山西省陽泉市鎮(zhèn)土塔中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

山西省陽泉市鎮(zhèn)土塔中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等比數(shù)列{an}中，a3=2，a4a6=16，則=（）A．2 B．4 C．8 D．16參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由于a3=2，a4a6=16，可得=2，=16，解得q2．可得=q4．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a3=2，a4a6=16，∴=2，=16，解得q2=2．則==q4=4．故選：B．2.已知圓C1：f（x，y）=0，圓C2：g（x，y）=0，若存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）滿足f（x1，y1）＜0，f（x2，y2）＞0，g（x1，y1）＜0，g（x2，y2）＜0，則C1與C2的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相離C．相交或C1在C2內(nèi) D．相交或C2在C1內(nèi)參考答案：C3.執(zhí)行右圖中的程序，如果輸出的結(jié)果是4，那么輸入的只可能是(

)。A

B

2

C

±2或者－4

D

2或者－4

參考答案：B略4.下列說法錯(cuò)誤的是（）A．命題“?x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是“?x∈R，x2﹣2x+1≥0”B．命題“若m＞0，則方程x2+x﹣m=0有實(shí)根”的逆命題為真命題C．命題“若a＞b，則ac2＞bc2”的否命題為真命題D．若命題“￢p∨q”為假命題，則“p∧￢q”為真命題參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】寫出原命題的否定命題，可判斷A；寫出原命題的逆命題，可判斷B；寫出原命題的否命題，可判斷C；根據(jù)復(fù)合命題真假判斷的真值表，可判斷D．【解答】解：命題“?x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是“?x∈R，x2﹣2x+1≥0”，故A正確；命題“若m＞0，則方程x2+x﹣m=0有實(shí)根”的逆命題為“若方程x2+x﹣m=0有實(shí)根，則m＞0”，當(dāng)方程x2+x﹣m=0有實(shí)根時(shí)，1+4m≥0，即m≥﹣，即命題“若m＞0，則方程x2+x﹣m=0有實(shí)根”的逆命題為假命題，故B錯(cuò)誤；命題“若a＞b，則ac2＞bc2”的否命題為“若ac2＞bc2，則a＞b”是真命題，故C正確；若命題“￢p∨q”為假命題，則p真，q假，則“p∧￢q”為真命題，故D正確；故選：B5.不等式的解集為（

）（A）

（B）

（C）或

（D）參考答案：A6.已知點(diǎn)P是雙曲線=1（a＞0，b＞0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為△PF1F2的內(nèi)心，若S=SS成立，則雙曲線的離心率為（）A．4 B． C．2 D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)圓I與△PF1F2的三邊F1F2、PF1、PF2分別相切于點(diǎn)E、F、G，連接IE、IF、IG，可得△IF1F2，△IPF1，△IPF2可看作三個(gè)高相等且均為圓I半徑r的三角形．利用三角形面積公式，代入已知式S=SS，化簡可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，再結(jié)合雙曲線的定義與離心率的公式，可求出此雙曲線的離心率．【解答】解：如圖，設(shè)圓I與△PF1F2的三邊F1F2、PF1、PF2分別相切于點(diǎn)E、F、G，連接IE、IF、IG，則IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它們分別是：△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴S=×|PF1|×|IF|=|PF1|，=×|PF2|×|IG|=|PF2|，S=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|，其中r是△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑．∵S=SS，∴|PF1|=|PF2|+|F1F2|，兩邊約去得：|PF1|=|PF2|+|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，根據(jù)雙曲線定義，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=c?離心率為e=2，故選：C．7.設(shè)(

)

A．4

B．5

C．6

D．10參考答案：B略8.橢圓的一焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，則橢圓的離心率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.函數(shù)f（x）=在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

（

）A.4

B.5

C.6

D.7參考答案：C10.“a＝b”是“直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的()A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，若該橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓離心率的取值范圍是

。參考答案：略12.若函數(shù)f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，2ln2﹣2）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)題意可得a＜2x﹣ex有解，轉(zhuǎn)化為g（x）=2x﹣ex，a＜g（x）max，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2﹣ex﹣ax，∴f′（x）=2x﹣ex﹣a，∵函數(shù)f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴f′（x）=2x﹣ex﹣a＞0，即a＜2x﹣ex有解，令g′（x）=2﹣ex，g′（x）=2﹣ex=0，x=ln2，g′（x）=2﹣ex＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣ex＜0，x＞ln2∴當(dāng)x=ln2時(shí)，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．故答案為：（﹣∞，2ln2﹣2）13.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1=a﹣3i，z2=1+2i，若z1+z2是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為

.參考答案：-114.直線的斜率是

▲

．參考答案：15.若a∈N，又三點(diǎn)A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共線，則a=

．參考答案：2【考點(diǎn)】三點(diǎn)共線．【分析】利用三點(diǎn)共線，結(jié)合向量平行，求解即可．【解答】解：三點(diǎn)A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共線，可得，=（1﹣a，3），=（1，﹣a﹣1），可得3=（1﹣a）（﹣a﹣1），a∈N，解得a=2．故答案為：2．16.在成立，猜想在：

成立。參考答案：17.根據(jù)下面一組等式：

可得

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=1，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，首項(xiàng)b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kbk，其中k=1，2，3…，求數(shù)列{cn}的前2n+1項(xiàng)和T2n+1．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d＞0，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（II）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d＞0，依題意有，解得：或（舍去），∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（Ⅱ）T2n+1=c1+c2+c3+c4+…+c2n+1，∴T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2b2）+…+a2n﹣1+（a2n+nbn）=1+S2n+（b1+2b2+…+nbn），令①∴②，∴①﹣②得：，∴，∵，∴．點(diǎn)評：本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.已知橢圓，經(jīng)過點(diǎn)（3，—2）與向量（—1，1）平行的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交x軸于M點(diǎn)，又(I）求橢圓C長軸長的取值范圍；(II）若，求橢圓C的方程.參考答案：（I）設(shè)直線l與橢圓C交于點(diǎn).由將

①由韋達(dá)定理，知得

④對方程①由

⑤將④代入⑤，得意又由及④，得因此所求橢圓長軸長的取值范圍是

(II）由（I）中②③得，

⑥聯(lián)立④⑥，解得∴橢圓C的方程為20.如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，它們所在平面互相垂直，F(xiàn)D⊥平面ABCD，且FD=．（I）求證：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法．【分析】（I）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明EF∥平面ABCD；（Ⅱ），建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，連接HD，∴EH=．∵平面ABCD⊥平面BCE，EH?平面BCE，平面ABD∩平面BCE=BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，F(xiàn)D=，∴FD∥EH．FD=EH∴四邊形EHDF為平行四邊形．∴EF∥HD∵EF?平面ABCD，HD?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD（Ⅱ）連接HA由（Ⅰ），得H為BC中點(diǎn)，又∠CBA=60°，△ABC為等邊三角形，∴AH⊥BC，分別以HB，HA，HE為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H﹣xyz．則B（1，0，0），F(xiàn)（﹣2，，），E（0，0，），A（0，，0）=（﹣3，，），=（﹣1，，0），=（﹣1，0，），設(shè)平面EBF的法向量為=（x，y，z）．由得令z=1，得=（，2，1）．設(shè)平面ABF的法向量為=（x，y，z）．由得令y=1，得=（，1，2）cos＜，＞====，∵二面角A﹣FB﹣E是鈍二面角，∴二面角A﹣FB﹣E的余弦值是﹣．【點(diǎn)評】本題綜合考查空間中線線、線面的位置關(guān)系和空間中角的計(jì)算，涉及二面角的平面角，傳統(tǒng)方法和坐標(biāo)向量法均可，考查的知識面較廣，難度中等．21.如圖，已知PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，AB=2，C是圓O上的一點(diǎn)，且AC=BC，∠PCA=45°，E是PC中點(diǎn)，F(xiàn)為PB的中點(diǎn).（I）求證：EF∥面ABC；（II）求證：EF⊥面PAC；（III）求三棱錐B-PAC的體積.參考答案：（1）證明：在△PBC中，EF為中位線，所以EF∥BC，EF平面ABC，BC平面ABC所以EF∥平面ABC.（2）∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥CA;∵PA⊥面ACB，BC面ACB，∴PA⊥BC;BCCA=C，∴BC⊥面PAC，又∵BC∥EF，∴EF⊥面PAC,（3）由第2問知BC⊥面PAC,∴BC是三棱錐B-PAC的高；AC=BC=PA=，∴22.（本小題滿分12分）甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)期間，他們參加的次預(yù)賽成績記錄如下：

甲

乙

（1）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；（2）從甲、乙兩人的成績中各隨機(jī)抽取一個(gè)，求甲的成績比乙高的概率；（3）①求甲、乙兩人的成績的平均數(shù)與方差，②若現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)