均誤差，并估計(jì)總體參數(shù)很可能就包含在這個(gè)區(qū)間之內(nèi)。置信區(qū)間的大小主要由和Z這兩個(gè)量所決定，并且是2Z。所以參數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)就歸結(jié)為計(jì)算這兩個(gè)量（即就各種抽樣分布計(jì)算概率度和就各種抽樣方式計(jì)算抽樣平均誤差）。

的大小對(duì)設(shè)置置信區(qū)間的范圍起著很重要的作用。在同等置信度的情況下，抽樣平均誤差小，估計(jì)區(qū)間就縮小了，從而獲得對(duì)參數(shù)較為有效的估計(jì)（決定效度的關(guān)鍵因素）。Z則與信度相聯(lián)系。對(duì)參數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)的步驟：

1.首先從總體抽取一個(gè)樣本，根據(jù)收集的樣本資料求出它的均值。

2.根據(jù)合乎實(shí)際的置信水平查表求得概率度

3.根據(jù)總體標(biāo)準(zhǔn)差和樣本容量求出抽樣平均誤差

4.以均值為基準(zhǔn)，向兩側(cè)展開(kāi)Z倍抽樣平均誤差的區(qū)間。根據(jù)總體方差是否知道，估計(jì)分兩種情況。（1）已知（2）未知，用S代替6.5.3大樣本，總體均值的區(qū)間估計(jì)[例]設(shè)某工廠婦女從事家務(wù)勞動(dòng)服從正態(tài)分布N

[μ

，0.662]，根據(jù)36人的隨機(jī)抽樣調(diào)查，樣本每天平均從事家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間為2.65小時(shí)，求μ的置信區(qū)間（置信度1-α

=0.95）。

[解]按題意，此為大樣本，且總體方差已知，又

n＝36，＝2.65，＝0.66，1-α＝0.95。查表得Z＝1.96，代入公式有＝2.65±1.96＝2.65±0.22

因此，有95％的把握，該廠婦女平均從事家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間在2.87～2.43小時(shí)之間。[例]從某校隨機(jī)地抽取100名男學(xué)生，測(cè)得平均身高為170厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為7.5厘米，試求該校學(xué)生平均身高95％的置信區(qū)間。

[解]按題意，此為大樣本，且總體方差未知，又n＝100，＝170，S＝7.5，1—α＝0.95．查表得＝1.96，代入公式有

=170±1.96＝170±1.47因此，有95％的把握，該校學(xué)生的平均身高在168.5~171.5厘米之間。[習(xí)題]從來(lái)自“白領(lǐng)犯罪與罪犯生涯：一些初步研究結(jié)果”的一項(xiàng)研究報(bào)告的數(shù)據(jù)表明，白領(lǐng)犯罪可能是年紀(jì)較大者，并且顯示比街頭罪犯有較低的犯罪率。給出數(shù)據(jù)為：白領(lǐng)犯罪發(fā)作平均年齡為54歲，n

=100，標(biāo)準(zhǔn)差被估計(jì)為7.5歲。建立真實(shí)平均年齡的90%置信區(qū)間。采用t分布6.5.4小樣本，正態(tài)總體均值區(qū)間估計(jì)[例]在一個(gè)正態(tài)總體中抽取一個(gè)容量為25的樣本，其均值為52，標(biāo)準(zhǔn)差為12，求置信水平為95％的總體均值的置信區(qū)間。

[解]根據(jù)題意，總體方差未知，且為小樣本，故用t分布統(tǒng)計(jì)量。由95％置信水平查t分布表得概率度＝(24)＝2.064

代入公式得

＝52±2.064＝52±4.95因此，置信水平95％的總體均值的置信區(qū)間是從47.05到56.95。從總體的均值估計(jì)過(guò)渡到總體的成數(shù)估計(jì)，其方法和思路完全相同，只要用代替，用代替。6.5.5大樣本總體成數(shù)的估計(jì)[例]假若從某社區(qū)抽取一個(gè)由200個(gè)家庭組成的樣本，發(fā)現(xiàn)其中有36%的家庭由丈夫在家庭開(kāi)支上作決定的次數(shù)超過(guò)半數(shù)。試問(wèn)家庭開(kāi)支的半數(shù)以上由丈夫決定的家庭的置信區(qū)間是多少？（置信水平99%）[例]假若從某社區(qū)抽取一個(gè)由200個(gè)家庭組成的樣本，發(fā)現(xiàn)其中有36%的家庭由丈夫在家庭開(kāi)支上作決定的次數(shù)超過(guò)半數(shù)。試問(wèn)家庭開(kāi)支的半數(shù)以上由丈夫決定的家庭的置信區(qū)間是多少？（置信水平99%）

[解法一][解法二]2023/2/530n1≥50n2≥50現(xiàn)在從兩總體獨(dú)立地各抽取一個(gè)隨機(jī)樣本：只要樣本都大于或等于50，則兩個(gè)樣本均值的抽樣分布都服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)隨機(jī)變量線性組合的隨機(jī)變量仍然服從正態(tài)分布的原理，則均值差也服從正態(tài)分布。6.5.5大樣本二總體均值差的估計(jì)若總體方差未知，則用樣本方差代替總體方差。在大樣本的情況下置信度為1-a的（μ1-μ2）的區(qū)間估計(jì)為：2023/2/533

與單樣本成數(shù)的區(qū)間估計(jì)一樣，成數(shù)差區(qū)間估計(jì)可以被看作均值差的特例來(lái)處理(但它適用于各種量度層次)。即對(duì)給定的置信水平（1―α），得兩總體成數(shù)差(p1―p2)之估計(jì)區(qū)間為

6.5.5大樣本成數(shù)差的區(qū)間估計(jì)2023/2/534

[例]有一個(gè)大學(xué)生的隨機(jī)樣本，按照性格“外向”和“內(nèi)向”，把他們分成兩類(lèi)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，新生中有73％屬于“外向”類(lèi)，四年級(jí)學(xué)生中有58％屬于“外向”類(lèi)。樣本中新生有171名，四年級(jí)學(xué)生有117名。試在99％的置信水平上，求新生、老生性性格“外向”的成數(shù)差的置信區(qū)間。2023/2/535

[解]據(jù)題意，

新生組的抽樣結(jié)果為：＝0.73，

＝027，

n1＝171(人)

四年級(jí)學(xué)生組的抽樣結(jié)果為：

＝0.58，

＝0.42，n2＝117(人)

由（1―α）＝0.99，得Zα/2＝Z0.005＝2.58，代入上式得

得在99％置信水平上，