2023屆湖北省省實(shí)驗(yàn)學(xué)校、武漢一中等六校高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．已知是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，是原點(diǎn)，則（）A．－2 B．－4 C．3 D．－33．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，則的通項(xiàng)公式（）A． B． C． D．4．設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．5．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．6．空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過(guò)空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離都是3，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離與到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是（）A． B．3 C． D．7．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（）A． B． C． D．8．若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．函數(shù)在上最大值是19．“且”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知集合，，則集合子集的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．11．若數(shù)列滿足且，則使的的值為()A． B． C． D．12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，，則________．14．“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲，其規(guī)則是：在石頭、剪子和布中，二人各隨機(jī)選出一種，若相同則平局；若不同，則石頭克剪子，剪子克布，布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲，則甲不輸?shù)母怕适莀_____.15．在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．16．在直角三角形中，為直角，，點(diǎn)在線段上，且，若，則的正切值為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知三棱錐中側(cè)面與底面都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且面面，分別為線段的中點(diǎn).為線段上的點(diǎn)，且.（1）證明：為線段的中點(diǎn)；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）己知點(diǎn)，分別是橢圓的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，若與圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.19．（12分）棉花的纖維長(zhǎng)度是評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)，某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實(shí)驗(yàn)地分別種植某品種的棉花，為了評(píng)價(jià)該品種的棉花質(zhì)量，在棉花成熟后，分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機(jī)抽取21根棉花纖維進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：（記纖維長(zhǎng)度不低于311的為“長(zhǎng)纖維”，其余為“短纖維”）纖維長(zhǎng)度甲地（根數(shù)）34454乙地（根數(shù)）112116（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)1.125的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.甲地乙地總計(jì)長(zhǎng)纖維短纖維總計(jì)附：（1）；（2）臨界值表；1．111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828（2）現(xiàn)從上述41根纖維中，按纖維長(zhǎng)度是否為“長(zhǎng)纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進(jìn)行檢測(cè)，在這8根纖維中，記乙地“短纖維”的根數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，求的值．21．（12分）某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時(shí)間單位：分鐘）將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”．（1）請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表：并通過(guò)計(jì)算判斷，是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出人，進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流．（i）求這人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會(huì)交流的人中，隨機(jī)選出人發(fā)言，記這人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．臨界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63522．（10分）已知，.（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）設(shè)直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線，若直線也與相切，求正整數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

利用換元法設(shè)，則等價(jià)為有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，分三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合函數(shù)的圖象，求出的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由即，解得，結(jié)合圖象可知，此時(shí)當(dāng)時(shí)，得，則是唯一解，滿足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最小值為，結(jié)合圖象可知，要使得關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí).綜上所述：或.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用.利用換元法，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.2、D【解析】

設(shè)，，設(shè)：，聯(lián)立方程得到，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，，故.易知直線斜率不為，設(shè)：，聯(lián)立方程，得到，故，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積，設(shè)直線為可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.3、C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列，并由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數(shù)列，所以，故.故選：C【點(diǎn)睛】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，應(yīng)用意識(shí).4、A【解析】

結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù)，∴，，則，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長(zhǎng)、平方運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計(jì)算．【詳解】由可得，因?yàn)?，所以．故在方向上的投影為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影．掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．6、D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程，得到，進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值．設(shè)，則，化簡(jiǎn)得：，則，解得：，即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.7、D【解析】

傾斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式；利用整體對(duì)應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增，正確；關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無(wú)法取得，錯(cuò)誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，此時(shí)沒(méi)有最大值，錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式，通過(guò)正弦函數(shù)的圖象來(lái)判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).9、A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖，“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形，記為集合P，“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部，記為集合Q，顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件，故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問(wèn)題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.10、B【解析】

首先求出，再根據(jù)含有個(gè)元素的集合有個(gè)子集，計(jì)算可得.【詳解】解：，，，子集的個(gè)數(shù)為.故選：.【點(diǎn)睛】考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運(yùn)算，集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】因?yàn)?，所以是等差?shù)列，且公差，則，所以由題設(shè)可得，則，應(yīng)選答案C．12、B【解析】

根據(jù)題意，解得，，得到答案.【詳解】，解得，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

用樹狀圖法列舉出所有情況，得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù)，再計(jì)算即得.【詳解】由題得，甲、乙兩人玩一次該游戲，共有9種情況，其中甲不輸有6種可能，故概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件的概率，是基礎(chǔ)題.15、9【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16、3【解析】

在直角三角形中設(shè)，，，利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設(shè)，，則，故.故答案為：3【點(diǎn)睛】此題考查在直角三角形中求角的正切值，關(guān)鍵在于合理構(gòu)造角的和差關(guān)系，其本質(zhì)是利用兩角差的正切公式求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，先證明，可證得，假設(shè)不為線段的中點(diǎn)，可得平面，這與矛盾，即得證；（2）以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面，平面的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.【詳解】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié).∴，，又平面，平面，∴.又分別為中點(diǎn)，，又，∴.假設(shè)不為線段的中點(diǎn)，則與是平面內(nèi)內(nèi)的相交直線，從而平面，這與矛盾，所以為線段的中點(diǎn).（2）以為原點(diǎn)，由條件面面，∴，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為所以取，則，.同法可求得平面的法向量為∴，由圖知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何與空間向量綜合，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.18、;.【解析】

連接，由三角形相似得，，進(jìn)而得出，，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；由得，，因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn)，，解得，，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，，所以，設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，求出面積的取值范圍.【詳解】解：連接，由可得，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；由得，，因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn)，所以，即，解得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，利用基本不等式，屬于難題.19、（1）在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”．（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）可以根據(jù)所給表格填出列聯(lián)表，利用列聯(lián)表求出，結(jié)合所給數(shù)據(jù)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)可作出判斷；（2）寫出的所有可能取值，并求出對(duì)應(yīng)的概率，可列出分布列并進(jìn)一步求出的數(shù)學(xué)期望．試題解析：（Ⅰ）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：甲地乙地總計(jì)長(zhǎng)纖維91625短纖維11415總計(jì)212141根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得所以，在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”．（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為，的可能取值為：1,1,2,3，，，，．∴的分布列為：1123∴．20、（1）（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集為．（2）由題可得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，符合題意．綜上，可得．21、（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列見(jiàn)解析．【解析】

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表．由總?cè)藬?shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù)，由表格得達(dá)標(biāo)人數(shù)，從而得男生中達(dá)標(biāo)人數(shù)，這樣不達(dá)標(biāo)人數(shù)隨之而得，然后計(jì)算可得結(jié)論；（2）由達(dá)標(biāo)人數(shù)中男女生人數(shù)比為可得抽取的人數(shù)，總共選2人，女生有4人，的可能值為0，1，2，分別計(jì)算概率得分布列，再由期望公式可計(jì)