希爾伯特與布勞威爾

希爾伯特與布勞威爾--形式主義與直覺主義在上一章，您讀到了矛盾、悖論以及動搖數(shù)學(xué)根基的危機。危機這個詞，我們不能把它解釋得太寬泛。數(shù)學(xué)的方法論從來都不是問題。在這些年里一一就是說20世紀(jì)的早期，研究和應(yīng)用它的人一直都把數(shù)學(xué)技術(shù)運用得非常好。在自然科學(xué)（在相對論和量子理論方面，科學(xué)取得了顯赫的進步）、人文科學(xué)以及其他領(lǐng)域中，這種看法尤其正確。一旦確定了這種認(rèn)識，所要做的就是不要加上一些太苛刻的限制，即使在集合論中發(fā)現(xiàn)的悖論所造成的困難也已大半克服了。換句話說，這些困難和更激烈的爭論跟數(shù)學(xué)技巧沒有關(guān)系。恰當(dāng)?shù)卣f，它們跟數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)有關(guān)，也跟數(shù)學(xué)知識的范圍所涉及的問題有關(guān)。某些數(shù)學(xué)上的發(fā)展無疑給了它們動搖數(shù)學(xué)根基的動力。這些發(fā)展，我們在前幾章討論過。有一段時間，伯特蘭?羅素的邏輯主義（詳見第8章）似乎能解答一些使研究者們苦惱的問題一一確實它甚至能為穩(wěn)固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)提供必要的根基。然而隨著鴻篇巨制的《數(shù)學(xué)原理》第三卷在1913年出版，這項運動（邏輯主義）開始衰落。這套書備受推崇，但讀的人很少。通過各種方法，羅素的邏輯主義避開了各種悖論，但他還是沒能說明他的體系能夠不產(chǎn)生矛盾。計劃好的第四卷一一特別集中處理幾何的基礎(chǔ)問題，主要由A^N^懷特海撰寫一一因為第一次世界大戰(zhàn)的爆發(fā)中斷了。羅素把他的注意力轉(zhuǎn)到和平事業(yè)，并跟英國政府產(chǎn)生了矛盾。1918年，他因詆毀美國軍隊，被判處6個月監(jiān)禁。在獄中，他寫了《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》（IntroductiontoMathematicalPhilosophy）（1919）。這本書是《數(shù)學(xué)原理》的一個介紹，也就是說，這是一個嘗試，用以使他的邏輯觀念更容易為專家所接受，也使之更容易為“那些有必要了解這門重要現(xiàn)代科學(xué)方向的更廣大圈子”所接受。然而，更傾心于哲學(xué)的懷特海，在1924年離開英國去美國教書了。與此同時，經(jīng)過很長時間，數(shù)學(xué)界領(lǐng)會了戴維?希爾伯特的代表作《幾何基礎(chǔ)》。這本書出版于1898年至1899年，出版后被翻譯成各主要歐洲國家的語言，事后證明它極具影響。在20世紀(jì)的早期，希爾伯特已經(jīng)聲名卓著，在不變量理論和變分法方面，他做出了開創(chuàng)性的工作，還出版了一本極其重要且富有影響的幾何學(xué)著作。他被選為很多國家的科學(xué)院的院士，并榮獲德國政府的樞密院顧問頭銜，這相當(dāng)于英國的爵士。形式主義的開端希爾伯特受邀在第二屆國際數(shù)學(xué)大會（巴黎，1900年）上演講，他列出了數(shù)學(xué)家在當(dāng)時面對的最富挑戰(zhàn)性的問題。在演講中他談到10個問題，開頭三個都是關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的。第一個問題要求證明康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，我們在第7章中討論過。第二個問題是尋求算術(shù)公理一致性的證明一一也就是說，證明用基于這些公理的有限邏輯步驟永遠不會導(dǎo)致矛盾的結(jié)果。廣而言之，他在探討數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)本身。正如他在這篇演講中所說的：“證明（算術(shù)）公理的相容性的同時，也是在證明實數(shù)或連續(xù)統(tǒng)的完備系的數(shù)學(xué)存在。”第三個問題是公理化那些數(shù)學(xué)在其中扮演重要角色的物理科學(xué)。過了4年到第三次大會的時候，由于各種（詳見第7章和第8章）悖論的出現(xiàn)，對這些基礎(chǔ)問題，很多數(shù)學(xué)家已經(jīng)產(chǎn)生了不確定的感覺。希爾伯特看到：“事情的現(xiàn)狀是難以忍受的。只要想想，每一個人在數(shù)學(xué)中學(xué)的、教的和用的定義和演繹方法一一確定性的典范和真理一一都將導(dǎo)致謬論，這是多么可怕的現(xiàn)實！如果數(shù)學(xué)思考是有缺陷的，我們到哪里去找真理和確定性？”他想他在幾何的公理化上有過成功，為何不把同樣的方法用到所有的數(shù)學(xué)中去？他對大會建議：“我相信，我所設(shè)計的所有問題都是可以征服的，通過我稱之為公理化的方法（我希望現(xiàn)在能找到它主要的觀點），能夠得到一個完全讓人滿意的數(shù)字概念基礎(chǔ)。”在他的觀點中，有一個企圖讓公理化體系更普遍的愿望。他想建立首尾一致的算術(shù)公理體系和從它們開始的推導(dǎo)步驟。他還認(rèn)為，給羅素等人帶來麻煩的悖論是由所用語言的語義內(nèi)容造成的，也就是說是由語句的模糊造成的。例如，從1891年開始，希爾伯特就這樣主張：“在所有的幾何表述中，用桌子、椅子、啤酒杯這些詞來代替點、線、面應(yīng)該是可能的。”他的目標(biāo)是希望能按照專門或正式規(guī)則來處理數(shù)學(xué)符號，而不需要理會這些符號的“意思”（具體的、抽象的、直覺的）。一個大致的類比是象棋棋子的規(guī)則（這個類比也許不完全準(zhǔn)確）：象棋棋子的名字只是提示性的，而不決定象棋的走法。象棋的走法完全取決于慣例和游戲的規(guī)則。就這樣，希爾伯特名之為形式主義的學(xué)派誕生了。有趣的是，最開始用“形式主義”這個詞的是布勞威爾。事實上，他專門用它來形容希爾伯特式的形式主義。他不加區(qū)別地把康托爾和弗雷格-羅素（詳見第8章）歸在經(jīng)典（就是說非直覺主義的）數(shù)學(xué)一類。此外，在后來以形式主義者著稱的人所做的工作基礎(chǔ)上，其他人也做過一些早期的工作，如龐加萊和庫蒂拉特。然而，希爾伯特把這些零散的成果匯集起來，產(chǎn)生了有一個名人和一批追隨者的，能稱之為學(xué)派的力量。畢竟直到那時，他還是歐洲最重要的數(shù)學(xué)家之一，只有龐加萊的名聲比他響，因此他所主張的任何東西都很受重視。但是在20世紀(jì)早期，形式主義還僅僅只是一些粗糙的觀念，沒有經(jīng)過審慎、徹底的思考，也沒有明確的闡述。但在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)研究中，那些領(lǐng)先的成果開始從英國傳到德國，從羅素傳到希爾伯特和他的追隨者，這種發(fā)展的勢頭已經(jīng)足夠讓人滿意了。同往常一樣，這引出了一個小問題：有些人吸取一個觀點后就會超范圍使用它。在夸張的形式下，形式主義成了一種諷刺畫：這就是認(rèn)為數(shù)學(xué)僅僅是一種處理未標(biāo)記的和未經(jīng)詮釋的符號的方法，因此它不過是一種游戲，沒有多大意義。在某種程度上，這實際上是對托馬斯?亨利?赫胥黎（詳見第5章）立場的響應(yīng)。但希爾伯特給他“未經(jīng)詮釋的”幾何符號加上了額外的詮釋因素，使這些符號能用形式規(guī)則處理。對于形式主義的夸張說法，希爾伯特與之沒有關(guān)系。無論如何，希爾伯特認(rèn)為沒有理由把形式主義者的觀點再往前推進，他把注意力轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)分析，特別是積分方程和數(shù)學(xué)物理學(xué)中的一些問題。直到1917年、1918年，他才回到基礎(chǔ)問題研究上來。但就在這時，荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?￡"?布勞威爾卻持有一個與希爾伯特針鋒相對的立場，同時他正成為后來被稱為直覺主義的數(shù)學(xué)學(xué)派的旗手。他相信人類存在著根深蒂固的關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的思考模式，大部分以數(shù)學(xué)方式呈示出來的東西只不過是裝飾品而已。布勞威爾的傳記作者之一，沃爾特?范?斯蒂格特（WaltervanStigt）寫道：“布勞威爾和希爾伯特都不具有一種氣質(zhì)，能夠?qū)?shù)學(xué)爭議控制在超然的職業(yè)辯論層面上。布勞威爾尤其需要一種人身挑釁來刺激他做出行動，他是一名斗士，需要有私敵來集中他的火力攻擊。很難講希爾伯特和布勞威爾在數(shù)學(xué)上的各個方面正好相反，但是現(xiàn)在，這場關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的辯論集中到了直覺主義和形式主義之間。這是一場戰(zhàn)斗，目標(biāo)就是爭取誰能在國際上領(lǐng)先?！焙商m烏德勒支大學(xué)的數(shù)學(xué)與哲學(xué)教授德克?范?達倫在前幾年寫了一部布勞威爾的兩卷本傳記。他認(rèn)為，起初，希爾伯特扮演了那個受辱的主角，但正是希爾伯特主導(dǎo)了后來的戰(zhàn)斗。范?達倫說：“毫無疑問，布勞威爾不能容忍剽竊和侮辱，但他不會開釁引發(fā)沖突。通常他扮演防衛(wèi)者的角色?！狈?達倫說，結(jié)果“這場本該純粹是學(xué)術(shù)爭論的沖突變成了一場針對個人的爭斗。1928年，希爾伯特不滿足僅由學(xué)生出面爭論，開始攻擊布勞威爾在數(shù)學(xué)界的地位。對希爾伯特在以前的論文和談話中所持的敵意，布勞威爾已經(jīng)不在意了，但希爾伯特還是這樣做?！狈?達倫認(rèn)為，希爾伯特沒有因此而受到責(zé)難是因為他在這個領(lǐng)域的地位一一沒有人膽敢批評他的論文?！爱?dāng)真正的決裂到來時，對于布勞威爾對他形成的有效阻礙，希爾伯特感到非常惱怒；對于這種不斷累積的侮辱及所造成的傷害，布勞威爾也是忍無可忍?！苯Y(jié)果范?達倫形容這兩個人是“這個世紀(jì)數(shù)學(xué)世界里(將要形成的)最有影響的沖突中兩個主要的敵手?！睈垡蛩固巩?dāng)時在一本雜志的編輯部工作，這本雜志在這場喧鬧中扮演重要角色。他本可以成為這場沖突中的關(guān)鍵人物，但他一直保持中立。1928年，當(dāng)這場戲劇沖突發(fā)展到了關(guān)鍵且相當(dāng)殘忍的高潮時，愛因斯坦形容這兩個人及他們的追隨者之間的爭斗為青蛙與老鼠之間的戰(zhàn)爭。希爾伯特就是那只領(lǐng)頭的老鼠。老鼠盡管我們很難從愛因斯坦所用的“老鼠”這個詞猜出它的意思，但在20世紀(jì)頭10年，希爾伯特也許是當(dāng)時最偉大的數(shù)學(xué)家(龐加萊已于1912年去世)。1862年，他生于柯尼斯堡(Konigsberg)的郊區(qū)，并在那里接受早期的教育。他的傳記作者康斯坦斯?雷德(ConstanceReid)說他的早期學(xué)校教育很傳統(tǒng)，通常都是靠死記硬背，但是“看起來，他只有自己用腦思考一番才能真正理解些東西”。然而他的數(shù)學(xué)學(xué)得很好，這很適合他這種大腦。雷德說希爾伯特的一個侄女后來回憶說，家里人都認(rèn)為他有一點點癡狂。1880年，他進入柯尼斯堡大學(xué)，5年后，他在那里獲得博士學(xué)位。1895年，他成為哥廷根大學(xué)的正教授，這所大學(xué)已發(fā)展成為數(shù)不多的不在大城市的數(shù)學(xué)中心之一。在那時，他已經(jīng)展現(xiàn)出了他在數(shù)學(xué)方面的廣泛興趣和卓越能力。在他整個學(xué)術(shù)生涯中，很少有領(lǐng)域他沒有做出原創(chuàng)性貢獻的。在某種程度上要感謝希爾伯特日益增長的聲譽，哥廷根大學(xué)的聲譽也在急速地增長，該校一直吸引著其他正在成長中的重要數(shù)學(xué)家，還有教員，也有學(xué)生。他們中間有赫爾曼?閔可夫斯基(HermannMinkowski，1864—1909)，希爾伯特聘他做教員，他后來成了希爾伯特親密的朋友和同事。大學(xué)還在1899年招入策梅洛作無薪講師。赫爾曼?外爾(HermannWeyl，1885—1955)在1903年來到哥廷根，那時他還是一個18歲的“農(nóng)村小伙子”。后來，在新澤西州普林斯頓高等研究院(theInstituteforAdvancedStudyinPrinceton，NewJersey)工作時，外爾寫道：“那一個學(xué)期，希爾伯特宣布開設(shè)關(guān)于數(shù)字的概念和求圓的面積的課，我擅自去聽了。對我來說，大部分課都太難了，但一扇新世界的大門為我打開了?！痹诩磳⒌絹淼南柌睾筒紕谕栔g的戰(zhàn)斗中，外爾將成為一個重要的參與者。在最終爆發(fā)的沖突中，希爾伯特廣泛的興趣是一個誘因。他早期的作品《幾何基礎(chǔ)》將他引回這個數(shù)學(xué)領(lǐng)域，他對基礎(chǔ)問題潛在的興趣是因素之一。正如我在上一章所說明的，這本書是他運用皮亞諾的原理，用一種嚴(yán)格的公理化方式重新構(gòu)造歐幾里得幾何的嘗試，盡管沒有使用皮亞諾復(fù)雜的符號系統(tǒng)。皮亞諾的一個目標(biāo)就是不借助直覺將數(shù)學(xué)用形式語言來表達，希爾伯特對此表示懷疑。他還認(rèn)為用歐幾里得幾何作為幾何的模板和基礎(chǔ)是錯誤的。他和當(dāng)時的其他人都認(rèn)為，歐幾里得幾何有演繹式的結(jié)構(gòu)，但它充滿了隱藏的假定、不準(zhǔn)確的定義和邏輯錯誤。希爾伯特希望為幾何建立一個更穩(wěn)固的基礎(chǔ)，同時也消除對直覺的依賴。幾何學(xué)的其他進展也引起了他的注意。19世紀(jì)早期，尼古拉?羅巴切夫斯基(NikolaiLobachevsky)、雅諾什?波爾約(JanosBolyai)、本哈德?黎曼(BernhardRiemann)和卡爾?高斯已經(jīng)說明非歐幾何是可能的，從而歐幾里得的一個主要基本原理(平行公設(shè))不再是正確的。此外，在歐幾里得幾何中，三角形所有內(nèi)角的和是180度；而在非歐幾何中，可能得到其他的值。希爾伯特認(rèn)為，為了整合幾何，再整合數(shù)學(xué)，使之更明確，必須通過剔除某些假設(shè)的方法來做嘗試。因為支持康托爾，他實際已經(jīng)卷入了沖突。他還認(rèn)為克羅內(nèi)克的執(zhí)著威脅了數(shù)學(xué)的進展。你會回想起，克羅內(nèi)克想將數(shù)學(xué)與高度主觀的直覺基礎(chǔ)緊密聯(lián)系起來，通過逐步建構(gòu)，將其限制在一個真切實在的世界里。而希爾伯特正相反，他只要求邏輯表達的一致性。他確信，對于克羅內(nèi)克極力反對的無理數(shù)，不應(yīng)該排除在數(shù)字的世界之外。沒有它們，分析領(lǐng)域?qū)S為不毛之地。此外，希爾伯特還認(rèn)為，為了加強數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，支持康托爾在無窮上的觀念將是必要的。他認(rèn)為這不僅僅是一個數(shù)學(xué)問題。他寫道：“對無窮的性質(zhì)進行最后的澄清已經(jīng)變得很有必要，這不僅是為了各門科學(xué)的專門利益，也是為了人類對自身理智的尊嚴(yán)。”但是，斯蒂芬?G?辛普森(StephenG.Simpson)在《符號邏輯雜志》(JournalofSymbolicLogic)發(fā)表文章稱，希爾伯特把無窮數(shù)學(xué)重構(gòu)成一個博大精妙的形式體系的想法“導(dǎo)致了一個沒有必要的知識災(zāi)難”。辛普森說：“這樣做很容易被布勞威爾指責(zé)為空洞的形式主義?！毕旅嬲f的就是這種指責(zé)是怎樣發(fā)生的。青蛙魯伊茲?埃格伯圖斯?簡?布勞威爾(LuitzenEgbertusJanBrouwer)通常以簡稱L?EW布勞威爾聞名。他1881年2月27日生于奧威斯切(Overschie)，這地方現(xiàn)在是荷蘭鹿特丹的一個郊區(qū)。在校期間，他表現(xiàn)很好。當(dāng)他還是阿姆斯特丹大學(xué)的一個本科生時，就在四維空間的連續(xù)運動上做出了原創(chuàng)性工作。這使得位于阿姆斯特丹的皇家科學(xué)院在他還未畢業(yè)時就出版了他的著作。從1904年到1907年，他從事哲學(xué)和神秘主義的研究。1905年，他寫了一本名為《生命，藝術(shù)和神秘主義》(Life，ArtandMysticism)的書。他的思想反映了一些對時代的浪漫想法，表露出一種對人類主宰自然(也就是世界)的拒絕。這包括反對對環(huán)境的開采和征服。作為一個真正的神秘主義者，他否認(rèn)準(zhǔn)確交流的可能性和語言的作用。這些觀點都將使他對形式主義添上感情色彩。他是什么樣的人？他的天才是不容置疑的。對于他的性格，人們用憤世嫉俗、自私自利、神經(jīng)過敏、情緒化和頑固這樣的詞來描述。在關(guān)于布勞威爾的傳記中，范?達倫寫道：“布勞威爾是一個神經(jīng)過敏的人，壓力之下，他很容易夸大事實。另外，他對正義有種極端的熱情。正如路德維希?比貝爾巴赫(LudwigBieberbach)(后面我們會說到他)所說，他是一個正義狂(Gerechtigkeits-fanatike)。結(jié)果，他會在一種完全像是戰(zhàn)爭的情勢中遭遇不正義一一不管是針對誰。”作為一個學(xué)生，他回避社交，不善與人相處。在他最好的朋友(一個杰出的社會主義者、詩人)指引下，他學(xué)會了參加社會活動。慢慢地，他極度渴望結(jié)交朋友，而且高談闊論成癖。1907年，他從阿姆斯特丹大學(xué)獲得數(shù)學(xué)和物理學(xué)博士學(xué)位。在那里，他的興趣延伸到了拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對這兩門學(xué)科，在其一生中，他都作出重要貢獻。盡管還只是個研究生，但在當(dāng)時數(shù)學(xué)的討論中，他有一些很強有力的觀點，這些想法都體現(xiàn)在他的博士論文《關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(OntheFoundationsofMathematics)里。關(guān)于龐加萊和羅素之間的爭論，很明顯他站在龐加萊一邊。他爭辯說雖然邏輯主義可能在某些場合有用，但它不能為數(shù)學(xué)提供一個穩(wěn)固的基礎(chǔ)。盡管羅素在宣揚數(shù)學(xué)依賴于邏輯，但布勞威爾主張邏輯依賴于數(shù)學(xué)。另外，盡管希爾伯特還沒有完全發(fā)展出他在形式主義上的觀點，但布勞威爾已經(jīng)了解希爾伯特有足夠多他不喜歡的東西。他批評希爾伯特的觀點，舉例說，不能保證有一個可以讓人接受的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)能夠滿足一個連貫的數(shù)學(xué)定理的要求。他還對康托爾的超限數(shù)理論不滿。有趣的是，盡管布勞威爾激烈批評希爾伯特的計劃，但這似乎不影響希爾伯特對布勞威爾的感覺。毫無疑問，這是因為布勞威爾的論文是用荷蘭文寫的，流傳不廣。比如在1909年，他們在迷人的海濱度假勝地席凡寧根(Scheveningen)會面了。顯然晤談很成功。比希爾伯特小19歲的布勞威爾向希爾伯特展現(xiàn)了他的語言和數(shù)學(xué)水平。后來在一封給朋友的信中，他形容希爾伯特為“世界上首屈一指的數(shù)學(xué)家?！?912年，希爾伯特不僅幫布勞威爾推薦了阿姆斯特丹大學(xué)的一個教授職位(直到那時，布勞威爾還是一個無薪講師)。后來到1919年，希爾伯特還給他提供了哥廷根大學(xué)的一個教授職位一一這絕對是一個晉升。但布勞威爾拒絕了(在將要到來的決裂中，這或許是一個原因)。布勞威爾一直呆在阿姆斯特丹大學(xué)，直到他1951年退休。布勞威爾在拓?fù)鋵W(xué)上的成就和他在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)上的觀念為他贏得了一致的聲譽，盡管在開始的時候他在直覺主義上的觀點還不被廣為接受。1912年，他被選為荷蘭皇家科學(xué)院(RoyalNetherlandsAcademyofScience)成員。自那以后，柏林的普魯士科學(xué)院(thePrussianAcademyofScience)、美國哲學(xué)會(theAmericanPhilosophicalSociety)、倫敦的皇家學(xué)會(theRoyalSociety)都選他為成員。他還獲得過幾個榮譽博士學(xué)位。雖然也做過其他的研究工作，但他主要關(guān)注基礎(chǔ)問題。1908年，他寫出了一篇名為《關(guān)于邏輯原理的不可靠性》(OntheUnreliabilityoftheLogicalPrinciples)。這篇論文認(rèn)為運用排中律(PEM，theprincipleoftheexcludedmiddle)的數(shù)學(xué)證明是不合理的。排中律是一個基本的邏輯定律，也是一個常用的數(shù)學(xué)技巧。排中律宣稱每一個數(shù)學(xué)表述要么對，要么錯，其他可能性都是不允許的。接著，1912年，在阿姆斯特丹大學(xué)的數(shù)學(xué)教授就職演說上，布勞威爾進一步探討了他認(rèn)為與這個“定律”有聯(lián)系的問題。布勞威爾認(rèn)為排中律是用得過于自由的邏輯原理的典型。這個原理宣稱每一個有意義的表述要么對，要么錯，它是所謂間接證明方法的基礎(chǔ)，這種方法允許用常規(guī)邏輯或利用矛盾的反證法。在這里，如果某命題不正確，我們可以通過實證產(chǎn)生一個邏輯矛盾來證明某些命題正確。布勞威爾拒絕接受排中律，堅持認(rèn)為第三種情況是存在的。他使用“未決的"(undecided)這個詞來稱呼那些通過有限的推導(dǎo)步驟還不能決定是對還是錯的表述。他經(jīng)常置疑建立在排中律基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)證明，稱它們是“所謂的證明”。1920年，他聲稱：“將排中律用作數(shù)學(xué)證明的一部分，是不允許的……(它)只具有學(xué)理和啟發(fā)的價值，因此那些在證明中不能避免使用這個原理的定理是缺乏數(shù)學(xué)內(nèi)涵的?！毕柌鼗貞?yīng)道：“把排中律排除在數(shù)學(xué)之外就像……禁止拳手使用拳頭一樣?！边@個要求確實是個極端的限制，很多數(shù)學(xué)家和科學(xué)家都難以接受，特別是那些經(jīng)常用到它的人。第二年，布勞威爾開始宣傳他的觀點，這開始成為他余生的事業(yè)。盡管在1909年和1913年，布勞威爾在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域里取得了優(yōu)異的成果，但他從來沒有發(fā)表拓?fù)鋵W(xué)方面的演講。上過他課的巴特爾，L?范德瓦爾登(BartelL.vanderWaerden)回憶說，他從來不看學(xué)生，不問問題，總是在直覺的基礎(chǔ)上講課。在后來的采訪中，范德瓦爾登說：“看起來，他不再確信他在拓?fù)鋵W(xué)中的成果，因為從直覺主義的觀點來說，它們不是正確的。他以前所做的工作、他最偉大的成就和他的錯誤，他都按照他的哲學(xué)來作評判。他是一個很奇怪的人，瘋狂地愛著他的哲學(xué)。”當(dāng)然，布勞威爾看待事物有點不同。在他1919年的論文《直覺主義的集合論》(IntuitionisticSetTheory)中，布勞威爾指出他早期的拓?fù)鋵W(xué)研究從直覺主義觀點來看是不正確的。他接著說，這些工作中的大部分都可以用直覺主義框架來補救。他舉了一些例子(例如不動點定理)，說明這些成果的直覺主義形式如何得到證明。1917年至1920年，布勞威爾開始進一步發(fā)展他的直覺主義觀點，包括沿著直覺主義思路發(fā)展集合論。大約1920年后，他認(rèn)為是向外界發(fā)布這些成果的時候了。這顯然是對希爾伯特工作的挑戰(zhàn)。更糟糕的是，發(fā)表過一篇不尋常的分析基礎(chǔ)方面名為《連續(xù)統(tǒng)》(TheContinuum)的論文的外爾，這時轉(zhuǎn)變了立場。1921年，外爾甚至又發(fā)表一篇新文章解釋他的新立場，說在某種程度上，希爾伯特的方法將所有的東西都簡化成了一種游戲。外爾曾經(jīng)是希爾伯特的優(yōu)秀學(xué)生，希爾伯特曾指望他成為一個忠實的追隨者。1920年春天，在外爾寫的一份稿件上，布勞威爾寫了一些評論表達了他的想法，并把它送給外爾。布勞威爾以這樣的話開頭：“你毫無保留的支持給了我無窮的快樂……在一些小地方，我們有不同意見，這只會給我們更多激勵。”對于這種變故，希爾伯特看得很重。有趣的是，大約1925年后，外爾試著在這兩個爭論者之間采取中立立場，但那時希爾伯特已經(jīng)對他有成見了。反擊當(dāng)1922年希爾伯特開始反擊時，他寫了一篇針對外爾和布勞威爾兩人的文章。他首先陳述了他對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比當(dāng)前所取得的成就更需要深入研究的信念。接著，他寫道：“杰出的、成就卓著的數(shù)學(xué)家外爾和布勞威爾正在通過肯定是錯誤的途徑來尋找這些問題的解決方法?！比缓笏忉屃诉@樣說的原因，并接著陳述他自己的觀點。他謹(jǐn)慎地指出，他針對連續(xù)統(tǒng)基礎(chǔ)的方法“并不與直覺相悖。我們從直覺中得出的外延量概念不依賴于數(shù)的概念，因此如果我們在數(shù)與質(zhì)量數(shù)或數(shù)量之間做一個基本的區(qū)分，它就會與直覺完全一致?！彼又鴮懙?，其他人都曾經(jīng)仔細研究過這個問題，“如果外爾在這里看到了一個‘基礎(chǔ)的內(nèi)部不穩(wěn)定，而整個(數(shù)學(xué))帝國都建立在這個基礎(chǔ)上?！绻麚?dān)心‘分析體系的瓦解即將到來’，那么他是見著鬼了。”希爾伯特接著說：當(dāng)然，證明公理一致性的問題出現(xiàn)了。這是一個很出名的問題，幾十年來我一直關(guān)注它。這個報告就是關(guān)于這個問題的解決方法的。外爾和布勞威爾所做的基本上是沿著以前克羅內(nèi)克所走的老路。拋棄所有令他們不快的現(xiàn)象，并按照克羅內(nèi)克的方式建立專政來加以禁止，他們尋求通過這種方式來為數(shù)學(xué)樹立基礎(chǔ)。但這意味著肢解并毀壞我們的科學(xué)，如果我們追隨這些改革者，我們將冒失去很大一批最寶貴財富的危險……我相信，就像克羅內(nèi)克在當(dāng)年不能消除無理數(shù)一樣……今天，外爾和布勞威爾也將行不通他們的計劃。不，布勞威爾不是外爾所相信的那樣是一個革命者，而是一個重復(fù)者，他用著舊工具，嘗試在當(dāng)時用橫沖直撞的方法發(fā)動一場政變，但還是徹底失敗了。現(xiàn)在弗雷格、戴德金和康托爾加入了進來，這個陣營有了更多的武裝，力量更強了，這種政變注定要失敗。在一些介紹性的內(nèi)容之后，他說“對公理一致性的表述，幾乎沒有這么認(rèn)真的，無論是在數(shù)論、分析還是在集合論中?！痹谖闹校瑸榱嘶貞?yīng)外爾和布勞威爾的抨擊，他提出了經(jīng)過修訂的大膽的新計劃，這個計劃為形式主義的學(xué)派樹立了一個更新更牢固的基礎(chǔ)。他繼續(xù)在文中提出了對分析公理一致性的證明的大概想法，把數(shù)論建立在數(shù)“1”和符號“+”的基礎(chǔ)上?！爱?dāng)我們用這種方法發(fā)展數(shù)論時，不需要公理，也不可能有任何矛盾產(chǎn)生?！蔽闹惺Ｏ碌牟糠炙?wù)摿藙e的話題。然而范?達倫說：“希爾伯特從來沒有成功地證明過他的論據(jù)。這有點像自行車內(nèi)胎上的一個凸起(原文如此)，每次他按下這個凸起，別的地方又冒出另一個。直接地說，這個問題極端的復(fù)雜。多年以后，在1936年，杰出的德國數(shù)學(xué)家格哈德?根岑(GerhardGentzen，1909一1945)最終成功地找到了關(guān)于超限過程完整而正確的分析方法。”利用根岑的新方法，人們認(rèn)識到希爾伯特的證明理論是一個極好而又有力的數(shù)學(xué)工具，對計算機科學(xué)尤其有幫助。外爾的事跡有一個有趣的后記。同樣在1922年的那篇文章中，希爾伯特把布勞威爾和外爾當(dāng)作一個團伙來抨擊，無視他們兩人之間觀點的顯然不同，例如他們對直覺主義的詮釋。接著，如我在前面所提到的，大約1925年的時候，外爾開始稍微遠離布勞威爾的直覺主義。從那時起，希爾伯特將他的抨擊主要集中在布勞威爾的身上，但同時也無視外爾的轉(zhuǎn)變。比如即使遲至1928年，希爾伯特還提起“他的學(xué)派將一切都簡化為一個游戲”這個批評，并做出回應(yīng)。但是你會回想起，這是外爾的批評，而不是布勞威爾的。這次兩人都認(rèn)識到他們的爭端存在于兩個水平面上，理解這一點很重要。當(dāng)然這里也有個人競爭，但兩人也都在一個更廣的意義上把自己看作救世主。也就是說，兩人都認(rèn)為數(shù)學(xué)處于一場根本的危機中，他們每個人都認(rèn)為自己是那個能把數(shù)學(xué)從衰落和頹敗中拯救出來的人。另外，至少希爾伯特的擔(dān)心更甚。他認(rèn)為：“如果數(shù)學(xué)失敗了，人類的精神也會失敗?！?928年，在他對希爾伯特新方法的一個回應(yīng)中，布勞威爾寫道“所有這些表明，形式主義從直覺主義那里沒有直接接受任何東西，但卻從中受啟發(fā)多，而且它還有望受益更多?！币虼诵问街髁x學(xué)派應(yīng)該給直覺主義一些贊譽，而不是用輕蔑的語氣攻擊它，甚至提都不提作者的名字。并且，形式主義應(yīng)該考慮這樣一個事實：迄今為止，在形式主義的框架內(nèi)，正確的數(shù)學(xué)知識沒有哪一樣得到了保護(既然公理系統(tǒng)的一致性的證明都還是缺失的)。“在另一方面，直覺主義……已經(jīng)建立了有著不可置疑確定性的數(shù)學(xué)新基礎(chǔ)?！睂Σ紕谕杹碚f，任何語言，包括形式主義者的，都是有用的，但僅限于交流。布勞威爾的一個博士生阿倫德?海廷(ArendHeyting)在1930年恰當(dāng)?shù)貙懙溃骸敖⒁惶着c直覺主義的數(shù)學(xué)等同的規(guī)則系統(tǒng)在理論上是不可能的，因為思考的可能性不能簡化為有限幾步預(yù)先建立的規(guī)則?！被仡櫼幌拢覀兛梢钥吹?，希爾伯特和布勞威爾在談?wù)撝H有分歧的觀點。他們的分歧中至少有一點卷入了國家感情的沖突一一奇怪的是，作為非德藉數(shù)學(xué)家，在一本黎曼的紀(jì)念冊上，他強烈反對收入一些法國數(shù)學(xué)家的名字，這讓希爾伯特很惱火。最后，他們的爭論牽涉到了更多的個人偏見一一雙方都這樣。無情的攻擊盡管布勞威爾沒有希爾伯特那么有名，但他還是在數(shù)學(xué)界樹立了牢固的聲譽。1925年和1926年，他開始在諸如《數(shù)學(xué)年鑒》(MathematischeAnnalen)這樣的雜志上發(fā)表論文。1914年，他被任命為這個備受尊敬的雜志編輯部的成員，從那以后，他謹(jǐn)慎并慢條斯理地為雜志工作著。這項任命是一個榮譽，也是對他在數(shù)學(xué)界里所受尊敬的表示。但即便在這里，他暴躁的脾氣也產(chǎn)生了負(fù)面影響。費利克斯?克萊因(FelixKlein)是雜志的主編之一，他已經(jīng)決定要辭職，很顯然這是因為和布勞威爾發(fā)生爭執(zhí)引起的一一這場爭執(zhí)中，布勞威爾實際上是對的，但他表現(xiàn)得太粗魯了，于是克萊因決定引退。這是一個讓人震驚的結(jié)果，因為克萊因已經(jīng)為《數(shù)學(xué)年鑒》工作了好多年，在某種程度上，他已成為總編輯，為雜志的成功作出了巨大的貢獻。但希爾伯特也是《數(shù)學(xué)年鑒》的主要編輯之一。對布勞威爾來說很不幸的是，用今天的話來說，他只能稱為助理編輯，而希爾伯特是主編之一。實際上，在克萊因引退之后，希爾伯特接手了大部分的工作，結(jié)果這本雜志開始有了“屬于”哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)家的名聲。我們可以從希爾伯特下一步的行動看到，他們之間的爭端升級到了什么地步。青蛙和老鼠的戰(zhàn)爭在1928年10月底之前不久，布勞威爾收到了一封來自希爾伯特的信。信是這樣寫的：親愛的同事：既然我們倆在基礎(chǔ)問題上的觀點無法調(diào)和，我和你合作是不可能的了。我已經(jīng)就授權(quán)問題征求過《數(shù)學(xué)年鑒》執(zhí)行編輯部成員們的意見，布魯門薩爾(Blumenthal)和卡拉西奧多里(Caratheodory)(奧托(Otto)和康斯坦丁(Constantin)，是另外兩位執(zhí)行編輯，阿爾伯特?愛因斯坦是第四位)已經(jīng)授權(quán)給我通知你，從今往后，我們將放棄與你在編輯《年鑒》上的合作，因此也把你的名字從刊名頁上刪去。同時，我感謝你以《年鑒》編輯的名義，為了我們雜志的利益在過去所做的努力！敬禮！D?希爾伯特做出這種行動的原因要比我們想象的復(fù)雜得多。主要的一個原因似乎是希爾伯特有些擔(dān)心他會早死一一在1925年11月，他已經(jīng)被診斷出有惡性貧血，他想確保布勞威爾的觀點不會繼續(xù)在《年鑒》成員中間潛移默化。還有一個個人的原因。德克?范?達倫轉(zhuǎn)述了布魯門薩爾對這個情況的看法：“希爾伯特認(rèn)為布勞威爾剛愎自用，難以捉摸，飛揚跋扈。他……擔(dān)心，如果有一天希爾伯特離開了編輯部，布勞威爾會迫使編輯部屈從他的意志。”另一個原因與德、法兩國數(shù)學(xué)家之間的關(guān)系有關(guān)。因為第一次世界大戰(zhàn)，他們之間的關(guān)系一直很緊張。希爾伯特認(rèn)為，早先用來撫平這些關(guān)系的機會都被布勞威爾破壞了。比如1926年，他們已經(jīng)擬好一個計劃，出版一本文集來紀(jì)念本哈德?黎曼一一也就是說，出版一本文集來紀(jì)念他誕辰100周年。希爾伯特曾想收入一位重要的法國數(shù)學(xué)家保羅?潘勒韋(PaulPainleve)寫的論文。然而在1918年，潘勒韋曾激烈地譴責(zé)德國的科學(xué)界。希爾伯特和其他人認(rèn)為潘勒韋在后來已經(jīng)不再抱有這種敵意了，但布勞威爾堅定地認(rèn)為收入潘勒韋的作品是對德國數(shù)學(xué)成就的侮辱。盡管希爾伯特的地位更高，但雜志運作必不可少的民主程序使得這本書沒有收入任何法國數(shù)學(xué)家的文章，就這樣出版了。在這次清理門戶事件中，希爾伯特同樣需要其他執(zhí)行編輯們的默許。他從布魯門薩爾和卡拉西奧多里那里多少得到了不同程度的默許，但在愛因斯坦那里，他碰壁了。希爾伯特曾在10月15日寫信給愛因斯坦，請求他作為編輯的一員允許他給布勞威爾發(fā)一封辭退信。在他給出的理由中，有一條是：布勞威爾在以前一封信函中不僅侮辱了他（希爾伯特），而且還侮辱了大部分德國數(shù)學(xué)家；布勞威爾持有“對同情外國數(shù)學(xué)家有鮮明的敵對立場。他（希爾伯特）認(rèn)為把哥廷根大學(xué)當(dāng)作《年鑒》主要基地是一個好主意”。他還在附言中提到了他糟糕的身體狀況。愛因斯坦回信了，大意是:做你認(rèn)為該做的，但我不能在這樣一封辭退信上簽名。在一封給卡拉西奧多里的回信中，愛因斯坦答復(fù)說（10月19日）：“最好不要在意這次的布勞威爾事件。我沒想到希爾伯特會有這樣的感情爆發(fā)?！闭缥以谇懊嫠岬降?，愛因斯坦不贊成這個計劃。如果希爾伯特以為布勞威爾會報以溫和的退讓，他就錯了。希爾伯特精心謀劃弄了這樣一封辭退信，布勞威爾把這個突然而來的辭退當(dāng)作一種直接且重大的侮辱，盡管他沒有立即做出反應(yīng)，但也夠快的了。據(jù)一份報告說，他“神經(jīng)發(fā)作”了，在最初的打擊后，他病了好幾天，同時還發(fā)燒。但是，事后他寫信給卡拉西奧多里：親愛的同事：經(jīng)過細致的考慮和廣泛的咨詢，我不得不采取這樣的態(tài)度：你發(fā)出的對我的要求（最先的辭退信是卡拉西奧多里發(fā)出的）一一它是在希爾伯特在頭腦不健全的時候發(fā)出的一一是無效的，除非這封信是希爾伯特夫人和希爾伯特的醫(yī)生寫的。敬禮L-E-J*布勞威爾對于布勞威爾來說，這是一個嚴(yán)重的錯誤。在某種勾心斗角的游戲中，這封信可以看作是個很聰明的反擊。但在這種情勢下，正如布魯門薩爾所說的，它會被看成是封“可怕而惹人憎惡的信”。他和卡拉西奧多里開始懷疑，希爾伯特是否可能“比我們更了解他（布勞威爾），（對他）有更好的評價”。布勞威爾不屈不撓。他接下來寫信給希爾伯特夫人，請求她給丈夫吹吹枕邊風(fēng)，使其改變想法。他送了一份抄件給編輯部的另一名成員理查德?柯朗（RichardCourant）?？吕示尤徽娴娜グ菰L了希爾伯特夫人，但事后他回復(fù)布勞威爾，告訴他：在這件事上，希爾伯特不受任何人的影響。同一天（11月5日），布勞威爾在更大的范圍向所有的編輯們傾訴。布勞威爾作了幾個方面的解釋，申明他對希爾伯特說的“對我的憤怒不斷增多”的看法：希爾伯特關(guān)于缺少合作的說法是一個煙幕，因為他們之間已有多年沒有通信；直到那時，還沒有人對他提出過任何反對意見；執(zhí)行編輯們把希爾伯特的健康狀況看得比他（布勞威爾的）的權(quán)利和尊嚴(yán)還重，這是不公平的；這次事件，使《年鑒》正在以它的權(quán)威性和科學(xué)內(nèi)容為代價做出犧牲?，F(xiàn)在，希爾伯特多少在這場沖突中做了些讓步，但除了愛因斯坦之外的編輯們都顯示了鮮明的立場，他們大多都站在了希爾伯特一邊。如我們所見，布勞威爾是僅有的三個非德籍編輯中的一個，因此多少算是個圈外人。這或許是產(chǎn)生最后結(jié)果的一個原因?？墒?，他給卡拉西奧多里的信中說希爾伯特“頭腦不健全”，最有可能是這句話決定了他的命運。于是，布勞威爾和編輯部的一個普通編輯路德維希?比貝爾巴赫一起到柏林去見出版商費迪南德?斯普林格（FerdinandSpringer）。他們兩人發(fā)出警告說，如果辭退令被執(zhí)行，《年鑒》和斯普林格出版社的利益都會受損。布勞威爾威脅說要創(chuàng)辦一個競爭性的雜志，但斯普林格不在意這種威脅。原先與希爾伯特不合的布魯門薩爾現(xiàn)在堅定地站在希爾伯特一邊，他也拿出了一封信給整個編輯部傳閱，以此答復(fù)布勞威爾的指責(zé)。他指出這樣一點：布勞威爾確實是一個非常盡責(zé)和活躍的編輯，但他和執(zhí)行編輯們的關(guān)系相處得很不好，他還常常讓作者們處于難以忍受的困境?！袄?，交給他評審的稿件經(jīng)常擱置幾個月?！钡堑驴?范?達倫指出：“布魯門薩爾沒有提到，在過去，他作為一名執(zhí)行編輯，經(jīng)常利用他的地位讓布勞威爾充當(dāng)一位麻煩解決者；他也沒有提到，他以前從來沒有抱怨過布勞威爾對稿件的處理?！北M管如此，事情還沒有解決，還需要一位關(guān)鍵人物的同意。如果愛因斯坦能夠被說服加入到希爾伯特一邊，其他人的反對意見就很容易消除了。愛因斯坦的同事馬克思?波恩（MaxBorn）極力以個人的名義勸說愛因斯坦。在11月27日的回信中，愛因斯坦清楚地表明他嚴(yán)格中立的立場。就是在這封信中，他提出了他對當(dāng)時形勢的巧妙比喻："青蛙和老鼠的戰(zhàn)爭”（Frosch-Mausekrieg）。他寫信給布勞威爾和布魯門薩爾說:“很遺憾，我像一只無知的羔羊甩入了數(shù)學(xué)的'狼群’……因此，請允許我保持我的'既不噓又不呸’（Muhnoch-Mah）的態(tài)度，也請允許我扮演一個對他們的行為感到不可思議的角色。”這事還沒完。律師被請進來了。布勞威爾給編輯們發(fā)了一封信（1929年1月23日）。信中，他指責(zé)希爾伯特和布魯門薩爾在《年鑒》編輯部里有“侵占”行為。德克?范?達倫解釋說，在這里，布勞威爾使用這個詞（侵占）有著隱含的寓意。布勞威爾認(rèn)為，因為信任，《年鑒》交付給了以（德國）數(shù)學(xué)家群體為主的編輯們托管，而因為希爾伯特的行為，這種信任被破壞了。在此信之后，布勞威爾接著來了最后一擊：一封長信。信中談了他對為什么他不應(yīng)該被解雇的基本看法，包括對克萊因事件的另一種解釋。但這些努力都無濟于事。最后辭退生效了。解決辦法是解散老編輯部，組成一個新的班子一一但有非常明顯的不同。正如1929年新的封面上所顯示的，將會只有出版者的名字，沒有編輯成員的名