2022-2023學(xué)年北京市豐臺區(qū)高一年級上冊學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市豐臺區(qū)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的并集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)榧?，，所以，故選：D2．已知a為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)，但，得到答案.【詳解】，但，比如，則“”是“”的充分而不必要條件.故選：A3．化簡后等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，故選：.4．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由條件可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以自變量的絕對值越大函數(shù)值越大，再根據(jù)，可得，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故自變量的絕對值越大，對應(yīng)的函數(shù)值越大，又，所以，故選：.5．已知函數(shù)，則它的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)，求得，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，即，由零點(diǎn)的存在定理，可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)存在定理得應(yīng)用，其中解答中熟記對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】將式子變形為，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)，也即時取等號）所以的最小值為，故選：.7．聲音的等級（單位：Db）與聲音強(qiáng)度x（單位：）滿足．火箭發(fā)射時，聲音的等級約為；一般噪音時，聲音的等級約為，那么火箭發(fā)射時的聲音強(qiáng)度約為一般噪音時聲音強(qiáng)度的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】根據(jù)聲音的等級（單位：Db）與聲音強(qiáng)度x（單位：）滿足．分別求得火箭發(fā)射時和一般噪音時的聲音強(qiáng)度求解.【詳解】解：因?yàn)榛鸺l(fā)射時，聲音的等級約為，所以，解得；因?yàn)橐话阍胍魰r，聲音的等級約為，所以，解得，；所以火箭發(fā)射時的聲音強(qiáng)度約為一般噪音時聲音強(qiáng)度的倍，故選：C8．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性并借助特殊值1為“橋梁”，即可判斷作答.【詳解】因函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，于是得，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，而，于是得又，即，所以.故選：A9．在某校舉辦的“學(xué)憲法，講憲法”活動中，每個學(xué)生需進(jìn)行綜合測評，滿分為10分，學(xué)生得分均為整數(shù)．其中某年級1班和2班兩個班級學(xué)生的得分分布條形圖如下：給出下列四個結(jié)論：①1班學(xué)生得分的平均分大于2班學(xué)生得分的平均分；②1班學(xué)生得分的方差小于2班學(xué)生得分的方差；③1班學(xué)生得分的第90百分位數(shù)等于2班學(xué)生得分的第90百分位數(shù)；④若兩班中某同學(xué)得分為7分，且在他所在的班級屬于中上水平，則該同學(xué)來自1班．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】D【分析】①分別求得平均分比較；②分別求得方差比較；③分別求得第90百分位數(shù)比較；④由低于7分的人數(shù)判斷.【詳解】①1班學(xué)生得分的平均分,2班學(xué)生得分的平均分,故錯誤；②1班學(xué)生得分的方差:，；2班學(xué)生得分的方差，,故錯誤；③1班學(xué)生得分的第90百分位數(shù)是9，2班學(xué)生得分的第90百分位數(shù)是9，故正確；④若兩班中某同學(xué)得分為7分，1班低于7分的是24人，2班低于7分的是10人，因?yàn)樗诘陌嗉墝儆谥猩纤?，則該同學(xué)來自1班，故正確．故選：D10．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時，．若，則t的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由時，，利用得到，，且，在求得時的解析式，由求解.【詳解】解：當(dāng)時，，則在上遞增，在上遞減，且，由知：時，，時，，且在上遞增，在上遞減，因?yàn)?，?dāng)時，，因?yàn)?，所以，令，解得，所以滿足，的t的最大值是，故選：C二、填空題11．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則________．【答案】【分析】根據(jù)題意，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)即可求出函數(shù)的解析式，然后將代入即可求解.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，則，所以，則，故答案為：.12．函數(shù)的定義域是_____________．【答案】【詳解】試題分析：函數(shù)有意義得：，解得即函數(shù)定義域?yàn)椋窘馕觥壳蠛瘮?shù)定義域．13．能說明“，”是假命題的一個實(shí)數(shù)a的取值是________．【答案】(中任一值均可)【分析】根據(jù)題意可知：命題為真命題，列出不等式解之即可.【詳解】因?yàn)槊}：，為假命題，所以命題：為真命題，也即成立，所以，故答案為：4（中的任一值均可）14．已知函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)時，；②若存在最小值，則a的取值范圍為；③若存在零點(diǎn)，則a的取值范圍為；④若是減函數(shù)，則a的取值范圍為．其中所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①②④【分析】根據(jù)所給分段函數(shù)直接計算求解可判斷①，根據(jù)分段函數(shù)的最小值的求法判斷②，分段求函數(shù)的零點(diǎn)可判斷③，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性可求解判斷④.【詳解】①當(dāng)時，，，故①正確；②當(dāng)時，有最小值0，此時為減函數(shù)，且，無最小值，故無最小值，當(dāng)時，無最小值，無最小值，故無最小值，當(dāng)時，為增函數(shù)，最小值為，單調(diào)遞減，所以只需滿足，解得或，所以，故②正確；③令若有解，則，令若有解，則，解得或，綜上若存在零點(diǎn)，則a的取值范圍為，故③錯誤；④若是減函數(shù)，則需滿足且且，解得或，故④正確.故答案為：①②④三、解答題15．某校高中部有高一學(xué)生600人，高二學(xué)生480人，高三學(xué)生420人．某研究小組為了調(diào)查該校高中部不同年級學(xué)生課后作業(yè)量的情況，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法在三個年級共抽取100名學(xué)生，應(yīng)抽取高一學(xué)生的人數(shù)為多少？【答案】40【分析】利用分層抽樣比求解.【詳解】解：應(yīng)抽取高一學(xué)生的人數(shù)為

.16．已知關(guān)于x的不等式的解集為．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．條件①：集合；條件②：集合．注：如果選擇多個條件分別作答，挍第一個解答計分．【答案】(1)(2)詳見解析；【分析】（1）根據(jù)不等式的解集為，由求解；（2）選①集合，根據(jù)，由求解；選②集合，分和兩種情況，根據(jù)求解.【詳解】（1）解：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為,所以，解得；（2）選①集合，因?yàn)?，所以，解得，所以?shí)數(shù)m的取值范圍．選②集合，當(dāng)時，，解得，符合題意；當(dāng)時，則，，綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，，．設(shè)，．(1)用，表示，；(2)用向量的方法證明：A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線．【答案】(1)，；(2)答案見詳解.【分析】（1）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得，由結(jié)合已知可得；（2）根據(jù)可推出，即.再根據(jù)有公共點(diǎn)，可證得三點(diǎn)共線.【詳解】（1）解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得..（2）證明：由（1）知，，所以，所以，所以，，共線.又直線，直線有公共點(diǎn)，所以，，，三點(diǎn)共線.18．某商場為了制定合理的停車收費(fèi)政策，需要了解顧客的停車時長（單位：分鐘）．現(xiàn)隨機(jī)抽取了該商場到訪顧客的100輛車進(jìn)行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)求樣本中停車時長在區(qū)間上的頻率；(2)若某天該商場到訪顧客的車輛數(shù)為1000，根據(jù)頻率分布直方圖估計該天停車時長在區(qū)間上的車輛數(shù)；(3)為了吸引顧客，該商場準(zhǔn)備給停車時長較短的車輛提供免費(fèi)停車服務(wù)．若使該服務(wù)能夠惠及的到訪顧客的車輛，請你根據(jù)頻率分布直方圖，給出確定免費(fèi)停車時長標(biāo)準(zhǔn)的建議．【答案】(1)(2)(3)不超過分鐘【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有頻率和為1求解.（2）先算出區(qū)間上的頻率，然后再求間上的車輛數(shù).（3）求得是第25百分位數(shù).【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有頻率和為1，設(shè)的頻率為，可列等式為所以樣本中停車時長在區(qū)間上的頻率為（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知在區(qū)間上的頻率為，所以計該天停車時長在區(qū)間上的車輛數(shù)為：（3）設(shè)免費(fèi)停車時間長不超過分鐘，又因?yàn)榈念l率為，并且的頻率為，所以位于之間，則滿足確定免費(fèi)停車時長為不超過分鐘.19．已知函數(shù)．(1)判斷的奇偶性，并證明；(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出的圖象，并寫出該函數(shù)的值域；(3)寫出不等式的解集．【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)詳見解析.【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；（2）利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解；（3）在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象求解.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以是偶函數(shù)；（2）的圖象如圖所示：由函數(shù)的圖象知：函數(shù)的值域；（3）在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：，由圖象知：不等式的解集為：.20．已知函數(shù)．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義進(jìn)行證明；(2)設(shè)，若，，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；（2）由函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)值域，若，，使得可轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系，建立不等式求解即可.【詳解】（1）在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)且，則，因?yàn)椋?，，，所以，即，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞增.（2）由（1）知時，，即時，，因?yàn)楫?dāng)時為減函數(shù)，所以，若，，使得，則,即，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為21．已知集合．若集合A是U的含有個元素的子集，且A中的所有元素之和為0，則稱A為U的“k元零子集”．將U的所有“k元零子集”的個數(shù)記為．(1)寫出U的所有“2元零子集”；(2)求證：當(dāng)，且時，；(3)求的值．【答案】(