2021-2022學(xué)年湖北省襄陽市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年湖北省襄陽市第五中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合、是全集的兩個(gè)子集，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示，，同時(shí).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件，注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：正實(shí)數(shù)滿足，則，，即：，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為11.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力．3．若為不等式的解集，則的解集為A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】為為不等式的解集，所以和是方程的兩根，從而解得，進(jìn)而可得解.【詳解】因?yàn)闉椴坏仁降慕饧?，所以和是方程的兩根，所以，，所以，，所以不等式即，解得或，故不等式的解集為或，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題.4．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，容易判斷為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而將原不等式轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)單調(diào)性求得答案.【詳解】設(shè)，，則，即為奇函數(shù)，容易判斷在R上單調(diào)遞增（增+增），又可化為，，所以a>1－2a，∴a>．故選：A.5．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)為偶函數(shù)分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又由函數(shù)在，單調(diào)遞增且f(3)，則，解可得：，即不等式的解集為；故選：D．6．已知平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，連接交于點(diǎn)M，且滿足，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，得到，再由E，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以．因?yàn)镋，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，所以．故選：B7．函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于軸對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【分析】利用三角恒等變換公式確定函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)確定對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸即可求解.【詳解】,令得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，對(duì)于A，不存在使得，所以圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)對(duì)稱中心為，B正確；令得，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，不存在使得或，所以圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，不關(guān)于直線對(duì)稱，C,D錯(cuò)誤.故選:B.8．函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分和且兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)且時(shí)，利用二倍角公式和輔助角公式進(jìn)行化簡，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得到值域【詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)且時(shí)，，所以，因?yàn)榍?，所以且，所以所以，綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x：B二、多選題9．給出以下四個(gè)結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域是；B．函數(shù)（其中，且）的圖象過定點(diǎn)；C．當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象是一條直線；D．若，則的取值范圍是.【答案】ABD【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的定義域判斷各選項(xiàng)．【詳解】A．函數(shù)的定義域?yàn)?，即，則，∴函數(shù)中的取值范圍，即定義域?yàn)椋炊x域是，A正確；B．令，則，∴圖象過定點(diǎn)．B正確；C．中，它的圖象是直線上去掉點(diǎn)，不是直線，C錯(cuò)；D．時(shí)，，不合題意，時(shí)，，，∴．D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的定義域，掌握指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若的最小正周期是，則B．當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為C．當(dāng)時(shí)，D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】AD【解析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，采用整體換元法依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解:對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)?shù)淖钚≌芷谑?，即：，則，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以令，解得：，所以函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，，由于在單調(diào)遞增，故，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，令，解得：所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因?yàn)?，所以，故，故D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于整體換元法的靈活應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.其中D選項(xiàng)的解決先需根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性得，再結(jié)合和得，進(jìn)而得答案.11．已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，下列四個(gè)命題中正確的命題是

（

）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是銳角三角形【答案】AC【分析】對(duì)于A．利用正弦定理證明△ABC是等邊三角形，故A正確；對(duì)于B，利用正弦定理化簡得△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，利用正弦定理和三角恒等變換化簡得△ABC是等腰三角形，故C正確；對(duì)于D，利用余弦定理化簡得角C為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形，故D錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)于A．若，則，，即，即△ABC是等邊三角形，故A正確；對(duì)于B，若，則由正弦定理得，，則或，即或，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則即，則△ABC是等腰三角形，故C正確；對(duì)于D，△ABC中，∵，∴，所以角C為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12．在給出的下列命題中，正確的是（

）A．已知為的外心，邊長為定值，則為定值．B．中，已知，則且則C．為為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過的重心．D．為的垂心，，則．【答案】ABD【分析】由三角形的外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)計(jì)算，即可判斷A；由向量的運(yùn)算推得AD為角平分線，利用三角形的面積公式運(yùn)算，即可判斷B；設(shè)線段BC的中點(diǎn)為D，由向量的中點(diǎn)表示和向量數(shù)量積的性質(zhì)，即可判斷C；由三角形的垂心性質(zhì)和向量的夾角公式計(jì)算，即可判斷D.【詳解】A：O為的外心，邊AB、AC長為定值，為定值，故A正確；B：在中，已知，由，可得D在的平分線上，又，可得D、B、C三點(diǎn)共線，即AD為角平分線，由得，得，故B正確；C：如圖，設(shè)線段BC的中點(diǎn)為D，則，因?yàn)?，即，所以，得，所以且平分BC，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過的外心，故C錯(cuò)誤；D：由H為的垂心，得，有，同理，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，有，所以，同理可得，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題13．設(shè)向量與的夾角為，定義與的“向量積”，是一個(gè)向量，它的模等于，若，，則______．【答案】2【分析】分別計(jì)算兩個(gè)向量的模長及夾角，代入計(jì)算即可.【詳解】，，則，則，則,故答案為：214．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，則______．【答案】【分析】先由正弦定理得，再結(jié)合題中條件得，最后利用余弦定理可求得，結(jié)合可得.【詳解】在中，由正弦定理可得，，又由題知，所以，整理得，，在中，由余弦定理得，，所以，又，所以.故答案為：.15．若向量,,則的最大值為________.【答案】3【詳解】試題分析：根據(jù)題意，由于向量,,則可知=，那么化為單一函數(shù)可知，可知最大值為3，故填寫3.【解析】向量的數(shù)量積點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及數(shù)量積的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．四、雙空題16．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，b，c.已知向量，且.D為邊上一點(diǎn)，且.則_______，面積的最大值為________.【答案】

【分析】由計(jì)算可得，進(jìn)而得出，因?yàn)?，所以，，在和中分別計(jì)算和的表達(dá)式，然后利用可得，由余弦定理可得，兩式結(jié)合可得，由不等式的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，最后利用三角形面積計(jì)算公式可得出面積的最大值.【詳解】由可得，，利用余弦二倍角公式和邊化角可得：，即，利用積化和公式可得：，即，又，所以；因?yàn)?，所以，，在中，，在中，，又，所以有，即，①又，②將②代入①得，，又，所以，即，由，，可得：，所?所以面積的最大值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，考查兩角積化和公式的應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.五、解答題17．已知復(fù)數(shù)滿足.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由復(fù)數(shù)的模定義求得，移項(xiàng)可得，再由共軛復(fù)數(shù)定義得結(jié)論；（2）由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴，∴.（2）由（1）得，.18．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.(1)求的解析式；(2)設(shè)為銳角，，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象求出，和的值即可；（2）利用兩角和差的余弦公式和正弦公式進(jìn)行化簡求解．試題解析：(1)由圖可得,.(2)為鈍角，，.點(diǎn)睛：本題主要考查利用的圖象特征，由函數(shù)的部分圖象求解析式，理解解析式中的意義是正確解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．為振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通過圖象我們可得和,稱為初象，通常解出，之后，通過特殊點(diǎn)代入可得，用到最多的是最高點(diǎn)或最低點(diǎn).19．已知函數(shù)是偶函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（3）若函數(shù)，的最大值為0，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）；（3）5.【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)定義得，再根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)求的值；（2）令，可看作函數(shù)的圖象與直線無交點(diǎn)，再求的值域可得答案；（3）化簡后，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，，根據(jù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系討論最值取法，最后根據(jù)最大值為0解實(shí)數(shù)的值即可．【詳解】（1）∵是偶函數(shù)，∴，即對(duì)任意恒成立，∴，∴．（2）由（1）知，函數(shù)沒有零點(diǎn)，即方程無實(shí)數(shù)根．令，則函數(shù)的圖象與直線無交點(diǎn)，∵，又，∴，∴的取值范圍是，的取值范圍是（3）由題意，的最大值為0，令，，，①當(dāng)，即時(shí)，，；②當(dāng)，即時(shí)，，（舍去）．綜上可知，實(shí)數(shù)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)問題．解題方法是把零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖象觀察所需條件求得結(jié)論．考查了分析問題、解決問題的能力．20．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，，．(1)若，求的值；(2)設(shè)，，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用向量的模長公式.(2)利用向量平行的坐標(biāo)形式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，?因?yàn)?，所以，即，所以，即．?）因?yàn)?，所以．依題意，．因?yàn)椋裕喌?，，所以．因?yàn)?，所以．所以，即?1．在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求A的值；(2)若，，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求的值；(3)若，，且的面積為，求的長度.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理化簡得到，利用輔助角公式得到，結(jié)合角A的范圍，求出A；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周長最小值及此時(shí)的值；（3）由面積公式得到，結(jié)合正弦定理得到，求出，由余弦定理求出答案.【詳解】（1）由及正弦定理，得，因?yàn)?，且，所以，即，因?yàn)椋?；?）由余弦定理，得，將代入，整理，得，因?yàn)?，所以的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，；（3）由的面積為，得，所以①，又，所以，，由正弦定理，得，②由①②可得，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理，得，所?22．對(duì)于函數(shù)，且的定義域?yàn)?，．?）求實(shí)數(shù)的值，使函數(shù)為奇函數(shù)；（2）在（1）的條件下，令，求使方程，有解的實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（1）的條件下，不等式對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；【分析】（1）先利用求得，再驗(yàn)證即可；（2）求得此時(shí)函數(shù)，由此得解