參數(shù)估計(jì)基礎(chǔ)

第五章總體均數(shù)的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)

第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤第二節(jié)t分布第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)第四節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟第五節(jié)均數(shù)的t檢驗(yàn)和z檢驗(yàn)第六節(jié)均數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系第七節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的兩型錯(cuò)誤和檢驗(yàn)功效第五章總體均數(shù)的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤第二節(jié)t分布第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)第四節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟第五節(jié)均數(shù)的t檢驗(yàn)和z檢驗(yàn)第六節(jié)均數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系第七節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的兩型錯(cuò)誤和檢驗(yàn)功效第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤

常用的統(tǒng)計(jì)推斷方法:參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)

總體μσ樣本統(tǒng)計(jì)推斷?隨機(jī)抽樣

N（155.4，5.32）156.7158.1155.6155.2…4.985.206.355.64…156.66.35Sii100個(gè)n＝30假定某年某地所有13歲女學(xué)生身高服從正態(tài)分布N（155.4，5.32）圖5-1某年某地13歲女生身高N(155.4,5.32)的抽樣示意圖

第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤

第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤

抽樣誤差

由于個(gè)體間存在差異及抽樣造成的樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異。第一節(jié)抽樣分布與抽樣誤差

表5-2從N(155.4,5.32)抽樣得到中的100個(gè)樣本均數(shù)的頻數(shù)分布（ni=30）第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤

將此100個(gè)樣本均數(shù)看成新變量值，則這100個(gè)樣本均數(shù)構(gòu)成一新分布，繪制直方圖。圖5-2從正態(tài)分布總體N(155.4,5.32)隨機(jī)抽樣所得樣本均數(shù)分布151152153154155156157158159160根據(jù)正態(tài)分布原理，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則樣本均數(shù)也服從正態(tài)分布1.各樣本均數(shù)未必等于總體均數(shù);2.樣本均數(shù)之間存在差異;3.樣本均數(shù)的分布很有規(guī)律，圍繞著總體均數(shù)（155.4cm），中間多、兩邊少，左右基本對(duì)稱(chēng)，也服從正態(tài)分布。4．樣本均數(shù)的變異較之原變量的變異大大縮小樣本均數(shù)的抽樣分布具有以下特點(diǎn)：第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤

用于表示均數(shù)抽樣誤差大小的指標(biāo)，也叫樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，通常稱(chēng)為樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。用于衡量抽樣誤差的大小。標(biāo)準(zhǔn)誤（SE）

第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤

標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算公式因通常σ未知，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤采用下式：均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤意義：反映抽樣誤差的大小。標(biāo)準(zhǔn)誤越小，抽樣誤差越小，用樣本均數(shù)估計(jì)總體均數(shù)的可靠性越大。與樣本量的關(guān)系：

S一定，n↑，標(biāo)準(zhǔn)誤↓第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤

X1S1X2

S2

XiSiXnSnxσN(μσ2)

標(biāo)準(zhǔn)誤示意圖X服從什么分布？例5-1

為了解某地13歲女生的身高，在該地隨機(jī)抽取了30名13歲女生測(cè)量身高，結(jié)果算出均數(shù)＝156.70cm，標(biāo)準(zhǔn)差＝4.98cm。求其標(biāo)準(zhǔn)誤的大小。

第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤

中心極限定理：第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤

均數(shù)隨機(jī)變量XN（μ，σ2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，12）Z變換標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，12）Studentt分布自由度：n-1第二節(jié)

t分布又稱(chēng)Studentt分布。實(shí)際上，t分布十分有用，它是總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家W.S.Gosset于1908年以“Student”筆名發(fā)表論文，證明它服從自由度

=n

1的t分布，即t分布，

=n

1(5-7)

第二節(jié)

t分布一、t分布的概念從前述實(shí)驗(yàn)4.1的13歲女學(xué)生身高這個(gè)正態(tài)總體中分別作樣本量為3和50的隨機(jī)抽樣，各抽取1000份樣本，并分別得到1000個(gè)樣本均數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)誤。對(duì)它們分別作(5-6)式的t轉(zhuǎn)變換，并將t值繪制相應(yīng)的直方圖（見(jiàn)實(shí)驗(yàn)5-4）。二、t分布的圖形和t界值表第二節(jié)

t分布第二節(jié)

t分布第二節(jié)

t分布υ=∞(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)υ=5υ=1012345-1-2-3-4-5f(t)0.10.20.3圖5-3不同自由度下的t分布圖第二節(jié)

t分布

t值的分布與自由度

有關(guān)（實(shí)際是樣本含量n不同）。t

分布的圖形不是一條曲線，而是一簇曲線。二、t分布的圖形和t界值表①單峰分布，以0為中心，左右對(duì)稱(chēng)，類(lèi)似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。②自由度

越小，t值越分散，曲線的峰部越矮，尾部越高；③隨著自由度

逐漸增大，t分布逐漸逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；當(dāng)趨于時(shí)，t分布就完全成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是t分布的特例。υ=∞(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)υ=5υ=1012345-1-2-3-4-5f(t)0.10.20.3圖5-3不同自由度下的t分布圖第二節(jié)

t分布t分布的特征：二、t分布的圖形和t界值表統(tǒng)計(jì)學(xué)家將t分布曲線下的尾部面積（即概率P）與橫軸t值間的關(guān)系編制了不同自由度下的t界值表（附表2）。單側(cè)概率：用t,υ表示雙側(cè)概率：用t/2,υ表示第二節(jié)

t分布二、t分布的圖形和t界值表-tt0當(dāng)

=10，單側(cè)概率P=0.05時(shí)，由表中查得單側(cè)t0.05,10=2.228當(dāng)

=10，雙側(cè)概率P=0.05時(shí)，由表中查得雙側(cè)t0.05/2,10=1.812二、t分布的圖形和t界值表單側(cè)：P（t

t0.05,10）=0.05

和P（t

t0.05,10）=0.05雙側(cè)：P（t

t0.05/2,10）＋P（t

t0.05/2,10）=0.051.8122.228-2.228tν=10的t分布圖二、t分布的圖形和t界值表單側(cè)：P（t

t,）=

和P（t

t,）=雙側(cè)：P（t

t/2,）＋P（t

t/2,）=二、t分布的圖形和t界值表從t界值表中或表的右上角圖列亦可看出：①在相同自由度時(shí)，│t│值越大，概率P越?。虎诙谙嗤瑃值時(shí)，雙側(cè)概率P為單側(cè)概率P的兩倍，即t0.10/2,16=t0.05,16=1.746。-tt0二、t分布的圖形和t界值表t分布又稱(chēng)Studentt分布，實(shí)際上十分有用，它是總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。第二節(jié)

t分布第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)參數(shù)估計(jì)：指用樣本指標(biāo)（統(tǒng)計(jì)量）估計(jì)總體指標(biāo)（參數(shù)）。參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)缺點(diǎn)：沒(méi)有考慮抽樣誤差根據(jù)樣本均數(shù)計(jì)算出有（1）把握的包含總體均數(shù)的一個(gè)數(shù)值范圍稱(chēng)為總體均數(shù)的置信區(qū)間（CI），1

稱(chēng)為置信度。第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的95%（或99%）置信區(qū)間置信度：

值一般取0.05或0.01，故1

為0.95或0.99。區(qū)間估計(jì)：第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)當(dāng)我們據(jù)一份樣本對(duì)總體均數(shù)只作一次區(qū)間估計(jì)時(shí)，我們宣布“總體均數(shù)μ在此可信區(qū)間范圍內(nèi)”，這句話可信的程度為95％區(qū)間估計(jì)：總體均數(shù)的95%置信區(qū)間的確切含義為：第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)

例5-1

為了解某地13歲女生的身高，在該地隨機(jī)抽取了30名13歲女生測(cè)量身高，結(jié)果算出均數(shù)＝156.70cm，標(biāo)準(zhǔn)差＝4.98cm。求該地13歲女生平均身高的置信區(qū)間。

例5-2

均數(shù)＝156.70cm，總體標(biāo)準(zhǔn)差＝5.3cm。求該地13歲女生平均身高的置信區(qū)間。

例5-3

在某市成人中隨機(jī)抽取400人測(cè)脈搏，計(jì)算得到均數(shù)＝74.5次/分，標(biāo)準(zhǔn)差＝6次/分。求該市成人平均脈搏的置信區(qū)間。

第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的置信區(qū)間的計(jì)算

未知，且n較小－－－－－－－t分布法

已知，或

未知但n足夠大－－Z分布法1.t分布方法（未知，且n較小）第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的置信區(qū)間的計(jì)算解：本例n=30，

=30–1=29，查t界值表，

=0.05，t0.05/2,29=2.045，95%CL:156.72.045=(154.8，158.6)g/L第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)

例5-1為了解某地13歲女生的身高，在該地隨機(jī)抽取了30名13歲女生測(cè)量身高，結(jié)果算出均數(shù)＝156.70cm，標(biāo)準(zhǔn)差＝4.98cm。求該地13歲女生平均身高的置信區(qū)間。

該地13歲女生平均身高的95%置信區(qū)間：

（154.8,158.6）cm，第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)2.正態(tài)分布近似方法(

已知，或

未知但n足夠大)

z/2

總體均數(shù)的置信區(qū)間的計(jì)算總體均數(shù)的雙側(cè)(1-α)置信區(qū)間為

z/2

Z0.05/2=1.96Z0.05=1.645第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)2.正態(tài)分布近似方法(

已知，或

未知但n足夠大)總體均數(shù)的置信區(qū)間的計(jì)算Z0.05/2=1.96Z0.05=1.645

例5-3

在某市成人中隨機(jī)抽取400人測(cè)脈搏，計(jì)算得到均數(shù)＝74.5次/分，標(biāo)準(zhǔn)差＝6次/分。求該市成人平均脈搏的置信區(qū)間。

第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)1.96=74.51.96（73.9，75.1）例5-4某市2000年隨機(jī)測(cè)量了90名19歲健康男大學(xué)生的身高，其均數(shù)為172.2cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.5cm，試估計(jì)該市2000年19歲健康男大學(xué)生平均身高的95%置信區(qū)間。第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)該市2000年19歲健康男大學(xué)生平均身高的95%置信區(qū)間為（171.3，173.1）cm。1.96=172.21.96（171.3，173.1）Z0.05/2=1.96Z0.05=1.645可信區(qū)間的確切涵義（1）所要估計(jì)的總體參數(shù)有95%的可能在我們所估計(jì)的可信區(qū)間內(nèi)。（2）從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取100個(gè)樣本，可算得100個(gè)樣本均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，也可算得100個(gè)均數(shù)的可信區(qū)間，平均約有95個(gè)可信區(qū)間包含了總體均數(shù)。（3）但在實(shí)際工作中，只能根據(jù)一次試驗(yàn)結(jié)果估計(jì)可信區(qū)間，我們就認(rèn)為該區(qū)間包含了總體均數(shù)。1.95%的可信區(qū)間的理解：（1）準(zhǔn)確度：用可信度（1）表示：即區(qū)間包含總體均數(shù)的理論概率大小。當(dāng)然它愈接近1愈好，如99%的可信區(qū)間比95%的可信區(qū)間要好。（2）精確度：即區(qū)間的寬度區(qū)間愈窄愈好，如95%的可信區(qū)間比99%的可信區(qū)間要好。可信區(qū)間的確切涵義2.可信區(qū)間的兩個(gè)要素可信區(qū)間的確切涵義2.可信區(qū)間的兩個(gè)要素當(dāng)n確定時(shí)，上述兩者互相矛盾。在實(shí)際應(yīng)用中，95%可信區(qū)間更為常用。在可信度確定的情況下，增加樣本含量可減小區(qū)間寬度，提高精確度?？傮w均數(shù)可信區(qū)間與參考值范圍的區(qū)別區(qū)別點(diǎn)總體均數(shù)可信區(qū)間參考值范圍含義按預(yù)先給定的概率，確定未知參數(shù)

的可能范圍。實(shí)際上，一次抽樣算得的可信區(qū)間要么包含了總體均數(shù)，要么不包含。但可以說(shuō)：當(dāng)