平面向量知識點歸納

平面向量知識點歸納1、向量有關概念：（1） 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量^AB按向量a=（—1,3）平移后得到的向量是 （答：（3,0））（2）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與 共線的單位向量是±_H）；IABI—k—I" —?一（3） 平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a〃b,規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?）；④三點A、B、C共線OAB.~AC共線；向量平行（共線）的充要條件:a//bOa=XbO（a?b）2=（IaIIbI）2oxy-yx=0。⑤若ABCD是平行四邊形，則12 12AB=dc。如（1）若向量a=（x,1）,b=（4,x），當x=時a與b共線且方向相同（答：2）；（2）已知a=（1,1）b=（4,%）,u=a+2b,v=2a+b,且u//;,貝%=（答：4）；（3）設PA=（k,12）,PB=（4,5）,PC=（10,k），則k=時，A,B,C共線（答：一2或11）平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a,有且只有一對實數(shù)人、\，使a=人e+人e。如（1）若a=（1,1）,b=（L-1）,c=（-1,2），則c= TOC\o"1-5"\h\z1 2 11 22., 1— 3T*（答：&a—2b）；（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 A.[=（0,0）,%=（1,-2）B.\o"CurrentDocument"一一 一— 一一13 ——e1=（—1,2）,e2=（5,7）C.[=（3,5）,e2=（6,10） D.匕=（2,—3）,e2=（^,—了（答：B）；（3）已知AD,BE …- —*——*—-— ―丁、 - … 2-4—分別是AABC的邊BC,AC上的中線，且AD=a,BE=b，則BC可用向量a,b表示為 （答：—a+—b）3 3（4）AABC中，點D在BC邊上，且CD=2DB,CD=r~Alt+s次，則r+s的值是（答：0）\o"CurrentDocument"—k- ——I- —r ―h — —h- —I- —I- —ha?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的模IaI與b在a上的投影的積。b在a上的投影為IbIcos0，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知I~aI=3,I否I=5，且3.E=12，則向量萬在向量E上的投影為(答：12)a?b.—一.一..一 -5.非零向量a,b夾角6的計算公式：cos。==^；Ia?b1<1aIIbI。如(1)已知a=(X,2入),

abb=(3X,2),如果-與b的夾角為銳角，則X的取值范圍是(答：X<—4或X>0且X，1)；⑵b一一1 3一一已知'OFQ的面積為S，且OF?FQ=1，若5<s<*一，則OF,fQ夾角6的取值范圍是(答：(廠衣))；(3)已知a=(cosx,sinx),b=(cosj,sinj),a與b之間有關系式Ika+b\=J3|a-kb|,其中k>0，①用k表示a?b；②求a?b的最小值，并求此時a與b的夾角6的大小(答:_——k2+1 _ 1①a?b=岫(k>0):②最小值為二，6=60。)4k 26.向量的運算:(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結合律，即—b—— —b——a(b?c)。(a?b)c，為什么？7.向量垂直的充要條件:a1boa?b=0oIa+bI=Ia-bI=xx+jj=0.特別汁地12 12(i——>|+|—>J1(——|—|——|)。如(1)已知OA=(-1,2),OB=(3,m)，若OA1OB，則m=(答:ABACABAC3-);(2)以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，/B=90°，則點B的坐標是(答:乙(1,3)或(3,—1))(3)已知n=(a,b),向量n1m，且n=m，則m的坐標是(答：(b,-a)或(—b,a))向量中一些常用的結論：一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；IIaI-1bII<Ia土bI<IaI+1bI，特別地，當~a、同向或有0oIa+bI=IaI+1bI當a.b不共線>IIaI-1bii=ia-bI；當a,b反向或有0oia-bi=iai+ibi>iiai-ibii=ia+當a.b不共線oiiai—ibiivia土biviai+ibi(這些和實數(shù)比較類似).（3）在AABC中，①若A（x.y\b（x,y）,C（x ）,則其重心的坐標為1 1 2 2 3 3x+x+xy+y+y）,Gt~—,，ig」。如若/ABC的三邊的中點分別為（2,1）、（-3,4）、-1,-1）,則AABC13 3 ）24的重心的坐標為（答：）；@PG=^（PA+PB+PC）=G為AA8C的重心，特別地瓦+麗+元=0o尸為AA8C的重心；網?PB=PBPC=PCPA^P^jAABC的垂心；向量從里Q）（人壬0）所在直線過AABC的內心（是/8AC的角平分線所在直線）；\AB\\AC\I序I廳+1BC\PA^\CA\PB=0^P是MBC的內心；向量瓦、應、元中三終點A、B、。共線=存在實數(shù)以、E使得PA=ocPB+pPC且oc+P=l.如①平面直角坐標系中，。為坐標原點，已知兩點4（3,1）,6（-1,3）,若點C滿足如二人楓+人國，1 2其中入，人￡7?且X+X=1,則點C的軌跡是 （答：直線AB）②在平面直角坐標系中，。是坐標1 2 1 2原點,兩定點A,B滿足網=所=成.血=2,則點集饑成=人成+口血,|人|+|*1,人,口矗｝所表示的區(qū)域的面積是（答：4^3）③在正六邊形A8CQE尸中，點尸在AEDC內（包括三角形邊界），AP=aAB+PAF,則oc+P的取值范圍是（答：W）⑦OAOB=-XOA^OB）2-（OA-OB）2A如：已知AA5C,A5=7,AC=8,BC=9,點p為平面ABC內一點，滿足PAPC=-7,則商的取值范圍是（答：kid）解決向量問題的常用策略：⑴向量的轉化：把未知向量轉化為已知向量（向量的模和夾角已知的或可求的）如：①在平行四邊形ABCD中，AD=1,ZBAD=60°,E為CD的中點.若ACBE=1,則AB的長為.②線段A8長度為2,點4,8分別在尤非負半軸和y非負半軸上滑動，以線段A8為一邊，在第一象限內作矩形ABCD,BC=1,。為坐標原點，則。乙。萬的取值范圍是 .③設P^jA2>1ABC內一點，且AP=-AB+-AC,則△ABP的面積與ZkABC的面積之比為 ④設AA5C,%

是邊AB上一定點,滿足亨=4AB，且對于邊曷上任一點P，恒有奇?云2甲?盡.則—(2)幾何法：①OA?OB=OA?OCnOA1BC；②OA②OA-xOB表示點A到直線OB上任一點的距離;(a+b)?(a一b)=°(a+b)?(a一b)=°表示以a,b為鄰邊的平行四邊形是菱形;甘=2,a一c=1表示c的終點在a2,a一c一況亍°表示點c在線段ab的中點為圓心，IABI為直徑的圓周上；OA一OC?O一OC<°表示點c在線段AB的中點為圓心，IABI為直徑的圓內；:;OA一OC,OB一OC=6°。表示點c在線段AB為弦的圓弧上。如：①已知a,b是單位向量，a,b=°.若向量c滿足|c—a-b|=1,則|c的取值范圍是②AB1AB^,|OB|=|②AB1AB^,|OB|=|OF|=1,AP=AB+AB.若OPa—b,《滿足方1 2——to③a=1,