【新教材教案】9.2.3 總體集中趨勢的估計 教學設計-人教A版高中數(shù)學必修第二冊

9.2.3總體集中趨勢估計本節(jié)《普通高中課程標準數(shù)學教科-必修二（人教A版第九章9.2.3總集中趨勢的估計》，本節(jié)課通過對反映樣本數(shù)據(jù)集中趨勢量；平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的回顧，進一步學習在頻率分布方圖中對三個量的算法，同時加深對它們的理解和應用。進一步體會用樣本估計總體的思想與方法。從發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。課目

學素

結合實例，能用樣本估計總體的集中趨數(shù)學建模在體情境中運用眾數(shù)中數(shù)平均數(shù)勢參數(shù)眾、中位數(shù)、平均)．

2.邏輯推理：運用眾數(shù)、中位數(shù)平均數(shù)進行判斷B.會樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．3.數(shù)學運算：計算眾、中位數(shù)、平均數(shù)C.理集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含.數(shù)分析：眾數(shù)、中數(shù)、平均數(shù)的含義1.教學重點：會求樣本數(shù)據(jù)的眾、中位數(shù)、平均數(shù)．2.教學難點：理解集中趨勢參數(shù)統(tǒng)計含.多媒體教學過程一、溫故知新、定:般地，一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個.、計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百位數(shù)的步:第1步，按從小到大排列原始數(shù).

教學設計意圖核心素養(yǎng)目標

nn第2步，計算i=p第3步，若i不整數(shù)，而大于i的鄰整數(shù)為j則分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是數(shù)，則第p百位數(shù)為第i項與(i項數(shù)據(jù)的平均、根據(jù)頻率分布直方圖（頻率分布表）計算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)：首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計算估計百分位

由回顧知識出數(shù)在哪一組，再應用方程的思想方法，設出百分位數(shù)，解方程可得．發(fā)提出問題，讓學（①唯一②不一定是本數(shù)據(jù)中的個數(shù)）平均數(shù)：一般地，如果有個數(shù),,,...x，2

生感受到對反映樣本數(shù)字集中趨勢量；那么=

x...n

n

叫這個數(shù)的平均數(shù).

平均數(shù)、眾數(shù)、中位眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，出次最的數(shù).

數(shù)學習的重要性。發(fā)中位數(shù)一組數(shù)據(jù)按大小依次列處在最中間位的一個數(shù)據(jù)展學生數(shù)學抽象、直（或最間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）平數(shù)：一般地，果有n數(shù),,,...，2

觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。那么x=

n

n

叫這n數(shù)的平均數(shù).1術均數(shù)=

xxn=xni

i2）如n(n)個x,...,其中x數(shù)f,1kii1則x(fxf11

xf)kk

ki1

fii出現(xiàn)率則xii12

k

i

ii做一做1．判斷下列說法是否正確(確的打√，誤的打×”)(1)改變一組數(shù)據(jù)中的一個則些平數(shù)一定會改變．()(2)改變組數(shù)據(jù)中的一個數(shù)，則其中位數(shù)也一定會改變)(3)在頻分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形中點的橫坐標)

;;×、求下列各組數(shù)據(jù)的眾數(shù)（1）、1，2，，33，5，5，8，8，9眾是：3和8（2）、1，2，，33，5，5，8，9眾是：、求下列各組數(shù)據(jù)的中位數(shù)（1）、1，2，，33，4，6，8，8，9中數(shù)是：5（2）1，，3，，3，，88，，9位數(shù)是在一次學生田徑運動會上，參加男子跳高的名動員的成績如下表所示：成績(米)人數(shù)

．50

．60

．65

．70

1

．80分別求這些運動員成績的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)。解：在個據(jù)中，1.75出了，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75上面表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個據(jù)是中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70答：名運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75米）、（）（米）。這數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

1.901.69二、探究新知為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計總體的分布規(guī)律時可能不太關心總體的分布規(guī)律，而更關注總體取值在某一方面的特征如于某縣今年小麥的收成情況可會更關注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量而是產(chǎn)量的分布對一國家國民的身高情況們可能會更關注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等.在初中的學習中我們已經(jīng)了解到平均數(shù)、中位數(shù)和眾等都是刻畫中心位的量，它們從不同角刻了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。

通過具體問題，讓學生感受反映樣本數(shù)字集中趨勢量；平均數(shù)、眾數(shù)、中位

下面我們通過具體實例進一步了解這些量的意義們之數(shù)學習解決實際問間的聯(lián)與區(qū)別，并根據(jù)樣本的中趨勢估計總體的集中趨

題中的運用，發(fā)展學例

利用下表中戶居民用戶的月用水量的調查數(shù)據(jù)，計算生數(shù)學抽象、邏輯推樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)此估計全市居民用戶月均用水量的理核心素養(yǎng)。平均數(shù)和中位數(shù).9.013.614.95.97.16.45.42.08.65.44.96.82.010.55.116.86.011.11.34.92.310.012.47.85.22.422.43.67.13.218.35.13.012.022.25.52.09.93.65.64.47.95.124.57.54.720.55.55.75.56.02.43.73.84.12.35.37.88.14.36.81.37.04.91.87.128.013.85.54.63.2該市某個區(qū)有

2000戶，你能估計該小的月用水量嗎？8.79t所以估計全市居民用戶的月均用水量約為8.79t其中位數(shù)約為跟蹤練習1.小明用統(tǒng)計軟件計算了居民用水量的平均數(shù)和中

位數(shù)，但在錄入數(shù)據(jù)不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù).y

10077

9.483t,中位數(shù)有變，是

6.6t思考:并與真實的樣本平均和中位數(shù)作比較。哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？平均數(shù)由原來的變9.483t,中數(shù)沒有變化這因為樣本均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有,本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變會引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個并未利用其他數(shù)據(jù)不任一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變因此與中位數(shù)較平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信,樣本中的極端值更加敏感.中位數(shù)和均數(shù)的大小數(shù)據(jù)分布態(tài)的關系平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢的小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關在下圖的三種頻率分布直方圖形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關系？

通過實例分析，讓學生掌握反映樣本數(shù)字集中趨勢量；平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算方法，并熟悉的應用，提升推理論證能力，提高學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模及邏輯推理的核心（1）峰，直方圖狀對稱：均數(shù)（2）右邊拖”：平均>位（3）左邊拖”：平均<位

中位

素養(yǎng)。結：中數(shù)比平數(shù)是“長尾”那邊例某學校要定制高一年級的校服根廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格統(tǒng)計一年級生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示，校服

165170

合計

規(guī)格頻數(shù)

16726如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格在中位數(shù)均和數(shù)中個比較合適？試討論用上表中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理分析雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表的它們事實上是幾種不同的類別，對于這樣的分類數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合.解了直觀地觀察數(shù)據(jù)的特們條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)（下圖可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格數(shù)高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合.由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異一個學校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合眾數(shù)：①現(xiàn)數(shù)多②個多個，0個；③只能傳數(shù)據(jù)中信息很少一部，對極端值敏感；④賴分，定差⑤適用于分類型數(shù)集中趨的估計.（校規(guī)，別質等等對值型數(shù)據(jù)集中趨勢的述：平均數(shù)（用量身，入產(chǎn)等

中位數(shù).

眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

優(yōu)點與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)即序靠前或靠后的數(shù)據(jù)的響體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點

缺點任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變．數(shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大對極端值不敏感眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值不敏感探究:樣本的平均數(shù)、中位和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)，例如我們在報紙網(wǎng)絡上獲得往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖，這時該如何估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？在頻率分布直方圖中失了大的原始數(shù)據(jù)知分組和每組的頻率我們無法知道每個組內的據(jù)是如何分布的時常假設它們在組內均勻分布樣可獲得樣本的平均數(shù)位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾你能以下圖居民用水的頻率分布直方圖提供的信息樣本的

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)?因為樣平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)它的頻率的乘積之在頻率分布直方圖中平數(shù)可以每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之近似代如圖所示，可以測出中每個小矩形的高度，于是平均數(shù)的近似值為這個結果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)計算的樣本平均數(shù)相不大4.27.2x0.322

28.2

根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，的個體小于或等于中位數(shù)也的個體大于或等于中位數(shù)因在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等這個結果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得的中位數(shù)相不.中數(shù):百位由于

因此中位數(shù)落在區(qū)間[內.設中位數(shù)為x,由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5得x≈6.71.因此，中位數(shù)約為如圖所法:0.50.23

中為在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)[內的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點作為眾數(shù)的估計值如所示眾常用在描述分類型數(shù)據(jù)中，在這個實際問題中，眾“5.7讓們知道月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)的居民用戶最多，這個信息具有實際意義。平均數(shù)：率分布直方圖中個小矩面積乘以各個矩形底邊中點的坐標的中數(shù)把率布方分面相的右部

眾數(shù)：最矩形的底邊點的橫坐

在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個組內的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時假它們在組內均勻就以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾頻分直方圖損失了一樣本數(shù)據(jù)得到的是一個估值且所得估值與數(shù)分組有關有隨機性跟蹤訓練

1.高中師從一學的數(shù)成績隨機40名學生成績成六90,100得如圖示的分布方圖（1）求率分直方中實的值（2）估學生成績眾數(shù)位數(shù)平均(2)眾數(shù)75.設位數(shù)為x由于前三個矩形面積之和為，第四個矩形面積為0.3,0.35＋，此中位數(shù)位于第四個形內，得0.3+0.03(－70)=0.5，所以.2.某校從參加高二年級學業(yè)水平試的學生中抽出80名學生，其數(shù)學成績均整的率分布方圖如圖所示．(1)求這測試數(shù)學成績的眾數(shù)；(2)求這測試數(shù)學成績的中位數(shù)(3)求這測試數(shù)學成績的平均數(shù)．解1）由知數(shù)

75

(2)設中位數(shù)為，由圖知前三個矩形面積之和為，第四個矩形面積為0.30.3＋，此中位數(shù)位于第四個矩形內得－70)=0.5，所以x40＋50＋解由干圖知這次數(shù)學成績的平數(shù)為：＋22×0.015×10＋

60＋70＋80＋90100＋×0.025×10222＝（4）若例3條不變，求80分下的學生人數(shù)．分的頻率為(0.005＋0.015＋＋＝0.7，所以80分下的學生人數(shù)為80×0.756.三、達標檢測已知某2019年年空氣質量等級如下表所示

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計該市2019年年空氣質量指數(shù)的平均數(shù)、中

位數(shù)和第百位(注已知該市屬于“嚴污”級的空氣質量指數(shù)不超過某工廠人員及工資構成如下：人

經(jīng)理

管理人

高級技

工人

學徒

合計員日

員

工200工資人數(shù)合計

611006900（1）指出這個問題中日工資的眾數(shù)、位數(shù)、平均數(shù)（2）這個問題中，工資的平均數(shù)能客地反映該廠的工資水平嗎？為什么？分析：數(shù)為，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300因平均數(shù)為300，表格中所列出的數(shù)據(jù)可見有經(jīng)理在平均數(shù)以上余人都在平均數(shù)以下用平均數(shù)不能客觀真實地反映該工

廠的工資水平。利用樣本數(shù)字特征進行決策時的兩個關注點(1)平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線受個極端值的影響只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的大集中點客觀反映總體特征．(2)當平數(shù)大于中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值．3.某校從參加高二年級學業(yè)水平試的學生中抽出80名學生，其數(shù)學成績均整的率分布方圖如圖所示．(1)求這測試數(shù)學成績的眾數(shù)；(2)求這測試數(shù)學成績的中位數(shù)；(3)求這測試數(shù)學成績的平均分．70＋解析:由圖知眾數(shù)為75.2(2)由圖，設中位數(shù)為，由于前三個矩形面積之和為，四個矩形面積為0.3,0.3＋