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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列函數(shù)中,值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是()A. B. C. D.2.中國(guó)古典樂器一般按“八音”分類.這是我國(guó)最早按樂器的制造材料來(lái)對(duì)樂器進(jìn)行分類的方法,最先見于《周禮·春官·大師》,分為“金、石、土、革、絲、木、匏(páo)、竹”八音,其中“金、石、木、革”為打擊樂器,“土、匏、竹”為吹奏樂器,“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”,則含有打擊樂器的概率為()A. B. C. D.3.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.4.設(shè),則關(guān)于的方程所表示的曲線是()A.長(zhǎng)軸在軸上的橢圓 B.長(zhǎng)軸在軸上的橢圓C.實(shí)軸在軸上的雙曲線 D.實(shí)軸在軸上的雙曲線5.執(zhí)行下面的程序框圖,若輸出的的值為63,則判斷框中可以填入的關(guān)于的判斷條件是()A. B. C. D.6.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對(duì) B.3對(duì)C.4對(duì) D.5對(duì)7.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.8.已知(i為虛數(shù)單位,),則ab等于()A.2 B.-2 C. D.9.函數(shù)在的圖象大致為A. B.C. D.10.明代數(shù)學(xué)家程大位(1533~1606年),有感于當(dāng)時(shí)籌算方法的不便,用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》,可謂集成計(jì)算的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值為()A. B. C. D.11.一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線的右支上,且其中一個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線的右頂點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè)為非零實(shí)數(shù),且,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在矩形中,為邊的中點(diǎn),,,分別以、為圓心,為半徑作圓弧、(在線段上).由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積為.14.正項(xiàng)等比數(shù)列|滿足,且成等差數(shù)列,則取得最小值時(shí)的值為_____15.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),記為的前n項(xiàng)和,若,,則________.16.用數(shù)字、、、、、組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的位自然數(shù),其中相鄰兩個(gè)數(shù)字奇偶性不同的有_____個(gè).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,,其中,,,.⑴若,,(),求證:數(shù)列是等比數(shù)列;⑵若數(shù)列是等比數(shù)列,求,的值;⑶若,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.18.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且是與的等差中項(xiàng).(1)證明:為等差數(shù)列,并求;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求滿足的最小正整數(shù)的值.19.(12分)已知數(shù)列,滿足.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)分別求數(shù)列,的前項(xiàng)和,.20.(12分)設(shè)函數(shù)()的最小值為.(1)求的值;(2)若,,為正實(shí)數(shù),且,證明:.21.(12分)設(shè)函數(shù)().(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=x(1)討論fx(2)當(dāng)x≥-1時(shí),fx+a
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.,值域?yàn)?,非奇非偶函?shù),排除;B.,值域?yàn)?,奇函?shù),排除;C.,值域?yàn)椋婧瘮?shù),滿足;D.,值域?yàn)椋瞧娣桥己瘮?shù),排除;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.2、B【解析】
分別求得所有基本事件個(gè)數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù),根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法;“兩音”中含有打擊樂器的取法共有種取法;所求概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解,關(guān)鍵是能夠利用組合的知識(shí)求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù).3、D【解析】
根據(jù)題意,求出集合A,進(jìn)而求出集合和,分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題目,4、C【解析】
根據(jù)條件,方程.即,結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型.【詳解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,
方程,即,表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線,
故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征,依據(jù)條件把已知的曲線方程化為是關(guān)鍵.5、B【解析】
根據(jù)程序框圖,逐步執(zhí)行,直到的值為63,結(jié)束循環(huán),即可得出判斷條件.【詳解】執(zhí)行框圖如下:初始值:,第一步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第二步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第三步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第四步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第五步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第六步:,此時(shí)要輸出,結(jié)束循環(huán);故,判斷條件為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查完善程序框圖,只需逐步執(zhí)行框圖,結(jié)合輸出結(jié)果,即可確定判斷條件,屬于??碱}型.6、C【解析】
畫出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì).【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.7、A【解析】
解出集合,利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)椋?,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算,同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解.【詳解】,,得,..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)相等的條件,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,是基礎(chǔ)題.9、A【解析】
因?yàn)?,所以排除C、D.當(dāng)從負(fù)方向趨近于0時(shí),,可得.故選A.10、C【解析】
根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【詳解】,;,;,;,;,此時(shí)不滿足,跳出循環(huán),輸出結(jié)果為,由題意,得.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計(jì)算,意在考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力.11、D【解析】
因?yàn)殡p曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對(duì)稱性可知:第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線可解得.【詳解】因?yàn)殡p曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對(duì)稱性可知:第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線方程得:,即,由得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12、C【解析】
取,計(jì)算知錯(cuò)誤,根據(jù)不等式性質(zhì)知正確,得到答案.【詳解】,故,,故正確;取,計(jì)算知錯(cuò)誤;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意,可得所得到的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)半球而成;其中,圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2;體積為;兩個(gè)半球的半徑都為1,則兩個(gè)半球的體積為;則所求幾何體的體積為.考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)體的組合體.14、2【解析】
先由題意列出關(guān)于的方程,求得的通項(xiàng)公式,再表示出即可求解.【詳解】解:設(shè)公比為,且,時(shí),上式有最小值,故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)以及等比數(shù)列求積、求最值的有關(guān)運(yùn)算,中檔題.15、127【解析】
已知條件化簡(jiǎn)可化為,等式兩邊同時(shí)除以,則有,通過求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.16、【解析】
對(duì)首位數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】①若首位為奇數(shù),則第一、三、五個(gè)數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù),其余三個(gè)數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù),此時(shí),符號(hào)條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè);②若首位數(shù)為偶數(shù),則首位數(shù)不能為,可排在第三或第五個(gè)數(shù)位上,第二、四、六個(gè)數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù),此時(shí),符合條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).綜上所述,符合條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的排列問題,要注意首位數(shù)字的分類討論,考查分步乘法計(jì)數(shù)和分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)(3)見解析【解析】試題分析:(1)(),所以,故數(shù)列是等比數(shù)列;(2)利用特殊值法,得,故;(3)得,所以,得,可證數(shù)列是等差數(shù)列.試題解析:(1)證明:若,則當(dāng)(),所以,即,所以,又由,,得,,即,所以,故數(shù)列是等比數(shù)列.(2)若是等比數(shù)列,設(shè)其公比為(),當(dāng)時(shí),,即,得,①當(dāng)時(shí),,即,得,②當(dāng)時(shí),,即,得,③②①,得,③②,得,解得.代入①式,得.此時(shí)(),所以,是公比為1的等比數(shù)列,故.(3)證明:若,由,得,又,解得.由,,,,代入得,所以,,成等差數(shù)列,由,得,兩式相減得:即所以相減得:所以所以,因?yàn)?,所以,即?shù)列是等差數(shù)列.18、(1)見解析,(2)最小正整數(shù)的值為35.【解析】
(1)由等差中項(xiàng)可知,當(dāng)時(shí),得,整理后可得,從而證明為等差數(shù)列,繼而可求.(2),則可求出,令,即可求出的取值范圍,進(jìn)而求出最小值.【詳解】解析:(1)由題意可得,當(dāng)時(shí),,∴,,當(dāng)時(shí),,整理可得,∴是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,∴,.(2)由(1)可得,∴,解得,∴最小正整數(shù)的值為35.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng),考查了等差數(shù)列的定義,考查了與的關(guān)系,考查了裂項(xiàng)相消求和.當(dāng)已知有與的遞推關(guān)系時(shí),常代入進(jìn)行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列時(shí),一般借助數(shù)列,即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常數(shù).19、(1)(2);【解析】
(1),,可得為公比為2的等比數(shù)列,可得為公差為1的等差數(shù)列,再算出,的通項(xiàng)公式,解方程組即可;(2)利用分組求和法解決.【詳解】(1)依題意有又.可得數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列,為公差為1的等差數(shù)列,由,得解得故數(shù)列,的通項(xiàng)公式分別為.(2),.【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.20、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)分類討論,去絕對(duì)值求出函數(shù)的解析式,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),得出的單調(diào)性,得出取最小值,即可求的值;(2)由(1)得出,利用“乘1法”,令,化簡(jiǎn)后利用基本不等式求出的最小值,即可證出.【詳解】(1)解:當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí),取最小值.(2)證明:由(1)可知.要證明:,即證,因?yàn)椋?,為正?shí)數(shù),所以.當(dāng)且僅當(dāng),即,,時(shí)取等號(hào),所以.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式和基本不等式的應(yīng)用,還運(yùn)用“乘1法”和分類討論思想,屬于中檔題.21、(1)當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),無(wú)遞減區(qū)間,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),遞減區(qū)間時(shí);(2)或.【解析】
(1)求出,對(duì)分類討論,先考慮(或)恒成立的范圍,并以此作為的分類標(biāo)準(zhǔn),若不恒成立,求解,即可得出結(jié)論;(2)有解,即,令,轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,根據(jù)(1)中的結(jié)論,即可求解.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),恒成立,當(dāng)時(shí),,綜上,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),無(wú)遞減區(qū)間,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),遞減區(qū)間時(shí);(2),令,原方程只有一個(gè)解,只需只有一個(gè)解,即求只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),的取值范圍,由(1)得當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,且,函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),原方程只有一個(gè)解,當(dāng)時(shí),由(1)得在出取得極小值,也是最小值,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),原方程只有一個(gè)解,當(dāng)且遞增區(qū)間時(shí),遞減區(qū)間時(shí);,當(dāng),有兩個(gè)零點(diǎn),即原方程有兩個(gè)解,不合題意,所以的取值范圍是或.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到單調(diào)性、零點(diǎn)、極值最值,考查分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.22、(1)見解析;(2)-∞,1【解析】
(1)f′(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).對(duì)a分類討論,即可得出單調(diào)性.
(2)由xex-ax-a+1≥0,可得a(x+1)≤xex+1,當(dāng)x=-1時(shí),0≤-1e+1恒成立.當(dāng)x>-1時(shí),a≤xe【詳解】解法一:(1)f①當(dāng)a≤0時(shí),x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)單調(diào)遞增.②當(dāng)a>0時(shí),f'(x)=0的根為x=ln若lna>-1,即a>x(-∞,-1)-
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