半導(dǎo)體物理第3章

第三章電子和空穴的平衡統(tǒng)計(jì)分布

半導(dǎo)體的電導(dǎo)率直接依賴于導(dǎo)帶電子和價(jià)帶空穴(統(tǒng)稱載流子）的多少．在熱平衡的半導(dǎo)體中，電子和空穴依賴于熱激發(fā)產(chǎn)生。載流子的多少與溫度有密切聯(lián)系．

1平衡分布是動(dòng)態(tài)平衡熱激發(fā)不斷產(chǎn)生電子空穴對(duì)；電子又不斷躍遷回價(jià)帶或雜質(zhì)能級(jí)的空狀態(tài)進(jìn)行電子空穴的復(fù)合．在熱平衡時(shí)，這兩個(gè)方向相反的過程速率相等，從而保持宏觀上載流子濃度不變．2平衡時(shí)電子在能級(jí)上的分布服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，它與激發(fā)電子和空穴的具體過程無關(guān)．這一章就是要討論在包括有雜質(zhì)存在的半導(dǎo)體中載流子的數(shù)目及其隨溫度的變化．3(3-1-1)

電子的自旋角動(dòng)量為，是費(fèi)米子，受泡利不相容原理制約，遵守費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)．能量為E的電子狀態(tài)被電子占據(jù)的幾率f為4EF稱為費(fèi)米能級(jí)，是平衡電子系統(tǒng)的一個(gè)重要參量．k為玻爾茲曼常數(shù)。f(E)可理解為能量為E的狀態(tài)中的平均電子數(shù)。5§3.1費(fèi)米分布函數(shù)

由上式可見，能量為E的狀態(tài)被電子占據(jù)的幾率取決于該狀態(tài)的能級(jí)與費(fèi)米能級(jí)EF之差EEF和kT的比值．6(3-1-1)若E=EF，即(EEF/kT)=0，則f(E)=1/2．若EEF

>

0，則f(E)<1／2;若E比EF高出若干kT,即(EEF)/kT>>l，則占據(jù)幾率f(E)<<1．若EFE

>

0，則有f(E)

>

1／2．若E低于EF若干kT，即(EFE)/kT

>>

l，則exp[(EEF)/kT]

0,

f(E)接近于1．

7因此有

(EEF)／kT

>>

1，

f(E)

0(EEF)／kT

=

0，

f(E)=

1/2(EEF)／kT

<<

1，

f(E)

1(3-1-1)8在絕對(duì)零度時(shí)，有

當(dāng)E

>

EF，f(E)=

0

當(dāng)E

<

EF，

f(E)=

1

即在EF以上的所有能級(jí)全部是空的，在EF以下的所有能級(jí)全被填滿。

9(3-1-2)0K時(shí)的f(E)如圖3.1所示．顯然，費(fèi)米能級(jí)EF標(biāo)志著電子填充能級(jí)的水平．

1011

在T>0的一般情形下，f(E)隨能量E的變化將不象0K時(shí)那樣陡峭．在EF以上若干kT范圍內(nèi)的能級(jí)將部分地被電子占據(jù).

在EF以下若干kT范圍內(nèi)的能級(jí)將有一部分是空的。這正是熱激發(fā)的結(jié)果：在EF以下kT量級(jí)范圍內(nèi)的電子被熱激發(fā)到EF以上．這樣便出現(xiàn)了由f(E)1到f(E)0的過渡區(qū)域．它所占據(jù)的范圍約為幾個(gè)kT.顯然，溫度愈高，這個(gè)過渡區(qū)愈大．如圖3.1曲線2,3所示．12

在(EEF)/kT>>l時(shí)，分布函數(shù)分母中的exp[(EEF)/kT]>>1，因而f(E)可近似為：13趨于經(jīng)典的玻爾茲曼分布；(3-1-3)如上所述，費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計(jì)只容許每個(gè)能級(jí)最多被1個(gè)電子占據(jù)．在f~0的情況下，這種限制所帶來的影響將是很小的。因此費(fèi)米分布和玻爾茲曼分布趨于一致．在EEF

=

3kT時(shí)，用式(3-1-3)代替(3-1-1)所產(chǎn)生的誤差約5%。

14

f(E)可以理解為能量為E的狀態(tài)上的平均電子數(shù)。有時(shí)我們需了解該能量狀態(tài)上的平均空穴數(shù)。它應(yīng)等于該狀態(tài)上的空穴占據(jù)幾率fp，即不被電子占據(jù)的幾率1f(E)．

15容易求得fp為：

16(3-1-4)對(duì)于(EFE)/kT

>>

l的情況，類似于式(3-1-3)有

圖3.2表示fp(E)隨E的變化情況．17(3-1-5)18例如:在多數(shù)情形下，半導(dǎo)體中的EF在離開帶邊若干kT的禁帶中．由上面的分布函數(shù)的圖象可見，這時(shí)，導(dǎo)帶能級(jí)被電子占據(jù)的幾率很小，同樣，價(jià)帶能級(jí)被空穴占據(jù)的幾率也是很小的．

1919我們說對(duì)于EF以上若干kT的能級(jí)f(E)0，并不是說這種情況下有關(guān)能級(jí)中的電子就可忽略不計(jì)了．有時(shí)我們正是要求出這些能級(jí)中的電子數(shù)．§3．2載流子濃度對(duì)費(fèi)米能級(jí)的依賴關(guān)系

對(duì)于給定的半導(dǎo)體，在給定的溫度下，EF總是確定的．若已知EF，則可求出電子濃度n(單位體積內(nèi)導(dǎo)帶中的電子數(shù))和空穴濃度p(單位體積內(nèi)價(jià)帶中的空穴數(shù))

式中求和分別對(duì)單位體積導(dǎo)帶和價(jià)帶中的各狀態(tài)進(jìn)行．(3-2-1)20

在這一節(jié)中我們暫時(shí)不涉及如何確定EF，而是假定EF已知，以求出導(dǎo)帶的電子濃度和價(jià)帶的空穴濃度．計(jì)算主要對(duì)導(dǎo)帶電子進(jìn)行．所得結(jié)果易于推廣到價(jià)帶空穴．

21

由于導(dǎo)帶中能級(jí)密度很高，在E到E+dE的能量間隔內(nèi)包含了大量的電子狀態(tài)．因此可以引入態(tài)密度g(E)來描述能帶中電子狀態(tài)的分布．g(E)：?jiǎn)挝惑w積單位能量間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)。22在E到E+dE內(nèi)的狀態(tài)數(shù)dN可表示為:

dN=g(E)dE

在此能量間隔內(nèi)的電子數(shù)dn為

dn=f(E)g(E)dE這樣，式(3-2-1)的求和可化為下面的積分(3-2-2)23下面我們先求出態(tài)密度g(E)，再根據(jù)上式求出n態(tài)密度在晶體中的電子有如被封閉在一個(gè)容器中，使得并不能有任意的數(shù)值。下面我們來計(jì)算單位體積晶體k空間的狀態(tài)密度。24在具有周期勢(shì)場(chǎng)的晶體中，電子波函數(shù)為布洛赫函數(shù)，具有以下形式：與自由電子的波函數(shù)exp(ikx)相比，多了一個(gè)和晶格具有相同周期的函數(shù)因子：uk(x)=uk(x+al),al

為格矢量；k為波矢。25考慮一維情形設(shè)一維晶格的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)=Na,N為所包含的原胞總數(shù)，a為格矢量。周期性邊界條件要求波函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處（即在0和L處）有相同的值（設(shè)想把長(zhǎng)度L的原子鏈圍成環(huán)，顯然只有滿足上述條件的波才是穩(wěn)定的）。則：26n:為整數(shù)。uk(x)=uk(x+al)27允許的k值在k軸上為一系列等間距的點(diǎn)。取值密度gk為28單位長(zhǎng)度晶格在k空間的狀態(tài)密度為2／2.因子2計(jì)入了自旋相反的兩個(gè)狀態(tài)．對(duì)于三維晶體，情況類似.對(duì)于體積為的有限晶體,

k的取值密度,即k空間的狀態(tài)密度gk為29單位晶體體積k空間的狀態(tài)密度為2／(2)3.因子2計(jì)入了自旋相反的兩個(gè)狀態(tài)．

我們的任務(wù)是根據(jù)E-k關(guān)系，由k空間的狀態(tài)密度得到以能量為尺度的態(tài)密度g(E)．

為此目的，我們必須就E-k之間的函數(shù)關(guān)系作出具體假定．由于導(dǎo)帶中的電子絕大部分處于導(dǎo)帶底，因此，我們只需著重考查帶底附近的E-k關(guān)系和態(tài)密度g(E)．30設(shè)導(dǎo)帶可用簡(jiǎn)單能帶模型描述，即導(dǎo)帶底在k=0，等能面為球形，并具有拋物性E-k關(guān)系．這樣有(3-2-5)31為由導(dǎo)帶底開始計(jì)算的電子能量，它代表導(dǎo)帶電子的動(dòng)能。我們?nèi)菀浊蟪鰟?dòng)能小于的狀態(tài)數(shù)N()，它等于能量小于的k空間的體積乘以2/(2)3。能量小于的k空間體積就是能量為的等能面所包圍的球的體積，由式(3-2-5)可知它的半徑為

32于是可得到N()為33對(duì)上式取微分并與式比較可得

上面的結(jié)果說明g()與之間有拋物性關(guān)系，如圖3．3所示．這里特別要指出的是態(tài)密度依賴于有效質(zhì)量．有效質(zhì)量大的帶，態(tài)密度也大．34dN=g()d(3-2-7)解法二：35對(duì)于二維情況：36對(duì)于一維情況：乘2是因?yàn)橛袃蓚€(gè)等能點(diǎn)37一維情況解法二：38如果把m理解為空穴有效質(zhì)量，理解為EvE，則式(3-2-7)同樣也適用于具有簡(jiǎn)單能帶結(jié)構(gòu)的價(jià)帶頂．39對(duì)于由式(2-2-20)描述的具有各向異性有效質(zhì)量的能帶；可按照類似于上面所用的方法，求出橢球的半長(zhǎng)軸a、b、c，并進(jìn)而求出橢球的體積(4/3)abc，可得到：（2-2-20）(3-2-7)m1，m2，m3為沿等能面橢球主軸方向的三個(gè)有效質(zhì)量．如果導(dǎo)帶具有s個(gè)能谷，并具有旋轉(zhuǎn)橢球等能面，則相應(yīng)的態(tài)密度可修改為

40式中ml和mt分別為縱向和橫向有效質(zhì)量．md稱為狀態(tài)密度有效質(zhì)量，它和ml、mt和s的關(guān)系為：

md=(s2mlmt2)1/3

(3-2-10)對(duì)于簡(jiǎn)單能帶，顯然有md=m.

41§3.2.2．載流子濃度求得了態(tài)密度、我們就可以根據(jù)式計(jì)算電子濃度n．代入式42

于是n可寫為

式中n=EF

Ec,

=EEc(3-2-11)(3-2-12)(3-2-13)就可以得到n．我們先把f中的E和EF,改作按帶邊能量Ec作基準(zhǔn)計(jì)算:43

式中mn表示導(dǎo)帶電子有效質(zhì)量．上式中把積分上限取作了．實(shí)際能帶寬度當(dāng)然都是有限的，但是f()隨衰減十分迅速，積分上限取作不會(huì)顯著影響結(jié)果．常見的情況是EF位于EC以下若干kT．對(duì)于這種情況，我們可用玻爾茲曼分布代替費(fèi)米分布，則有

(3-2-14)44

以代替／kT，則式可寫作(3-2-15)45于是得到導(dǎo)帶平衡電子濃度為

(3-2-16)上式中定積分的值為.考慮到n=EFEc(3-2-15)46式(3-2-16)說明，所有導(dǎo)帶能級(jí)的作用可以等效于能量集中在導(dǎo)帶邊EC處，具有等效態(tài)密度NC(單位體積的能態(tài)數(shù))的能級(jí)的作用。(3-2-16)47

(3-2-17)等效態(tài)密度并不是一個(gè)常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。溫度愈高，Nc越大。49電子濃度n取決于費(fèi)米能級(jí)EF距離Ec的遠(yuǎn)近。EF離Ec愈遠(yuǎn)，電子濃度愈小。49上式適用于ECEF

>>

kT的情況，稱為非簡(jiǎn)并情形．導(dǎo)帶電子按能量的分布如圖3.4中陰影部分所示．f()g()反映電子實(shí)際分布的情況。50式中mp為空穴有效質(zhì)量，Nv為價(jià)帶等效態(tài)密度用完全類似的方法可以求得價(jià)帶空穴濃度p為式(3-2-18)成立的條件是EFEv>>kT。EF離開價(jià)帶愈遠(yuǎn)空穴濃度愈?。?3-2-18)(3-2-19)51(3-2-16)(3-2-18):5253根據(jù)費(fèi)米能級(jí)的位置可以判斷是n型，還是p型半導(dǎo)體以及載流子濃度的相對(duì)大小。式中g(shù)

為禁帶寬度,g=EcEv(3-2-21)還可以得到54

非簡(jiǎn)并情況下，不管費(fèi)米能級(jí)的具體位置如何，對(duì)于任一給定的半導(dǎo)體材料，在給定溫度下的電子、空穴濃度的乘積總是恒定的。55

至此，我們完全沒有涉及究竟在一個(gè)具體半導(dǎo)體中EF如何確定．只有具體知道了EF的位置及其隨溫度變化，我們才最后了解載流子濃度如何隨溫度變化．56§3.3本征載流子濃度

在包括含有雜質(zhì)的一般情形下，費(fèi)米能級(jí)的位置將與雜質(zhì)和溫度有關(guān)，因此，載流子濃度以及它們隨溫度變化將與雜質(zhì)有關(guān)．純凈的半導(dǎo)體中費(fèi)米能級(jí)位置和載流子濃度只是由材料自身的本征性質(zhì)決定的。我們把這種半導(dǎo)體稱為本征半導(dǎo)體。在本征半導(dǎo)體中，載流子只能通過把價(jià)帶電子激發(fā)到導(dǎo)帶產(chǎn)生。這種激發(fā)過程稱為本征激發(fā)。

57為求得電子、空穴濃度n和p，我們只需根據(jù)電中性條件n=p這里，Ei表示本征情形下的費(fèi)米能級(jí)(3-3-1