山西省長(zhǎng)治市第十中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

山西省長(zhǎng)治市第十中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合，，，且，則A．1

B．2

C．3

D．9參考答案：B2.關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；其中假命題的個(gè)數(shù)是

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A3.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且在(－∞,+∞)上是減函數(shù)，，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A.(－1,1) B.(－2,0) C.(－2,2) D.(0,2)參考答案：C【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得f（﹣1）的值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得，解可得x的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，若f（1）＝﹣2，則f（﹣1）＝﹣f（1）＝2，則，又由函數(shù)在上為減函數(shù)，則有，解可得：，即x的取值范圍是（-2，2）；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，得出f（﹣1）=2是關(guān)鍵．4.已知圓O：x2+y2=1，點(diǎn)P為直線x﹣2y﹣3=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓O引兩條切線PA，PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（）A．（2，0） B．（3，0） C．（，﹣1） D．（，﹣）參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)題意設(shè)P的坐標(biāo)為P（2m+3，m），由切線的性質(zhì)得點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓C上，求出圓C的方程，將兩個(gè)圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線AB過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：因?yàn)镻是直線x﹣2y﹣3=0的任一點(diǎn)，所以設(shè)P（2m+3，m），因?yàn)閳Ax2+y2=1的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，則點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，即AB是圓O和圓C的公共弦，則圓心C的坐標(biāo)是（m+，），且半徑的平方是r2=，所以圓C的方程是（x﹣m﹣）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=1，②，②﹣①得，（2m+3）x+my﹣1=0，即公共弦AB所在的直線方程是：（2m+3）x+my﹣1=0，即m（2x+y）+（3x﹣1）=0，由得x=，y=﹣，所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（，﹣），故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，圓的切線性質(zhì)，以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．5.已知向量與向量的夾角為，且，又向量（且，），則的最大值為（

）A．

B．

C．2

D．3參考答案：A考點(diǎn)：向量數(shù)量積、二次函數(shù)（求最值）．6.已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn)，給出以下結(jié)論：其中正確結(jié)論的序號(hào)是

①>

；②<③>；

④<.A．①② B．①③C．②④ D．②③參考答案：B略7.給出下列命題：①在區(qū)間上，函數(shù),,,中有三個(gè)是增函數(shù)；②若，則；③若函數(shù)是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④若函數(shù)，則方程有個(gè)實(shí)數(shù)根，其中正確命題的個(gè)數(shù)為

（）A．1

B．

C．

D．參考答案：C8.右圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形．給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如下圖；②存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖；③存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是

A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：A

本題考查了對(duì)三棱柱、四棱柱、圓柱在不同放置情況下的三視圖的識(shí)別能力，難度中等以上。①存在，只要三棱柱放置時(shí)三角形在側(cè)面即可；②存在，四棱柱底面與側(cè)面相同；③存在，圓柱的圓面為側(cè)面即可；三個(gè)命題都正確，故選A。

9.甲、乙兩個(gè)射手的奧運(yùn)預(yù)選賽的6次射擊的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下圖的莖葉圖，設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則（

）A．，

B．，

C.，

D．，參考答案：A因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，故選A.

10.若，則

(

）A．2

B．4

C．

D．10參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將參數(shù)方程（為參數(shù)，）化為普通方程，所得方程是_____

_____.參考答案：()

略12.正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n∈N*，n≥2），則a7=．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由2an2=an+12+an﹣12（n∈N*，n≥2），可得數(shù)列{}是等差數(shù)列，通過(guò)求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，求得an，再求a7．解答：解：由2an2=an+12+an﹣12（n∈N*，n≥2），可得數(shù)列{}是等差數(shù)列，公差d==3，首項(xiàng)=1，所以=1+3×（n﹣1）=3n﹣2，an=，∴a7=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)求解，考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造、計(jì)算能力．13.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為_(kāi)_________．參考答案：0

－10【分析】首先確定公差,然后由通項(xiàng)公式可得的值，進(jìn)一步研究數(shù)列中正項(xiàng)?負(fù)項(xiàng)的變化規(guī)律,得到和的最小值.【詳解】等差數(shù)列中,,得,公差,,由等差數(shù)列的性質(zhì)得時(shí),,時(shí),大于0,所以的最小值為或,即為－10.

14.一個(gè)三棱錐的正視圖和側(cè)視圖及其尺寸如圖所示，則該三棱錐俯視圖的面積為

．參考答案：1考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：由于三視圖中，正視圖與側(cè)視圖一樣高，正視圖與俯視圖一樣長(zhǎng)，俯視圖與側(cè)視圖一樣寬．又由圖知，所以俯視圖為兩直角邊長(zhǎng)為2，1的三角形，即可求面積．解答： 解：由于側(cè)視圖是寬為1，高為3的直角三角形，正視圖是長(zhǎng)為2，高為3的直角三角形，故三棱錐的底面為直角三角形，且兩直角邊分別為1，2．故該三棱錐的俯視圖的面積為1．故答案為1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查有三視圖求面積，體積．要注意三視圖中的等價(jià)關(guān)系：正視圖與側(cè)視圖一樣高，正視圖與俯視圖一樣長(zhǎng)，俯視圖與側(cè)視圖一樣寬．15.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足則f(2013)＝________.參考答案：0略16.如圖，邊長(zhǎng)為l的菱形ABCD中，DAB=60o，，則

。參考答案：17.函數(shù)的定義域是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，，D為線段AC的中點(diǎn)，將折疊至，使得且PC交平面EBD于F.（1）求證：平面⊥平面PAC.（2）求三棱錐的體積.參考答案：(1)證明見(jiàn)解析；(2).分析：（1）由PA⊥AC可計(jì)算出PC，從而由勾股定理逆定理得PB⊥BC，再結(jié)合BC⊥AB，得BC⊥平面PAB，從而有PA⊥BC，于是有PA⊥平面ABC，因此PA⊥BD，再計(jì)算出AB=BC，從而B(niǎo)D⊥AC，因此得BD⊥平面PAC，從而得證面面垂直；（2）這個(gè)體積直接用底面積乘以高再除以3，不太容易，但可間接計(jì)算：，這一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐的體積易計(jì)算．詳解：（1）證明：在三棱錐中，,,

又又（2）由已知，∥點(diǎn)睛：常用求體積的幾種方法：（1）分割法一般的考試題目不會(huì)給你一個(gè)簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方體，正方體，圓等等一些能套公式就能求出體積，而是弄一些多面體，讓你求它的體積。分割法，就是把多面體分割成幾個(gè)我們常見(jiàn)的立體，然后求各個(gè)分割體的體積，最后相加就能得出所要求的體積了。（2）補(bǔ)形法多面體加以拼補(bǔ)，把它拼成我們常見(jiàn)的立體，求出該立體的體積后，把補(bǔ)上去的各個(gè)立體的體積算出來(lái)，相減就能得出所要求的體積了。（3）等體積法這個(gè)方法舉例比較好說(shuō)明，比如，求四面體P-ABC的體積，但是頂點(diǎn)P到面ABC的距離不好求（即高h(yuǎn)），然而我們把頂點(diǎn)和底面換一下，換成四面體A-PBC，此時(shí)，頂點(diǎn)A到面PBC的距離可以很容易就得到(AP⊥面PBC,即AP就是高)，這樣四面體A-PBC的體積就很容易就求出來(lái)了。顯然，四面體P-ABC和四面體A-PBC是同一個(gè)立體，因此，求出四面體A-PBC的體積也就是求出四面體P-ABC的體積。

19.如圖，、是以為直徑的圓上兩點(diǎn)，，，是上一點(diǎn)，且，將圓沿直徑折起，使點(diǎn)在平面的射影在上，已知.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積．

參考答案：（1）略（2）略（3）（1）證明：依題平面

∴∴平面．

（2）證明：中，，∴中，，∴．∴．∴

在平面外

∴平面．（3）解：由（2）知，，且∴到的距離等于到的距離為1．

∴．平面

∴．

略20.設(shè)數(shù)列{an}是前n項(xiàng)和Sn=an﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1?a2；（Ⅱ）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可求a1?a2；（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=an﹣1，∴當(dāng)n=1時(shí)，a1=a1﹣1，得a1=﹣2，當(dāng)n=2時(shí)，S2=a2﹣1，即a1+a2=a2﹣1，即a2=﹣1﹣a1=﹣1﹣（﹣2）=1，則a2=2，則a1?a2=﹣2×2=﹣4．（Ⅱ）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣（an﹣1﹣1）=an﹣an﹣1，即an=﹣an﹣1，則an=﹣an﹣1，即=﹣1，即數(shù)列{an}為公比q=﹣1的等比數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的證明，利用數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．21.（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，，PD∥QA，.⑴證明：；⑵求二面角的余弦值.參考答案：設(shè)是平面PBC的一個(gè)法向量，則，即，因此可取………………7分設(shè)是平面PBQ的一個(gè)法向量，則，即，因此可取，………………9分所以，…………11分因?yàn)槎娼荙-BP-C為鈍二面角故二面角的余弦值為

………………12分22.已知，（其中常數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.參考答案：（1）f(x)有極小值，無(wú)極大值；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出a＝e的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，即可求得極值；（2）先證明：當(dāng)f（x）≥0恒成立時(shí)，有0＜a≤e成立．若，則f（x）＝ex﹣a（lnx+1）≥0顯然成立；若，運(yùn)用參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即可得證.【詳解