靜電場(chǎng)習(xí)題-張冰 2013529

1大學(xué)物理習(xí)題課——靜電學(xué)部分2013.5.292基本概念1.電場(chǎng)強(qiáng)度：電場(chǎng)中某點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于單位電荷在該點(diǎn)受力的大小，方向?yàn)檎姾稍谠擖c(diǎn)受力的方向點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)：電荷組的場(chǎng)強(qiáng)：連續(xù)分布電荷的場(chǎng)強(qiáng)：32.電勢(shì)：電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)在數(shù)值上等于將單位正電荷由該點(diǎn)移動(dòng)到電勢(shì)零點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功點(diǎn)電荷的電勢(shì)：電荷組的電勢(shì)：連續(xù)分布電荷的電勢(shì)：電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的關(guān)系43.電勢(shì)差：電場(chǎng)中a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)差，在數(shù)值上等于單位正電荷從a點(diǎn)移到b點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力做的功。4.電勢(shì)能：電荷q在電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能，在數(shù)值上等于把電荷q從該點(diǎn)移到電勢(shì)零點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力所做的功。5一、真空中的靜電場(chǎng)基本規(guī)律還有電荷守恒定律，它時(shí)刻都起作用。1.線索62.求靜電場(chǎng)的方法：靜電場(chǎng)可以用電場(chǎng)強(qiáng)度來(lái)描述，靜電場(chǎng)也可以用電勢(shì)來(lái)描述。(1)求場(chǎng)強(qiáng)疊加法高斯定理法電勢(shì)梯度法補(bǔ)償法7?????????íì疊加法：場(chǎng)強(qiáng)積分法：(2)求V=?（零點(diǎn)要同）；

VVii==￥ò。），（

04d0VpeVqrq；分段，積分也要分段）（E·=ò，

d)()(0VPPplErr83.幾種典型電荷分布的

點(diǎn)電荷（？）均勻帶電球面（？）均勻帶電球體（？）均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)直線（？）均勻帶電無(wú)限大平面（？）均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)（？）無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面（？）9均勻帶電球面：均勻帶電球體：無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線：10均勻帶電半徑為R的細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)：無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電平面兩側(cè)：電偶極子軸線延長(zhǎng)線上一點(diǎn):(距電偶極子中心x)電偶極子中垂線上一點(diǎn):(距電偶極子中心距離y)11靜電平衡---導(dǎo)體內(nèi)部和表面無(wú)電荷定向移動(dòng)靜電平衡時(shí),導(dǎo)體是個(gè)等勢(shì)體，導(dǎo)體表面是個(gè)等勢(shì)面．推論：導(dǎo)體表面場(chǎng)強(qiáng)垂直表面2.導(dǎo)體的靜電平衡有導(dǎo)體存在時(shí)靜電場(chǎng)的分析與計(jì)算導(dǎo)體上的電荷重新分布電場(chǎng)利用：相互影響靜電場(chǎng)的基本規(guī)律（高斯定理和環(huán)路定理）電荷守恒定律導(dǎo)體的靜電平衡條件靜電場(chǎng)的疊加原理12電容：表征導(dǎo)體和導(dǎo)體組靜電性質(zhì)的一個(gè)物理量孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體球的電容平行板電容器同心球形電容器同軸柱形電容器133.靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)電介質(zhì)對(duì)電場(chǎng)的影響D的高斯定律電位移矢量在解場(chǎng)方面的應(yīng)用,在具有某種對(duì)稱性的情況下,可以首先由高斯定理解出:思路14靜電場(chǎng)的能量密度對(duì)任意電場(chǎng)都適合靜電場(chǎng)的能量電容器的能量：4.能量：15例1.

如圖所示在真空中有兩塊相距為d，面積均為S，帶電量分別為+Q和-Q的平行板。兩板的線度遠(yuǎn)大于d，因此可忽略邊緣效應(yīng)。（作業(yè)6.2）對(duì)下面幾種說(shuō)法你認(rèn)為對(duì)還是錯(cuò)？為什么？Sd+Q-Q（A）根據(jù)庫(kù)侖定律，兩板間的作用力大小為錯(cuò)。（不是點(diǎn)電荷間的作用力）【答】16（C）兩板間的作用力大小為（B）根據(jù)電場(chǎng)力的定義兩板間的作用力大小為錯(cuò)。（

不應(yīng)用總場(chǎng)強(qiáng)E計(jì)算）正確?！敬稹俊敬稹款愃频膯?wèn)題，作業(yè)6.20，請(qǐng)認(rèn)真思考！17例2

一錐頂角為的圓臺(tái)，上下底面半徑分別為R1

和R2

，在它的側(cè)面上均勻帶電，電荷面密度為，求頂點(diǎn)O的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)。r解:

在x處取一小圓臺(tái)，其到O點(diǎn)的母線長(zhǎng)為r，小圓臺(tái)的側(cè)面積為：XR1R2O小圓臺(tái)帶電荷為:小圓臺(tái)在O點(diǎn)的電勢(shì)為:圓臺(tái)在O點(diǎn)的電勢(shì)x電勢(shì)疊加原理求U！18求電場(chǎng)強(qiáng)度場(chǎng)強(qiáng)疊加原理求E（電荷連續(xù)分布）！R1R2OrXx19對(duì)否？理由如何？錯(cuò)在兩個(gè)相疊加的電勢(shì)的零點(diǎn)不一致。例3.

電荷分布如圖所示設(shè)q>0,>0不對(duì)。aPa/2q無(wú)限大均勻帶電板有人由電勢(shì)疊加原理求得P點(diǎn)電勢(shì)為：【答】20正確作法：

可統(tǒng)一選大平板處P0

點(diǎn)電勢(shì)為零，qPa/20ax電勢(shì)零點(diǎn)選擇問(wèn)題！21例4.

如圖所示，半徑為R的導(dǎo)體球原來(lái)帶電Q

，現(xiàn)將一點(diǎn)電荷q放在球外離球心距離為x(x>

R)

處，求導(dǎo)體上的電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)。+------++++++解:由于靜電感應(yīng)，球面上的電荷重新分布，保證球內(nèi)處處場(chǎng)強(qiáng)為零。因此，P點(diǎn)總的電場(chǎng)強(qiáng)度為零。該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度是導(dǎo)體球面上非均勻分布的電荷及球外點(diǎn)電荷q所共同產(chǎn)生的。于是，所求場(chǎng)強(qiáng)等于總場(chǎng)強(qiáng)減去球外點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)：22同理，所求P點(diǎn)的電勢(shì)等于P點(diǎn)總的電勢(shì)減去球外點(diǎn)電荷q在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)，即+------++++++由于導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時(shí)為等勢(shì)體，所以P點(diǎn)總的電勢(shì)與O點(diǎn)總的電勢(shì)相等，即由點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式及電勢(shì)疊加原理，有于是，有由上式可知，導(dǎo)體上的電荷在不同位置處產(chǎn)生的電勢(shì)不同。23例5.如圖，有一空氣平板電容器極板面積為S，間距為d?，F(xiàn)將該電容器接在端電壓為U的電源上充電，求極板上的電荷Q、極板間電場(chǎng)強(qiáng)度E和電容器的電容C

。

(1)充足電后

(2)平行插入一塊面積相同、厚度為、相對(duì)電容率為的電介質(zhì)板；

(3)將上述電介質(zhì)板換為相同大小的導(dǎo)體板時(shí)。24解:(1)空氣平板電容器的電容充電后，極板上的電荷、極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E0為(2)插入電介質(zhì)后，視為空氣平板電容器與介質(zhì)平板電容器的串聯(lián)(2)平行插入一塊面積相同、厚度為、相對(duì)電容率為的電介質(zhì)板？25則此時(shí)電容器的電容為介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度26(3)插入導(dǎo)體板后，極板上的自由電荷與插入導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷在導(dǎo)體板內(nèi)激發(fā)的電場(chǎng)相互抵消，與電源相接的極板將會(huì)從電源獲得電荷，使間隙中的電場(chǎng)增強(qiáng)，以維持電勢(shì)差不變，并有則此時(shí)電容器的電容為導(dǎo)體中的電場(chǎng)強(qiáng)度為空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度為(3)將上述電介質(zhì)板換為相同大小的導(dǎo)體板時(shí)？27例6如圖所示，兩導(dǎo)體球A、B，半徑分別為R1=0.5m，R2=1.0m，中間以導(dǎo)線連接，兩球外分別包以內(nèi)半徑為R=1.2m的同心導(dǎo)體球殼（與導(dǎo)線絕緣）并接地，導(dǎo)體間的介質(zhì)均為空氣。已知：空氣的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為3×106V/m，現(xiàn)使A、B兩球所帶電荷逐漸增加，計(jì)算：此系統(tǒng)何處首先被擊穿？這里場(chǎng)強(qiáng)為何值？擊穿時(shí)兩球所帶的總電荷Q為多少？（設(shè)導(dǎo)線不帶電，且對(duì)電場(chǎng)無(wú)影響。真空介電常數(shù)為）AR1RBR2R28AR1RBR2R(1)此系統(tǒng)何處首先被擊穿？這里場(chǎng)強(qiáng)為何值？解：(1)兩導(dǎo)體球殼接地，殼外無(wú)電場(chǎng)，且導(dǎo)體球A、B外的電場(chǎng)均呈球?qū)ΨQ分布?，F(xiàn)比較兩球外場(chǎng)強(qiáng)的大小，擊穿首先發(fā)生在場(chǎng)強(qiáng)最大處。設(shè)擊穿時(shí)A、B所帶的電荷分別為Q1、Q2，由于A、B用導(dǎo)線連接，故兩者等電勢(shì)，即滿足：代入數(shù)據(jù)得：29B球表面處的場(chǎng)強(qiáng)最大，這里先達(dá)到擊穿場(chǎng)強(qiáng)而被擊穿，即兩導(dǎo)體表面上的場(chǎng)強(qiáng)最強(qiáng)，其最大場(chǎng)強(qiáng)之比為：AR1RBR2R30(2)擊穿時(shí)兩球所帶的總電荷Q為多少？由E2max解得：Q2=3.3×10-4CQ1=Q2/7=0.47×10-4CQ=Q1+Q2=3.77×10-4C擊穿時(shí)兩球所帶的總電荷Q為:AR1RBR2R31例7.

如圖所示，平行板電容器兩極板相距d，面積為S，電勢(shì)差為U，其中放有一塊厚為t，面積為S，相對(duì)電容率為的介質(zhì)板，介質(zhì)板上下兩邊都是空氣，忽略邊緣效應(yīng)。求：

(1)介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E，極化強(qiáng)度P

和電位移D(2)極板上的電量Q(3)極板和介質(zhì)間隙的場(chǎng)強(qiáng)

(4)電容Cdt32解:(1)設(shè)電容器介質(zhì)中和空氣中的場(chǎng)強(qiáng)分別為

E介質(zhì)，E空氣，則為求E，作如圖所示左邊的圓柱形高斯面，由E

的高斯定律式中是極板面自由電荷面密度，故dt33故代入U(xiǎn)的表達(dá)式，得為求介質(zhì)中的E

，可作圖右邊的圓柱形高斯面，由D的高斯定理dt34故介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)、極化強(qiáng)度、電位移分別為35方向垂直于極板，由正極板指向負(fù)極板

、、的方向垂直于極板，由帶正電荷的極板指向帶負(fù)電荷的極板。極板上的電量、空氣間隙中的場(chǎng)強(qiáng)、電容分別是(2)極板上的電量,(3)極板和介質(zhì)間隙的場(chǎng)強(qiáng),(4)電容？dt36例8

兩塊靠近的平行金屬板間原為真空。使兩板分別帶上面電荷密度為σ0

的等量異號(hào)電荷，這時(shí)兩板間電壓U0=300V。保持兩板上電量不變，將板間一半空間充以相對(duì)電容率εr=5

的電介質(zhì)，求：（1）金屬板間有電介質(zhì)部分和無(wú)電介質(zhì)部分的E,D

和板上自由電荷密度σ；（2）金屬板間電壓變?yōu)槎嗌?？電介質(zhì)上下表面束縛電荷密度多大？σ0-σ0SdE1D1E2D237解:(1)有介質(zhì)部分的場(chǎng)強(qiáng)E1

與無(wú)介質(zhì)部分的場(chǎng)強(qiáng)E2相等：由電量守恒解得E1D1E2D2電位移電場(chǎng)強(qiáng)度38（2）插入電介質(zhì)前電壓插入電介質(zhì)后電壓電介質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度電介質(zhì)表面極化電荷面密度為E1D1E2D239例9.一平行板空氣電容器，兩極板相距d，面積為S，充電至帶電Q后與電源斷開，然后用外力緩緩地將兩極間距拉開至2d。求：

(1)電容器能量的改變；

(2)在此過(guò)程中外力所作的功，并討論此過(guò)程中的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系。解:(1)兩極板間為勻強(qiáng)場(chǎng)，電場(chǎng)能量密度極板未拉開前電容器能量40故電容器增加的能量極板拉開后電容器能量(2)電容器能量的增加，正是外力做功的結(jié)果，根據(jù)功能關(guān)系，有外力作功外力作功轉(zhuǎn)換成電能，儲(chǔ)存在電場(chǎng)中。41例10

半徑為R的帶電圓環(huán)，電荷線密度為，軸線上A,B兩點(diǎn)，與圓心的距離為