希爾伯特與布勞威爾

希爾伯特與布勞威爾--形式主義與直覺(jué)主義在上一章，您讀到了矛盾、悖論以及動(dòng)搖數(shù)學(xué)根基的危機(jī)。危機(jī)這個(gè)詞，我們不能把它解釋得太寬泛。數(shù)學(xué)的方法論從來(lái)都不是問(wèn)題。在這些年里一一就是說(shuō)20世紀(jì)的早期，研究和應(yīng)用它的人一直都把數(shù)學(xué)技術(shù)運(yùn)用得非常好。在自然科學(xué)（在相對(duì)論和量子理論方面，科學(xué)取得了顯赫的進(jìn)步）、人文科學(xué)以及其他領(lǐng)域中，這種看法尤其正確。一旦確定了這種認(rèn)識(shí)，所要做的就是不要加上一些太苛刻的限制，即使在集合論中發(fā)現(xiàn)的悖論所造成的困難也已大半克服了。換句話說(shuō)，這些困難和更激烈的爭(zhēng)論跟數(shù)學(xué)技巧沒(méi)有關(guān)系。恰當(dāng)?shù)卣f(shuō)，它們跟數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)有關(guān)，也跟數(shù)學(xué)知識(shí)的范圍所涉及的問(wèn)題有關(guān)。某些數(shù)學(xué)上的發(fā)展無(wú)疑給了它們動(dòng)搖數(shù)學(xué)根基的動(dòng)力。這些發(fā)展，我們?cè)谇皫渍掠懻撨^(guò)。有一段時(shí)間，伯特蘭?羅素的邏輯主義（詳見(jiàn)第8章）似乎能解答一些使研究者們苦惱的問(wèn)題一一確實(shí)它甚至能為穩(wěn)固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)提供必要的根基。然而隨著鴻篇巨制的《數(shù)學(xué)原理》第三卷在1913年出版，這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)（邏輯主義）開(kāi)始衰落。這套書備受推崇，但讀的人很少。通過(guò)各種方法，羅素的邏輯主義避開(kāi)了各種悖論，但他還是沒(méi)能說(shuō)明他的體系能夠不產(chǎn)生矛盾。計(jì)劃好的第四卷一一特別集中處理幾何的基礎(chǔ)問(wèn)題，主要由A^N^懷特海撰寫一一因?yàn)榈谝淮问澜绱髴?zhàn)的爆發(fā)中斷了。羅素把他的注意力轉(zhuǎn)到和平事業(yè)，并跟英國(guó)政府產(chǎn)生了矛盾。1918年，他因詆毀美國(guó)軍隊(duì)，被判處6個(gè)月監(jiān)禁。在獄中，他寫了《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》（IntroductiontoMathematicalPhilosophy）（1919）。這本書是《數(shù)學(xué)原理》的一個(gè)介紹，也就是說(shuō)，這是一個(gè)嘗試，用以使他的邏輯觀念更容易為專家所接受，也使之更容易為“那些有必要了解這門重要現(xiàn)代科學(xué)方向的更廣大圈子”所接受。然而，更傾心于哲學(xué)的懷特海，在1924年離開(kāi)英國(guó)去美國(guó)教書了。與此同時(shí)，經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間，數(shù)學(xué)界領(lǐng)會(huì)了戴維?希爾伯特的代表作《幾何基礎(chǔ)》。這本書出版于1898年至1899年，出版后被翻譯成各主要?dú)W洲國(guó)家的語(yǔ)言，事后證明它極具影響。在20世紀(jì)的早期，希爾伯特已經(jīng)聲名卓著，在不變量理論和變分法方面，他做出了開(kāi)創(chuàng)性的工作，還出版了一本極其重要且富有影響的幾何學(xué)著作。他被選為很多國(guó)家的科學(xué)院的院士，并榮獲德國(guó)政府的樞密院顧問(wèn)頭銜，這相當(dāng)于英國(guó)的爵士。形式主義的開(kāi)端希爾伯特受邀在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)（巴黎，1900年）上演講，他列出了數(shù)學(xué)家在當(dāng)時(shí)面對(duì)的最富挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。在演講中他談到10個(gè)問(wèn)題，開(kāi)頭三個(gè)都是關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的。第一個(gè)問(wèn)題要求證明康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，我們?cè)诘?章中討論過(guò)。第二個(gè)問(wèn)題是尋求算術(shù)公理一致性的證明一一也就是說(shuō)，證明用基于這些公理的有限邏輯步驟永遠(yuǎn)不會(huì)導(dǎo)致矛盾的結(jié)果。廣而言之，他在探討數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)本身。正如他在這篇演講中所說(shuō)的：“證明（算術(shù)）公理的相容性的同時(shí)，也是在證明實(shí)數(shù)或連續(xù)統(tǒng)的完備系的數(shù)學(xué)存在?！钡谌齻€(gè)問(wèn)題是公理化那些數(shù)學(xué)在其中扮演重要角色的物理科學(xué)。過(guò)了4年到第三次大會(huì)的時(shí)候，由于各種（詳見(jiàn)第7章和第8章）悖論的出現(xiàn)，對(duì)這些基礎(chǔ)問(wèn)題，很多數(shù)學(xué)家已經(jīng)產(chǎn)生了不確定的感覺(jué)。希爾伯特看到：“事情的現(xiàn)狀是難以忍受的。只要想想，每一個(gè)人在數(shù)學(xué)中學(xué)的、教的和用的定義和演繹方法一一確定性的典范和真理一一都將導(dǎo)致謬論，這是多么可怕的現(xiàn)實(shí)！如果數(shù)學(xué)思考是有缺陷的，我們到哪里去找真理和確定性？”他想他在幾何的公理化上有過(guò)成功，為何不把同樣的方法用到所有的數(shù)學(xué)中去？他對(duì)大會(huì)建議：“我相信，我所設(shè)計(jì)的所有問(wèn)題都是可以征服的，通過(guò)我稱之為公理化的方法（我希望現(xiàn)在能找到它主要的觀點(diǎn)），能夠得到一個(gè)完全讓人滿意的數(shù)字概念基礎(chǔ)?！痹谒挠^點(diǎn)中，有一個(gè)企圖讓公理化體系更普遍的愿望。他想建立首尾一致的算術(shù)公理體系和從它們開(kāi)始的推導(dǎo)步驟。他還認(rèn)為，給羅素等人帶來(lái)麻煩的悖論是由所用語(yǔ)言的語(yǔ)義內(nèi)容造成的，也就是說(shuō)是由語(yǔ)句的模糊造成的。例如，從1891年開(kāi)始，希爾伯特就這樣主張：“在所有的幾何表述中，用桌子、椅子、啤酒杯這些詞來(lái)代替點(diǎn)、線、面應(yīng)該是可能的?！彼哪繕?biāo)是希望能按照專門或正式規(guī)則來(lái)處理數(shù)學(xué)符號(hào)，而不需要理會(huì)這些符號(hào)的“意思”（具體的、抽象的、直覺(jué)的）。一個(gè)大致的類比是象棋棋子的規(guī)則（這個(gè)類比也許不完全準(zhǔn)確）：象棋棋子的名字只是提示性的，而不決定象棋的走法。象棋的走法完全取決于慣例和游戲的規(guī)則。就這樣，希爾伯特名之為形式主義的學(xué)派誕生了。有趣的是，最開(kāi)始用“形式主義”這個(gè)詞的是布勞威爾。事實(shí)上，他專門用它來(lái)形容希爾伯特式的形式主義。他不加區(qū)別地把康托爾和弗雷格-羅素（詳見(jiàn)第8章）歸在經(jīng)典（就是說(shuō)非直覺(jué)主義的）數(shù)學(xué)一類。此外，在后來(lái)以形式主義者著稱的人所做的工作基礎(chǔ)上，其他人也做過(guò)一些早期的工作，如龐加萊和庫(kù)蒂拉特。然而，希爾伯特把這些零散的成果匯集起來(lái)，產(chǎn)生了有一個(gè)名人和一批追隨者的，能稱之為學(xué)派的力量。畢竟直到那時(shí)，他還是歐洲最重要的數(shù)學(xué)家之一，只有龐加萊的名聲比他響，因此他所主張的任何東西都很受重視。但是在20世紀(jì)早期，形式主義還僅僅只是一些粗糙的觀念，沒(méi)有經(jīng)過(guò)審慎、徹底的思考，也沒(méi)有明確的闡述。但在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)研究中，那些領(lǐng)先的成果開(kāi)始從英國(guó)傳到德國(guó)，從羅素傳到希爾伯特和他的追隨者，這種發(fā)展的勢(shì)頭已經(jīng)足夠讓人滿意了。同往常一樣，這引出了一個(gè)小問(wèn)題：有些人吸取一個(gè)觀點(diǎn)后就會(huì)超范圍使用它。在夸張的形式下，形式主義成了一種諷刺畫：這就是認(rèn)為數(shù)學(xué)僅僅是一種處理未標(biāo)記的和未經(jīng)詮釋的符號(hào)的方法，因此它不過(guò)是一種游戲，沒(méi)有多大意義。在某種程度上，這實(shí)際上是對(duì)托馬斯?亨利?赫胥黎（詳見(jiàn)第5章）立場(chǎng)的響應(yīng)。但希爾伯特給他“未經(jīng)詮釋的”幾何符號(hào)加上了額外的詮釋因素，使這些符號(hào)能用形式規(guī)則處理。對(duì)于形式主義的夸張說(shuō)法，希爾伯特與之沒(méi)有關(guān)系。無(wú)論如何，希爾伯特認(rèn)為沒(méi)有理由把形式主義者的觀點(diǎn)再往前推進(jìn)，他把注意力轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)分析，特別是積分方程和數(shù)學(xué)物理學(xué)中的一些問(wèn)題。直到1917年、1918年，他才回到基礎(chǔ)問(wèn)題研究上來(lái)。但就在這時(shí)，荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?￡"?布勞威爾卻持有一個(gè)與希爾伯特針?shù)h相對(duì)的立場(chǎng)，同時(shí)他正成為后來(lái)被稱為直覺(jué)主義的數(shù)學(xué)學(xué)派的旗手。他相信人類存在著根深蒂固的關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的思考模式，大部分以數(shù)學(xué)方式呈示出來(lái)的東西只不過(guò)是裝飾品而已。布勞威爾的傳記作者之一，沃爾特?范?斯蒂格特（WaltervanStigt）寫道：“布勞威爾和希爾伯特都不具有一種氣質(zhì)，能夠?qū)?shù)學(xué)爭(zhēng)議控制在超然的職業(yè)辯論層面上。布勞威爾尤其需要一種人身挑釁來(lái)刺激他做出行動(dòng)，他是一名斗士，需要有私敵來(lái)集中他的火力攻擊。很難講希爾伯特和布勞威爾在數(shù)學(xué)上的各個(gè)方面正好相反，但是現(xiàn)在，這場(chǎng)關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的辯論集中到了直覺(jué)主義和形式主義之間。這是一場(chǎng)戰(zhàn)斗，目標(biāo)就是爭(zhēng)取誰(shuí)能在國(guó)際上領(lǐng)先。”荷蘭烏德勒支大學(xué)的數(shù)學(xué)與哲學(xué)教授德克?范?達(dá)倫在前幾年寫了一部布勞威爾的兩卷本傳記。他認(rèn)為，起初，希爾伯特扮演了那個(gè)受辱的主角，但正是希爾伯特主導(dǎo)了后來(lái)的戰(zhàn)斗。范?達(dá)倫說(shuō)：“毫無(wú)疑問(wèn)，布勞威爾不能容忍剽竊和侮辱，但他不會(huì)開(kāi)釁引發(fā)沖突。通常他扮演防衛(wèi)者的角色?！狈?達(dá)倫說(shuō)，結(jié)果“這場(chǎng)本該純粹是學(xué)術(shù)爭(zhēng)論的沖突變成了一場(chǎng)針對(duì)個(gè)人的爭(zhēng)斗。1928年，希爾伯特不滿足僅由學(xué)生出面爭(zhēng)論，開(kāi)始攻擊布勞威爾在數(shù)學(xué)界的地位。對(duì)希爾伯特在以前的論文和談話中所持的敵意，布勞威爾已經(jīng)不在意了，但希爾伯特還是這樣做。”范?達(dá)倫認(rèn)為，希爾伯特沒(méi)有因此而受到責(zé)難是因?yàn)樗谶@個(gè)領(lǐng)域的地位一一沒(méi)有人膽敢批評(píng)他的論文?！爱?dāng)真正的決裂到來(lái)時(shí)，對(duì)于布勞威爾對(duì)他形成的有效阻礙，希爾伯特感到非常惱怒；對(duì)于這種不斷累積的侮辱及所造成的傷害，布勞威爾也是忍無(wú)可忍?！苯Y(jié)果范?達(dá)倫形容這兩個(gè)人是“這個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)世界里(將要形成的)最有影響的沖突中兩個(gè)主要的敵手。”愛(ài)因斯坦當(dāng)時(shí)在一本雜志的編輯部工作，這本雜志在這場(chǎng)喧鬧中扮演重要角色。他本可以成為這場(chǎng)沖突中的關(guān)鍵人物，但他一直保持中立。1928年，當(dāng)這場(chǎng)戲劇沖突發(fā)展到了關(guān)鍵且相當(dāng)殘忍的高潮時(shí)，愛(ài)因斯坦形容這兩個(gè)人及他們的追隨者之間的爭(zhēng)斗為青蛙與老鼠之間的戰(zhàn)爭(zhēng)。希爾伯特就是那只領(lǐng)頭的老鼠。老鼠盡管我們很難從愛(ài)因斯坦所用的“老鼠”這個(gè)詞猜出它的意思，但在20世紀(jì)頭10年，希爾伯特也許是當(dāng)時(shí)最偉大的數(shù)學(xué)家(龐加萊已于1912年去世)。1862年，他生于柯尼斯堡(Konigsberg)的郊區(qū)，并在那里接受早期的教育。他的傳記作者康斯坦斯?雷德(ConstanceReid)說(shuō)他的早期學(xué)校教育很傳統(tǒng)，通常都是靠死記硬背，但是“看起來(lái)，他只有自己用腦思考一番才能真正理解些東西”。然而他的數(shù)學(xué)學(xué)得很好，這很適合他這種大腦。雷德說(shuō)希爾伯特的一個(gè)侄女后來(lái)回憶說(shuō)，家里人都認(rèn)為他有一點(diǎn)點(diǎn)癡狂。1880年，他進(jìn)入柯尼斯堡大學(xué)，5年后，他在那里獲得博士學(xué)位。1895年，他成為哥廷根大學(xué)的正教授，這所大學(xué)已發(fā)展成為數(shù)不多的不在大城市的數(shù)學(xué)中心之一。在那時(shí)，他已經(jīng)展現(xiàn)出了他在數(shù)學(xué)方面的廣泛興趣和卓越能力。在他整個(gè)學(xué)術(shù)生涯中，很少有領(lǐng)域他沒(méi)有做出原創(chuàng)性貢獻(xiàn)的。在某種程度上要感謝希爾伯特日益增長(zhǎng)的聲譽(yù)，哥廷根大學(xué)的聲譽(yù)也在急速地增長(zhǎng)，該校一直吸引著其他正在成長(zhǎng)中的重要數(shù)學(xué)家，還有教員，也有學(xué)生。他們中間有赫爾曼?閔可夫斯基(HermannMinkowski，1864—1909)，希爾伯特聘他做教員，他后來(lái)成了希爾伯特親密的朋友和同事。大學(xué)還在1899年招入策梅洛作無(wú)薪講師。赫爾曼?外爾(HermannWeyl，1885—1955)在1903年來(lái)到哥廷根，那時(shí)他還是一個(gè)18歲的“農(nóng)村小伙子”。后來(lái)，在新澤西州普林斯頓高等研究院(theInstituteforAdvancedStudyinPrinceton，NewJersey)工作時(shí)，外爾寫道：“那一個(gè)學(xué)期，希爾伯特宣布開(kāi)設(shè)關(guān)于數(shù)字的概念和求圓的面積的課，我擅自去聽(tīng)了。對(duì)我來(lái)說(shuō)，大部分課都太難了，但一扇新世界的大門為我打開(kāi)了?！痹诩磳⒌絹?lái)的希爾伯特和布勞威爾之間的戰(zhàn)斗中，外爾將成為一個(gè)重要的參與者。在最終爆發(fā)的沖突中，希爾伯特廣泛的興趣是一個(gè)誘因。他早期的作品《幾何基礎(chǔ)》將他引回這個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，他對(duì)基礎(chǔ)問(wèn)題潛在的興趣是因素之一。正如我在上一章所說(shuō)明的，這本書是他運(yùn)用皮亞諾的原理，用一種嚴(yán)格的公理化方式重新構(gòu)造歐幾里得幾何的嘗試，盡管沒(méi)有使用皮亞諾復(fù)雜的符號(hào)系統(tǒng)。皮亞諾的一個(gè)目標(biāo)就是不借助直覺(jué)將數(shù)學(xué)用形式語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，希爾伯特對(duì)此表示懷疑。他還認(rèn)為用歐幾里得幾何作為幾何的模板和基礎(chǔ)是錯(cuò)誤的。他和當(dāng)時(shí)的其他人都認(rèn)為，歐幾里得幾何有演繹式的結(jié)構(gòu)，但它充滿了隱藏的假定、不準(zhǔn)確的定義和邏輯錯(cuò)誤。希爾伯特希望為幾何建立一個(gè)更穩(wěn)固的基礎(chǔ)，同時(shí)也消除對(duì)直覺(jué)的依賴。幾何學(xué)的其他進(jìn)展也引起了他的注意。19世紀(jì)早期，尼古拉?羅巴切夫斯基(NikolaiLobachevsky)、雅諾什?波爾約(JanosBolyai)、本哈德?黎曼(BernhardRiemann)和卡爾?高斯已經(jīng)說(shuō)明非歐幾何是可能的，從而歐幾里得的一個(gè)主要基本原理(平行公設(shè))不再是正確的。此外，在歐幾里得幾何中，三角形所有內(nèi)角的和是180度；而在非歐幾何中，可能得到其他的值。希爾伯特認(rèn)為，為了整合幾何，再整合數(shù)學(xué)，使之更明確，必須通過(guò)剔除某些假設(shè)的方法來(lái)做嘗試。因?yàn)橹С挚低袪?，他?shí)際已經(jīng)卷入了沖突。他還認(rèn)為克羅內(nèi)克的執(zhí)著威脅了數(shù)學(xué)的進(jìn)展。你會(huì)回想起，克羅內(nèi)克想將數(shù)學(xué)與高度主觀的直覺(jué)基礎(chǔ)緊密聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)逐步建構(gòu)，將其限制在一個(gè)真切實(shí)在的世界里。而希爾伯特正相反，他只要求邏輯表達(dá)的一致性。他確信，對(duì)于克羅內(nèi)克極力反對(duì)的無(wú)理數(shù)，不應(yīng)該排除在數(shù)字的世界之外。沒(méi)有它們，分析領(lǐng)域?qū)S為不毛之地。此外，希爾伯特還認(rèn)為，為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，支持康托爾在無(wú)窮上的觀念將是必要的。他認(rèn)為這不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。他寫道：“對(duì)無(wú)窮的性質(zhì)進(jìn)行最后的澄清已經(jīng)變得很有必要，這不僅是為了各門科學(xué)的專門利益，也是為了人類對(duì)自身理智的尊嚴(yán)。”但是，斯蒂芬?G?辛普森(StephenG.Simpson)在《符號(hào)邏輯雜志》(JournalofSymbolicLogic)發(fā)表文章稱，希爾伯特把無(wú)窮數(shù)學(xué)重構(gòu)成一個(gè)博大精妙的形式體系的想法“導(dǎo)致了一個(gè)沒(méi)有必要的知識(shí)災(zāi)難”。辛普森說(shuō)：“這樣做很容易被布勞威爾指責(zé)為空洞的形式主義。”下面說(shuō)的就是這種指責(zé)是怎樣發(fā)生的。青蛙魯伊茲?埃格伯圖斯?簡(jiǎn)?布勞威爾(LuitzenEgbertusJanBrouwer)通常以簡(jiǎn)稱L?EW布勞威爾聞名。他1881年2月27日生于奧威斯切(Overschie)，這地方現(xiàn)在是荷蘭鹿特丹的一個(gè)郊區(qū)。在校期間，他表現(xiàn)很好。當(dāng)他還是阿姆斯特丹大學(xué)的一個(gè)本科生時(shí)，就在四維空間的連續(xù)運(yùn)動(dòng)上做出了原創(chuàng)性工作。這使得位于阿姆斯特丹的皇家科學(xué)院在他還未畢業(yè)時(shí)就出版了他的著作。從1904年到1907年，他從事哲學(xué)和神秘主義的研究。1905年，他寫了一本名為《生命，藝術(shù)和神秘主義》(Life，ArtandMysticism)的書。他的思想反映了一些對(duì)時(shí)代的浪漫想法，表露出一種對(duì)人類主宰自然(也就是世界)的拒絕。這包括反對(duì)對(duì)環(huán)境的開(kāi)采和征服。作為一個(gè)真正的神秘主義者，他否認(rèn)準(zhǔn)確交流的可能性和語(yǔ)言的作用。這些觀點(diǎn)都將使他對(duì)形式主義添上感情色彩。他是什么樣的人？他的天才是不容置疑的。對(duì)于他的性格，人們用憤世嫉俗、自私自利、神經(jīng)過(guò)敏、情緒化和頑固這樣的詞來(lái)描述。在關(guān)于布勞威爾的傳記中，范?達(dá)倫寫道：“布勞威爾是一個(gè)神經(jīng)過(guò)敏的人，壓力之下，他很容易夸大事實(shí)。另外，他對(duì)正義有種極端的熱情。正如路德維希?比貝爾巴赫(LudwigBieberbach)(后面我們會(huì)說(shuō)到他)所說(shuō)，他是一個(gè)正義狂(Gerechtigkeits-fanatike)。結(jié)果，他會(huì)在一種完全像是戰(zhàn)爭(zhēng)的情勢(shì)中遭遇不正義一一不管是針對(duì)誰(shuí)?！弊鳛橐粋€(gè)學(xué)生，他回避社交，不善與人相處。在他最好的朋友(一個(gè)杰出的社會(huì)主義者、詩(shī)人)指引下，他學(xué)會(huì)了參加社會(huì)活動(dòng)。慢慢地，他極度渴望結(jié)交朋友，而且高談闊論成癖。1907年，他從阿姆斯特丹大學(xué)獲得數(shù)學(xué)和物理學(xué)博士學(xué)位。在那里，他的興趣延伸到了拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對(duì)這兩門學(xué)科，在其一生中，他都作出重要貢獻(xiàn)。盡管還只是個(gè)研究生，但在當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的討論中，他有一些很強(qiáng)有力的觀點(diǎn)，這些想法都體現(xiàn)在他的博士論文《關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(OntheFoundationsofMathematics)里。關(guān)于龐加萊和羅素之間的爭(zhēng)論，很明顯他站在龐加萊一邊。他爭(zhēng)辯說(shuō)雖然邏輯主義可能在某些場(chǎng)合有用，但它不能為數(shù)學(xué)提供一個(gè)穩(wěn)固的基礎(chǔ)。盡管羅素在宣揚(yáng)數(shù)學(xué)依賴于邏輯，但布勞威爾主張邏輯依賴于數(shù)學(xué)。另外，盡管希爾伯特還沒(méi)有完全發(fā)展出他在形式主義上的觀點(diǎn)，但布勞威爾已經(jīng)了解希爾伯特有足夠多他不喜歡的東西。他批評(píng)希爾伯特的觀點(diǎn)，舉例說(shuō)，不能保證有一個(gè)可以讓人接受的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)能夠滿足一個(gè)連貫的數(shù)學(xué)定理的要求。他還對(duì)康托爾的超限數(shù)理論不滿。有趣的是，盡管布勞威爾激烈批評(píng)希爾伯特的計(jì)劃，但這似乎不影響希爾伯特對(duì)布勞威爾的感覺(jué)。毫無(wú)疑問(wèn)，這是因?yàn)椴紕谕柕恼撐氖怯煤商m文寫的，流傳不廣。比如在1909年，他們?cè)诿匀说暮I度假勝地席凡寧根(Scheveningen)會(huì)面了。顯然晤談很成功。比希爾伯特小19歲的布勞威爾向希爾伯特展現(xiàn)了他的語(yǔ)言和數(shù)學(xué)水平。后來(lái)在一封給朋友的信中，他形容希爾伯特為“世界上首屈一指的數(shù)學(xué)家?！?912年，希爾伯特不僅幫布勞威爾推薦了阿姆斯特丹大學(xué)的一個(gè)教授職位(直到那時(shí)，布勞威爾還是一個(gè)無(wú)薪講師)。后來(lái)到1919年，希爾伯特還給他提供了哥廷根大學(xué)的一個(gè)教授職位一一這絕對(duì)是一個(gè)晉升。但布勞威爾拒絕了(在將要到來(lái)的決裂中，這或許是一個(gè)原因)。布勞威爾一直呆在阿姆斯特丹大學(xué)，直到他1951年退休。布勞威爾在拓?fù)鋵W(xué)上的成就和他在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)上的觀念為他贏得了一致的聲譽(yù)，盡管在開(kāi)始的時(shí)候他在直覺(jué)主義上的觀點(diǎn)還不被廣為接受。1912年，他被選為荷蘭皇家科學(xué)院(RoyalNetherlandsAcademyofScience)成員。自那以后，柏林的普魯士科學(xué)院(thePrussianAcademyofScience)、美國(guó)哲學(xué)會(huì)(theAmericanPhilosophicalSociety)、倫敦的皇家學(xué)會(huì)(theRoyalSociety)都選他為成員。他還獲得過(guò)幾個(gè)榮譽(yù)博士學(xué)位。雖然也做過(guò)其他的研究工作，但他主要關(guān)注基礎(chǔ)問(wèn)題。1908年，他寫出了一篇名為《關(guān)于邏輯原理的不可靠性》(OntheUnreliabilityoftheLogicalPrinciples)。這篇論文認(rèn)為運(yùn)用排中律(PEM，theprincipleoftheexcludedmiddle)的數(shù)學(xué)證明是不合理的。排中律是一個(gè)基本的邏輯定律，也是一個(gè)常用的數(shù)學(xué)技巧。排中律宣稱每一個(gè)數(shù)學(xué)表述要么對(duì)，要么錯(cuò)，其他可能性都是不允許的。接著，1912年，在阿姆斯特丹大學(xué)的數(shù)學(xué)教授就職演說(shuō)上，布勞威爾進(jìn)一步探討了他認(rèn)為與這個(gè)“定律”有聯(lián)系的問(wèn)題。布勞威爾認(rèn)為排中律是用得過(guò)于自由的邏輯原理的典型。這個(gè)原理宣稱每一個(gè)有意義的表述要么對(duì)，要么錯(cuò)，它是所謂間接證明方法的基礎(chǔ)，這種方法允許用常規(guī)邏輯或利用矛盾的反證法。在這里，如果某命題不正確，我們可以通過(guò)實(shí)證產(chǎn)生一個(gè)邏輯矛盾來(lái)證明某些命題正確。布勞威爾拒絕接受排中律，堅(jiān)持認(rèn)為第三種情況是存在的。他使用“未決的"(undecided)這個(gè)詞來(lái)稱呼那些通過(guò)有限的推導(dǎo)步驟還不能決定是對(duì)還是錯(cuò)的表述。他經(jīng)常置疑建立在排中律基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)證明，稱它們是“所謂的證明”。1920年，他聲稱：“將排中律用作數(shù)學(xué)證明的一部分，是不允許的……(它)只具有學(xué)理和啟發(fā)的價(jià)值，因此那些在證明中不能避免使用這個(gè)原理的定理是缺乏數(shù)學(xué)內(nèi)涵的?！毕柌鼗貞?yīng)道：“把排中律排除在數(shù)學(xué)之外就像……禁止拳手使用拳頭一樣?！边@個(gè)要求確實(shí)是個(gè)極端的限制，很多數(shù)學(xué)家和科學(xué)家都難以接受，特別是那些經(jīng)常用到它的人。第二年，布勞威爾開(kāi)始宣傳他的觀點(diǎn)，這開(kāi)始成為他余生的事業(yè)。盡管在1909年和1913年，布勞威爾在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域里取得了優(yōu)異的成果，但他從來(lái)沒(méi)有發(fā)表拓?fù)鋵W(xué)方面的演講。上過(guò)他課的巴特爾，L?范德瓦爾登(BartelL.vanderWaerden)回憶說(shuō)，他從來(lái)不看學(xué)生，不問(wèn)問(wèn)題，總是在直覺(jué)的基礎(chǔ)上講課。在后來(lái)的采訪中，范德瓦爾登說(shuō)：“看起來(lái)，他不再確信他在拓?fù)鋵W(xué)中的成果，因?yàn)閺闹庇X(jué)主義的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它們不是正確的。他以前所做的工作、他最偉大的成就和他的錯(cuò)誤，他都按照他的哲學(xué)來(lái)作評(píng)判。他是一個(gè)很奇怪的人，瘋狂地愛(ài)著他的哲學(xué)?！碑?dāng)然，布勞威爾看待事物有點(diǎn)不同。在他1919年的論文《直覺(jué)主義的集合論》(IntuitionisticSetTheory)中，布勞威爾指出他早期的拓?fù)鋵W(xué)研究從直覺(jué)主義觀點(diǎn)來(lái)看是不正確的。他接著說(shuō)，這些工作中的大部分都可以用直覺(jué)主義框架來(lái)補(bǔ)救。他舉了一些例子(例如不動(dòng)點(diǎn)定理)，說(shuō)明這些成果的直覺(jué)主義形式如何得到證明。1917年至1920年，布勞威爾開(kāi)始進(jìn)一步發(fā)展他的直覺(jué)主義觀點(diǎn)，包括沿著直覺(jué)主義思路發(fā)展集合論。大約1920年后，他認(rèn)為是向外界發(fā)布這些成果的時(shí)候了。這顯然是對(duì)希爾伯特工作的挑戰(zhàn)。更糟糕的是，發(fā)表過(guò)一篇不尋常的分析基礎(chǔ)方面名為《連續(xù)統(tǒng)》(TheContinuum)的論文的外爾，這時(shí)轉(zhuǎn)變了立場(chǎng)。1921年，外爾甚至又發(fā)表一篇新文章解釋他的新立場(chǎng)，說(shuō)在某種程度上，希爾伯特的方法將所有的東西都簡(jiǎn)化成了一種游戲。外爾曾經(jīng)是希爾伯特的優(yōu)秀學(xué)生，希爾伯特曾指望他成為一個(gè)忠實(shí)的追隨者。1920年春天，在外爾寫的一份稿件上，布勞威爾寫了一些評(píng)論表達(dá)了他的想法，并把它送給外爾。布勞威爾以這樣的話開(kāi)頭：“你毫無(wú)保留的支持給了我無(wú)窮的快樂(lè)……在一些小地方，我們有不同意見(jiàn)，這只會(huì)給我們更多激勵(lì)?！睂?duì)于這種變故，希爾伯特看得很重。有趣的是，大約1925年后，外爾試著在這兩個(gè)爭(zhēng)論者之間采取中立立場(chǎng)，但那時(shí)希爾伯特已經(jīng)對(duì)他有成見(jiàn)了。反擊當(dāng)1922年希爾伯特開(kāi)始反擊時(shí)，他寫了一篇針對(duì)外爾和布勞威爾兩人的文章。他首先陳述了他對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比當(dāng)前所取得的成就更需要深入研究的信念。接著，他寫道：“杰出的、成就卓著的數(shù)學(xué)家外爾和布勞威爾正在通過(guò)肯定是錯(cuò)誤的途徑來(lái)尋找這些問(wèn)題的解決方法?！比缓笏忉屃诉@樣說(shuō)的原因，并接著陳述他自己的觀點(diǎn)。他謹(jǐn)慎地指出，他針對(duì)連續(xù)統(tǒng)基礎(chǔ)的方法“并不與直覺(jué)相悖。我們從直覺(jué)中得出的外延量概念不依賴于數(shù)的概念，因此如果我們?cè)跀?shù)與質(zhì)量數(shù)或數(shù)量之間做一個(gè)基本的區(qū)分，它就會(huì)與直覺(jué)完全一致?！彼又鴮懙?，其他人都曾經(jīng)仔細(xì)研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題，“如果外爾在這里看到了一個(gè)‘基礎(chǔ)的內(nèi)部不穩(wěn)定，而整個(gè)(數(shù)學(xué))帝國(guó)都建立在這個(gè)基礎(chǔ)上?！绻麚?dān)心‘分析體系的瓦解即將到來(lái)’，那么他是見(jiàn)著鬼了?！毕柌亟又f(shuō)：當(dāng)然，證明公理一致性的問(wèn)題出現(xiàn)了。這是一個(gè)很出名的問(wèn)題，幾十年來(lái)我一直關(guān)注它。這個(gè)報(bào)告就是關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的解決方法的。外爾和布勞威爾所做的基本上是沿著以前克羅內(nèi)克所走的老路。拋棄所有令他們不快的現(xiàn)象，并按照克羅內(nèi)克的方式建立專政來(lái)加以禁止，他們尋求通過(guò)這種方式來(lái)為數(shù)學(xué)樹(shù)立基礎(chǔ)。但這意味著肢解并毀壞我們的科學(xué)，如果我們追隨這些改革者，我們將冒失去很大一批最寶貴財(cái)富的危險(xiǎn)……我相信，就像克羅內(nèi)克在當(dāng)年不能消除無(wú)理數(shù)一樣……今天，外爾和布勞威爾也將行不通他們的計(jì)劃。不，布勞威爾不是外爾所相信的那樣是一個(gè)革命者，而是一個(gè)重復(fù)者，他用著舊工具，嘗試在當(dāng)時(shí)用橫沖直撞的方法發(fā)動(dòng)一場(chǎng)政變，但還是徹底失敗了?，F(xiàn)在弗雷格、戴德金和康托爾加入了進(jìn)來(lái)，這個(gè)陣營(yíng)有了更多的武裝，力量更強(qiáng)了，這種政變注定要失敗。在一些介紹性的內(nèi)容之后，他說(shuō)“對(duì)公理一致性的表述，幾乎沒(méi)有這么認(rèn)真的，無(wú)論是在數(shù)論、分析還是在集合論中?！痹谖闹?，為了回應(yīng)外爾和布勞威爾的抨擊，他提出了經(jīng)過(guò)修訂的大膽的新計(jì)劃，這個(gè)計(jì)劃為形式主義的學(xué)派樹(shù)立了一個(gè)更新更牢固的基礎(chǔ)。他繼續(xù)在文中提出了對(duì)分析公理一致性的證明的大概想法，把數(shù)論建立在數(shù)“1”和符號(hào)“+”的基礎(chǔ)上?！爱?dāng)我們用這種方法發(fā)展數(shù)論時(shí)，不需要公理，也不可能有任何矛盾產(chǎn)生?！蔽闹惺Ｏ碌牟糠炙?wù)摿藙e的話題。然而范?達(dá)倫說(shuō)：“希爾伯特從來(lái)沒(méi)有成功地證明過(guò)他的論據(jù)。這有點(diǎn)像自行車內(nèi)胎上的一個(gè)凸起(原文如此)，每次他按下這個(gè)凸起，別的地方又冒出另一個(gè)。直接地說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題極端的復(fù)雜。多年以后，在1936年，杰出的德國(guó)數(shù)學(xué)家格哈德?根岑(GerhardGentzen，1909一1945)最終成功地找到了關(guān)于超限過(guò)程完整而正確的分析方法。”利用根岑的新方法，人們認(rèn)識(shí)到希爾伯特的證明理論是一個(gè)極好而又有力的數(shù)學(xué)工具，對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)尤其有幫助。外爾的事跡有一個(gè)有趣的后記。同樣在1922年的那篇文章中，希爾伯特把布勞威爾和外爾當(dāng)作一個(gè)團(tuán)伙來(lái)抨擊，無(wú)視他們兩人之間觀點(diǎn)的顯然不同，例如他們對(duì)直覺(jué)主義的詮釋。接著，如我在前面所提到的，大約1925年的時(shí)候，外爾開(kāi)始稍微遠(yuǎn)離布勞威爾的直覺(jué)主義。從那時(shí)起，希爾伯特將他的抨擊主要集中在布勞威爾的身上，但同時(shí)也無(wú)視外爾的轉(zhuǎn)變。比如即使遲至1928年，希爾伯特還提起“他的學(xué)派將一切都簡(jiǎn)化為一個(gè)游戲”這個(gè)批評(píng)，并做出回應(yīng)。但是你會(huì)回想起，這是外爾的批評(píng)，而不是布勞威爾的。這次兩人都認(rèn)識(shí)到他們的爭(zhēng)端存在于兩個(gè)水平面上，理解這一點(diǎn)很重要。當(dāng)然這里也有個(gè)人競(jìng)爭(zhēng)，但兩人也都在一個(gè)更廣的意義上把自己看作救世主。也就是說(shuō)，兩人都認(rèn)為數(shù)學(xué)處于一場(chǎng)根本的危機(jī)中，他們每個(gè)人都認(rèn)為自己是那個(gè)能把數(shù)學(xué)從衰落和頹敗中拯救出來(lái)的人。另外，至少希爾伯特的擔(dān)心更甚。他認(rèn)為：“如果數(shù)學(xué)失敗了，人類的精神也會(huì)失敗?！?928年，在他對(duì)希爾伯特新方法的一個(gè)回應(yīng)中，布勞威爾寫道“所有這些表明，形式主義從直覺(jué)主義那里沒(méi)有直接接受任何東西，但卻從中受啟發(fā)多，而且它還有望受益更多?！币虼诵问街髁x學(xué)派應(yīng)該給直覺(jué)主義一些贊譽(yù)，而不是用輕蔑的語(yǔ)氣攻擊它，甚至提都不提作者的名字。并且，形式主義應(yīng)該考慮這樣一個(gè)事實(shí)：迄今為止，在形式主義的框架內(nèi)，正確的數(shù)學(xué)知識(shí)沒(méi)有哪一樣得到了保護(hù)(既然公理系統(tǒng)的一致性的證明都還是缺失的)?！霸诹硪环矫?，直覺(jué)主義……已經(jīng)建立了有著不可置疑確定性的數(shù)學(xué)新基礎(chǔ)?！睂?duì)布勞威爾來(lái)說(shuō)，任何語(yǔ)言，包括形式主義者的，都是有用的，但僅限于交流。布勞威爾的一個(gè)博士生阿倫德?海廷(ArendHeyting)在1930年恰當(dāng)?shù)貙懙溃骸敖⒁惶着c直覺(jué)主義的數(shù)學(xué)等同的規(guī)則系統(tǒng)在理論上是不可能的，因?yàn)樗伎嫉目赡苄圆荒芎?jiǎn)化為有限幾步預(yù)先建立的規(guī)則?！被仡櫼幌?，我們可以看到，希爾伯特和布勞威爾在談?wù)撝H有分歧的觀點(diǎn)。他們的分歧中至少有一點(diǎn)卷入了國(guó)家感情的沖突一一奇怪的是，作為非德藉數(shù)學(xué)家，在一本黎曼的紀(jì)念冊(cè)上，他強(qiáng)烈反對(duì)收入一些法國(guó)數(shù)學(xué)家的名字，這讓希爾伯特很惱火。最后，他們的爭(zhēng)論牽涉到了更多的個(gè)人偏見(jiàn)一一雙方都這樣。無(wú)情的攻擊盡管布勞威爾沒(méi)有希爾伯特那么有名，但他還是在數(shù)學(xué)界樹(shù)立了牢固的聲譽(yù)。1925年和1926年，他開(kāi)始在諸如《數(shù)學(xué)年鑒》(MathematischeAnnalen)這樣的雜志上發(fā)表論文。1914年，他被任命為這個(gè)備受尊敬的雜志編輯部的成員，從那以后，他謹(jǐn)慎并慢條斯理地為雜志工作著。這項(xiàng)任命是一個(gè)榮譽(yù)，也是對(duì)他在數(shù)學(xué)界里所受尊敬的表示。但即便在這里，他暴躁的脾氣也產(chǎn)生了負(fù)面影響。費(fèi)利克斯?克萊因(FelixKlein)是雜志的主編之一，他已經(jīng)決定要辭職，很顯然這是因?yàn)楹筒紕谕柊l(fā)生爭(zhēng)執(zhí)引起的一一這場(chǎng)爭(zhēng)執(zhí)中，布勞威爾實(shí)際上是對(duì)的，但他表現(xiàn)得太粗魯了，于是克萊因決定引退。這是一個(gè)讓人震驚的結(jié)果，因?yàn)榭巳R因已經(jīng)為《數(shù)學(xué)年鑒》工作了好多年，在某種程度上，他已成為總編輯，為雜志的成功作出了巨大的貢獻(xiàn)。但希爾伯特也是《數(shù)學(xué)年鑒》的主要編輯之一。對(duì)布勞威爾來(lái)說(shuō)很不幸的是，用今天的話來(lái)說(shuō)，他只能稱為助理編輯，而希爾伯特是主編之一。實(shí)際上，在克萊因引退之后，希爾伯特接手了大部分的工作，結(jié)果這本雜志開(kāi)始有了“屬于”哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)家的名聲。我們可以從希爾伯特下一步的行動(dòng)看到，他們之間的爭(zhēng)端升級(jí)到了什么地步。青蛙和老鼠的戰(zhàn)爭(zhēng)在1928年10月底之前不久，布勞威爾收到了一封來(lái)自希爾伯特的信。信是這樣寫的：親愛(ài)的同事：既然我們倆在基礎(chǔ)問(wèn)題上的觀點(diǎn)無(wú)法調(diào)和，我和你合作是不可能的了。我已經(jīng)就授權(quán)問(wèn)題征求過(guò)《數(shù)學(xué)年鑒》執(zhí)行編輯部成員們的意見(jiàn)，布魯門薩爾(Blumenthal)和卡拉西奧多里(Caratheodory)(奧托(Otto)和康斯坦丁(Constantin)，是另外兩位執(zhí)行編輯，阿爾伯特?愛(ài)因斯坦是第四位)已經(jīng)授權(quán)給我通知你，從今往后，我們將放棄與你在編輯《年鑒》上的合作，因此也把你的名字從刊名頁(yè)上刪去。同時(shí)，我感謝你以《年鑒》編輯的名義，為了我們雜志的利益在過(guò)去所做的努力！敬禮！D?希爾伯特做出這種行動(dòng)的原因要比我們想象的復(fù)雜得多。主要的一個(gè)原因似乎是希爾伯特有些擔(dān)心他會(huì)早死一一在1925年11月，他已經(jīng)被診斷出有惡性貧血，他想確保布勞威爾的觀點(diǎn)不會(huì)繼續(xù)在《年鑒》成員中間潛移默化。還有一個(gè)個(gè)人的原因。德克?范?達(dá)倫轉(zhuǎn)述了布魯門薩爾對(duì)這個(gè)情況的看法：“希爾伯特認(rèn)為布勞威爾剛愎自用，難以捉摸，飛揚(yáng)跋扈。他……擔(dān)心，如果有一天希爾伯特離開(kāi)了編輯部，布勞威爾會(huì)迫使編輯部屈從他的意志?！绷硪粋€(gè)原因與德、法兩國(guó)數(shù)學(xué)家之間的關(guān)系有關(guān)。因?yàn)榈谝淮问澜绱髴?zhàn)，他們之間的關(guān)系一直很緊張。希爾伯特認(rèn)為，早先用來(lái)?yè)崞竭@些關(guān)系的機(jī)會(huì)都被布勞威爾破壞了。比如1926年，他們已經(jīng)擬好一個(gè)計(jì)劃，出版一本文集來(lái)紀(jì)念本哈德?黎曼一一也就是說(shuō)，出版一本文集來(lái)紀(jì)念他誕辰100周年。希爾伯特曾想收入一位重要的法國(guó)數(shù)學(xué)家保羅?潘勒韋(PaulPainleve)寫的論文。然而在1918年，潘勒韋曾激烈地譴責(zé)德國(guó)的科學(xué)界。希爾伯特和其他人認(rèn)為潘勒韋在后來(lái)已經(jīng)不再抱有這種敵意了，但布勞威爾堅(jiān)定地認(rèn)為收入潘勒韋的作品是對(duì)德國(guó)數(shù)學(xué)成就的侮辱。盡管希爾伯特的地位更高，但雜志運(yùn)作必不可少的民主程序使得這本書沒(méi)有收入任何法國(guó)數(shù)學(xué)家的文章，就這樣出版了。在這次清理門戶事件中，希爾伯特同樣需要其他執(zhí)行編輯們的默許。他從布魯門薩爾和卡拉西奧多里那里多少得到了不同程度的默許，但在愛(ài)因斯坦那里，他碰壁了。希爾伯特曾在10月15日寫信給愛(ài)因斯坦，請(qǐng)求他作為編輯的一員允許他給布勞威爾發(fā)一封辭退信。在他給出的理由中，有一條是：布勞威爾在以前一封信函中不僅侮辱了他（希爾伯特），而且還侮辱了大部分德國(guó)數(shù)學(xué)家；布勞威爾持有“對(duì)同情外國(guó)數(shù)學(xué)家有鮮明的敵對(duì)立場(chǎng)。他（希爾伯特）認(rèn)為把哥廷根大學(xué)當(dāng)作《年鑒》主要基地是一個(gè)好主意”。他還在附言中提到了他糟糕的身體狀況。愛(ài)因斯坦回信了，大意是:做你認(rèn)為該做的，但我不能在這樣一封辭退信上簽名。在一封給卡拉西奧多里的回信中，愛(ài)因斯坦答復(fù)說(shuō)（10月19日）：“最好不要在意這次的布勞威爾事件。我沒(méi)想到希爾伯特會(huì)有這樣的感情爆發(fā)?！闭缥以谇懊嫠岬降?，愛(ài)因斯坦不贊成這個(gè)計(jì)劃。如果希爾伯特以為布勞威爾會(huì)報(bào)以溫和的退讓，他就錯(cuò)了。希爾伯特精心謀劃弄了這樣一封辭退信，布勞威爾把這個(gè)突然而來(lái)的辭退當(dāng)作一種直接且重大的侮辱，盡管他沒(méi)有立即做出反應(yīng)，但也夠快的了。據(jù)一份報(bào)告說(shuō)，他“神經(jīng)發(fā)作”了，在最初的打擊后，他病了好幾天，同時(shí)還發(fā)燒。但是，事后他寫信給卡拉西奧多里：親愛(ài)的同事：經(jīng)過(guò)細(xì)致的考慮和廣泛的咨詢，我不得不采取這樣的態(tài)度：你發(fā)出的對(duì)我的要求（最先的辭退信是卡拉西奧多里發(fā)出的）一一它是在希爾伯特在頭腦不健全的時(shí)候發(fā)出的一一是無(wú)效的，除非這封信是希爾伯特夫人和希爾伯特的醫(yī)生寫的。敬禮L-E-J*布勞威爾對(duì)于布勞威爾來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤。在某種勾心斗角的游戲中，這封信可以看作是個(gè)很聰明的反擊。但在這種情勢(shì)下，正如布魯門薩爾所說(shuō)的，它會(huì)被看成是封“可怕而惹人憎惡的信”。他和卡拉西奧多里開(kāi)始懷疑，希爾伯特是否可能“比我們更了解他（布勞威爾），（對(duì)他）有更好的評(píng)價(jià)”。布勞威爾不屈不撓。他接下來(lái)寫信給希爾伯特夫人，請(qǐng)求她給丈夫吹吹枕邊風(fēng)，使其改變想法。他送了一份抄件給編輯部的另一名成員理查德?柯朗（RichardCourant）。柯朗居然真的去拜訪了希爾伯特夫人，但事后他回復(fù)布勞威爾，告訴他：在這件事上，希爾伯特不受任何人的影響。同一天（11月5日），布勞威爾在更大的范圍向所有的編輯們傾訴。布勞威爾作了幾個(gè)方面的解釋，申明他對(duì)希爾伯特說(shuō)的“對(duì)我的憤怒不斷增多”的看法：希爾伯特關(guān)于缺少合作的說(shuō)法是一個(gè)煙幕，因?yàn)樗麄冎g已有多年沒(méi)有通信；直到那時(shí)，還沒(méi)有人對(duì)他提出過(guò)任何反對(duì)意見(jiàn)；執(zhí)行編輯們把希爾伯特的健康狀況看得比他（布勞威爾的）的權(quán)利和尊嚴(yán)還重，這是不公平的；這次事件，使《年鑒》正在以它的權(quán)威性和科學(xué)內(nèi)容為代價(jià)做出犧牲?，F(xiàn)在，希爾伯特多少在這場(chǎng)沖突中做了些讓步，但除了愛(ài)因斯坦之外的編輯們都顯示了鮮明的立場(chǎng)，他們大多都站在了希爾伯特一邊。如我們所見(jiàn)，布勞威爾是僅有的三個(gè)非德籍編輯中的一個(gè)，因此多少算是個(gè)圈外人。這或許是產(chǎn)生最后結(jié)果的一個(gè)原因?？墒?，他給卡拉西奧多里的信中說(shuō)希爾伯特“頭腦不健全”，最有可能是這句話決定了他的命運(yùn)。于是，布勞威爾和編輯部的一個(gè)普通編輯路德維希?比貝爾巴赫一起到柏林去見(jiàn)出版商費(fèi)迪南德?斯普林格（FerdinandSpringer）。他們兩人發(fā)出警告說(shuō)，如果辭退令被執(zhí)行，《年鑒》和斯普林格出版社的利益都會(huì)受損。布勞威爾威脅說(shuō)要?jiǎng)?chuàng)辦一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)性的雜志，但斯普林格不在意這種威脅。原先與希爾伯特不合的布魯門薩爾現(xiàn)在堅(jiān)定地站在希爾伯特一邊，他也拿出了一封信給整個(gè)編輯部傳閱，以此答復(fù)布勞威爾的指責(zé)。他指出這樣一點(diǎn)：布勞威爾確實(shí)是一個(gè)非常盡責(zé)和活躍的編輯，但他和執(zhí)行編輯們的關(guān)系相處得很不好，他還常常讓作者們處于難以忍受的困境?！袄?，交給他評(píng)審的稿件經(jīng)常擱置幾個(gè)月?！钡堑驴?范?達(dá)倫指出：“布魯門薩爾沒(méi)有提到，在過(guò)去，他作為一名執(zhí)行編輯，經(jīng)常利用他的地位讓布勞威爾充當(dāng)一位麻煩解決者；他也沒(méi)有提到，他以前從來(lái)沒(méi)有抱怨過(guò)布勞威爾對(duì)稿件的處理?！北M管如此，事情還沒(méi)有解決，還需要一位關(guān)鍵人物的同意。如果愛(ài)因斯坦能夠被說(shuō)服加入到希爾伯特一邊，其他人的反對(duì)意見(jiàn)就很容易消除了。愛(ài)因斯坦的同事馬克思?波恩（MaxBorn）極力以個(gè)人的名義勸說(shuō)愛(ài)因斯坦。在11月27日的回信中，愛(ài)因斯坦清楚地表明他嚴(yán)格中立的立場(chǎng)。就是在這封信中，他提出了他對(duì)當(dāng)時(shí)形勢(shì)的巧妙比喻："青蛙和老鼠的戰(zhàn)爭(zhēng)”（Frosch-Mausekrieg）。他寫信給布勞威爾和布魯門薩爾說(shuō):“很遺憾，我像一只無(wú)知的羔羊甩入了數(shù)學(xué)的'狼群’……因此，請(qǐng)?jiān)试S我保持我的'既不噓又不呸’（Muhnoch-Mah）的態(tài)度，也請(qǐng)?jiān)试S我扮演一個(gè)對(duì)他們的行為感到不可思議的角色?！边@事還沒(méi)完。律師被請(qǐng)進(jìn)來(lái)了。布勞威爾給編輯們發(fā)了一封信（1929年1月23日）。信中，他指責(zé)希爾伯特和布魯門薩爾在《年鑒》編輯部里有“侵占”行為。德克?范?達(dá)倫解釋說(shuō)，在這里，布勞威爾使用這個(gè)詞（侵占）有著隱含的寓意。布勞威爾認(rèn)為，因?yàn)樾湃?，《年鑒》交付給了以（德國(guó)）數(shù)學(xué)家群體為主的編輯們托管，而因?yàn)橄柌氐男袨?，這種信任被破壞了。在此信之后，布勞威爾接著來(lái)了最后一擊：一封長(zhǎng)信。信中談了他對(duì)為什么他不應(yīng)該被解雇的基本看法，包括對(duì)克萊因事件的另一種解釋。但這些努力都無(wú)濟(jì)于事。最后辭退生效了。解決辦法是解散老編輯部，組成一個(gè)新的班子一一但有非常明顯的不同。正如1929年新的封面上所顯示的，將會(huì)只有出版者的名字，沒(méi)有編輯成員的名