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文檔簡介
集合的基本運算
第一課時交集、并集學習目標.通過實例理解兩個集合交集與并集的含義,會求兩個集合的交集與并集,以提升數(shù)學抽象素養(yǎng)和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)..會使用維恩圖表示集合的交、并運算,體會圖形對理解抽象概念的作用,以滲透數(shù)形結(jié)合思想..通過集合運算的學習,感受集合作為一種語言,在表示數(shù)學內(nèi)容時的簡潔和準確,進一步提高類比能力..交集⑴定義:一般地,給定兩個集合A,B,由既屬于A又屬于B的所有元素(即A和B的公共元素)組成的集合,稱為A與B的交集,記作AAB,讀作“A交B”.◎⑵圖形語言表示為:思考1:若兩個集合沒有公共元素,則兩集合的交集是什么?答案:若兩個集合沒有公共元素,則兩集合的交集是空集.思考2:若兩個集合A,B的交集是空集,則兩集合有什么特征?答案:若兩個集合A,B的交集是空集,則兩集合至少有一個是空集或者兩集合雖不是空集,但是兩集合沒有公共元素..并集A.{1,2,3}B.{1,2,4)C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}解析:AGB={1,2},(AGB)UC={1,2,3,4}.故選D.5.設(shè)集合A={x|-3<x<n,xGZ},B={x|x=2k-1,k?Z},則AGB的元素有個.解析:因為集合A={x|-3<x<n,XGZ},B={x|x=2k-l,k£Z},所以集合A中的元素為-2,-1,0,1,2,3,而集合B中的元素為奇數(shù),所以AGB={-1,1,3},AAB的元素個數(shù)為3.答案:3⑴定義:一般地,給定兩個集合A,B,由這兩個集合的所有元素組成的集合,稱為A與B的并集,記作AUB,讀作“A并B”.⑵圖形語言表示為:思考3:集合AUB的元素個數(shù)是否等于集合A與集合B的元素個數(shù)之和?答案:不一定相等.AUB的元素個數(shù)小于或等于集合A與集合B的元素個數(shù)之和.思考4:根據(jù)兩集合的并集的定義可知,集合AUB中的元素與集合A,B的元素有什么關(guān)系?答案:根據(jù)兩集合的并集的定義,集合AUB中的元素與集合A,B的元素有以下三種關(guān)系:①x£A且xqB;②x£B且泊A;③x£A且x£B.交集、并集的運算性質(zhì)您探究點一交集運算交集的運算性質(zhì)并集的運算性質(zhì)AAB=BAAAUB=BUAAAA=AAUA=AAG0-0AU0=AAGB=AAB=AAUB=AUB=B[例1]⑴設(shè)集合M二{T,0,1},N={xR=x},則MAN等于()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.{0}⑵若集合A={x|-2WxW3},B={x|x<-l或x>4},則集合AAB等于()A.{x|xW3或x>4}B.{x|T〈xW3}C.{x|3^x<4}D.{x|-2^x<-l}⑶已知A:{(x,y)14x+y=6},B={(x,y)13x+2y=7},則AAB=.解析:(1)N={xlx'x}二{0,1},所以MAN={0,1}.故選B.⑵將集合A,B表示在數(shù)軸上,由圖可得AGB={x|-2Wx<-1}.故選D.(3)AAB={(x,y)|4x+y=6}A{(x,y)|3x+2y=7}={(x,y)I梁:七_6)}={(1,2)}.答案:⑴B(2)D(3){(1,2)}求集合AAB的步驟與方法(1)步驟①首先要搞清集合A,B的代表元素是什么.②把所求交集的集合用集合符號表示出來,寫成“AGB”的形式.③把化簡后的集合A,B的所有公共元素都寫出來即可(若無公共元素,則所求交集為0).⑵方法①定義法.若集合是用列舉法表示的,可以直接利用交集的定義求解;②數(shù)形結(jié)合法.若集合是用描述法表示的由實數(shù)組成的數(shù)集,則可以借助數(shù)軸分析法求解,但要注意,利用數(shù)軸表示不等式時,含有端點的值用實心點表示,不含有端點的值用空心點表示.針對訓練:⑴設(shè)集合人二年|-1?}加&|0。忘4},則八013等于()A.{x|0WxW2}B.{x|lWxW2}C.{x|0WxW4}D.{x|lWxW4}(2)已知集合A={x|x=3n+2,n£N},B={6,8,10,12,14),則集合AAB中元素的個數(shù)為()A.5B.4C.3D.2解析:(1)因為A={x|TWxW2},B={x|0WxW4},在數(shù)軸上標出集合A,B,如圖,故AAB={x|0〈xW2}.故選A.(2)因為8=3X2+2,14=3X4+2,所以8£A,14£A,所以AAB二所14).故選D.[備用例1](1)若A={x£N|lWxW10},B=G£1^^2+乂-6=0},則圖中陰影部分表示的集合為()A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}⑵設(shè)集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0},若AGB={1},則集合B等于A.{-3,1}B.{0,1}C.{1,5}D.{1,3}解析:(1)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由題意可知,陰影部分為AAB,AAB={2}.故選A.⑵因為AC1B=⑴,所以1£B,所以1是方程x2-4x+m=0的根,所以l-4+m=0,所以m=3.所以B={x|x2-4x+3=0}={x|(x-1)(x-3)=0}={1,3}.故選D.至探究點二并集運算[例2](1)設(shè)集合A={1,2,3),B=⑵3,4,5},求AUB;(2)設(shè)集合A:{x|-3<xW5},B={x|2<xW6},求AUB.W:(1)AUB={1,2,3}U{2,3,4,5}={1,2,3,4,5).⑵畫出數(shù)軸如圖所示.所以AUB={x|-3〈x《5}U{x|2〈xU6}二{x|-3<xW6}.并集運算應(yīng)注意的問題⑴對于描述法給出的集合,應(yīng)先看集合的代表元素是什么,弄清是數(shù)集,還是點集,然后將集合化簡,再按定義求解.⑵求兩個集合的并集時要注意利用集合元素的互異性這一屬性,重復的元素只能算一個.⑶對于元素個數(shù)無限的集合進行并集運算時,可借助數(shù)軸,利用數(shù)軸分析法求解,但要注意端點的值能否取到.針對訓練:(1)已知集合M={T,O,1},P={O,1,2,3},則圖中陰影部分所表示的集合是()A.{0,1}B.{0}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}⑵若集合A={x|x>-l},B={x|-2<x<2},則AUB二.解析:⑴由維恩圖,可知陰影部分所表示的集合是MUP.因為M=1},P={0,1,2,3},故MUP=1,2,3}.故選D.(2)畫出數(shù)軸如圖所示,故AUB={x|x>-2}.答案:(1)D(2){x|x>-2}您好一集合交集、并集的應(yīng)用[例3]已知集合A={x12<x<4},B={x|a<x<3a(a>0)}.⑴若AUB二B,求a的取值范圍;⑵若AGB二0,求a的取值范圍.解:(1)因為AUB=B,所以ACB,根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸,觀察數(shù)軸可知,1公所以欠aW2.(2"門8=0有兩類情況:8在A的左邊和B在A的右邊,如圖.觀察數(shù)軸可知,a24或3aW2,又a>0,所以(KaW?或a24.3針對訓練:已知A={xa〈xWa+8},B={x|x<-l或x>5}.若AUB=R,求a的取值范圍.解:由題意得a〈a+8,又B={x|x<-l或x>5},在數(shù)軸上標出集合A,B,如圖.所以{:腎5,所以-3Wa〈T.[備用例2]已知集合人=卜|0忘*忘4},集合B={x|m+lWxWl-m}.⑴若AUB二A,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若AGB=A,求實數(shù)m的取值范圍.解:(1)因為AUB=A,所以BUA.因為A二為|0WxW4},所以B=0或BW。.當B=0時,有解得m>0;當BWo時,用數(shù)軸表示集合A和B,如圖所示,(m+1<1-m,因為BcA,所以0<m+l,解得TWmWO.(1-m<4,綜上可得,實數(shù)m的取值范圍是[-1,+8).⑵因為AGB=A,所以AGB.如圖,所以解得mWT.故實數(shù)m的取值范圍是(,-3].核心素養(yǎng)一一數(shù)形結(jié)合法求解集合運算個數(shù)問題[典例]某班有學生55人,其中音樂愛好者34人,體育愛好者43人,還有4人既不愛好體育也不愛好音樂,則班級中既愛好體育又愛好音樂的有人.解析:設(shè)只愛好音樂的人數(shù)為X人,兩者都愛好的人數(shù)為y人,只愛好體育的人數(shù)為z人,作維恩圖如圖,則x+y+z=55-4=51,x+y=34,y+z=43,故y=(34+43)-51=26.答案:26有限集中元素的個數(shù)的求法我們把含有有限個元素的集合叫做有限集,用card來表示有限集的元素個數(shù),即card(A)表示有限集A的元素個數(shù),則有:card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AAB);card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AAB)-card(AAC)-card(BAC)+card(APlBAC).[素養(yǎng)演練]某班有36名同學參加數(shù)學、物理、化學競賽小組,每名同學至多參加兩個小組,已知參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)分別為26,15,13,同時參加數(shù)學和物理小組的有6人,同時參加物理和化學小組的有4人,則同時參加數(shù)學和化學小組的有人.解析:由條件知,每名同學至多參加兩個小組,故不可能出現(xiàn)一名同學同時參加數(shù)學、物理、化學三個小組,設(shè)參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)組成的集合分別為A,B,C,則card(AABAC)=0,且card(AAB)=6,card(BBC)=4,由card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AAB)-card(AAC)-card(BAC)+card(AABCC),易知36=26+15+13-6-4-card(AAC),故card(APC)=8,即同時參加數(shù)學和化學小組的有8人.答案:8.下列說法中正確的有(B)⑴交集的元素個數(shù)一定比參與運算的任何一個集合的元素個數(shù)少;⑵若AUB=A,則B中的每一個元素都在集合A中;(3)AnB=CAB,貝A=C;(4)兩集合均不為空集,則兩集合的并集不可能為空集.A.1個B.2個C.3個D.4個解析:由AAA二A可知,(1)錯誤;若AUB二A,可得集合B是集合A的子集,(2)正確;當交集都是空集時,集合A與C不一定相等,(3)錯誤;兩集合均不為空集,則兩集合的并集不可能為空集,(4)正確.因此正確的個數(shù)為2.故選B..已知集合A;{x|-3<x-l<4},B={x|l-x>0},貝ljAAB等于(C)A.{x|x<5}B.{x|Kx<5}C.{
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