2022-2023學(xué)年北京市延慶區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市延慶區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，，則（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)集合，，再由子集的概念可判斷A；由集合的運(yùn)算判斷BCD【詳解】因?yàn)?，或，所以不是的子集，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；或，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：D2．若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)方程求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義確定其虛部.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)的虛部為，故選：C.3．已知拋物線的焦點(diǎn)是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，確定開口方向和，即可求拋物線方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是，所以開口向左，設(shè)拋物線方程為，又，則，所以拋物線方程為.故選：D4．已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義，分析可得的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，結(jié)合題意可得，，計(jì)算出的值，將其代入雙曲線的方程即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，，，則，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的上半支，其中，，即，則，所以雙曲線的方程為：，故選：D．5．與圓和都外切的圓的圓心在（

）．A．一個(gè)橢圓上 B．一條雙曲線上C．一條拋物線上 D．雙曲線的一支上【答案】D【分析】根據(jù)兩圓方程得出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，判斷出兩圓的位置關(guān)系，再利用與兩圓都外切的位置關(guān)系得出圓心距離所滿足的等量關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線的定義即可得出答案.【詳解】由圓可知，圓心，半徑，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑因此圓心距，所以兩圓相離；設(shè)與兩圓都外切的圓的圓心為，半徑為則滿足，所以，即圓心的軌跡滿足到兩定點(diǎn)距離之差為定值，且定值小于兩定點(diǎn)距離，根據(jù)雙曲線定義可知，圓心的軌跡是某一雙曲線的左支，即圓心在雙曲線的一支上.故選：D.6．“直線和曲線只有一個(gè)交點(diǎn)”是“與相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】可以通過舉例說明充分性與必要性是否成立.【詳解】解：若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線不一定相切，比如當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與該雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但不是相切；反之，若直線與曲線相切，直線與曲線也不一定只有一個(gè)交點(diǎn)．故“直線l與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)”是“直線l與曲線C相切”的既不充分也不必要條件．故選：D．7．若雙曲線的方程為，則它的離心率與漸近線方程分別為（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程得到，，，然后求離心率和漸近線方程即可.【詳解】根據(jù)雙曲線方程可得，，，所以離心率，漸近線方程為.故選：C.8．已知拋物線和點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上一點(diǎn)，則的最小值是（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義得到，將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最小，最后求最小值即可.【詳解】如圖，為點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影，根據(jù)拋物線的定義可得，所以的最小值即的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最小，所以最小值為.故選：B.9．過拋物線的焦點(diǎn)F的一條直線與此拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，已知，則線段的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離是（

）．A． B． C．3 D．【答案】A【分析】求得所在直線的方程并與拋物線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求解【詳解】由題意得，拋物線的焦點(diǎn)為，則，所以直線的方程為，即，所以所在直線的方程為，由得，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，所以線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以線段的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離是，故選：A10．已知點(diǎn)P在拋物線上，且，則的最小值為（

）．A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】設(shè)，則有，又，所以因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以的最小值為2，故選：A二、填空題11．函數(shù)的定義域?yàn)開_________．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，得出不等式，解得可得出函數(shù)的定義域，注意函數(shù)的定義域需用集合或區(qū)間表示.【詳解】要使對(duì)數(shù)函數(shù)有意義，則需真數(shù)大于0，即需使，解得或，所以函數(shù)定義域?yàn)?，故答案為?12．函數(shù)的值域?yàn)開_________．【答案】##【分析】分別求出各段函數(shù)的值域再求并集即可【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以；所以函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為?3．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上的一點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的最小值為；②若直線l的斜率與雙曲線的漸進(jìn)線的斜率相等，則直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；③點(diǎn)P到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為；④若過的直線與雙曲線的左支相交于A，B兩點(diǎn)，如果，那么．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為__________．【答案】①③【分析】由雙曲線的定義圖象以及性質(zhì)逐一分析即可求解【詳解】對(duì)于①：因?yàn)椋琍是雙曲線上的一點(diǎn)，要想最小，則P必在雙曲線的左支上且為作頂點(diǎn)時(shí)最小，所以的最小值為，故①正確；對(duì)于②：當(dāng)直線l為雙曲線的漸近線時(shí)，直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)；當(dāng)直線l為雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線l與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；綜上可知：直線l的斜率與雙曲線的漸進(jìn)線的斜率相等，則直線l與雙曲線最多有一個(gè)公共點(diǎn)；故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：設(shè)，雙曲線的兩條漸近線為，可得P到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為，故③正確；對(duì)于④：由雙曲線的定義可知：，兩式相加得，即，又，所以，即，故④錯(cuò)誤；故答案為：①③三、雙空題14．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為__________，標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【答案】

【分析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，再根據(jù)即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，所以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，則有，又因?yàn)?，所以或，因?yàn)椋?，雙曲線方程為，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為；標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：；.15．已知中，，，，則__________，__________．【答案】

【分析】分別利用正弦定理和余弦定理列方程，解方程即可.【詳解】根據(jù)正弦定理得，解得，根據(jù)余弦定理得，代入可得，解得或（舍去）.故答案為：①；②.四、解答題16．根據(jù)下列條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心在點(diǎn)，且過點(diǎn)；(2)過點(diǎn)和點(diǎn)，半徑為2；(3)，為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)；(4)圓心在直線上，且過點(diǎn)和點(diǎn)．【答案】(1)(2)或；(3)(4)【分析】（1），利用兩點(diǎn)間額距離公式即可求解；（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用待定系數(shù)法求解即可；（3）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即圓心為，由此再求半徑即可求解；（4）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用待定系數(shù)法求解即可；【詳解】（1）由題意可得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A過點(diǎn)和點(diǎn)，所以，解得或，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（3）因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，即圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（4）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為17．如圖，已知點(diǎn)，，圓．(1)求過點(diǎn)A的圓的切線方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A，B的直線交圓C于D，E兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；(3)求經(jīng)過圓C內(nèi)一點(diǎn)B且被圓截得弦長(zhǎng)最短的直線的方程．【答案】(1)或；(2)；(3).【分析】（1）考慮斜率存在與不存在求解，利用求解即可；（2）由點(diǎn)到直線的距離結(jié)合勾股定理求解即可；（3）利用垂直與點(diǎn)斜式求解即可【詳解】（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線為，此時(shí)與圓相切，符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，可設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，即，由，解得，此時(shí)切線方程為，即；綜上可知：過點(diǎn)A的圓的切線方程為或；（2）因?yàn)椋灾本€的方程為即，又圓心到直線的距離為，所以；（3）圓C內(nèi)一點(diǎn)B且被圓截得弦長(zhǎng)最短的直線必與垂直，因?yàn)?，所以圓C內(nèi)一點(diǎn)B且被圓截得弦長(zhǎng)最短的直線的方，即.18．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．(1)求征：平面；(2)求證：；(3)求二面角的大小．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用面面平行證明線面平行，即轉(zhuǎn)化為證明平面平面；（2）要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即先證明平面，即可證明線線垂直；（3）首先建立空間直角坐標(biāo)系，再求兩個(gè)平面和的法向量，轉(zhuǎn)化成法向量的余弦值求二面角.【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，同理平面，?平面所以平面平面，平面,所以平面；（2）因?yàn)?，，且，平?所以平面,平面，所以，又因?yàn)椋?平面，所以平面，平面，所以（3）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以向量為軸的方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，,設(shè)平面的法向量為，，令，則，所以平面的法向量為，由（2）可知，平面，所以平面的法向量為,設(shè)二面角的大小為，為鈍角，則，所以，即二面角的大小為19．已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，橢圓上的點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓C相交于A，B（不重合）兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求m的取值范圍；(3)求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由題意建立的關(guān)系，求解即可；（2）將直線與橢圓聯(lián)立，利用判別式求解即可；（3）結(jié)合（2）利用弦長(zhǎng)公式與二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】（1）由題意可知，所以，又，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由得，設(shè)，由題意可知：，解得，所以m的取值范圍是；（3）由（2）可知：，，由（2）可知，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以的最大值；20．已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為，離心率為，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B（不重合）兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求直線l的方程；(3)若點(diǎn)O在以線段為直徑的圓上，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或；(3)或；【分析】（1）由題意建立的關(guān)系，求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知求解即可；（3）由已知有，結(jié)合（2）即可求解【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，，由得，則，即，，又線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，所以，又，所以，即，解得，所以直線l的方程為或，即或；（3）因?yàn)辄c(diǎn)O在以線段為直徑的圓上，所以，由（2）可知：，所以，即，也即，解得，所以直線l的方程為或；21．對(duì)非空數(shù)集定義與的和集．對(duì)任意有限集A，記為集合A中元素的個(gè)數(shù)．(1)若集合，，寫出集合與；(2)若集合滿足，且，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用定義求解即可；（2）由題意先說明，再結(jié)合，即可求解