2022-2023學年北京市朝陽區(qū)高二年級上冊學期數(shù)學期末試題【含答案】

2022-2023學年北京市朝陽區(qū)高二上學期數(shù)學期末試題一、單選題1．已知為等差數(shù)列，，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)，，求出式子的值.【詳解】因為是等差數(shù)列，所以.故選：C.2．已知點到直線的距離為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點到直線得距離公式即可得出答案.【詳解】解：由題意得．解得或．，．故選：C.3．設函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導數(shù)的幾何意義求在處切線的斜率，進而即可得切線方程.【詳解】因為，所以，所以，即在處切線方程的斜率為，又因為，所以切線方程為，整理得，故選：B4．已知F是拋物線的焦點，點在拋物線C上，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義可得：，代入數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】因為拋物線方程為，所以，又因為點在拋物線C上，由拋物線的定義可得：，故選：.5．已知直線，直線，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)直線的平行的判定即可求解.【詳解】等價于，解得，所以，解得或，當時，，，此時重合，故“”是“”的充分必要條件.故選：C.6．如圖，在四面體中，是的中點，設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形法則先求得向量、，進而求得．【詳解】解：，，．故選：B．7．已知函數(shù)有兩個極值點，則（

）A．或 B．是的極小值點 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個極值點，則導數(shù)為有兩個根,由單調(diào)性及根與系數(shù)的關系等逐個判斷即可.【詳解】因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個根,所以,,故選項錯誤;因為有兩個根,所以,即得,解得或,故選項正確;因為有兩個根,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以是的極大值點,故選項錯誤;故選:A.8．在平面直角坐標系中，設是雙曲線的兩個焦點，點在上，且，則的面積為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】利用雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】因為點在上，是雙曲線的兩個焦點,由雙曲線的對稱性不妨設，則①，，因為，所以，由勾股定理得②，①②聯(lián)立可得，，所以，故選：B9．如圖，平面平面，，A，B是直線l上的兩點，C，D是平面內(nèi)的兩點，且，，，，，若平面內(nèi)的動點P滿足，則四棱錐的體積的最大值為（

）A．24 B． C．48 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知可得，則當四棱錐的高最大，即的高最大即可.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出線線垂直關系結(jié)合，可得.設，，在根據(jù)余弦定理結(jié)合面積公式得出.由三邊關系得到，即可得到，代入體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】在平面內(nèi)，由，，可得.又，，所以四邊形為直角梯形，.要使四棱錐的體積的最大值，則只要四棱錐的高最大即可.因為平面平面，，過點向作垂線交于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得，，則.又是的高，且由，可知，，，又，，所以，.在中，.在中，.又，所以，所以，即.設，，在中，由余弦定理可得.因為，所以，則，又，所以，.根據(jù)三角形三邊關系可得，即，所以，.所以，當時，有最大值為.又四棱錐的體積為，所以，四棱錐的體積的最大值為48.故選：C.10．斐波那契數(shù)列在很多領域都有廣泛應用，它是由如下遞推公式給出的：，當時，．若，則（

）A．98 B．99 C．100 D．101【答案】B【分析】根據(jù)題意推出,再利用累加法化簡即可求出的值.【詳解】由題意得，，因為,，所以，，，，累加得，因為，所以當,,是遞增數(shù)列.所以，所以.故選：.二、填空題11．函數(shù)的導函數(shù)______.【答案】【分析】利用乘積導數(shù)運算法則，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴.故答案為：.12．已知平面的法向量為，直線l的方向向量為，且，則實數(shù)_________．【答案】【分析】根據(jù)直線與平面垂直可得直線l的方向向量與平面的法向量平行，利用兩向量平行的充要條件即可求解.【詳解】因為平面的法向量為，直線l的方向向量為，且，所以，則存在實數(shù)使得，也即，解得：，，故答案為：.13．過圓的圓心且與直線平行的直線的方程是__．【答案】【分析】設出與直線平行的直線，將圓心代入即可.【詳解】由的圓心為，設與直線平行的直線為：，因為過圓心，所以，故所求直線為：，故答案為：.14．已知是首項為負數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)n，恒成立，則q的值可以是____________________．（只需寫出一個）【答案】-3（答案不唯一，即可）【分析】根據(jù)已知可推出恒成立，進而得到，.【詳解】由可得，恒成立，因為，顯然有，又，所以，.故答案為：-3.15．數(shù)學家笛卡兒研究了許多優(yōu)美的曲線，如笛卡兒葉形線在平面直角坐標系中的方程為．當時，給出下列四個結(jié)論：①曲線不經(jīng)過第三象限；②曲線關于直線軸對稱；③對任意，曲線與直線一定有公共點；④對任意，曲線與直線一定有公共點．其中所有正確結(jié)論的序號是________________．【答案】①②④【分析】當時，判斷是否成；點(y，x)代入方程，判斷與原方程是否相同；聯(lián)立直線和曲線方程，判斷方程組是否有解分別逐一判斷選項即可.【詳解】當時,方程為當時，，故第三象限內(nèi)的點不可能在曲線上，①正確；將點代入曲線方程得，故曲線關于直線對稱，②正確；當,聯(lián)立其中，將代入得，即，則方程組無解，故曲線與直線無公共點，③錯誤;聯(lián)立可得有解,設,,當時,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,值域為所以成立,當時成立.當時,,單調(diào)遞增,,所以成立,所以曲線與直線一定有公共點故④選項正確.故答案為：①②④.三、雙空題16．設點分別為橢圓的左、右焦點，則橢圓C的離心率為______________；經(jīng)過原點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，當四邊形的面積最大時，_____________．【答案】

；

.【分析】根據(jù)已知求出的值，即可得到離心率；根據(jù)對稱性可得，，所以為短軸頂點.寫出的坐標，即可得到結(jié)果.【詳解】由已知可得，，，所以，則離心率.根據(jù)橢圓的對稱性可得，點關于原點對稱，設，.且，當最大時，面積最大，則此時為短軸頂點.不妨設.，，所以，，所以.故答案為：；.四、解答題17．設函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，求的最大值與最小值．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是,，單調(diào)遞減區(qū)間是(2)最大值,最小值【分析】（1）利用導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，列表求函數(shù)的最值.【詳解】（1），當，解得：或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,，當，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）由（1）可得下表4單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最小值是18．已知是等差數(shù)列，其前n項和為．(1)求數(shù)列的通項公式及；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求數(shù)列的前n項和．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)，(2)若選①：；若選②：；若選③：【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式即可求解；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式、分組求和方法、乘公比錯位相減法即可分別求解.【詳解】（1）設數(shù)列{an}的公差為.，，，所以，所以.（2）若選①：，；若選②：，.若選③：，.19．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，，點O是的中點．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值；(3)在棱上是否存在點M，使得平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明過程見解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)進行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；（3）根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】（1）因為，點O是的中點，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，而平面，所以；（2）設為的中點，連接，因為，，所以，由（1）可知：平面，而平面，所以，因此建立如圖所示的空間直角坐標系，，因為平面平面，平面平面，，所以平面，因此平面的法向量為，設平面的法向量為，，于是有，二面角的余弦值為：；（3）假設在棱上存在點M，使得平面，且，可得：，因此，由（2）可知平面的法向量為，因為平面，所以，因此假設成立，.20．已知橢圓的長軸長為4，且點在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)過點的直線l橢圓C交于兩點，且．問：x軸上是否存在點N使得直線，直線與y軸圍成的三角形始終是底邊在y軸上的等腰三角形？若存在，求點N的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解；（2）轉(zhuǎn)化為0后，根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立即可求解.【詳解】（1）因為,解得2.所以點在橢圓上.將代入,得..從而..（2）顯然直線的斜率存在且不為0,設直線的方程為.設.假設存在點,因為直線與軸圍成的三角形始終為底邊在軸上的等腰三角形，0，即,即.由消去并整理,得.由,求得,則.所以,解得.于是在軸上存在定點,使得直線與軸圍成的三角形始終為底邊在軸上的等腰三角形.21．在無窮數(shù)列中，．(1)求與的值；(2)證明：數(shù)列中有無窮多項不為0；(3)證明：數(shù)列中的所有項都不為0．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用遞推公式求的值即可；（2）假設數(shù)列中有限個項不為0，然后推出與題意矛盾即可求證；（3）由（2）可得在無窮處能找到一個，利用遞推公式可得數(shù)列呈周期變化，，令即可證明.【詳解】（1）由可得，，，，，，所以，.（2）假設數(shù)列中有限個項不為0，則會存在一個數(shù)，當時，，則，