廣義積分的收斂判別法

第二節(jié)廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計算，在實際應(yīng)用中，我們將發(fā)現(xiàn)大量的積分是不能直接計算的，有的積分雖然可以直接計算，但因為過程太復(fù)雜，也不為計算工作者采用，對這類問題計算工作者常采用數(shù)值計算方法或Monte-Carl。方法求其近似值.對廣義積分而言，求其近似值有一個先決條件一積分收斂，否則其結(jié)果毫無意義。因此，判斷一個廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的.定理9.1(Cauchy收斂原理)f(x)在［a,+8)上的廣義積分f(x)dxa收斂的充分必要條件是：V￡>0,存在A>0,使得b,bf>入時，恒有I"f(x)dxl<8證明：對limj+3f(x)dx=0使用柯西收斂原理立即得此結(jié)論.bT+8b同樣對瑕積分ibf⑴dx(b為瑕點)，我們有a定理9.2(瑕積分的Cauchy收斂原理)設(shè)函數(shù)f(x)在鼠域上有定義，在其任何閉子區(qū)間［a,b-8］上常義可積，則瑕積分ibf⑴dx收斂的充要a條件是：vs>0,王〉0,只要0<門/<n<3，就有Iji/f(x)dxl<sb-n定義9.5如果廣義積分j+叫f(x)Idx收斂，我們稱廣義積分j+"f(x)dx絕對收斂(也稱f(x)在［a,+巾上絕對可積］;如卜f(x)dxa收斂而非絕對收斂，則稱j+"(x)dx條件收斂，也稱f(x)在［a,+8)上a條件可積.由于VA,A>a，均有IjA/f(x)dxI<jA/1f(x)IdxA A因此，由Cauchy收斂原理，我們得到下列定理.定理9.3如果廣義積分卜f(x)dx絕對收斂，則廣義積分卜f(x)dx必aa收斂.它的逆命題不一定成立，后面我們將會看到這樣的例子。對其它形式的廣義積分，類似地有絕對收斂及條件收斂的定義及性質(zhì).下面我們先介紹當(dāng)被積函數(shù)非負(fù)時，廣義積分收斂的一些判別法.比較判別法：定理9.4(無限區(qū)間上的廣義積分)設(shè)在［a,+8)上恒有0<f(x)<加(x),(k為正常數(shù))則當(dāng)卜卬(x)dx收斂時，卜f(x)dx也收斂；當(dāng)卜f(x)dx發(fā)散時，j+p(x)dx也發(fā)散.aa證明：由Cauchy收斂原理馬上得結(jié)論成立.對瑕積分有類似的結(jié)論判別法定理9.5設(shè)f(x),g(x)均為［a,b)上的非負(fù)函數(shù)，b為兩個函數(shù)的奇點，如存在一個正常數(shù)k,使0<f(x)<kg(x),Vxg［a,b),則如^bg(x)dx收斂，則^bf(a)dx也收斂。a a如^bf(x)dx發(fā)散，則^bg(x)dx也發(fā)散.aa比較判別法在實際應(yīng)用時，我們常常用下列極限形式.定理9.6如果f(x),g(x)是［a,+s)上的非負(fù)函數(shù)，且lim竺)=1,則1+3g(X)⑴如果。<1<+3,且卜g(x)dx收斂，則積分卜f(x)dx也收斂.aa(2)如果。<1<+8,且卜g(x)dx發(fā)散，則積分卜f(x)dx也發(fā)散.aa證明：如果lim竺)=1壬0,則對于￡〉0(1-￡〉0)，存在A,Eg(X)當(dāng)X>A時，0<1-￡<f(x)<1+￡g(x)即a)g(x)<f(x)<(1+￡)g(x)成立.顯然卜f(x)dx與a卜g(x)dx同時收斂或同時發(fā)散，在l=0或l=s時，可類似地討論.a使用同樣的方法，我們有定理9.7對以b為唯一瑕點的兩個瑕積分^bf(x)dx與\bg(x)dx如果aaf(x),g(x)是非負(fù)函數(shù)，且lim =1,則當(dāng)0<1<+s，且\bg(x)dx收斂時，則^bf(x)dx也收斂.aa當(dāng)0<1<+s，且\bg(x)dx發(fā)散時，則^bf⑴dx也發(fā)散.aa對無限區(qū)間上的廣義積分中，取j+3J_dx作比較標(biāo)準(zhǔn)，則得到下列axpCauchy判別法：設(shè)f(x)是［a,+s)的函數(shù)，在其任意閉區(qū)間上可積,那么:定理9.8若0<f(x)<￡,p>1,那么積分卜f(x)dx收斂，如xp af(x)>—,p<1,則積分卜f(x)dx發(fā)散.xp a

其極限形式為定理9.9如limxpf(x)=l(0<l<+8,p>1),則積分A"f(x)dx收TOC\o"1-5"\h\zXT+8 a斂.如limxpf(x)=l,而0<l<+8,p<1,則j+8f(x)dxbs a發(fā)散.例9.8判斷下列廣義積分的收斂性⑴S+x)-二dxm z ~(2)J+8dx (m>0,n>0)11+xn解：(1)因為0<ln(1+!)-Lx1+x1 1 1<_— = x1+x x(1+x) x2由j+8由j+8_￡dx收斂推出j+81ln(1+_)—xdx收斂.(2)因為limxn-m=1,所以當(dāng)n—m>1時，積分xt+8 1+xnj+31Xmdx收斂.當(dāng)n—m<1時，積分j+81Xmdx發(fā)散.對于瑕積分，使用卜―1—dx作為比較標(biāo)準(zhǔn)，我們有下列柯西判別a(x—a)p法.定理9.10設(shè)x=a是f(x)在［a,b)上的唯一奇點，在其任意閉區(qū)間上可積，那么

(1) 如0M(x)J(尤：Q) (c>0),p<1,則ibf(x)dx收斂.(2) 如f(x)Z一(c>0),p>1,則^bf(x)dx發(fā)散.(X—Q)P q瑕積分的Cauchy判斷法的極限形式為定理9.11設(shè)lim(X—Q)pf(x)=kX—Q+如0<k<3,p<1,則^bf⑴dx收斂Q如0<k<3,p>1,那么^bf(x)dx發(fā)散.Q例9.9判別下列瑕積分的斂散性。dx⑴j1 dx⑴j1 0*(1—x2)(1—k2x2)兀dx(2)jL…0sinpxcosqx(1)1是被積函數(shù)的唯一瑕點(k2<1)(p,q>0)解：dx1.<+3：2(1—k2)i因為lim(1—x)2,xt1- (1—x2dx1.<+3：2(1—k2),i由p=知瑕積分收斂.4⑵0與1都是被積函數(shù)的瑕點.xpxp 1 =1sinpxcosqx先討論j寸 dx ,由lim0sinPxcosqx xt0+知:當(dāng)p<1時，瑕積分上 空 收斂；當(dāng)p>1時,瑕積分知:0sinpxcosqxdx, 發(fā)散.dx, 發(fā)散.0sinpxcosqx兀dx再討論——匹sinpxcosqx4因lim(——x)P \ =1-2 sinpxcosqx兒xT—2所以當(dāng)q<1時，瑕積分J| —收斂，4當(dāng)qn1時，瑕積分j2 空 發(fā)散.買sinpxcosqx4綜上所述，當(dāng)p<1且q<1時，瑕積分房―空—收斂；其他情況0sinpxcosqx發(fā)散.例9.10求證：若瑕積分j1f(x)dx收斂，且當(dāng)xT0+時函數(shù)f(x)單調(diào)趨0向于+8，則limxf(x)=0.xT0+證明：不妨設(shè)VxG(0,1],f(x)n0,且f(x)在(0,1)上單調(diào)減少。已知j1f(x)dx收斂，由柯西收斂準(zhǔn)則，有0V〉0,王〉0(5<1),V0<x<5有jxf(t)dt<￡,x2從而x0<_f(x)<jxf(t)dt<s2x2或0<xf(x)<2s即limxf(x)=0.xT0+例9.11求證瑕積分j1 1 dx（人＞0）,當(dāng)人＜1時收斂0[x（1一cosx）]人 3x3x3入(1—cosxVx3入 Ix2)=limXT0+ X3證明:■/lim=limXT0+［x(1-cosx)p51外=2'(1-cosx丫TOC\o"1-5"\h\z< x2/1 1所以當(dāng)3入＜1時，即人＜_時，瑕積分收斂.當(dāng)3*＞1,即人＞時，3 3瑕積分發(fā)散.前面討論的是非負(fù)函數(shù)的反常積分的收斂性，為了能對一般函數(shù)的反常積分的斂散性進(jìn)行討論，我們先給出下面的重要結(jié)果.定理9.12(積分第二中值定理)設(shè)g(x)在［a,b］上可積，f(x)在［a,b］上單調(diào)，則存在笑［a,b］使fbf(x)g(x)dx=g(a)#f(x)dx+g(b)#f(x)dxa a a為了證明定理9.12，我們先討論下列特殊情況.引理9.1設(shè)f(x)在［a,b］上單調(diào)下降并且非負(fù)，函數(shù)g(x)在［a,b］上可積，則存在c《［a,b］,使卜f(x)g(x)dx=f(a)jcg(x)dxa a證明：作輔助函數(shù)>(x)=f(a)fxg(t)dt,對［a,b］的任一分法aP: a=x<x<x<???<x=b0 1 2 n我們有

\bf(x)g(x)dx-^\xif(x)g(x)dxa xi=l，t由此得到I\bf{x)g{x)dx-lLf{x)Lg(x)dx|7—10 i=l 土T=iZp；[/(%)-/(%)]g。)故iTOC\o"1-5"\h\zr i—1Z=1zTv工iy(x)-y(x)iig(x)idxY z-lA.1Z=l—IVlX?(/)Axi 1這里L(fēng)是|g(x)|在［a,b］的上界，巧0)是/3)在1^，:J上的振幅，從T。時,應(yīng)當(dāng)有i z-lT。時,應(yīng)當(dāng)有這個估計式可知，當(dāng)||尸||Hf(x)p,g(x)dx-\bf{x)g{x)dx'x.1 ai=l I我們來證明<maxv(x)x&[a,b]minv(x)V2f(x)hg{x)dxxe[a,b] -=1'T<maxv(x)x&[a,b]為此，引入記號G(x)二「g(ga并作如下變換TOC\o"1-5"\h\zEfCx)J%g(x)dxZ—Iyi=l —=Xf(x)[G(X)-G(x)]z-l i z-li=l=Xf(x.)G(x.)-Xf(x.)G(x)z_I i z—I 1i=l i=l

=§f(氣JG(x)-另f(x)G(x)TOC\o"1-5"\h\zi=1 i=0=2f(x)G(x)—另f(x)G(x) (G(x)=G(a)=0)i—1 i ii 0i=1 i=1=2[f(x——1)—f(xt)]G(xi)+f(xn)G(x.)i=1因為fGJ—f(x)>0, f(x)>0,所以2f(x)fxg(x)dxi—1丫xi=1 1—1=2[f(x)—f(x)]G(x)+f(x)G(x)i—1 ii nni=1z{2[f(x)一f(x)]+f(x)}minG(x)

i=1 1 1 n xe[a,b]=f(a)minG(x)xe[a,b]同樣可證2f(x)fxig(x)dx<f(a)maxG(x)i=1 11xi—1 xe[a,b]我們證明了不等式f(a)minG(x)<2f(x)fxig(x)dx<f(a)maxG(x)rtt i—1v ，-，-，xe[a,b] i=1 xi—1 xe[a,b]即minwxeminwxe[a,b](x)<2f(xi—1)fi=1xg(x)dx<maxwxi—1 xe[a,b](x)現(xiàn)令|p|T0,取極限，就得到minw(x)<fbf(x)g(x)dx<maxw(x)xe[a,b] a xe[a,b]

因此，存在ce［a,b］，使得w(c)=jbf(x)g(x)dx (因為w(x)在［a，婦上是連續(xù)函數(shù))a證畢也就是jbf(x)g(x)dx=f(a)jcg(x)dx證畢aa下面我們證明定理9.12知，存在ce[a,b),使卜[f(x)-知，存在ce[a,b),使卜[f(x)-f(by]g(x)dx=[f(x)-f(b)]Fg(x)dxaa即jbf(x)g(x)dx=f(a)jcg(x)dx+f(b)jbg(x)dx,a a c對f(x)單調(diào)上升的情形，可作類似討論.使用積分第二中值定理，我們得到下列一般函數(shù)的廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法定理9.13若下列兩個條件之一滿足，則產(chǎn)f(x)g(x)dx收斂(Abel判別法)j+"f(x)dx收斂，g(x)在［a,3］上單調(diào)有界；a(Dirichlet判別法)設(shè)F(A)=jAf(x)dx在［a,3］上有界造(為在怛,8)a上單調(diào)，且limg(x)=0.xT+3證明：(1)Vs>0,設(shè)|g(x)|<M,Vxg［a,3),因j+3f(x)dx收斂，由aTOC\o"1-5"\h\zCauchy收斂原理，3A>a,使VA,A>A時，有0 1 0t 一￡IjAif(x)dxl<a 2M由積分第二中值定理，我們得到

I「1f⑴g⑴dxI<Ig(A)I-1j"⑴公I(xiàn)+1g(A)I-1jAif(x)dxIA A 1 &<M,1j&f(x)dxI+M-1jAif(x)dxIA &<1+1=822再由Cauchy收斂原理知j+"f(x)g(x)dx收斂a(2)設(shè)M為F(A)在［a,+8)上的一個上界，則VA, Za,顯然有IjAif(x)dxI<2MA同時，因為limg(x)=0，所以存在A0>a,當(dāng)x>A0時，有g(shù)(x)g(x)l<84M于是，對VA,A1>A0有IjAf(x)dxI<Ig(A)I-1j&f(x)dxI+1g(A)I-1jAif(x)dxIA A 1 &<2M?Ig(A)I+2m-1g(A1)I<8+8=822由Cauchy收斂原理知j+8f(x)g(x)dx收斂a例9.12討論廣義積分j+8皂dx的斂散性，1xg(x)=cosx1解：令fg(x)=cosxf(f(x)單調(diào)下降且趨于零，則當(dāng)x—+8時，F(xiàn)(A)=jAcosxdx=sinA—sin1在［a,8)上有界.1由Dirichlet判別法知j+8C0S*dx收斂，1x另一方面

Icos尤Icos尤I〉COS2尤尤1+cos2x2x因『m發(fā)散，，從而非負(fù)函數(shù)的廣義積分:d發(fā)散由比較判別法知卜|COSx1dx發(fā)散，1x所以j+3COSxdx條件收斂1x例9.13討論廣義積分卜COSxarctanxdx的斂散性.1x解：由上一題知，廣義積分卜色dx收斂，而arctanx在［a,+“)上1x單調(diào)有界，所以由Abel判別法知j+3COSxarctanxdx收斂。1x另一方面，當(dāng)x口尸，+叫時，有|!°!^arctanxI〉|!°!^Ix x前面已證A"WSx1dx發(fā)散1x由比較判別法知卜|COSxarctanx1dx發(fā)散，所以

1xj+3COSxarCtanxdx條件收斂.1x對瑕積分也有下列形式的Abel判別法和Dirichlet判別法定理9.14若下列兩個條件之一滿足，則jbf(x)g(x)dx收斂：(b為唯a一瑕點)(Abel判別法)jbf(x)dx收斂，g(x)在［a,b)上單調(diào)有界a(Dirichlet判別法)F(n)=jif⑴dx在［a,b)上有界，g(x)在a(0,b-a］上單調(diào)，且limg(x)=0.x—b—證明:⑴只須用第二中值定理估計jb-n/f(x)g(x)dxb-n讀者可以仿照定理11.2.8⑴的作法完成⑴的證明.(2)讀者可以仿照定理11.2.8(2)的作法完成(2)的證明..1rsin_例9.14討論積分jfdx (0<p<2)的斂散性解對于0<p<1,因為*xp xp由j】J_dx收斂知0xp1fsin_j1 xdx0xp絕對收斂斂對于0vp<2,因為函數(shù)f(x)=x2-p,當(dāng)x—0+時單調(diào)趨于0,而函數(shù)1sin_g(x)=—xx2滿足

所以積分.1

sin_J1 xdx所以積分.1

sin_J1 xdx門xp<1cosl-cosJ_!<2sin! sin￡J1 xdx-J1x2-p xdx收斂.但在這種情況下，是發(fā)散的,2cos_x.1sin—xxpsin2_>__x=」TOC\o"1-5"\h\zxp 2xp 2xp2 11 cos sin—因J1一dx發(fā)散，J12*dx收斂，知J]——x從而當(dāng)0<p<2時，積分條件收斂.最后我們討論p=2的情形,因為x 1J1 xdx=cos1-cos—.1sin_當(dāng)門—o+時，上式無極限，所以積分JX^xrdx發(fā)散.值得注意的是，兩種廣義積分之間存在著密切的聯(lián)系，設(shè)ibf(x)dx中x=a為f(x)的瑕點，作變換y=」—，則有a x一a1f(a+-)ibf⑴dx=j+「 Ldy,而后者是無限區(qū)間上的廣義積分.a土 y2b-a習(xí)題9.21、 論下列積分的斂散性(包括絕對收斂，條件收斂，發(fā)散)⑴卜lnlnxsinxdx；2lnxj+3sinx2dx；0兀1 ,上 : dx；0C0S2xSin2x1Inx,J1dx；0x2—1J1x^-1(1一x