大學(xué)理論力學(xué) 點(diǎn)的合成運(yùn)動

Monday,February6,2023理論力學(xué)第八章點(diǎn)的合成運(yùn)動第八章點(diǎn)的合成運(yùn)動§8-1相對運(yùn)動·牽連運(yùn)動·絕對運(yùn)動§8-2點(diǎn)的速度合成定理§8-3牽連運(yùn)動為平動時點(diǎn)的加速度合§8-4牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時點(diǎn)的加速度合成定理成定理前兩章中我們研究點(diǎn)和剛體的運(yùn)動，一般都是以地面為參考體的。然而在實(shí)際問題中，還常常要在相對于地面運(yùn)動著的參考系上觀察和研究物體的運(yùn)動。例如，從行駛的汽車上觀看飛機(jī)的運(yùn)動等，坐在行駛的火車內(nèi)看下雨的雨點(diǎn)是向后斜落的等。為什么在不同的坐標(biāo)系或參考體上觀察物體的運(yùn)動會有不同的結(jié)果呢？我們說事物都是相互聯(lián)系著的。下面我們就將研究參考體與觀察物體運(yùn)動之間的聯(lián)系。為了便于研究，下面先來介紹有關(guān)的概念。

二．動點(diǎn)：運(yùn)動著的點(diǎn)（所研究的點(diǎn)）。一．坐標(biāo)系

1.靜坐標(biāo)系：把固結(jié)于地面上的坐標(biāo)系稱為靜坐標(biāo)系，簡稱靜系。2.動坐標(biāo)系：把固結(jié)于相對于地面運(yùn)動物體上的坐標(biāo)系，稱為動坐標(biāo)系，簡稱動系?！?-1相對運(yùn)動·牽連運(yùn)動·絕對運(yùn)動牽連點(diǎn)：在任意瞬時，動坐標(biāo)系中與動點(diǎn)相重合的點(diǎn)，也就是設(shè)想將該動點(diǎn)固結(jié)在動坐標(biāo)系上，而隨著動坐標(biāo)系一起運(yùn)動,該點(diǎn)叫牽連點(diǎn)。牽連運(yùn)動中,牽連點(diǎn)的速度和加速度稱為牽連速度與牽連加速度相對運(yùn)動中,動點(diǎn)的速度和加速度稱為相對速度與相對加速度絕對運(yùn)動中,動點(diǎn)的速度與加速度稱為絕對速度與絕對加速度點(diǎn)的運(yùn)動剛體的運(yùn)動三．三種運(yùn)動及三種速度與三種加速度。１.絕對運(yùn)動：動點(diǎn)相對于靜系的運(yùn)動。２.相對運(yùn)動：動點(diǎn)相對于動系的運(yùn)動。例如：人在行駛的汽車?yán)镒邉?。?牽連運(yùn)動：動系相對于靜系的運(yùn)動。例如：行駛的汽車相對于地面的運(yùn)動?！?-1相對運(yùn)動·牽連運(yùn)動·絕對運(yùn)動一般選擇主動件與從動件的連接點(diǎn)，它是對兩個坐標(biāo)系都有運(yùn)動的點(diǎn)。動點(diǎn)對動系有相對運(yùn)動，且相對運(yùn)動的軌跡是已知的，或者能直接看出的。動點(diǎn)：動系：靜系：四．動點(diǎn)的選擇原則：五．動系的選擇原則：AB桿上A點(diǎn)固結(jié)于凸輪Ｏ'上固結(jié)在地面上§8-1相對運(yùn)動·牽連運(yùn)動·絕對運(yùn)動相對運(yùn)動：牽連運(yùn)動：曲線（圓弧）直線平動絕對運(yùn)動：直線§8-1相對運(yùn)動·牽連運(yùn)動·絕對運(yùn)動牽連速度：相對速度：絕對速度：§8-1相對運(yùn)動·牽連運(yùn)動·絕對運(yùn)動牽連加速度：絕對加速度：相對加速度：§8-1相對運(yùn)動·牽連運(yùn)動·絕對運(yùn)動動點(diǎn)：A（在圓盤上)動系：O'A擺桿靜系：機(jī)架絕對運(yùn)動：曲線（圓周）相對運(yùn)動：直線牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動動點(diǎn)：A1（在O'A1

擺桿上)動系：圓盤靜系：機(jī)架絕對運(yùn)動：曲線（圓?。┫鄬\(yùn)動：曲線牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動§8-1相對運(yùn)動·牽連運(yùn)動·絕對運(yùn)動[注]

要指明動點(diǎn)應(yīng)在哪個物體上，但不能選在動系上。動點(diǎn)：A(在AB桿上)動系：固結(jié)在偏心輪上靜系：地面絕對運(yùn)動：直線相對運(yùn)動：圓周（曲線）牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動

AB桿地面曲線（未知）圓周（紅色虛線）平動若動點(diǎn)A在偏心輪上時§8-1相對運(yùn)動·牽連運(yùn)動·絕對運(yùn)動§8-2點(diǎn)的速度合成定理動系上與動點(diǎn)重合的點(diǎn)的絕對軌跡zxyOz'x'y'M,M1M'絕對運(yùn)動軌跡相對運(yùn)動軌跡M'1三種運(yùn)動軌跡速度合成定理將建立動點(diǎn)的絕對速度，相對速度和牽連速度之間的關(guān)系。也可看成MM１M′MM'為絕對軌跡MM'為絕對位移M1M'

為相對軌跡M1M'為相對位移§8-2點(diǎn)的速度合成定理當(dāng)t

t+△t，ABA′B′，MM′＝＋

在任一瞬時動點(diǎn)的絕對速度等于其牽連速度與相對速度的矢量和，這就是點(diǎn)的速度合成定理。結(jié)論：§8-2點(diǎn)的速度合成定理說明：va—動點(diǎn)的絕對速度；

vr—動點(diǎn)的相對速度；

ve—動點(diǎn)的牽連速度，是動系上一點(diǎn)(牽連點(diǎn))的速度（1）動系作平動時，動系上各點(diǎn)速度都相等。（2）

動系作轉(zhuǎn)動時，ve必須是該瞬時動系上與動點(diǎn)相重合點(diǎn)的速度。點(diǎn)的速度合成定理是瞬時矢量式，共包括大小?方向六個元素，已知任意四個元素，就能求出其它兩個?！?-2點(diǎn)的速度合成定理[例1]橋式吊車已知：小車水平運(yùn)行，速度為v平，物塊A相對小車垂直上升的速度為v。求物塊A的運(yùn)行速度。§8-2點(diǎn)的速度合成定理作出速度平四邊形如圖示，則物塊Ａ的速度大小和方向?yàn)橛伤俣群铣啥ɡ恚航猓哼x取動點(diǎn):物塊A動系:與小車固結(jié)靜系:與地面固結(jié)相對運(yùn)動:

直線;相對速度：vr

=v牽連運(yùn)動:

平動;牽連速度:ve=v平絕對運(yùn)動:

曲線;絕對速度va

的大小,方向待求

vr

=vve=v平vaxyo§8-2點(diǎn)的速度合成定理y′x′（）[例2]曲柄擺桿機(jī)構(gòu)已知：OA=r,,OO1=l

圖示瞬時OAOO1

求：擺桿O1B角速度1由速度合成定理va=vr+

ve

作出速度平行四邊形如圖示。解：取OA桿上A點(diǎn)為動點(diǎn)，動系與擺桿固結(jié)O1B

，基座為靜系。絕對速度

:va

=r

方向

OA相對速度:vr=?方向//O1B牽連速度:ve=?方向O1B§8-2點(diǎn)的速度合成定理由速度合成定理va=vr+

ve

，作出速度平行四邊形如圖示。[例3]圓盤凸輪機(jī)構(gòu)已知：OC＝e,

,（勻角速度）圖示瞬時,OCCA

且

O、A、B三點(diǎn)共線。求：從動桿AB的速度。

動點(diǎn)取直桿上A點(diǎn)，動系固結(jié)于圓盤，靜系固結(jié)于基座。解：絕對速度va

=?待求，方向//AB相對速度vr

=?未知，方向CA牽連速度ve

=OA=2e,方向

OA§8-2點(diǎn)的速度合成定理§8-2點(diǎn)的速度合成定理（4）

根據(jù)速度合成定理，作出速度平行四邊形。由上述例題可看出，求解合成運(yùn)動的速度問題的一般步驟為：（1）

選取動點(diǎn)，動系和靜系。（2）三種運(yùn)動的分析。（3）

三種速度的分析。（5）根據(jù)速度平行四邊形，求出未知量。恰當(dāng)?shù)剡x擇動點(diǎn)、動系和靜系是求解合成運(yùn)動問題的關(guān)鍵。§8-2點(diǎn)的速度合成定理動點(diǎn)、動系和靜系的選擇原則（1）動點(diǎn)、動系和靜系必須分別屬于三個不同的物體，否則絕對、相對和牽連運(yùn)動中就缺少一種運(yùn)動，不能成為合成運(yùn)動。（2）動點(diǎn)相對動系的相對運(yùn)動軌跡易于直觀判斷（已知絕對運(yùn)動和牽連運(yùn)動求解相對運(yùn)動的問題除外）?！?-2點(diǎn)的速度合成定理

分析：相接觸的兩個物體的接觸點(diǎn)位置都隨時間而變化，因此兩物體的接觸點(diǎn)都不宜選為動點(diǎn)，否則相對運(yùn)動的分析就會很困難。這種情況下，需選擇滿足上述兩條原則的非接觸點(diǎn)為動點(diǎn)。[例４]已知:凸輪半徑r,圖示時桿OA靠在凸輪上。求：桿OA的角速度。

§8-2點(diǎn)的速度合成定理根據(jù)速度合成定理，做出速度平行四邊形如圖示。（）解:取凸輪上C點(diǎn)為動點(diǎn),

動系固結(jié)于OA桿上,靜系固結(jié)于基座。絕對運(yùn)動:絕對速度:直線運(yùn)動,相對運(yùn)動:直線運(yùn)動,相對速度:牽連運(yùn)動:定軸轉(zhuǎn)動,牽連速度:q§8-2點(diǎn)的速度合成定理由于牽連運(yùn)動為平動，故對t求導(dǎo)：

設(shè)有一動點(diǎn)M按一定規(guī)律沿著固連于動系O'x'y'z'的曲線AB運(yùn)動,而曲線AB同時又隨同動系O'x'y'z'相對靜系Oxyz平動。由速度合成定理§8-2點(diǎn)的加速度合成定理一、牽連運(yùn)動為平動而所以上式即為牽連運(yùn)動為平動時點(diǎn)的加速度合成定理即當(dāng)牽連運(yùn)動為平動時，動點(diǎn)的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和。一般式可寫為：§8-2點(diǎn)的加速度合成定理(其中i′、j′、k′

為動系坐標(biāo)軸的單位矢量，因?yàn)閯酉禐槠絼?，故它們的方向不變，是常矢量，所? ）又因?yàn)樗岳阎和馆啺霃絉、v0、a0。求：j

=60o時,頂桿AB的加速度。解：取桿上的A點(diǎn)為動點(diǎn)，動系與凸輪固連。§8-2點(diǎn)的加速度合成定理由速度合成定理絕對速度va

=?,方向AB

；絕對加速度aa=?,方向AB，待求。相對速度vr=?,方向CA;相對加速度art=?方向CA方向沿CA指向C牽連速度ve=v0,方向→;

牽連加速度ae=a0,

方向→§8-2點(diǎn)的加速度合成定理因牽連運(yùn)動為平動，故有作加速度矢量圖如圖示，將上式投影到法線上，得[注]加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與平衡方程的投影關(guān)系不同n§8-2點(diǎn)的加速度合成定理waDEBCAOw0例

圖示平面機(jī)構(gòu)中，曲柄OA=r，以勻角速度w0繞O軸轉(zhuǎn)動。套筒A可沿BC桿滑動。已知BC=DE，且BD=CE=l。求圖示位置時，桿BD的角速度和角加速度。解：以套筒A為動點(diǎn)，動系與BC桿固連絕對速度：va=w0r牽連速度：ve=vB=wlvavevr相對速度：大小未知，方向沿水平方向由速度合成定理va=vr+

ve

作出速度平行四邊形如圖示。ve=va=vr=w0r§8-2點(diǎn)的加速度合成定理vBw0waDEBCAOaraa絕對加速度：相對加速度：大小未知，方向//BC牽連加速度：y30o30o由加速度合成定理將上式向y軸投影解出§8-2點(diǎn)的加速度合成定理

設(shè)一圓盤以勻角速度繞定軸Ｏ順時針轉(zhuǎn)動，盤上圓槽內(nèi)有一點(diǎn)M以大小不變的速度vr

沿槽作圓周運(yùn)動，那么M點(diǎn)相對于靜系的絕對加速度應(yīng)是多少呢？前面我們證明了牽連運(yùn)動為平動時的點(diǎn)的加速度合成定理，那么當(dāng)牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時，上述的加速度合成定理是否還適用呢？下面我們來分析一特例。§8-2點(diǎn)的加速度合成定理二、牽連運(yùn)動為定軸轉(zhuǎn)動相對運(yùn)動為勻速圓周運(yùn)動，由速度合成定理可得出選點(diǎn)M為動點(diǎn)，動系固結(jié)與圓盤上，則M點(diǎn)的牽連運(yùn)動為勻速轉(zhuǎn)動即絕對運(yùn)動也為勻速圓周運(yùn)動，所以方向指向圓心Ｏ點(diǎn)§8-2點(diǎn)的加速度合成定理可見，當(dāng)牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時，動點(diǎn)的絕對加速度并不等于牽連加速度和相對加速度的矢量和。分析上式：還多出一項(xiàng)2vr

?？梢宰C明，當(dāng)動系作定軸轉(zhuǎn)動時，有下式成立：式中稱為科氏加速度牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時點(diǎn)的加速度合成定理：當(dāng)動系為定軸轉(zhuǎn)動時，動點(diǎn)在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度，相對加速度與科氏加速度的矢量和?！?-2點(diǎn)的加速度合成定理一般式

一般情況下科氏加速度的計(jì)算可以用矢積表示方向：按右手法則確定?！?-2點(diǎn)的加速度合成定理例已知：凸輪機(jī)構(gòu)以勻

繞O軸轉(zhuǎn)動，圖示瞬時OA=r

，A點(diǎn)曲率半徑,已知。求：該瞬時頂桿AB的速度和加速度。

解:動點(diǎn):動系:

頂桿上A點(diǎn)；凸輪;絕對運(yùn)動:直線;絕對速度:va=?待求,方向//AB;相對運(yùn)動:曲線;相對速度:vr=?方向n;牽連運(yùn)動:定軸轉(zhuǎn)動;牽連速度:ve=r，方向OA，。vevrva§8-2點(diǎn)的加速度合成定理根據(jù)速度合成定理acaearnartaa§8-2點(diǎn)的加速度合成定理由牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理向n軸投影：acaearnartaa§8-2點(diǎn)的加速度合成定理DABC

例矩形板ABCD以勻角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動，點(diǎn)M1和點(diǎn)M2分別沿板的對角線BD和邊線CD運(yùn)動，在圖示位置時相對于板的速度分別為和，計(jì)算點(diǎn)M1、

M2的科氏加速度大小,并圖示方向。點(diǎn)M2的科氏加速度解：點(diǎn)M1的科氏加速度垂直板面向里。§8-2點(diǎn)的加速度合成定理vavrve解：根據(jù)做出速度平行四邊形方向：與相同。例

曲柄擺桿機(jī)構(gòu)已知：O1A＝r,,,1;取O1A桿上A點(diǎn)為動點(diǎn)，動系固結(jié)O2B上，試計(jì)算動點(diǎn)A的科氏加速度。aac§8-2點(diǎn)的加速度合成定理已知:OA＝l,=45o

時，w,a;求：小車的速度與加速度．例

曲柄滑桿機(jī)構(gòu)解：動點(diǎn)：OA桿上A點(diǎn);動系：固結(jié)在滑桿上;絕對運(yùn)動：圓周運(yùn)動，相對運(yùn)動：直線運(yùn)動，牽連運(yùn)動：平動；vevavr§8-2點(diǎn)的加速度合成定理小車的速度：根據(jù)速度合成定理 做出速度平行四邊形,如圖示投影至x軸：，方向如圖示小車的加速度：根據(jù)加速度合成定理vevavrjx§8-2點(diǎn)的加速度合成定理例圓盤半徑R=50mm以勻角速度w1繞水平軸CD轉(zhuǎn)動，同時框架和CD軸一起以勻角速度w2繞通過圓盤中心O的鉛直軸AB轉(zhuǎn)動。如w1=5rad/s，w2=3rad/s,求圓盤上1點(diǎn)和2點(diǎn)的絕對加速度。解：首先計(jì)算1點(diǎn)的加速度。動點(diǎn)：圓盤上的1點(diǎn)動系：與框架固結(jié)牽連運(yùn)動：以勻角速度w2作定軸轉(zhuǎn)動牽連加速度：ae相對運(yùn)動：以O(shè)為圓心，在鉛直面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動相對加速度：科氏加速度：arvr由加速度合成定理aa§8-2點(diǎn)的加速度合成定理acarvraaq計(jì)算點(diǎn)2的加速度動點(diǎn)：圓盤上的2點(diǎn)動系：與框架固結(jié)牽連運(yùn)動：以勻角速度w2作定軸轉(zhuǎn)動牽連加速度：相對運(yùn)動：以O(shè)為圓心，在鉛直面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動相對加速度：科氏加速度：由加速度合成定理§8-2點(diǎn)的加速度合成定理aet例

搖桿滑道機(jī)構(gòu)，已知:h，q，v，a。求:OA桿的w，a

。解：動點(diǎn):銷子D(BC上);動系:固結(jié)于OA；絕對運(yùn)動：直線運(yùn)動，相對運(yùn)動：直線運(yùn)動，沿OA線；牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動，vrqvavearaaacaen科氏加速度：§8-2點(diǎn)的加速度合成定理投影至x軸：（）根據(jù)牽連轉(zhuǎn)動的加速度合成定理（）根據(jù)速度合成定理aetaraaacaenxvrqvaveA§8-2點(diǎn)的加速度合成定理例

曲柄滑塊機(jī)構(gòu)已知：h;圖示瞬時;

求:該瞬時桿的w2

。解：動點(diǎn):O1A上滑塊A點(diǎn);動系:固結(jié)于BCD上,靜系固結(jié)于機(jī)架上。絕對運(yùn)動：圓周運(yùn)動;相對運(yùn)動：直線運(yùn)動;牽連運(yùn)動：平動;

水平方向vaqvevr§8-2點(diǎn)的加速度合成定理vaqvevr牽連運(yùn)動：

根據(jù)

）（再選動點(diǎn)：BCD上F點(diǎn)動系：固結(jié)于O2E上，絕對運(yùn)動：直線運(yùn)動，相對運(yùn)動：直線運(yùn)動，定軸轉(zhuǎn)動，vaFveFvrFq§8-2點(diǎn)的加速度合成定理例凸輪機(jī)構(gòu)，已知：凸輪半徑為R，圖示瞬時