2023屆江蘇省南京市梅山高級中學高三最后一卷數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在中,點,分別為,的中點,若,,且滿足,則等于()A.2 B. C. D.2.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到的函數(shù)為偶函數(shù),則的值為()A. B. C. D.3.在展開式中的常數(shù)項為A.1 B.2 C.3 D.74.已知,,則()A. B. C.3 D.45.中國古代用算籌來進行記數(shù),算籌的擺放形式有縱橫兩種形式(如圖所示),表示一個多位數(shù)時,像阿拉伯記數(shù)一樣,把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,其中個位、百位、方位……用縱式表示,十位、千位、十萬位……用橫式表示,則56846可用算籌表示為()A. B. C. D.6.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項的和為,,且成等比數(shù)列,則()A.56 B.72 C.88 D.407.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結果為3,則可輸入的實數(shù)值的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.48.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學難題之一,其內(nèi)容是:一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質數(shù)(素數(shù))之和,也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學家哥德巴赫提出的,我國數(shù)學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和,則拆成的和式中,加數(shù)全部為質數(shù)的概率為()A. B. C. D.9.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積等于()cm3A. B. C. D.10.若復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.11.設,是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則12.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實數(shù)λ的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.下圖是一個算法流程圖,則輸出的S的值是______.14.已知一個圓錐的底面積和側面積分別為和,則該圓錐的體積為________15.若x,y滿足,且y≥?1,則3x+y的最大值_____16.的展開式中所有項的系數(shù)和為______,常數(shù)項為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設首項為1的正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列的前n項和為Tn,且,其中p為常數(shù).(1)求p的值;(2)求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列;(3)證明:“數(shù)列an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x=1,且y=2”.18.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點.(1)求的長;(2)在以為極點,軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中,設點的極坐標為,求點到線段中點的距離.19.(12分)在,角、、所對的邊分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,邊上的中線,求的面積.20.(12分)若關于的方程的兩根都大于2,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知三棱柱中,,是的中點,,.(1)求證:;(2)若側面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,是的中點.(1)證明:平面;(2)設是直線上的動點,當點到平面距離最大時,求面與面所成二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

選取為基底,其他向量都用基底表示后進行運算.【詳解】由題意是的重心,,∴,,∴,故選:D.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,解題關鍵是選取兩個不共線向量作為基底,其他向量都用基底表示參與運算,這樣做目標明確,易于操作.2、D【解析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質,即可求解,得到答案.【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù),所以,解得,因為,當時,,故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的性質的應用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換,合理應用三角函數(shù)的圖象與性質是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.3、D【解析】

求出展開項中的常數(shù)項及含的項,問題得解?!驹斀狻空归_項中的常數(shù)項及含的項分別為:,,所以展開式中的常數(shù)項為:.故選:D【點睛】本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉化思想,考查計算能力,屬于基礎題。4、A【解析】

根據(jù)復數(shù)相等的特征,求出和,再利用復數(shù)的模公式,即可得出結果.【詳解】因為,所以,解得則.故選:A.【點睛】本題考查相等復數(shù)的特征和復數(shù)的模,屬于基礎題.5、B【解析】

根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對應的算籌即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意可得,各個數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個位,百位,萬位用縱式表示;十位,千位,十萬位用橫式表示,用算籌表示應為:縱5橫6縱8橫4縱6,從題目中所給出的信息找出對應算籌表示為中的.故選:.【點睛】本題主要考查學生的合情推理與演繹推理,屬于基礎題.6、B【解析】

,將代入,求得公差d,再利用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式,考查等差數(shù)列基本量的計算,是一道容易題.7、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當時,令,得;當時,令,得,故輸入的實數(shù)值的個數(shù)為1.考點:程序框圖.8、A【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子,找到加數(shù)全部為質數(shù)的只有,利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知,所求概率為.故選:A.【點睛】本題主要考查了古典概型,基本事件,屬于容易題.9、D【解析】解:根據(jù)幾何體的三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結合圖中數(shù)據(jù),計算它的體積為:V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=(6+1.5π)cm1.故答案為6+1.5π.點睛:根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結合圖中數(shù)據(jù)計算它的體積即可.10、B【解析】

由題意得,,求解即可.【詳解】因為,所以.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎題.11、D【解析】試題分析:,,故選D.考點:點線面的位置關系.12、D【解析】

利用等差數(shù)列通項公式推導出λ,由d∈[1,2],能求出實數(shù)λ取最大值.【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是減函數(shù),∴d=1時,實數(shù)λ取最大值為λ.故選D.【點睛】本題考查實數(shù)值的最大值的求法,考查等差數(shù)列的性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)流程圖,運行程序即得.【詳解】第一次運行,;第二次運行,;第三次運行,;第四次運行;所以輸出的S的值是.故答案為:【點睛】本題考查算法流程圖,是基礎題.14、【解析】

依據(jù)圓錐的底面積和側面積公式,求出底面半徑和母線長,再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高,最后利用圓錐的體積公式求出體積?!驹斀狻吭O圓錐的底面半徑為,母線長為,高為,所以有解得,故該圓錐的體積為?!军c睛】本題主要考查圓錐的底面積、側面積和體積公式的應用。15、5.【解析】

由約束條件作出可行域,令z=3x+y,化為直線方程的斜截式,數(shù)形結合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設,當直線經(jīng)過點時,取最大值5.故答案為:5【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結合的解題思想方法,是中檔題.16、3-260【解析】

(1)令求得所有項的系數(shù)和;(2)先求出展開式中的常數(shù)項與含的系數(shù),再求展開式中的常數(shù)項.【詳解】將代入,得所有項的系數(shù)和為3.因為的展開式中含的項為,的展開式中含常數(shù)項,所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為:3;-260【點睛】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特殊項問題,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)p=2;(2)見解析(3)見解析【解析】

(1)取n=1時,由得p=0或2,計算排除p=0的情況得到答案.(2),則,相減得到3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn,再化簡得到,得到證明.(3)分別證明充分性和必要性,假設an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù),計算化簡得2x﹣2y﹣2=1,設k=x﹣(y﹣2),計算得到k=1,得到答案.【詳解】(1)n=1時,由得p=0或2,若p=0時,,當n=2時,,解得a2=0或,而an>0,所以p=0不符合題意,故p=2;(2)當p=2時,①,則②,②﹣①并化簡得3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn③,則3an+2=4﹣Sn+2﹣Sn+1④,④﹣③得(n∈N*),又因為,所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且;(3)充分性:若x=1,y=2,由知an,2xan+1,2yan+2依次為,,,滿足,即an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列;必要性:假設an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù),又,所以,化簡得2x﹣2y﹣2=1,顯然x>y﹣2,設k=x﹣(y﹣2),因為x、y均為整數(shù),所以當k≥2時,2x﹣2y﹣2>1或2x﹣2y﹣2<1,故當k=1,且當x=1,且y﹣2=0時上式成立,即證.【點睛】本題考查了根據(jù)數(shù)列求參數(shù),證明等比數(shù)列,充要條件,意在考查學生的綜合應用能力.18、(1);(2).【解析】

(1)將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程,由點到直線距離公式可求得圓心到直線距離,結合垂徑定理即可求得的長;(2)將的極坐標化為直角坐標,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求得直線與圓的兩個交點坐標,由中點坐標公式求得的坐標,再根據(jù)兩點間距離公式即可求得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),化為直角坐標方程為,即直線與曲線交于兩點.則圓心坐標為,半徑為1,則由點到直線距離公式可知,所以.(2)點的極坐標為,化為直角坐標可得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,化簡可得,解得,所以兩點坐標為,所以,由兩點間距離公式可得.【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉化,極坐標與直角坐標的轉化,點到直線距離公式應用,兩點間距離公式的應用,直線與圓交點坐標求法,屬于基礎題.19、(1)(2)答案不唯一,見解析【解析】

(1)由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分別由三角形面積公式可得答案.【詳解】解:(1)在中,因為,又已知,所以,因為,所以,于是.所以.(2)在中,由余弦定理得,得解得或,當時,的面積,當時,的面積.【點睛】本題考查正余弦定理理解三角形,涉及三角形的面積公式和分類討論思想,屬于中檔題.20、【解析】

先令,根據(jù)題中條件得到,求解,即可得出結果.【詳解】因為關于的方程的兩根都大于2,令所以有,解得,所以.【點睛】本題主要考查一元二次方程根的分布問題,熟記二次函數(shù)的特征即可,屬于??碱}型.21、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)取的中點,連接,,證明平面得出,再得出;(2)建立空間坐標系,求出平面的法向量,計算,即可得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點,連接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分別是,的中點,,.(2)解:四邊形是正方形,,又,,平面,平面,在平面內(nèi)作直線的垂線,以為原點,以,,為所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系,則,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,設平面的法向量為,,,則,即,令可得:,,,,.直線與平面所成角的正弦值為,.【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質,考查空間向量與空間角的計算,屬于中檔題.22、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)取中點,連接,根據(jù)菱形的性質,結合線面垂直的判定定理和性質進行證明即可;(2)根據(jù)面面垂直的判定定理和性質定理,可以確定點到直線的距離即為點到平面的距離,結合垂線段的性質可以確定點到平面的距離最大,最大值為1.以為坐標原點,直線分別為軸建立空間直角坐標系.利用空間向量夾角公式,結合同角的三角函數(shù)關系式進行求解即可.【詳解】(

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