角平分線的性質(zhì)PPT通用課件

角的平分線九年義務(wù)教育三年制初級中學(xué)教科書第二冊教學(xué)重點、難點教學(xué)過程課堂練習(xí)課堂小結(jié)、布置作業(yè)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：①會闡述角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理②會應(yīng)用角平分線定理及其逆定理證明兩條線段相等或兩個角相等③滲透點的集合的思想教學(xué)重點、難點：①角平分線的性質(zhì)定理中所說的“角平分線上的點”是指角平分線上的任意一點。換句話說，是指角平分線上的每一個點。定理的實質(zhì)是：角平分線上的所有點都滿足“到角的兩邊距離相等”這個性質(zhì)。②角平分線的判定定理的實質(zhì)是：凡滿足“到一個角的兩邊距離相等”的所有點都在這個角的平分線上。換句話說，這樣的點絕不會在角的平分線之外。角平分線上的點到這個角兩邊距離相等如何證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角兩邊距離相等性質(zhì)定理的逆命題：角平分線上的點到這個角兩邊距離相等到一個角兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上到一個角兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上到一個角兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上角平分線的逆定理：角平分線的判定定理：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合題設(shè)：ACOPEF角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等D證明：∵OD是∠AOC的角平分線 ∴∠AOD=∠COD

又∵PE⊥OA，PF⊥OC ∴∠PEO=∠PFO=90° ∴在△PEO和△PFO中

∠AOD=∠COD（已證）∠PEO=∠PFO（已證）

OP=OP（公共邊）∴△PEO≌△PFO(AAS)∴PE=PF(全等三角形對應(yīng)邊相等）結(jié)論：一個點在一個角的平分線上它到角的兩邊的距離相等求證：OD是∠AOC的角平分線，點P在OD上。PE⊥OA于點E，PF⊥OC于點FPE=PF已知：到一個角兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上ACOPEF已知：求證：PE⊥OA于點E，PF⊥OC于點F且PE=PF點P在∠AOC的平分線上證明：經(jīng)過點Ｐ作射線OD

∵PE⊥OA，PF⊥OC ∴∠PEO=∠PFO=90° ∴在Rt△PEO和Rt△PFO中PE=PF（已知）OP=OP（公共邊）∴△PEO≌△PFO(HL)∴∠AOD=∠COD（全等三角形對應(yīng)角相等）∴OD是∠AOC的平分線即點P在∠AOC的平分線上DABCDE填空：（1）∵AD平分∠BAC∴DC⊥AC，DE⊥AB（已知）∴DC=DE（

）（2）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC=DE（已知）∴點D在∠BAC的平分線上（ ）在角平分線上的點到角兩邊距離相等到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上已知：∠B=∠Ｃ=90°，AB=AC求證:(1)∠ADB=∠ADC

(2)DB=DC(要求不用三角形全等的判定)ABCD證明：（1）∵∠B=∠Ｃ=90°（已知） ∴AB⊥DB，AC⊥DC（垂直的定義） 又∵AB=AC（已知） ∴點A在∠BDC的角平分線上（到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的角平 分線上） ∴∠ADB=∠ADC

（2）∵∠B=∠C，∠ADB=∠ADC（已知）∴180°-（∠B+∠ADB）=180°-（∠C+∠ADC）（三角形內(nèi)角和定理）即∠BAD=∠CAD∵DB⊥AB，DC⊥AC∴DB=DC（）在角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等例1已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN

相交于點P求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等DFEABCMNP∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上∴PD=PE（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）同理PE=PF

∴PD=PE=PF

即點P到邊AB、BC、CA的距離相等。證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、

BC、CA，垂足為D、E、F根據(jù)這個例題的結(jié)論，我們可以在三角形內(nèi)找到一點，使它到三角形三邊的距離相等。例2已知：如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，

DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求證：AD⊥EFABCDEFO證明：∵AD是∠BAC的平分線，

DE⊥AB，DF⊥AC（已知） ∴DE=DF（在角平分線上的點到這個 角的兩邊的距離相等） ∴在Rt△AED和Rt△AFD中DE=DF（已證）AD=AD（公共邊）∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）∴AE=AF（全等三角形對應(yīng)邊相等）∴在△AEO和△AFO中AE=AF（已知）∠EAO=∠FAO（已知）AO=AO（公共邊）∴△AEO≌△AFO（SAS）∴∠AOE=∠AOF=∠EOF=90°∴AD⊥EF(垂直定義）練習(xí)①書本52頁練習(xí)1②判斷題③證明題在角平分線上到角的兩邊的距離相等的點（性質(zhì)定理）（判定定理）提供了兩條線段相等的依據(jù)提供了兩個角相等的依據(jù)小結(jié)學(xué)習(xí)了這兩個定理以后，許多涉及角平分線的問題用定理或逆定理解決很方便。但是由于我們對證明兩個三角形全等的問題已經(jīng)很熟悉了，所以證題時，不習(xí)慣直接應(yīng)用定理，仍然去找全等三角形，結(jié)果相當(dāng)于重新證明了一次定理。所以，能用簡單方法的，不要饒遠(yuǎn)路，切記！作業(yè)課本習(xí)題3.4A組5、6、7題判斷下列推理是否正確（1）如圖，∵AD平分∠BAC，點P在AD上，PE⊥AB，PF⊥AC∴PE=PF（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）（）（2）如圖，∵PE=PF∴AD平分∠BAC（到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）（）（3）如圖，∵點P在∠BAC的平分線上∴PE=PF（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）（）（4）如圖，∵PE⊥AB，PF⊥AC∴AD平分∠BAC（到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）（）（5）如圖，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF∴點P在∠BAC的平分線上（到角兩邊距離相等的點在這個角的